第六章测评卷

过关综合测评

第六章测评卷

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1=(　　)

A B C D

答案D

解析故选D.

2.已知n∈N*且n<17,则(17-n)·(18-n)·…·(29-n)=(　　)

A B

C D

答案C

解析∵n∈N*且n<17,(29-n)-(17-n)+1=13,则(17-n)·(18-n)·…·(29-n)=故选C.

3.(2021江苏一模)(1-2x)n的二项展开式中,奇数项的系数和为(　　)

A.2n B.2n-1

C D

答案C

解析∵在(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn中,奇数项的系数和为a0+a2+a4+…,偶数项的系数和为a1+a3+a5+…,

令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+…=(-1)n, ①

令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4-a5+…=3n, ②

①+②除以2可得,a0+a2+a4+…=,

故选C.

4.(2021上海徐汇校级月考)已知数列{an}为有穷数列,共95项,且满足an=)200-nn,则数列{an}中的整数项的个数为(　　)

A.13 B.14 C.15 D.16

答案D

解析数列{an}为有穷数列,共95项,且满足an=)200-nn,故n最大为95.要使数列{an}中的项为整数项,则n为偶数,且为整数,故n=2,8,14,20,26,…,92,共计16项,故选D.

5.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142 857,因为142 857×2=285 714,142 857×3=428 571,142 857×4=571 428,…,所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现:142+857=999,428+571=999,285+714=999,…,若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x,剩下的三个数字构成另一个三位数y,若x+y=999,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为              (　　)

A.48 B.60 C.96 D.120

答案A

解析根据题意,数字142 857中,两个数字之和为9的组合有1+8=9,2+7=9,4+5=9,共3组,若x+y=999,对于x,其百位数字可以为6个数字中任意1个,假设为1,则y的百位数字必须为8,则x,y的百位数字有种选法,x的百位数字可以为剩下4个数字中任意1个,假设为2,则y的十位数字必须为7,则x,y的十位数字有种选法,x的百位数字可以为剩下2个数字中任意1个,y的十位数字为最后1个,则x,y的个位数字有种选法,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为=48个,故选A.

6.(2021湖南模拟)某中学派6名教师到A,B,C,D,E五个山区支教,每位教师去一个地方,每个地方至少安排一名教师前去支教.学校考虑到教师甲的家乡在山区A,决定派教师甲到山区A,同时考虑到教师乙与丙为同一学科,决定将教师乙与丙安排到不同山区,则不同安排方法共有(　　)

A.360种 B.336种 C.216种 D.120种

答案B

解析根据题意,分2步:①将6名教师分为5组,要求乙与丙不在同一组,有-1=14种分组方法;②将甲所在的组分到A山区,剩下的4组安排到其他4个山区,有=24种情况,则有14×24=336种安排方法,故选B.

7.(2021江苏一模)(3-2x)(x+1)5展开式中x3的系数为 (　　)

A.-15 B.-10 C.10 D.15

答案C

解析∵(x+1)5展开式的通项公式为Tr+1=x5-r,分别令5-r=3,5-r=2,可得r=2,3,故(3-2x)(x+1)5展开式中x3的系数为3-2=10,故选C.

8.(2021山东模拟)某医院抽调3名医生,5名护士支援某城市三家医院,规定每家医院医生一名,护士至少一名,则不同的安排方案有(　　)

A.900种 B.1 200种 C.1 460种 D.1 820种

答案A

解析根据题意,分2步进行分析:①将3名医生安排到三家医院,有=6种安排方法;②将5名护士分为3组,安排到三家医院,有=150种安排方法,则有6×150=900种不同的安排方案,故选A.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.

9.6本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人两本,不同的分法种数是(　　)

A B

C.15 D.90

答案AD

解析由分步计数原理得不同的分法种数是=90.故选AD.

10.(2021江苏海陵校级月考)对于m,n∈N*,n≥m,关于下列排列组合数,结论正确的是(　　)

A B

C D=(m+1)

答案ABC

解析左式=,而右式=,故,故A正确;左式=,而右式=,故B正确;左式=,右式=m!=,故C正确;左式=,右式=(m+1)=(m+1),故D错误.故选ABC.

11.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的安排方法种数为(　　)

A22 B.24-2

C D

答案BD

解析当使用整体排除法时,安排方法有()4-=24-2种;当使用分类法时,安排方法有种.故选BD.

12.若(1-2x)2 021=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 021x2 021(x∈R),则(　　)

A.a0=1

B.a1+a3+a5+…+a2 021=

C.a0+a2+a4+…+a2 020=

D+…+=-1

答案ACD

解析当x=0时,a0=1,故A正确;

当x=1时,a0+a1+a2+a3+…+a2 021=-1, ①

当x=-1时,a0-a1+a2-a3+…-a2 021=32 021, ②

由①+②可得,a0+a2+…+a2 020=,故C正确;

由①-②可得,a1+a3+…+a2 021=-,故B错误;

令x=,可得a0++…+=0,则+…+=-1,故D正确.故选ACD.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.某校的4名体育教师对足球、篮球、羽毛球3个运动兴趣小组进行指导,要求每项运动至少有一名教师指导,每名教师指导一项运动,则分派方法共有　　　　种. 

答案36

解析先把4人分为(2,1,1),再分配到3个运动兴趣小组,故分派方法共有=36种.

14.(2021山东二模)已知二项式3n的展开式中,所有项的系数之和为64,则该展开式中的常数项是　　　　. 

答案1 215

解析∵二项式3n的展开式中,所有项的系数之和为2n=64,∴n=6.

∴它的通项公式为Tr+1=(-1)r×36-r,

令3-=0,可得r=2,

故二项式3n的展开式的常数项为34=1 215.

15.(2021浙江模拟)若(2+x)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5+a6x6,则a0+a1+…+a6=　　　　,a5=　　　　　. 

答案96　7

解析∵(2+x)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5+a6x6,则令x=1,可得a0+a1+…+a6=96.

a5=2=7.

16.黑、白球共10个排成一列,满足对任意连续若干个球,黑、白球数差的绝对值均不超过2.则至多有　　　　个黑球,满足要求的排列共有　　　　　种.(用具体数字作答) 

答案6　210

解析设黑球的个数为x,则白球的个数为10-x,

由题意可得|x-(10-x)|≤2,

解得4≤x≤6,

∴至多有6个黑球,

则白球的个数为4个,

由题意可知,黑白球只是颜色不相同,则黑球和白球的顺序只有一种,故有=210种.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)从分别印有数字0,3,5,7,9的5张卡片中,任意抽出3张组成三位数.

(1)求可以组成多少个大于500的三位数;

(2)求可以组成多少个三位数;

(3)若印有9的卡片,既可以当9用,也可以当6用,求可以组成多少个三位数.

解(1)首位是5,7,9的三位数都大于500,

故大于500的三位数有3=36个.

(2)可以组成三位数的个数是4=48.

(3)分两类:第一类,没抽印有9的卡片,则有个三位数;第二类,抽取印有9的卡片,若没抽印有0的卡片,则有2×3个三位数;若抽取印有0的卡片,则有2×3个三位数,所以,共有+2×3+2×3=78(个).

18.(12分)计算:

(1)90;

(2)

解(1)根据题意,90,

则有90×n(n-1)=n(n-1)(n-2)(n-3),

化简得(n-2)(n-3)=90,

解得n=12或n=-7(舍),

故n=12.

(2)由题意

解得n,则n=10,

故=466.

19.(12分)将四个编号为1,2,3,4的相同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.(用数字作答)

(1)若每个盒子放一个小球,求有多少种放法;

(2)若每个盒子放一球,求恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数;

(3)求恰有一个空盒子的放法种数.

解(1)若每个盒子放一个小球,把四个编号为1,2,3,4的相同小球全排列,故有=24种.

(2)假设1号小球放在1号盒子内,先放2号小球,若2号小球放在3号盒子里,则3号小球只能放在4号盒子里,4号小球只能放在2号盒子里,有1种方法;

若2号小球放在4号盒子里,则3号小球只能放在2号盒子里,4号小球只能放在3号盒子里,有1种方法;

故恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法有2=8种.

(3)恰有一个空盒,则这4个盒子中只有3个盒子内有小球,

且小球数只能是1,1,2.

先从4个小球中任选2个放在一起,有种方法,

然后与其余2个小球看成三组,分别放入4个盒子中的3个盒子中,有种放法.

故由分步乘法计数原理知共有=144种不同的放法.

20.(12分)(2021福建连城校级月考)已知n的展开式中,前三项的系数依次成等差数列.

(1)求正整数n;

(2)求展开式中的有理项;

(3)求展开式中系数最大的项.

解(1)∵n的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,

则2=,化简可得n2-9n+8=0,解得n=1(舍去),或n=8.

(2)由于展开式的通项公式为Tr+1=r

由于当r=0,4,8时,x的幂指数为整数,

故有理项为T1=x4=x4,T5=4x=x,T9=8x-2=x-2.

(3)第r+1项的系数为r,其中,r=0,1,2,…,8,

检验可得,当r=2或3时,该项的系数r最大为7.

故展开式中系数最大的项为T3=7,T4=7

21.(12分)3名男生、4名女生按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数.

(1)选其中5人排成一排;

(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;

(3)全体站成一排,男、女各站在一起;

(4)全体站成一排,男生不能站在一起;

(5)全体站成一排,男不站排头也不站排尾.

解(1)选其中5人排成一排,不同的排队方案的方法有=2 520种.

(2)排成前后两排,前排3人,后排4人,不同的排队方案的方法有=5 040种.

(3)全体站成一排,男、女各站在一起,

有=288种方法.

(4)全体站成一排,男生不能站在一起,

有=1 440种方法;

(5)全体站成一排,男不站排头也不站排尾,有=1 440种方法.

22.(12分)在2x4+n(n∈N*)的展开式中.

(1)若存在常数项,求n的最小值.

(2)①展开式中二项式系数和为1 024;

②展开式中所有的系数和为243;

③展开式中第4项和第5项的二项式系数相等.在以上①②③中任选一项作答.

(ⅰ)求n;

(ⅱ)若展开式中存在常数项,求常数项;若不存在,请说明理由.

解(1)Tr+1=(2x4)n-rr=2n-rx4n-5r,

令4n-5r=0,可得n=r,

当r=4时,n有最小正整数值5.

(2)选①:(i)由题意得,2n=1 024,解得n=10.

(ii)2x4+10展开式的通项

Tr+1=(2x4)10-rr=210-rx40-5r,

当40-5r=0时,r=8.

故常数项为T9=22×x0=180.

选②:(i)由题意,令x=1,则3n=243,解得n=5.

(ii)2x4+5展开式的通项

Tr+1=(2x4)5-rr=25-rx20-5r,

当20-5r=0时,r=4.

此时,常数项为T5=21×x0=10.

选③:(i)由题得,解得n=7.

(ii)2x4+7展开式的通项

Tr+1=(2x4)7-rr=27-rx28-5r,

当28-5r=0时,r=5.6.

此时,r不是整数,因此无常数项.