高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线精品同步测试题

2019新教材A版数学学科高二年级选择性必修第一册

3.3.2《抛物线的简单几何性质（二）》同步练习

一、     单选题：

1.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点到直线的距离是线段长度的2倍，则线段的长度为（  ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（    ）

A． B． C． D．2

3．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且焦距为，则抛物线

的准线方程为（    ）

A．    B． 

C．    D．

4.已知抛物线（）的准线与圆相交所得的弦长为，则的为（    ）

A． B．1 C．2 D．4

5.已知、是双曲线的左、右焦点，关于双曲线的一条渐近线的对称点为，且点在抛物线上，则双曲线的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．

二、多选题：

6. 已知抛物线过点则下列结论正确的是(        )

A．点P到抛物线焦点的距离为

B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为

D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N点则直线MN的斜率为定值.

7.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是（    ）

A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线是

C．的最小值是 D．线段AB的最小值是6

三、填空题： 

8.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则（    ）

9．已知点、，动点满足，则点的轨迹是（　　）

四、拓展题：

10. 已知是抛物线：上的任意一点，以为圆心的圆与直线相切且经过点，设斜率为1的直线与抛物线交于两点，求线段的中点的纵坐标．

五、创新题：

11. 已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与C交于P、Q(P在x轴上方)两点，若，求实数λ的值.

12． 已知F为抛物线（）的焦点，点，M为抛物线上任意一点， 的最小值为3，

（1）求P的值；

（2）若线段的垂直平分线交抛物线于P，Q两点，求四边形的面积．

同步练习答案

一、 选择题：

1.答案：B

解析：依题意，得F（1，0），抛物线的准线为x＝－1，

线段AF的长等于点A到准线x＝－1的距离，

因为点到直线的距离是线段长度的2倍，

所以，点到直线的距离是点A到准线x＝－1的距离的2倍，

设A点横坐标为，  则＋3＝2（＋1），   解得：＝1，

所以，｜AF｜＝1－（－1）＝2，故选B.

2．答案：B

解析：因为抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，

所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，故选B．

3．答案：B

解析：因为双曲线的两条渐近线互相垂直，

所以，又焦距为，所以，解得，

所以 ，所以抛物线的准线方程是，    故选B．

4．答案：C

解析：抛物线（）的准线方程为，

圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为2，

圆心到准线的距离为，   所以有，   解得．    故选C．

5．答案：D

解析：由题意可得过一三象限的渐近线方程为，

则点到的距离为，

所以在中，，，， ∴

由抛物线的定义可知，点到准线的距离等于点到的距离，

∴，∴，即，

∴，∴ (负值舍去)．    故选D.

 二、多选题：

6. 答案：B、C、D

解析：因为抛物线过点，      所以，

所以抛物线方程为，         焦点坐标为，

（1）对于A，，故A错误．

(2)对于B，，     所以，与联立得

，        所以，

所以，故B正确．

(3)对于C，依题意斜率存在，设直线方程为，

与联立得：，

，      解得，

所以切线方程为，故C正确．

(4)对于D， 依题意斜率存在，设，

与联立得：，

所以，    即，     则，

所以点，       同理，

所以，故D正确．         故选BCD.

7. 答案:B、C

解析：抛物线的焦点为，得抛物线的准线方程为，

点到焦点的距离等于3，可得，解得，

则抛物线的方程为，准线为，     故A错误，B正确；

由题知直线的斜率存在，，    设，，

直线的方程为，由，消去得，

所以，，   所以，

所以AB的中点Q的坐标为，

，

故线段AB的最小值是4，即D错误；

所以圆Q的半径为，

在等腰中，，

当且仅当时取等号，所以的最小值为，即C正确，    故选B、C．

三、填空题：

8. 答案：2

解析：因为抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，所以抛物线的焦点到双 曲线的渐近线的距离为，又因为，所以.

9.答案：抛物线.

解析：∵动点满足，∴，

∴，解得，∴点的轨迹是抛物线．

四、拓展题：

10.答案：2

解析：设，因为以为圆心的圆与直线相切且经过点，

所以，         又由，

即，         解得，

所以抛物线的方程为，    由       整理得，

可得，      所以线段的中点的纵坐标为

五．创新题：

11. 答案：

解析：由题意联立方程组，解得或

因为P在x轴上方，所以、，

因为抛物线C的方程为，所以，

所以，

因为，所以，

解得：

12．答案：  （1）2   ，  （2）   

解析：（1）过作抛物线的准线的垂线交抛物线于，交准线与于点，

由抛物线的性质可得，

所以，

由题意可得：，解得

（2）由（1）得，抛物线的方程为；

由抛物线的方程可得，，  所以的中点，，

，  所以的中垂线的方程为，即，

设，，，，

与抛物线联立，整理可得，

所以，，

所以弦，

，    所以；