数学必修 第一册3.2 指数函数的图像和性质课时作业

【精编】3.2 指数函数的图象和性质-3练习

一．填空题

1．已知函数（其中为常数，，且）的图象经过.若不等式在上恒成立，则实数的最大值为__________

2．不等式的解集是__________．

3．已知函数且恒过定点则_________．

4．当且时，函数的图象一定过点______.

5．不等式的解集为__________．

6．若函数，，若都，使得成立，则实数的取值范围是________.

7．方程的解集是______．

8．对于给定的函数下列正确的是________．(只需写出所有正确的编号)

①函数)的图象关于原点对称；

②函数在R上不具有单调性；

③函数(||)的图象关于y轴对称；

④当>1时，函数(||)的最大值是0；

⑤当0<<1时，函数(||)的最大值是0.

9．函数且的图象必经过点______．

10．已知指数函数在上为减函数； ，.则使“且”为真命题的实数的取值范围为______．

11．不等式的解集是__________．

12．函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是（用区间表示）__________

13．若直线与函数且的图象有两个公共点，则的取值范围是_____．

14．函数(a>0且a≠1)的图象经过的定点的坐标是_____

15．已知函数（且）的图象过定点，则点的坐标为_______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】由题意利用待定系数法求得函数表达式，进而构造函数，让最小值大于等于零即可.

【详解】

由已知可得，，

解得a＝3，b＝2，

即不等式在上恒成立，

设，

显然函数在上单调递减，

∴

故≥0，即

∴实数的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查函数解析式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

2．【答案】

【解析】分析：把不等式化为同底的不等式，利用指数函数的单调性即可求解．

详解：原不等式可以化为，所以，故或者，

不等式的解集为，填．

点睛：一般地，对于不等式，

（1）如果，则原不等式等价于 ；

（2）如果，则原不等式等价于 .

3．【答案】4

【解析】求解出点的坐标，从而得到结果.

【详解】

当时，

可知函数恒过

则：

本题正确结果：

【点睛】

本题考查函数定点问题，关键是通过的取值消除的影响，属于基础题.

4．【答案】

【解析】根据指数函数的性质可知，从而求得结果.

【详解】

因为，所以函数的图象一定过点.

故答案为：.

【点睛】

本题考查指数函数的概念和性质，注意到是解本题的关键，属基础题.

5．【答案】（-1，4）

【解析】分析：利用指数函数的单调性，转化为二次不等式问题.

详解：由可得：

∴，即

∴不等式的解集为（-1，4）

故答案为：（-1，4）

点睛：本题考查指数型不等式的解法，解题关键是利用指数函数的单调性转化为一元二次不等式问题即可.

6．【答案】

【解析】先分别求得函数与的值域，利用转化为集合间关系求解即可

【详解】

由题，故的值域为

又单调递增，故其值域为

，所以，解得

故答案为

【点睛】

本题考查二次函数值域，指数函数的值域，考查集合的包含关系，考查转化能力，是中档题

7．【答案】

【解析】利用换元法将方程转化为一元二次方程进行求解即可．

【详解】

由得，

设，则，

则原方程等价为，即，

解得或．

由，解得．

由，解得．

故方程的解集为．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查指数方程的求法，利用换元法将指数方程转化为一元二次方程是解决本题的一个技巧，要求熟练掌握．

8．【答案】①③④

【解析】∵(－x)＝－f(x)，∴(x)为奇函数，(x)的图象关于原点对称，①真；当a>1时，(x)在R上为增函数，当0<a<1时，(x)在R上为减函数，②假；y＝(|x|)是偶函数，其图象关于y轴对称，③真；当0<a<1时，y＝(|x|)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x＝0时，y＝(|x|)的最大值为0，④真；当a>1时，(x)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x＝0时，y＝(x)的最小值为0，⑤假，综上,正确的是①③④.

9．【答案】

【解析】令指数等于零，求得x．y的值，可得指数函数的图象经过定点的坐标．

【详解】

解：对于函数且，令，求得，，

可得它的图象经过定点，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．

10．【答案】

【解析】由指数函数的单调性和一元二次不等式有解得出命题和，然后取交集即可.

【详解】

解：由函数在上为减函数，故，即

所以命题

由，，得有解，故，即

所以命题

因为“且”为真命题

所以．都是真命题

所以

故答案为：.

【点睛】

本题考查了指数函数的单调性，一元二次不等式能成立问题，复合命题的真假性，属于基础题.

11．【答案】

【解析】分析：把不等式化为同底的不等式，利用指数函数的单调性即可求解．

详解：原不等式可以化为，所以，故或者，

不等式的解集为，填．

点睛：一般地，对于不等式，

（1）如果，则原不等式等价于 ；

（2）如果，则原不等式等价于 .

12．【答案】

【解析】作出函数的图象，结合图象可知实数的取值范围

【详解】

作出函数的图象：

由图可知，若函数的图象不经过第二象限，则将至少向下移动2个单位，则

故答案为：

【点睛】

本题考查了与指数相关的函数的图像与性质，考查了图像平移变换，属于中档题．

13．【答案】

【解析】先分和时两种情况，分别作出函数的图象，再由直线与函数且的图象有两个公共点，作出直线，平移直线，利用数形结合法，即可求解．

【详解】

（1）当时，作出函数的图象，如图所示，

若直线与函数且的图象有两个公共点，

由图象可知，解得；

（2）当时，作出函数的图象，如图所示，

若直线与函数且的图象有两个公共点，

由图象可知，此时无解，

综上所述，实数的取值范围是．

【点睛】

本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，正确作出函数的图象，利用数形结合法求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．

14．【答案】

【解析】

由函数图象的变换可知，的图象过定点，的图象过定点，的图象过定点，

所以，的图象过定点．

考点：指数函数的图象，函数图象的平移．伸缩变换．

15．【答案】.

【解析】令，可得，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，令，可得，

所以函数（且）的图象过定点.

【点睛】

本题主要考查了指数函数的过定点问题，其中解答中根据函数的解析式，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.