人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系课堂检测

课时作业(二十七)　直线与圆锥曲线的位置关系

一、选择题

1．(2022广东湛江模拟)已知直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)

A．m≥4   B．0<m<9

C．4≤m<9  D．m≥4且m≠9

答案：D

解析：因为直线y＝kx＋2恒过(0,2)点，为使直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1恒有公共点，只需点(0,2)在椭圆＋＝1上或在椭圆内，所以＋≤1，即m≥4.又m≠9，所以m≥4且m≠9.故选D.

2．抛物线y2＝12x被直线x－y－3＝0截得的弦长的值为(　　)

A．21  B．16  C．24  D．30

答案：C

3．直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝2有且只有一个交点，那么k的值是(　　)

A．±1   B．±

C．±1，±   D．±

答案：C

4．(2022重庆广益中学校模拟)若点(m，n)在椭圆9x2＋y2＝9上，则的最小值为(　　)

A．－  B．－  C．－  D．－

答案：D

解析：由题知椭圆的方程为x2＋＝1，求的最小值即求点(m，n)与点(3,0)连线斜率的最小值，设过点(m，n)和点(3,0)的直线方程为y＝k(x－3)，

联立⇒(9＋k2)x2－6k2x＋9(k2－1)＝0，

知当Δ＝0时直线斜率取最小值，Δ＝(－6k2)2－4(9＋k2)[9(k2－1)]＝0⇒k2＝，

故当k＝－时，斜率取得最小值，即的最小值为－.

5．已知双曲线E的中心在原点，F(3,0)是E的焦点，过F且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1   D.－＝1

答案：B

6．(多选题)(2022福建建瓯市芝华中学月考)已知双曲线C的标准方程为x2－＝1，则(　　)

A．双曲线C的离心率等于半焦距

B．双曲线y2－＝1与双曲线C有相同的渐近线

C．双曲线C的一条渐近线被圆(x－1)2＋y2＝1截得的弦长为

D．直线y＝kx＋b与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2

答案：AD

解析：由双曲线C方程可知，a＝1，b＝2，c＝，所以离心率e＝＝c，故A正确；双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±2x，而双曲线y2－＝1的焦点在y轴上，渐近线方程为y＝±x，二者渐近线方程不同，所以B错误；圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到双曲线C的渐近线y＝2x的距离为＝，所以渐近线y＝2x被圆(x－1)2＋y2＝1截得的弦长为2×＝，渐近线y＝－2x被圆(x－1)2＋y2＝1截得的弦长也为，故C错误；由直线与双曲线的位置关系可知直线y＝kx＋b与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2，故D正确．故选AD.

7．(多选题)椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x－0＝b，则k的值为(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案：AB

解析：根据椭圆的离心率为，得＝.

由x0＝b，得y＝b2＝，

∴y0＝±，∴k＝＝±＝±.

8．(多选题)过定点P(0,1)，且与抛物线y＋2＝2x只有一个公共点的直线方程为(　　)

A．x＝0   B．y＝1

C．y＝x＋1   D．y＝x＋1

答案：ABD

解析：如图所示，若直线的斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x＝0，

由得

即直线x＝0与抛物线只有一个公共点．

若直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx＋1，

由

得k＋2x＋2＋2(k－1)x＋1＝0.

当k＝0时，解得y＝1，

即直线y＝1与抛物线只有一个公共点；

当k≠0时，Δ＝4(k－1)＋2－4k＋2＝0，

解得k＝，

即直线y＝x＋1与抛物线只有一个公共点．

综上，所求的直线方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.

二、填空题

9．双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.给定四条直线：①5x－3y＝0；②x－y－4＝0；③5x－3y－52＝0；④4x－3y＋15＝0.如果上述直线上存在点P，使|PF2|＝|PF1|＋6，则满足这样条件的直线对应的序号是________．

答案：②④

解析：由－＝1，得a2＝9，b2＝16，所以c2＝25，c＝5，

由双曲线的定义，双曲线上任意一点P满足||PF2|－|PF1||＝6＜10.

当直线上存在点P满足|PF2|－|PF1|＝6时，说明直线与双曲线的左支有公共点．由已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，

对于①③两直线的斜率均为＞，

故①③均与双曲线左支无公共点，经验证②④表示的直线与双曲线有交点．

10．(2020全国卷Ⅰ)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.

答案：

解析：∵抛物线的方程为y2＝4x，

∴抛物线的焦点坐标为F(1,0)，

又∵直线AB过焦点F且斜率为，

∴直线AB的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程消去y并化简得3x2－10x＋3＝0，

方法一：解得x1＝，x2＝3.

所以|AB|＝|x1－x2|＝×＝，

方法二：Δ＝100－36＝64>0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，

过A，B分别作准线x＝－1的垂线，设垂足分别为C，D，如图所示．

|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝.

11．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是________．

答案：

解析：由

消去y整理得(1－k2)x2－4kx－10＝0，

设两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，

由题意知

即

所以k∈.

三、解答题

12．(2021新高考全国卷Ⅰ)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2.记M的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．

解：(1)因为|MF1|－|MF2|＝2＜|F1F2|，根据双曲线的定义知，点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支．

由题意，得c＝，|MF1|－|MF2|＝2a＝2，所以a＝1.

又c2＝a2＋b2，所以17＝1＋b2，则b2＝16.

所以C的方程为x2－＝1(x≥1)．

(2)设T，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直线AB的方程为y＝k＋t，

将此方程代入x2－＝1，得

(k2－16)x2＋(2kt－k2)x＋k2－kt＋t2＋16＝0，

又直线AB与曲线C必有两个不同交点，

所以x1＋x2＝，x1x2＝.①

|TA|·|TB|＝·

＝(1＋k2)

设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，

直线PQ的方程为y＝k′＋t，

将此方程代入x2－＝1，得

(k′2－16)x2＋(2k′t－k′2)x＋k′2－k′t＋t2＋16＝0，

所以x3＋x4＝，x3x4＝.②

|TP|·|TQ|＝(1＋k′2)，

由|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，

得(1＋k2)

＝(1＋k′2)，

即(1＋k2)

＝(1＋k′2).③

将①②代入③并整理，得k2＝k′2.

因为k≠k′≠0，所以k＋k′＝0.

13．(2020全国卷Ⅰ)已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，·＝8，P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点．

答案：(1)解：由题设得A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)．

则＝(a,1)，＝(a，－1)．

由·＝8，得a2－1＝8，即a＝3.

所以E的方程为＋y2＝1.

(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．

若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过点.

若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3<n<3.

由于直线PA的方程为y＝(x＋3)，

所以y1＝(x1＋3)．

直线PB的方程为y＝(x－3)，

所以y2＝(x2－3)．

可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)．

由于＋y＝1，故y＝－，

可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，

即(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0.①

将x＝my＋n代入＋y2＝1得

(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0.

所以y1＋y2＝－，y1y2＝.

代入①式得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0.

解得n＝－3(舍去)，n＝.

故直线CD的方程为x＝my＋，即直线CD过定点.

综上，直线CD过定点.