数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线同步达标检测题

第三章　3.3.2

A级——基础过关练

1．我们把过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦做叫通径．抛物线x2＝－8y的通径为线段AB，则AB长是(　　)

A．2 B．4

C．8 D．1

【答案】C　【解析】由题意|AB|＝2p＝8.

2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝(　　)

A．6 B．8

C．9 D．10

【答案】B　【解析】由题意，p＝2，故抛物线的准线方程是x＝－1，因为过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，所以|AB|＝x1＋x2＋2.又x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝8.

3．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，点P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(　　)

A．18 B．24

C．36 D．48

【答案】C　【解析】不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x＝.代入y2＝2px得y＝±p，即|AB|＝2p，又|AB|＝12，故p＝6，所以抛物线的准线方程为x＝－3，故S△ABP＝×6×12＝36.

4．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是(　　)

A．或 B．或

C．或 D．

【答案】B　【解析】抛物线的焦点为.由题意知弦所在直线的斜率存在．设直线方程为y＝k，与方程y2＝6x联立得4k2x2－(12k2＋24)x＋9k2＝0.设直线与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．所以x1＋x2＝，所以x1＋x2＋3＝＋3＝12.所以k2＝1，所以k＝±1.故弦所在直线的倾斜角是或.

5．(2021年安庆模拟)设抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·的值是(　　)

A． B．－

C．3 D．－3

【答案】B　【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题可知p＝1，则·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－.

6．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.

【答案】2　【解析】双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－，0)，故抛物线y2＝2px的准线为x＝－，所以＝，所以p＝2.

7．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为12，则p＝________.

【答案】2　【解析】依题意，抛物线的焦点F的坐标为，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y－＝x，代入抛物线方程得y2－3py＋＝0，故y1＋y2＝3p，|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝4p.直角梯形ABCD有一个内角为45°.故|CD|＝|AB|＝×4p＝2p，梯形面积为(|BC|＋|AD|)×|CD|＝×3p×2p＝3p2＝12，解得p＝2.

8．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.

【答案】2　【解析】因为y2＝4x，所以p＝2，F(1,0)．又因为|AF|＝2，所以xA＋＝2，所以xA＋1＝2，所以xA＝1.故AB⊥x轴，点F为AB的中点，所以|BF|＝|AF|＝2.

9．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．

解：设抛物线y＝x2上一点P(x0，y0)到直线l：x－y－2＝0的距离为d，

则d＝＝

＝.

当x0＝时，dmin＝.

10．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为A，求抛物线与双曲线的方程．

解：由题意知，抛物线焦点在x轴上，开口方向向右，

可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，将交点A代入得p＝2，

故抛物线方程为y2＝4x.

因为双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，

所以双曲线的焦点坐标为F1(－1,0)和F2(1,0)，且c＝1.

又点A也在双曲线上，

因此由定义可得2a＝|AF1|－|AF2|＝－＝－＝1，

所以a＝，b＝＝，

故双曲线的方程为4x2－＝1.

B级——能力提升练

11．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点，且过A，B的抛物线方程是(　　)

A．y2＝x B．y2＝－x

C．y2＝±x D．y2＝±x

【答案】C　【解析】由抛物线的对称性及AB⊥x轴知抛物线的焦点在x轴上．设方程为y2＝nx(n≠0)．由题意，可令OA的方程为y＝x，且OA＝1，得A或A，代入y2＝nx，得n＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.

12．(多选)设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离可以是(　　)

A．2 B．3

C．4 D．5

【答案】BCD　【解析】因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，所以＝3，即p＝6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．

13．已知点O为坐标原点，点F为抛物线y2＝4x的焦点，点A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________．

【答案】(1,2)或(1，－2)　【解析】因为抛物线的焦点为F(1,0)，设A，则＝，＝，由·＝－4，得y0＝±2，所以点A的坐标是(1,2)或(1，－2)．

14．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)．直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为____________．

【答案】y＝x　【解析】由题意知抛物线的方程为y2＝4x，设直线l与抛物线C的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1≠x2，两式相减，得y－y＝4(x1－x2)，所以＝＝1，所以直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.

15．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．

解：如图，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，

且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y＝2px1，y＝2px2.

又OA＝OB，

所以x＋y＝x＋y，

即x－x＋2px1－2px2＝0，

整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.

因为x1>0，x2>0,2p>0，

所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，

即线段AB关于x轴对称．

由此得∠AOx＝30°，

所以y1＝x1，与y＝2px1联立，

解得y1＝2p.

所以|AB|＝2y1＝4p，即三角形的边长为4p.

16．点M(m,4)(m>0)为抛物线x2＝2py(p>0)上一点，F为其焦点，已知|FM|＝5.

(1)求m与p的值；

(2)以M点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求△FMN的面积．

解：(1)由抛物线定义知|FM|＝＋4＝5，

所以p＝2.所以抛物线的方徎为x2＝4y.

又由M(m,4)在抛物线上，所以m＝4.

故p＝2，m＝4.

(2)设过M点的切线方程为y－4＝k(x－4)，

代入抛物线方程消去y，得x2－4kx＋16k－16＝0，

其判别式Δ＝16k2－64(k－1)＝0，所以k＝2，

切线方程为y＝2x－4，

切线与y轴的交点为N(0，－4)，抛物线的焦点F(0,1)，

所以S△FMN＝|FN|·m＝×5×4＝10.

C级——探究创新练

17．抛物线x2＝y的焦点F的坐标为________，若该抛物线上有一点P满足|PF|＝，且P在第一象限，则点P的坐标为________．

【答案】　(1,1)　【解析】抛物线的焦点F的坐标为，其准线方程为y＝－，设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，根据抛物线定义，得y0＋＝，∴y0＝1，代入x＝y0，由于x0＞0，∴x0＝1.

18．如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.

(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；

(2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径．

解：(1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1.

由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)，

所以点C到准线l的距离d＝2.

又|CO|＝，

所以|MN|＝2＝2×＝2.

(2)设C，则圆C的方程为2＋(y－y0)2＝＋y，即x2－x＋y2－2y0y＝0.

由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋＝0，

设M(－1，y1)，N(－1，y2)，则

由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4，

所以＋1＝4，解得y0＝±，此时Δ>0.

所以圆心C的坐标为或，

从而|CO|2＝，|CO|＝，即圆C的半径为.