2020-2021学年3.2 指数函数的图像和性质教学设计及反思

课程目标

学科素养

1、能画出具体指数函数的图象；

2、在观察指数函数图像基础上，归纳出指数函数的性质，能应用解决简单的问题；

3、在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；

a.数学抽象：指数函数的性质；

b.逻辑推理：类比法学习指数函数性质；

c.数学运算：运用指数函数性质解决问题；

d.直观想象：指数函数图像；

e.数学建模：在实际问题中建立指数函数模型；

教学过程

设计意图

核心教学素养目标

（一）、创设问题情境

你能说说研究函数的一般步骤和方法吗？

（二）、探索新知

问题１　用描点法作函数

1.列表   2.描点     3.连线.

用描点法作函数

观察这四个图像有何特点？

问题1：图象分别在哪几个象限？

问题2：图象的上升、下降与底数a有联系吗？

问题3：图象有哪些特殊的点？

问题4：图象定义域和值域范围？

           指数函数的图像与性质

（三）典例解析

例3：说出下列各题中两个值的大小：

(1)1.72.5__ 1.73；(2)0.8—1__0.8—2；(3)1.70.5__ 0.82.5

解：① ∵函数y=1.7x在R上是增函数，又∵ 2.5 < 3  ，

∴1.72.5  < 1.73

② ∵函数y=0.8x在R上是减函数，又∵ -1  >  -2  ，

∴ 0.8—1 < 0.8 — 2

③  ∵ 1.7 0.5   > 1.70  =  1= 0.80 >0.8 2.5  ， ∴1.70.5 > 0.82.5

[规律方法]　比较幂的大小的方法

1同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较

2指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小

3底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较

4当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论

例4：如图，某城市人口呈指数增长．

（１）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；

（２）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？

分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中

选取适当的点计算倍增期．

（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系．

解：（1）观察图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年．

（２）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番．因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人．

开门见山，通过对函数研究的一般方法回顾，提出研究方法。培养和发展逻辑推理和数学建模的核心素养。

探究问题：

问题1.通过对特殊的指数函数图像观察，归纳出指数函数的性质；发展学生数学抽象、数学建模和逻辑推理等核心素养；

通过典例问题的分析，让学生运用指数函数的性质解决问题。培养分析问题与解决问题的能力，深化对函数思想的理解。

通过典例分析，进一步熟悉指数函数的性质，及认识到指数函数变化迅速的特点；

三、当堂达标

1．若2x＋1<1，则x的取值范围是(　　)

A．(－1,1)   B．(－1，＋∞)   C．(0,1)∪(1，＋∞)   D．(－∞，－1)

【答案】D　[∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，∴x＋1<0，∴x<－1.]

2．下列判断正确的是(　　)

A．1.72.5＞1.73    B．0.82＜0.83   C．π2＜π   D．0.90.3＞0.90.5

【答案】D　[∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.]

3．函数y＝1－x的单调增区间为(　　)

A．R        B．(0，＋∞)    C．(1，＋∞)   D．(0,1)

【答案】A　[令u(x)＝1－x，则u(x)在R上是减函数，又y＝u(x)是减函数，

故y＝1－x在R上单调递增，故选A.]

4．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________.

【答案】m<n　[∵a＝∈(0,1)，∴f(x)＝ax在R上是减函数，又f(m)>f(n)，∴m<n.]

5．设f(x)＝3x，g(x)＝x.

(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；

(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？

【答案】　(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：

(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3，f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π，

f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m.

从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．

6．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点.

(1)比较f(2)与f(b2＋2)的大小；

(2)求函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域．

【答案】　(1)由已知得a2＝，解得a＝，因为f(x)＝x在R上递减，则2≤b2＋2，

所以f(2)≥f(b2＋2)．

(2)因为x≥0，所以x2－2x≥－1，所以x2－2x≤3，即函数g(x)＝ax2－2x

(x≥0)的值域为(0,3]．

通过练习巩固本节所学知识，巩固指数函数的图像和性质，增强学生的数学抽象和数学直观和数学运算的素养。

四、小结

1、指数函数的图像及其性质；

2、指数比较大小的方法；

五、作业

1. 课时练   2. 预习下节课内容

学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；