高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.1 对数运算课时练习

【优选】4.2.1 对数运算-2课时练习

一．单项选择

1．已知，，，则（    ）

A．b>a>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a

2．已知函数，，若，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

3．已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第i行第j列的数记为，如，则时，（    ）

A．54 B．18 C．9 D．6

4．已知，，，则．．的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

5．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

6．下列函数中最小值为4的是（    ）

A． B．

C． D．

7．已知，则，，的大小排序为（    ）

A． B． C． D．

8．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

9．在平面直角坐标系中，角（）的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过函数与的交点，角，则（    ）

A． B．

C． D．

10．设，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

11．若等比数列中的，是方程的两个根，则（    ）

A． B．1010 C． D．1011

12．已知实数a，b，c满足，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

13．函数的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象，则的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

14．已知，则a，b，c的大小关系是（    ）

A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>b>a

15．已知，，，则．．的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

16．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

17．已知函数，恒过定点，过定点的直线与坐标轴的正半轴相交，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

18．已知．分别是函数．的零点，则的值为（    ）

A． B． C．2 D．4

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】分析：根据指对幂公式化简利用中间量即可作出比较．

详解：，，.所以c>a>b.

故选：C

2．【答案】D

【解析】分析：由题意令，易得，令，应用导数研究单调性，进而求其最大值即可.

详解：由题意，令，

∴，，则，

令，则，而，

∴当时，，即单调增；当时，，即单调减，

∴当时，.

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：令用t表示m．n，构造，利用导数求最值.

3．【答案】A

【解析】分析：求出2021数列{2n-1}中的项数，再求出数阵中前44行．前45行的数的总个数，得2021在数阵里的行数，最后由2021所在行为数据规律得它所在列数而得解.

详解：奇数构成的数阵，令，解得，故2021是数阵中的第1011个数，

第1行到第i行一共有个奇数，

则第1行到第44行末一共有个奇数，第1行到第45行末一共有1035个数，所以2021位于第45行，

又第45行是从左到右依次递增，且共有45个奇数，

所以2021位于第45行，从左到右第21列，所以，

则.

故选：A

【点睛】

关键点睛：由数列的项构成数阵问题，求指定数的位置，确定该数在数列中的位置和求出数阵的前i行数的总个数是关键.

4．【答案】C

【解析】分析：结合导数求的单调性，可判断，令，结合对数的运算性质可判断出，从而可选出正确答案.

详解：解：设，则，当时，；

当时，，则在上单调递增，在上单调递减，

则当时，，即；

，则，所以，

故选：C．

【点睛】

思路点睛：

比较几个数的大小关系时，常用的思路是：1．求出函数的单调性，结合增减性进行判断；2．利用作差法，判断两数与零的关系；3．利用作商法，判断两数与1的关系.

5．【答案】A

【解析】分析：根据指对数的性质，比较指数式．对数式的大小.

详解：，

∴.

故选：A.

6．【答案】C

【解析】分析：根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．

详解：对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．

7．【答案】D

【解析】分析：方法一：首先设，利用指对互化，表示，，，再利用对数函数的图象判断大小；方法二：由条件可知，再利用对称运算，以及对数函数的图象和性质，比较大小.

详解：方法一：设.

则，，，

又，所以，可得.

方法二：由.

得，即

，

可得.

故选：D

【点睛】

关键点点睛：本题考查由条件等式，比较大小，本题的关键是熟悉指对数运算公式，变形，以及指数和对数函数的图象.

8．【答案】B

【解析】分析：由对数函数的性可知，再根据三角函数的性质可知，由此即可求出结果.

详解：因为，所以，即，

又，所以；

又，所以，即.

故选：B.

9．【答案】D

【解析】分析：首先函数特征判断函数和互为反函数，所以可判断，再计算，再判断函数值的范围，判断选项.

详解：因为互为反函数，其交点在上，

又，所以，而，所以，

所以.

故选:D.

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数性质与三角函数的综合应用，本题的关键是判断函数和互为反函数，从而确定角的大小.

10．【答案】C

【解析】分析：先证明,再利用对数函数的运算和单调性求解.

详解：因为在上为增函数，且，

所以．所以，

因为在上为增函数，且，

所以，

即，

故，

又因为，

所以．

故选：C．

【点睛】

方法点睛：实数大小的比较，一般先和0比，再和比，再和特殊值比较，再利用作差法和作商法比较. 多用到函数的单调性比较.

11．【答案】C

【解析】分析：根据等比数列性质求出，再利用对数的运算性质化简对数即得解.

详解：由题得，

根据等比数列性质知：，

于是，

则，

故选：C

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键有两点，其一，是求出；其二是化简对数式.

12．【答案】C

【解析】分析：分别求出，，的大致范围，即可比较，，的大小.

详解：由题意得，，故；

，

因，根据对勾函数得，因此；

由勾股数可知，又因且，故；

因此.

故选：C.

【点睛】

指数式．对数式的大小比较，常利用函数的单调性或中间值进行比较，要根据具体式子的特点，选择恰当的函数，有时还需要借助幂函数比较.对于比较的式子，要先化简转化，再比较大小.

13．【答案】D

【解析】分析：根据函数图象的变换，求得函数，根据当时，得到，可排除A．B；当时，得到，可排除C，进而求解.

详解：由题意，可得，其定义域为，

当时，，函数，

故排除A．B选项；

当时，0，故函数，故排除C选项；

当时，函数，

该函数图象可以看成将函数的图象向右平移一个单位得到，选项D符合.

故选：D.

14．【答案】B

【解析】分析：利用对数函数．指数函数和三角函数的性质判断.

详解：因为，

所以

故选：B

15．【答案】B

【解析】分析：根据指数函数．对数函数的性质可得，，，进而可得结果.

详解：∵，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴，

故选：B.

16．【答案】C

【解析】分析：把c用对数表示，根据式子结构，转化为比较的大小，分别与1和比较即可.

详解：，，

由得，.

因为，所以，，即.

下面比较a．b的大小关系：

（其中），

，所以

所以

所以.

故选：C.

【点睛】

指．对数比较大小：

（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；

（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0．1比较.

17．【答案】C

【解析】分析：求出，代入直线方程，再根据基本不等式可求出结果.

详解：令，即，得，则，

则且，，

由．

当且仅当，时，等号成立，

故选：C

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

18．【答案】C

【解析】分析：由题意为函数与的交点的横坐标，函数与的交点的横坐标，又由函数与函数互为反函数，其图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，从而交点也直线对称，可得答案.

详解：根据题意，已知．分别是函数．的零点，

函数的零点为函数与的交点的横坐标，

则两个函数图象的交点为，

函数的零点为函数与的交点的横坐标，

则两个函数图象的交点为，

又由函数与函数互为反函数，其图象关于直线对称，

而直线也关于直线对称，则点和也关于直线对称，则有，则有，

故选：C.

【点睛】

关键点睛：本题考查函数零点的定义，考查互为反函数的两个函数的图像关系，解答本题的关键是函数与函数互为反函数，其图象关于直线对称，从而得出点和也关于直线对称，从而得出答案，属于中档题.