数学人教A版 (2019)7.5 正态分布课时练习

第七章随机变量及其分布

7.5　正态分布

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.关于正态分布N(μ,σ2),下列说法正确的是(　　)

A.随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件

B.随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件

C.随机变量落在[-3σ,3σ]之外是一个小概率事件

D.随机变量落在[μ-3σ,μ+3σ]之外是一个小概率事件

答案D

2.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,则P(-2≤ξ≤1)=(　　)

A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6

答案C

解析由题意可知正态曲线关于x=1对称,P(ξ>4)=1-P(ξ<4)=0.1,

根据对称性可知,P(ξ<-2)=P(ξ>4)=0.1,

故P(-2≤ξ≤1)=0.5-P(ξ<-2)=0.5-0.1=0.4.

3.已知X~N(0,1),则X在区间(-∞,-2)内取值的概率为(　　)

A.0.954 5 B.0.045 5

C.0.977 3 D.0.022 75

答案D

解析由题知对应的正态曲线的对称轴为x=0,

所以P(X<-2)=0.5-P(-2≤X≤2)≈0.5-0.954 5=0.022 75.

4.若随机变量X~N(1,22),则D等于(　　)

A.4 B.2 C D.1

答案D

解析因为X~N(1,22),所以D(X)=4,

所以DD(X)=1.

5.若随机变量X~N(1,22),则Y=3X-1服从的总体分布可记为　　　　　　　　. 

答案Y~N(2,62)

解析∵X~N(1,22),

∴μ=1,σ=2,∴E(X)=1,D(X)=4.

又Y=3X-1,∴E(Y)=3E(X)-1=2,

D(Y)=9D(X)=62.

∴Y~N(2,62).

6.某班有50名学生,一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,σ2),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为　　　　. 

答案10

解析由题意知,P(ξ>110)==0.2,故估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10.

7.已知某地外来务工人员年均收入X服从正态分布,其正态曲线如图所示.

(1)写出此地外来务工人员年均收入的密度函数解析式;

(2)求此地外来务工人员年均收入在8 000~8 500元的人数所占的百分比.

解设此地外来务工人员年均收入X~N(μ,σ2),

结合题图可知,μ=8 000,σ=500.

(1)此地外来务工人员年均收入的密度函数解析式为

f(x)=,x∈R.

(2)∵P(7 500≤X≤8 500)

=P(8 000-500≤X≤8 000+500)≈0.682 7,

∴P(8 000≤X≤8 500)=P(7 500≤X≤8 500)

≈0.341 35=34.135%.

故此地外来务工人员年均收入在8 000~8 500元的人数所占的百分比为34.135%.

8.设X~N(4,1),证明P(2≤X≤6)=2P(2≤X≤4).

证明因为μ=4,所以正态曲线关于直线x=4对称,所以P(2≤x≤4)=P(4≤X≤6).

又因为P(2≤X≤6)=P(2≤X≤4)+P(4≤X≤6),

所以P(2≤X≤6)=2P(2≤X≤4).

关键能力提升练

9.若随机变量X的正态分布密度函数为f(x)=,X在(-2,-1)和(1,2)内取值的概率分别为p1,p2,则p1,p2的关系为(　　)

A.p1>p2 B.p1<p2

C.p1=p2 D.不确定

答案C

解析由题意知μ=0,σ=1,所以正态曲线关于直线x=0对称,所以p1=p2.

10.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1≤ξ≤0)=(　　)

A+p B.1-p 

C.1-2p D-p

答案D

解析由已知得P(-1≤ξ≤0)=P(-1≤ξ≤1)

=[1-2P(ξ>1)]=-p.

11.某厂生产的零件外径X~N(10,0.04),今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件,测得其外径分别为9.9,9.3,则可认为(　　)

A.上午生产情况正常,下午生产情况异常

B.上午生产情况异常,下午生产情况正常

C.上午、下午生产情况均正常

D.上午、下午生产情况均异常

答案A

解析因为测量值X为随机变量,又X~N(10,0.04),所以μ=10,σ=0.2,记I=[μ-3σ,μ+3σ]=[9.4,10.6],则9.9∈I,9.3∉I.

12.设随机变量ξ服从正态分布N(3,7),若P(ξ>a+2)=P(ξ<a-2),则a=(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案C

解析∵随机变量ξ服从正态分布N(3,7),P(ξ>a+2)=P(ξ<a-2),∴a+2+a-2=6,解得a=3.

13.(多选)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),其正态曲线在(-∞,80)上单调递增,在(80,+∞)上单调递减,且P(72≤X≤88)≈0.682 7,则(　　)

A.μ=80

B.σ=4

C.P(X>64)=0.977 25

D.P(64≤X≤72)=0.135 9

答案ACD

解析因为正态曲线在(-∞,80)上单调递增,在(80,+∞)上单调递减,所以正态曲线关于直线x=80对称,所以μ=80;因为P(72≤X≤88)≈0.682 7,结合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,可知σ=8;

因为P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,

且P(X<64)=P(X>96),

所以P(X<64)(1-0.954 5)

=0.045 5=0.022 75,

所以P(X>64)=0.977 25;

因为P(X<72)=(1-P(72≤X≤88))(1-0.682 7)=0.158 65,

所以P(64≤X≤72)=P(X>64)-P(X>72)=0.977 25-(1-0.158 65)=0.135 9.

14.已知X~N(4,σ2),且P(2≤X≤6)≈0.682 7,则 σ=　　　　　,P(|X-2|≤4)≈　　　　　. 

答案2　0.84

解析∵X~N(4,σ2),

∴μ=4.

∵P(2≤X≤6)≈0.682 7,

∴σ=2.

∴P(|X-2|≤4)=P(-2≤X≤6)

=P(-2≤X≤2)+P(2≤X≤6)

=[P(-2≤X≤10)-P(2≤X≤6)]+P(2≤X≤6)

=P(-2≤X≤10)+P(2≤X≤6)≈0.84.

15.随机变量X服从正态分布N(10,σ2),P(X>12)=m,P(8≤X≤10)=n,则的最小值为　　　　　. 

答案6+4

解析随机变量X服从正态分布N(10,σ2),

∴P(X≥10)=

由P(8≤X≤10)=n,得P(10≤X≤12)=n.

又P(X>12)=m,

∴m+n=,且m>0,n>0.

则(2m+2n)=6+6+2=6+4,当且仅当,即m=,n=时等号成立.

的最小值为6+4

16.某投资者在两个投资方案中选择一个,这两个投资方案的利润X(单位:万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12).投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大,那么他应该选择哪一个方案?

解对于第一个方案有X~N(8,32),其中μ1=8,σ1=3,

P(X>5)==0.841 35.

对于第二个方案有X~N(7,12),其中μ2=7,σ2=1,

P(X>5)==0.977 25.

显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大,故他应该选择第二个方案.

17.某钢管生产车间生产一批钢管,质检员从中抽出若干根对其直径(单位:mm)进行测量,得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84).

(1)当质检员随机抽检时,测得一根钢管的直径为73 mm,他立即要求停止生产,检查设备,请你根据所学知识,判断该质检员的决定是否有道理,并说明判断的依据;

(2)如果钢管的直径X在60.6 mm~69.4 mm之间为合格品(合格品的概率精确到0.01),现要从60根该种钢管中任意挑选3根,求次品数Y的分布列和数学期望.(精确到0.01)

(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)

解(1)由题得μ=65,σ=2.2,μ-3σ=58.4,μ+3σ=71.6,而73∈(μ+3σ,+∞),∴P(X>71.6)==0.001 35,此事件为小概率事件,故该质检员的决定有道理.

(2)因为μ=65,σ=2.2,μ-2σ=60.6,μ+2σ=69.4,由题意可知钢管直径满足μ-2σ≤X≤μ+2σ为合格品,

所以该批钢管为合格品的概率约为0.95,

所以在60根钢管中,合格品约57根,次品约3根,任意挑选3根,则次品数Y的可能取值为0,1,2,3.

P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,P(Y=3)=

则次品数Y的分布列为

所以E(Y)=0+1+2+30.15.

学科素养创新练

18.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得频率分布直方图如图所示.

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).

(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.

①利用该正态分布,求P(187.8≤Z≤212.2);

②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果,求E(X).

附:12.2.

若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5.

解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,

s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.

(2)①由(1)知,Z~N(200,150),

从而P(187.8≤Z≤212.2)=P(200-12.2≤Z≤200+12.2)≈0.682 7.

②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 7,

依题意知X~B(100,0.682 7),所以E(X)=100×0.682 7=68.27.