数学选择性必修 第二册3.1.1 基本计数原理精练

【名师】3.1.1 基本计数原理-4课时练习

一．单项选择

1．汉中市2019年油菜花节在汉台区举办，组委会将甲．乙等6名工作人员分配到两个不同的接待处负责参与接待工作，每个接待处至少2人，则甲．乙两人不在同一接待处的分配方法共有（   ）

A．12种 B．22种 C．28种 D．30种

2．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)

A．243    B．252     C．261     D．279

3．己知三边，，的长都是整数，，如果，则符合条件的三角形的个数是（ 　  ）

A． B． C． D．

4．将3张不同的演唱会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是(　　)

A．2160 B．720 C．240 D．120

5．高二年级的三个班去甲．乙．丙．丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（    ）

A．16种 B．18种 C．37种 D．48种

6．从中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是(     )

A. B. C. D.

7．由数字1，2，3，组成的三位数中，各位数字按严格递增如“156”或严格递减如“421”顺序排列的数的个数是　　

A．120 B．168 C．204 D．216

8．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(    )

A．24    B．18    C．12    D．9

9．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（ ）

A．4种    B．5种    C．6种    D．7种

10．李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都--泉州”“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有(    )

A．16种    B．18种    C．20种    D．24种

11．四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲．乙．丙．丁．戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》．《三国演义》．《水浒传》．《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（    ）

A． B． C． D．

12．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形共有（    ）．

A．25个 B．26个 C．36个 D．37个

13．如果不等式组的整数解有（）个，那么适合这个不等式组的整数．的有序数对共有（    ）个

A．17个 B．64个 C．81个 D．72个

14．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（     ）

A．21种    B．315种    C．153种    D．143种

15．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（    ）

A．8种 B．15种 C．种 D．种

16．打开手机时，忘记了开机的六位密码的第二位和第四位，只记得第二位是7,8,9中的一个数字，第四位是1,2,3中的一个数字，则他输入一次能够开机的概率是(    )

A． B． C． D．

17．已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的现用编号为1，2，3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为　　

A．12 B．24 C．36 D．48

18．甲．乙．丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙．丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ）

A．36种    B．48种    C．96种    D．192种

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】由题要将所有人分到两个不同的接待处A,B,则①甲可能在A组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，②甲可能在B组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，分别求出每一种分配的方法数目，有分类计数原理计算可得答案。

【详解】

由题可分两种情况讨论：

①甲可能在A组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，则有种分法；

②甲可能在B组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，则有种分法；

一共有种分法。

故选C.

【点睛】

本题考查分类计数原理，解题的关键是分类列出所有可能情况，属于一般题。

2．【答案】B

【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=252.

3．【答案】D

【解析】根据题意，可取的值为1．2．3．25，由三角形的三边关系，有，对分情况讨论，分析可得可取的情况，即可得这种情况下符合条件的三角形的个数，由分类计数原理，结合等差数列的前项和公式，计算可得答案．

【详解】

解：根据题意，可取的值为1．2．3．25，

根据三角形的三边关系，有，

当时，有25≤＜26，则＝25，有1种情况，

当时，有25≤＜27，则＝25．26，有2种情况，

当时，有25≤＜28，则＝25．26．27，有3种情况，

当时，有25≤＜29，则＝25．26．27．28，有4种情况，

当时，有有25≤＜50，则＝25．26．27．2849，有25种情况，

则符合条件的三角形共有1＋2＋3＋4＋＋25＝；

故选：D．

【点睛】

本题考查分类计数原理的运用，涉及三角形三边的关系，关键是发现变化时，符合条件的三角形个数的变化规律．

4．【答案】B

【解析】按顺序分步骤确定每张门票的分法种数，根据分步乘法计数原理得到结果.

【详解】

分步来完成此事．第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法，共有10×9×8＝720种分法．

本题答案为B.

【点睛】

本小题主要考查分步乘法计数原理，考查分析问题的能力，属于基础题.

5．【答案】C

【解析】根据题意，用间接法：先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再排除甲工厂无人去的情况，由分步计数原理可得其方案数目，由事件之间的关系，计算可得答案．

【详解】

根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有种情况，

其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有种方案；

则符合条件的有种，

故选：C．

【点睛】

本题考查计数原理的运用，本题易错的方法是：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有种方案；显然这种方法中有重复的计算；解题时特别要注意．

6．【答案】C

【解析】由题意，末尾是0，2，4，分类求出相应的偶数，即可得出结论．

【详解】

由题意，末尾是0，2，4

末尾是0时，有4个；末尾是2时，有3个；末尾是4时，有3个，所以共有4+3+3=10个

故选：C．

【点睛】

本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

7．【答案】B

【解析】先从9个数字中选出3个数字，这三个数字按严格递增或严格递减排列共有2种情，由分步计数乘法原理可得结果．

【详解】

首先要从9个数字中选出3个数字，共C93种情形，当三个数字确定以后，这三个数字按严格递增或严格递减排列共有2种情况，根据分步计数原理知共有2C93＝168.

故选：B．

【点睛】

本题考查了分步计数原理，确定选排方案是解决问题的关键，属于基础题.

8．【答案】B

【解析】由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故选B.

【考点】计数原理．组合

【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．

9．【答案】

【解析】分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆最至少1个，只有2种分法。

三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆最至少1个，只有2种分法。

三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的。

考点：本题主要考查分类计数原理的应用。

点评：本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始，分别计算不同分法，然后求和。用列举法也可以，形象．直观易懂。

10．【答案】C

【解析】分析：根据分类计数原理，“东亚文化之都﹣﹣泉州”“二日游”，任意相邻两天组合一起，一共有6种情况，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，分两种情况讨论即可．

详情：任意相邻两天组合一起，一共有6种情况，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，

若李雷选①②或⑥⑦，则韩梅梅有4种选择，

选若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则韩梅梅有3种选择，

故他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有2×（4+6）=20，

故答案为：C

点睛：本题主要考查计数原理，意在考查计数原理等基础知识的掌握能力和分类讨论思想的运用能力.

11．【答案】A

【解析】通过分析每人有4种借阅可能，即可得到答案.

【详解】

对于甲来说，有4种借阅可能，同理每人都有4种借阅可能，根据乘法原理，故共

有种可能，答案为A.

【点睛】

本题主要考查乘法分步原理，难度不大.

12．【答案】C

【解析】设三角形另外两边为X,Y

x+y>11

x-y<11

x<11,y<11

且均为整数

所以x,y中有个数最大为11

最小的整数为1，最大边为11

x=1的时候1个

x=2的时候2个

x=3的时候3个

x=4的时候4个

x=5的时候5个

x=6的时候6个

x=7的时候5个

x=8的时候4个

x=9的时候3个

x=10的时候2个

x=11的时候1个

所以共有1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36.故选C。

考点：本题主要考查三角形构成条件．分类计数原理的应用。

点评：结合三角形知识，将符合条件的三角形分成11类，运用分类计数原理得解。

13．【答案】D

【解析】先解不等式组求得的取值范围，根据整数解的情况，确定有序对的个数.

【详解】

由得，不妨设，故可取共种可能，可取共种可能，可以满足整数解有个，为.所以有序数对共有个，故选D.

【点睛】

本小题主要考查一元一次不等式组的解法，考查分步计数原理，考查整数的性质，考查分析与思考的能力，属于基础题.

14．【答案】D

【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种，

选一本数学书一本英语书有5×7=35种，

选一本语文书一本英语书有9×5=45种，

∴共有63+45+35=143种选法.

故选D.

15．【答案】C

【解析】 由题意得，每一封不同的电子邮件都有三种不同的投放方式，所以把封电子邮件投入个不同的邮箱，共有种不同的方法，故选C.

16．【答案】C

【解析】首先根据分步乘法计数原理计算出总的情况，其中只有一种情况正确。即可算出概率。

【详解】

第二位有三种情况，第四位有三种情况，所以一共有种情况，所以一次输对的概率为

【点睛】

本题主要考查了事件与概率，主要掌握分步乘法计数原理，即完成一件事的方法，把每一步完成的方法相乘，就是完成这件事所有的方法。本题属于基础题。

17．【答案】D

【解析】先将种产品分成三组，然后存放在三个仓库，由分步乘法计数原理求得安全存放的方法种数.

【详解】

设种产品分别为，画出图像如下图所示，根据题意，安全的分组方法有，，，，共种，每一种分组方法安排到个仓库，有种方法，故总的方法种数有种，故选D.

【点睛】

本小题主要考查简单的排列组合问题，考查分类加法计数原理．分步乘法计数原理，属于中档题.

18．【答案】C

【解析】设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，∴不同的选修方案共有6×4×4=96种，故选C．

考点：分步计数原理

点评：本题需注意方案不分次序，即a，b和b，a是同一种方案，用列举法找到相应的组合即可．