北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数3 指数函数3.2 指数函数的图像和性质教案

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数3 指数函数3.2 指数函数的图像和性质教案，共8页。教案主要包含了教学重点，教学难点等内容，欢迎下载使用。


《指数函数及其性质》
◆ 教材分析
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法， 如推广的思想 （指数幂运算律的推广） 、
类比的思想、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂） 、数形结合的思想（用指数函
数的图像研究指数函数的性质） 等， 同时， 编写时充分关注与实际问题的结合，体现数学的
应用价值．
根据本节内容的特点， 教学中要注意发挥信息技术的力量， 尽量利用计算器和计算机创
设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支持．
◆ 教学目标
1．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，掌握指数函数的性质．
2．采用具体到一般、数形结合的思想方法，体会研究具体函数的性质．
3．使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实其他学科的联系；感受探究未知
世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感．
◆ 教学重难点
【教学重点】
掌握指数函数的概念和性质．
【教学难点】
用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．
◆ 课前准备
引导学生通过实际问题了解指数函数的实际背景， 通过本节课导学案的使用和预习， 初
步理解指数函数的概念和意义，根据图像理解指数函数的性质，带着问题学习．
◆ 教学过程
（一）创设情景，揭示课题
1．对任意实数 x， 3x 的值存在吗？（ -3） x 的值存在吗？ 1x 的值存在吗？
2． y=3x是函数吗？若是，这是什么类型的函数？ 1 / 4
3． （备选引例）
（ 1）思考 1：用清水漂洗含 1 个质量单位污垢的衣服，若每次能洗去残留污垢的，则
漂洗 x 次后，衣服上的残留污垢 y 与 x 的函数关系是什么？
（2）（合作讨论） 人口问题是全球性问题， 由于全球人口迅猛增加， 已引起全世界关注． 世
界人口 2000 年大约是 60 亿， 而且以每年 1． 3%的增长率增长， 按照这种增长速度， 到 2050
年世界人口将达到 100 多亿，大有 “人口爆炸 ”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟， 并把每年的 7 月 11 日定为 “世界人口日 ”，呼吁各国要控制人口增长．
○1按照上述材料中的 1． 3%的增长率，从 2000 年起， x 年后我国的人口将达到 2000
年的多少倍？
○2到 2050 年我国的人口将达到多少？
○3你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？
（ 3）上一节中 GDP 问题中时间 x 与 GDP 值 y 的对应关系 y=1． 073x （ x∈N*， x≤20） 能否构成函数？
（4）一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的 84%，那么
以时间 x 年为自变量，残留量 y 的函数关系式是什么？
提出问题：上面的几个函数有什么共同特征？
（二）研探新知
1．指数函数的概念
一般地，函数 y ax( a 0, 且a 1) 叫做 指数函数 （expnential functin ），其中 x是自
变量，函数的定义域为 R．
注意：
○1指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；
○2注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和 1． 巩固练习：利用指数函数的定义解决． （教材 P68 例 2． \l "_bkmark1" 3）
2．指数函数的图像和性质
问题： 你能类比前面讨论函数性质时的思路， 提出研究指数函数性质的内容和方法吗？
研究方法：画出函数的图像，结合图像研究函数的性质．
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、
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
探索研究：
思考 1：在同一坐标系中画出下列函数的图像：
（ 1） y ( 1 )x 3
（2） y ( 1 ) x
（ 3） y 2x
（4） y 3x
（ 5） y 5x
思考 2：从画出的图像中你能发现函数 y
可否利用 y 2x 的图像画出 y ( 1)x 的图像？
2x 的图像和函数 y ( 1)x 的图像有什么关系？
思考 3：从画出的图像（ y 2x y 3x和 y 5x ）中，你能发现函数的图像与其底
数之间有什么样的规律？
思考 4：你能根据指数函数的图像的特征归纳出指数函数的性质吗？
图像特征
a 1 0 a
向 x、 y 轴正负方向无限延伸
函数性质
1 a 1 0 a 1 函数的定义域为 R
图像关于原点和 y 轴不对称
函数图像都在 x 轴上方
非奇非偶函数
函数的值域为 R+
函数图像都过定点（ 0， 1）
a0 1
增函数 减函数
x 0 ,ax 1 x 0, ax 1
x 0 , ax 1 x 0 , ax 1
函数值开始增长较 函数值开始减小极
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自左向右看，
图像逐渐上升
在第一象限内的图
像纵坐标都大于 1
在第二象限内的图
像纵坐标都小于 1
图像上升趋势是越
自左向右看，
图像逐渐下降
在第一象限内的图
像纵坐标都小于 1
在第二象限内的图
像纵坐标都大于 1
图像上升趋势是越
来越陡 来越缓 慢，到了某一值后
增长速度极快；
快，到了某一值后
减小速度较慢；
思考 5：利用函数的单调性，结合图像还可以看出：
（ 1）在 [ a， b]上， f ( x) ax ( a 0且 a 1) 值域是 [ f (a), f (b)] 或 [ f (b), f (a)]；
（2）若 x 0 ，则 f ( x) 1； f (x) 取遍所有正数当且仅当 x R；
（ 3）对于指数函数 f ( x) ax (a 0且a 1) ，总有 f (1) a ；
（三）例题讲解
例 1．判断下列函数是否为指数函数？
(1) y x3 (2) y (a2 1)x (3) y
x 1
2
x
(4) y 5 x (5) y 32 (6) y 4x 1
问题：你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？
例 2．已知函数 f （x）＝ ax （a＞ 0， a≠1）的图像过点（ 3， ），求 f （0）， f （1）， f
（-3）的值．
问题：你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？
说明：规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式．
（四）课堂练习
教材对应习题．
（五）课堂小结
本节主要学习了指数函数的图像，及利用图像研究函数性质的方法．
（六） 布置作业
教材对应习题．
◆ 教学反思
略．
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