2020-2021学年第三章 指数运算与指数函数3 指数函数3.2 指数函数的图像和性质教学设计及反思

【新教材】4.2.2 指数函数的图像和性质（人教A版）

    本节课在已学指数函数的概念，接着研究指数函数的图像和性质，从而深化学生对指数函数的理解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究对数函数幂函数等其它函数打下基础。另外，我们日常生活中的很多方面都涉及到了指数函数的知识，例如细胞分裂，放射性物质衰变，贷款利率等，所以学习这一节具有很大的现实价值。

课程目标

1、掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；

2、通过观察图象，分析、归纳、总结指数函数的性质；

3、在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.

数学学科素养

   1.数学抽象：指数函数的图像与性质；

   2.逻辑推理：图像平移问题；

   3.数学运算：求函数的定义域与值域；

   4.数据分析：利用指数函数的性质比较两个函数值的大小：

   5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.

重点：指数函数的图象和性质；

难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 情景导入

 请学生用三点画图法画图像，观察两个函数图像猜测指数函数有哪些性质？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、 预习课本，引入新课

阅读课本116-117页，思考并完成以下问题

1. 结合指数函数的图象，可归纳出指数函数具有哪些性质？

2. 指数函数的图象过哪个定点？如何求指数型函数的定义域和值域问题？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、 新知探究

1、指数函数的图象和性质

四、典例分析、举一反三

题型一     指数函数的图象问题

题点一：指数型函数过定点问题

例1 函数y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点________．

【答案】(3,4)

【解析】因为指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)．

题点二：指数型函数图象中数据判断

例2 函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a＞1，b＜0      B．a＞1，b＞0

C．0＜a＜1，b＞0      D. 0＜a＜1，b＜0

【答案】D

【解析】从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0.

题点三：作指数型函数的图象

例3 画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．

(1)y＝2x＋1；(2)y＝－2x.

【答案】见解析

【解析】如图．(1)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位

长度得到的；

(2)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称．

解题技巧：（指数函数的图像问题）

1.指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大.

无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与直线x=1相交于点(1,a),因此,直线x=1与各图象交点的纵坐标即为底数,由此可得底数的大小.

2.因为函数y=ax的图象恒过点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).

3.指数函数y=ax与y=  (a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.

4.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性.

跟踪训练一

1、如图是指数函数:①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是(　　)

A.a<b<1<c<d        B.b<a<1<d<c

C.1<a<b<c<d        D.a<b<1<d<c

2、已知函数f(x)=ax+1+3的图象一定过点P,则点P的坐标是　　. 

3、函数y= 的图象有什么特征?你能根据图象指出其值域和单调区间吗?

【答案】1. B    2. (-1,4)    3. 原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).

 【解析】1、解析:(方法一)①②中函数的底数小于1且大于0,在y轴右边,底数越小,图象

向下越靠近x轴,故有b<a,③④中函数的底数大于1,在y轴右边,底数越大,

图象向上越靠近y轴,故有d<c.故选B.

(方法二)作直线x=1,与函数①,②,③,④的图象分别交于A,B,C,D四点,

将x=1代入各个函数可得函数值等于底数值,

所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大.

由图可知b<a<1<d<c.故选B.

答案:B

2、解析:∵当x+1=0,即x=-1时,f(x)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3恒过(-1,4)点.

3、解:∵y=

∴其图象由y=(x≥0)和y=2x(x<0)的图象合并而成.

而y=(x>0)和y=2x(x<0)的图象关于y轴对称,所以原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).

题型二   指数函数的性质及其应用

题点一：比较两个函数值的大小

例4 比较下列各题中两个值的大小:

（1）

（2）

（3）1.70.3  与 0.93.1

【答案】(1)  1.72.5<1.73     (2)     （3）1.70.3 >  0.93.1

【解析】(1)(单调性法)由于的底数是1.7,故构造函数y=1.7x,而函数y=1.7x在R上是

增函数.又2.5<3,∴1.72.5<1.73

(2)(单调性法)由于的底数是0.8,故构造函数y=0.8x,而函数y=0.8x在R上是减函数.又，所以

（3）(中间量法)由指数函数的性质,知0.93.1<0.90=1,1.70.3>1.70=1,则1.70.3 >  0.93.1

题点二：指数函数的定义域与值域问题

例5 求下列函数的定义域与值域

(1)y=;　(2)y=.

【答案】(1)定义域为{x|x∈R,且x≠4}, 值域为(0,1)∪(1,+∞).        

(2)定义域为R, 值域为[1,+∞).                   

【解析】(1)∵由x-4≠0,得x≠4,

∴函数的定义域为{x|x∈R,且x≠4}.∵≠0,∴≠1.∴y=的值域为(0,1)∪(1,+∞).

（2）函数的定义域为R.∵|x|≥0,∴y==1.

故y=的值域为[1,+∞).

解题技巧：（指数函数的性质及其应用）

1.函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的定义域、值域:

(1)定义域的求法.函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同.

(2)函数y=af(x)的值域的求法如下.

①换元,令t=f(x);

②求t=f(x)的定义域x∈D;

③求t=f(x)的值域t∈M;

④利用y=at的单调性求y=at(t∈M)的值域.

2.比较幂的大小的常用方法:

跟踪训练二

1、比较下面两个数的大小:

(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).

2、比较下列各题中两个值的大小:

①2.53,2.55.7;

②1.5-7,;

③2.3-0.28,0.67-3.1.

【答案】1.当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;当1<a<2时,(a-1)1.3>(a-1)2.4.

2.① 2.53<2.55.7.       .②1.5-7>.     ③ 2.3-0.28<0.67-3.1.

【解析】1、因为a>1,且a≠2,所以a-1>0,且a-1≠1,

若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.

若0<a-1<1,即1<a<2,则y=(a-1)x是减函数,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.

故当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;

当1<a<2时,(a-1)1.3>(a-1)2.4.

2.①(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R上是增函数.

又3<5.7,∴2.53<2.55.7.

②(化同底)1.5-7=,,构造函数y=.

∵0<<1,∴y=在R上是减函数.又7<12,∴,即1.5-7>.

③(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,则2.3-0.28<0.67-3.1.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本118页习题4.2

本节通过运用指数函数的图像及应用解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养.