高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.2 导数的运算课后作业题

课时跟踪检测 （十三）  基本初等函数的导数

1．[多选]以下运算正确的是(　　)

A.′＝  B.(cos x)′＝－sin x

C．(2x)′＝2xln 2  D.(lg x)′＝－

解析：选BC　因为′＝－，所以A不正确；因为(cos x)′＝－sin x，所以B正确；因为(2x)′＝2xln 2，所以C正确；因为(lg x)′＝，所以D不正确．故选B、C.

2．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线方程为(　　)

A．y＝x＋1  B.y＝2x＋1

C．y＝ex＋1  D.y＝x＋1

解析：选A　易得y′＝ex，根据导数的几何意义，可得所求切线的斜率k＝y′x＝0＝e0＝1，故所求切线方程为y＝x＋1.

3．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.  D.

解析：选B　∵s′＝t－，∴当t＝4时，s′＝·＝ .

4．若直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为(　　)

A．2  B.ln 2＋1

C．ln 2－1  D.ln 2

解析：选C　∵y＝ln x的导数y′＝，

∴令＝，得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．

代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.

5．[多选]在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为的点的坐标可能为(　　)

A．(1,1)  B.(－1，－1)

C.  D.

解析：选AB　因为f(x)＝，所以f′(x)＝－，

因为切线的倾斜角为，所以切线斜率为－1，

即f′(x)＝－＝－1，所以x＝±1，

则当x＝1时，f(1)＝1；当x＝－1时，f(1)＝－1，

故点的坐标为(1,1)或(－1，－1)．

6．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.

解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝，

所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1.

解得x＝1或x＝－，因为x＞0，所以x＝1.

答案：1

7．设坐标平面上的抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为________．

解析：显然点(a，a2)为抛物线C：y＝x2上的点，

∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．

令x＝0，得y＝－a2，

∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)．

答案：(0，－a2)

8．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为________．

解析：由题意，知切线l的斜率k＝4.设切点坐标为(x0，y0)．∵y′＝4x3，∴k＝4x＝4，解得x0＝1，∴切点为(1,1)，∴l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.

答案：4x－y－3＝0

9．求下列函数的导数：

(1)y＝cos2－sin2；

(2)y＝ .

解：(1)因为y＝cos2－sin2＝cos x，

所以y′＝(cos x)′＝－sin x，

所以函数y＝cos2－sin2的导数是y′＝－sin x.

(2)因为y′＝′＝＝x＝，

所以函数y＝ 的导数是y′＝.

10．(1)求曲线y＝在点B(1,1)处的切线方程；

(2)求曲线y＝ln x的斜率等于4的切线方程．

解：(1)设所求切线的斜率为k.

∵y′＝()′＝x，∴k＝y′x＝1＝，

∴曲线y＝在点B(1,1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.

(2)设切点坐标为(x0，y0)．

∵y′＝，曲线y＝ln x在点(x0，y0)处的切线的斜率等于4，

∴y′＝＝4，得x0＝，

∴y0＝－ln 4，

∴切点为，

∴所求切线方程为y＋ln 4＝4，

即4x－y－1－ln 4＝0.

1．若幂函数f(x)＝mxα的图象经过点A，则它在点A处的切线方程是(　　)

A．2x－y＝0  B.2x＋y＝0

C．4x－4y＋1＝0  D.4x＋4y＋1＝0

解析：选C　因为函数f(x)＝mxα为幂函数，所以m＝1.又幂函数f(x)＝xα的图象经过点A，所以α＝，所以f(x)＝x，f′(x)＝，f′＝1，所以f(x)的图象在点A处的切线方程为y－＝x－，即4x－4y＋1＝0.

2．过曲线y＝cos x上一点P且与曲线在点P处的切线垂直的直线的方程为(　　)

A．2x－y－＋＝0  B.x＋2y－－1＝0

C．2x－y－－＝0  D.x＋2y－＋1＝0

解析：选A　∵y＝cos x，∴y′＝－sin x，曲线在点P处的切线斜率是y′＝－sin＝－，∴过点P且与曲线在点P处的切线垂直的直线的斜率为，∴所求直线方程为y－＝，即2x－y－＋＝0.

3．已知f(x)＝logax(a>1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(2)，B＝f(3)－f(2)，C＝f′(3)，则(　　)

A．A>B>C  B.A>C>B

C．B>A>C  D.C>B>A

解析：选A　记M(2，f(2))，N(3，f(3)), 则由于B＝f(3)－f(2)＝表示直线MN的斜率，A＝f′(2)表示函数f(x)＝logax在点M处的切线的斜率，C＝f′(3)表示函数f(x)＝logax在点N处的切线的斜率．由f(x)的图象易得A>B>C.

4．已知点P在曲线y＝2sincos上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.∪

解析：选D　∵y＝2sincos＝sin x，∴y′＝cos x．由题意，知曲线在点P处的切线的斜率存在，设P(x0，y0)，则切线的斜率k＝tan α＝cos x0，∴－1≤tan α≤1.

∵0≤α<π，∴α∈∪.故选D.

5．已知点A，－1，B(2,1)，函数f(x)＝log2x.

(1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程．

(2)在曲线y＝f(x)上是否存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)设切点为(m，log2m)(m>0)．

因为f(x)＝log2x，所以f′(x)＝.

由题意可得＝，解得m＝e，

所以切线方程为y－log2e＝(x－e)，即y＝x.

(2)过点A，B(2,1)的直线的斜率为kAB＝.

假设存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，

设P(n，log2n)，≤n≤2，

则有＝，得n＝.

又＝ln <ln 2<ln e＝1，所以<<.

所以在曲线y＝f(x)上存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，且点P的横坐标为.