数学选择性必修 第二册3.1.1 基本计数原理练习题

【优选】3.1.1 基本计数原理-3同步练习

一．单项选择

1．若甲．乙两人从牡丹．玫瑰．郁金香．芍药四盆花中各选择一盆花，则甲．乙不相同的选法共有（    ）

A．6种 B．12种 C．30种 D．36种

2．某小区有3个正门，2个偏门，则进入该小区的方式有（    ）

A．3种 B．2种 C．6种 D．5种

3．现有甲．乙．丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1．2．3．4．5．6的六张卡片，现从甲．乙．丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为（    ）

A．14 B．16 C．18 D．20

4．2020新冠疫情期间，某村把5个小组的志愿者安排到该村的，，，四个路口值守，其中在，，三个路口各安排一个小组，在路口安排2个小组，则不同的安排方法共有（    ）

A．60种 B．120种 C．150种 D．240种

5．某化工厂在定期检修设备时发现生产管道中共有5处阀门（）发生有害气体泄漏.每处阀门在每小时内有害气体的泄露量大体相等，约为0.01立方米.阀门的修复工作可在不停产的情况下实施.由于各阀门所处的位置不同，因此修复所需的时间不同，且修复时必须遵从一定的顺序关系，具体情况如下表：

在只有一个阀门修复设备的情况下，合理安排修复顺序，泄露的有害气体总量最小为（    ）

A．1.14立方米 B．1.07立方米 C．1.04立方米 D．0.39立方米

6．甲．乙．丙．丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，每人只能选择一个景点且甲．乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（    ）

A． B． C． D．

7．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（    ）

A．24 B．64 C．81 D．48

8．某班联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了个新节目，如果将这个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（    ）

A． B． C． D．

9．为庆祝中华人民共和国成立70周年，2019年10月1日晚，金水桥南，百里长街成为舞台，3290名联欢群众演员跟着音乐的旋律，用手中不时变幻色彩的光影屏，流动着拼组出五星红旗．祖国万岁．长城等各式图案和文字.光影潋滟间，以《红旗颂》《我们走在大路上》《在希望的田野上》《领航新时代》四个章节，展现出中华民族从站起来．富起来到强起来的伟大飞跃.在每名演员的手中都有一块光影屏，每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开．关各表示一个信息，则每块屏可以表示出不同图案的个数为（    ）

A．2048 B． C． D．

10．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数(　　)

A．7 B．64 C．12 D．81

11．将四棱锥S﹣ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果有恰有5种颜色可供使用，则不同的染色方法有（　　）

A．480种 B．360种 C．420种 D．320种

12．回文数是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如2，11，242，6776，83238等，设n位回文数的个数为（n为正整数），如11是2位回文数，则（    ）

A． B． C． D．

13．经过选拔有5位同学进入猜谜背古诗朗读共三项的决赛，每人三个赛项均参与，每个赛项只有唯一一个冠军.则不同的夺冠种数是（    ）

A． B． C． D．

14．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B？C？D中选择，其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3？5？6？8？9中选择，其他号码只想在1？3？6？9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（    ）

A．180种 B．360种 C．720种 D．960种

15．动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为（　　）

A．7 B．9 C．11 D．13

16．设有编号为的五个球和编号为的五个盒子,现将这五个球放入这五个盒子内,要]求每个盒子内放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,则这样的投放方法的总数为（ ）

A． B． C． D．

17．若准备用1个字符给一本书编号，其中可用字符为字母，，，也可用数字字符1，2，3，4，5，则不同的编号有（    ）

A．2种 B．5种 C．8种 D．15种

18．7名旅客分别从3个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是（    ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】B

【解析】分两步完成，甲先选有4种选法，乙再选有3种，根据分步乘法计数原理求解即可.

详解：由题意，分两步完成，

甲先选有4种不同的选法，乙后选有3种不同的选法，

根据分步乘法计数计数原理知：甲．乙不相同的选法数（种）.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了分步乘法计数原理在实际问题中的应用，属于容易题.

2．【答案】D

【解析】根据分类计数加法原理即得结果.

详解：进入该小区的方式可以从正门进，也可从偏门进，

所以根据分类计数加法原理得该小区的方式有种

故选：D

【点睛】

本题考查分类计数加法原理，考查基本分析求解能力，属基础题.

3．【答案】C

【解析】根据题意，若取出的卡片上的标号恰好成等差数列分三种情况，一是标号相等时，即所得的等差数列的公差为0，二是所得的等差数列公差为1或-1，三是所得的等差数列的公差为2或-2时，分别求出其不同的取法，再求和.

详解：根据题意，若取出的卡片上的标号恰好成等差数列分三种情况，

一是标号相等时，即全部为1．2．3．4．5．6时，有6种取法，

二是所得的等差数列公差为1或-1，即1．2．3；3．2．1；4．5．6；6．5．4等8种取法，

三是所得的等差数列的公差为2或-2时，即1．3．5；5．3．1；2．4．6；6．4．2等4种取法，

所以共有种.

故选：C

【点睛】

本题主要考查分类加法计算原理，还考查了分类讨论的思想和列举求解的能力，属于中档题.

4．【答案】A

【解析】分两步完成，第一步先安排路口安排2个小组有种安排方法，再安排剩下的三个小组到，，三个路口有种安排方法，最后根据分步乘法计数原理即可得答案.

详解：解：先在5个小组中任选2个，安排到路口，有种安排方法；

将剩下的3个小组安排到，，三个路口，有种安排方法.

由分步计数原理，得共有种不同的安排方法.

故选：A.

【点睛】

本题考查分步乘法计数原理和排列组合的综合应用，是中档题.

5．【答案】C

【解析】先确定有要求三个阀门的先后顺序必须是，要使泄露的有害气体总量最小，修复时间长的因尽量靠后，确定修复顺序为，然后计算每个阀门泄露有害气体的时间，计算出泄露的有害气体总量最小值.

详解：由表知，根据需先修复好的阀门的要求，可确定顺序无要求，其中三个阀门的先后顺序必须是，要使泄露的有害气体总量最小，修复时间长的因尽量靠后，

故修复顺序为，

则各阀门泄露有害气体的时间分别为小时，

泄露有害气体的时间共小时，

故泄露的有害气体总量最小为立方米，

故选：C

【点睛】

本题是实际应用问题的最优化问题，理解题意是解决问题的关键，属于中档题.

6．【答案】A

【解析】优先排甲．乙，在排丙丁即可。

详解：每人只能选择一个景点且甲．乙不能同去一个景点，甲有3种，乙有两种，丙．丁各有3种，共54种。故选A

【点睛】

排数问题一般采用分步计数原理和分类计数原理，先分类后分步，特殊元素优先考虑。

7．【答案】C

【解析】根据乘法原理可直接得解.

详解：4名同学每人有3种选择，所以共有种，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了分步计数原理，属于基础题.

8．【答案】B

【解析】每次插入一个节目，利用分步乘法计数原理可求得结果.

详解：利用分步计数原理，第一步先插入第一个节目，有种方法，第二步插入第二个节目，此时有个空，故有种方法.

因此不同的插法共有种.

故选：B.

【点睛】

本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.

9．【答案】B

【解析】由题意结合分步乘法计数原理即可得解.

详解：由题意，每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开．关各表示一个信息，

根据分步乘法计数原理可得表示出不同图案的个数为.

故选：B.

【点睛】

本题考查了分步乘法计数原理的应用，合理分步是解题关键，属于基础题.

10．【答案】C

【解析】根据题意，由于四件不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤，那么先选择裤子有3种，那么在选上衣有4种，根据分步乘法计数原理得到结论为34=12，故答案为C.

考点：计数原理

点评：解决的关键是理解完成一件事就是将一条长裤与一件上衣配成一套，因此采用分步乘法计数原理得到，属于基础题．

详解：请在此输入详解！

11．【答案】C

【解析】可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论.

详解：分两步，由题设四棱锥的顶点S,A,B 所染颜色互不相同，则共有5×4×3=605×4×3=60 ，

当S,A,B染好时，不妨设所染颜色依次为1,2,3，若C 染2 ，则DD可染33或4或5，

共三种，若C 染4 ，则D 可染3 或5，共2种，若C 染5 ，则D 可染3 或4，共2种，

即当S,A,B染好时，C,D 还有7 种染法，所以共有60×7=420 ，

故选:C.

【点睛】

本题主要考查分类计数原理与分步计数原理综合应用，属于中档题.两个原理的应用不是孤立的，往往是两个原理交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.

12．【答案】C

【解析】根据回文数的特点，根据分步计数原理，依次写出满足条件的，，，的值，判断选项.

详解：2位回文数包含11，,22,33，,99，共9个，所以

3位回文数，第一位和第三位有9种方法，中间有10种方法，根据分步计数原理可知，共个，故，

4位回文数，第一位和第四位有9种方法，中间两位有10种方法，根据分步计数原理可知有种方法，故

5位回文数，第一位和第五位有9种方法，中间以为有10种方法，第二位和第四位有10种方法，根据分步计数本原理可知有种，故.

故选：C

【点睛】

本题考查分步计数原理，关键是读懂新定义数字问题的理解和运用，属于中档题型.

13．【答案】C

【解析】用分步乘法计数原理求解，用冠军选人的思路完成这件事．

详解：完成这件事分三步：第一步猜谜冠军有5种可能，第二步背古诗冠军有5种可能，第三步朗读冠军有5种可能，共有夺冠种数种．

故选：C．

【点睛】

本题考查分步乘法计数原理，解题关键确定完成一件事的方法，是分类完成还是分步完成，注意分类与分步的区别．

14．【答案】D

【解析】根据题意，依次分析牌照的第一个号码？第二个号码以及最后三个号码的选法数目，进而由分步计数原理计算可得答案.

详解：根据题意，车主第一个号码在数字3？5？6？8？9中选择，共5种选法，

第二个号码只能从字母B？C？D中选择，有3种选法，

剩下的3个号码在1？3？6？9中选择，每个号码有4种选法，则共有4×4×4=64种选法，

则共有5×3×64=960种，

故选：D.

【点睛】

本题考查排列？组合的应用，需要注意汽车牌照号码中数字可以重复，故最后三位号码有4×4×4种选法，而不是A43种，属于基础题.

15．【答案】D

【解析】根据题意，分为动点M①向左跳三次，②向右跳三次，③向左跳2次，向右跳1次，④向左跳1次，向右跳2次，四种情况进行讨论，得到相应的位置，从而得到答案.

详解：根据题意，分4种情况讨论：

①，动点M向左跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，

②，动点M向右跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有6，5，4，3，

③，动点M向左跳2次，向右跳1次，故有﹣3，﹣2，﹣1，0，2，

④，动点M向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3，

故M在数轴上可能位置的个数为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共有13个，

故选：D.

【点睛】

本题考查分类计数原理，考查了分类讨论的思想，属于中档题.

16．【答案】D

【解析】运用分步计数原理求解:第一步,先在个球中取出个球放入与其同编号的盒子中,有种可能；第二步,再将余下的个球放入不同盒子中有种可能,如可有或两种放法.由分步计数原理可得种可能,故应选D.

考点：分步计数原理的运用.

17．【答案】C

【解析】把编号所有可能情况分两类，一类字母，一类数字，两类数目相加可得．

详解：由题意这本书的编号可能是字母，，，有3种

可能是数字：1，2，3，4，5，有效种，

共有3+5=8种．

故选：C．

【点睛】

本题考查分类计数原理，用列举法列出所有可能事件是常用方法．

18．【答案】B

【解析】根据分步乘法计数原理，由题中条件，可直接得出结果.

详解：由题意，每名旅客可选择方案有3种，

因此7名旅客分别从3个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查计数原理的简单应用，属于基础题型.