八年级数学湘教版下册 4.1 函数和它的表示法 PPT课件+教案+习题

4.1.1 变量与函数

教学目标

知识与技能：借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量。初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。

过程与方法：借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简。

情感态度与价值观：从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣。学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。

重点: 借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念

难点: 怎样理解“唯一对应”

教学过程：

一、创设情境、导入新课

我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的。例如，地球在宇宙中的运动这一问题，此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化而变化，这是生活中的常识，学生都很容易理解。再例如，气温随着高度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增长。这几个问题中都涉及两个量的关系，地球的位置与时间，温度与高度，年龄与时间。

二、合作交流、解读探究

1、气温问题：下图是北京春季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回答：

（1）这天的8时的气温是   ℃，14时的气温是   ℃，最高气温是   ℃，最低气温是   ℃。

（2）这一天中，在4时~12时，气温（   ），在16时~24时，气温（   ）。

A.持续升高       B.持续降低      C.持续不变

思考：

（1）气温随   的变化而变化，即T随   的变化而变化。

（2）当时间t取定一个确定的值时，对应的温度T的取值是否唯一确定？

 2、当正方形的边长x分别取1、2、3、4、5、6、7，……时，正方形的面积S分别是多少？

 3、某城市居民用的天然气，1m3收费2.88元，使用xm3天然气应缴纳费用y=2.88x ,当x=10时，缴纳的费用为多少？

   思考：上述三个问题，分别涉及哪些量的关系？哪些量是变化的？哪些量是不变的？哪个量的变化导致另一个量的变化而变化？在一个问题中，当一个量取了确定的值之后，另一个量对应的能取几个值？

在上面的三个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），变化的量叫作变量；有些量的值始终不变（如正方形的面积……）。并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定，且它的对应值只有一个。

教师根据学生的回答，在黑板上板书：

时间－－－－气温

正方形的边长－－－－正方形的面积

天然气的费用－－－－－－－－天然气的体积

学生们会得出：

师生对上述三个问题进行分析，找出它们的共性，归纳出函数的概念。

在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y总有唯一的值与它对应，我们就说x是自变量，y是x的函数。

三、应用迁移、巩固提高

例1 已知圆柱的高是4cm，底面半径长是rcm，当圆柱的底面半径长r由小变大时，圆柱的体积Vcm3是r的函数。

（1）用含r的代数式表示圆柱的体积V，指出自变量r的取值范围；

（2）当r=5,10时，V是多少（结果保留）？

（3）r的变化会引起圆柱中哪些量发生变化？这些变量是半径长r的函数吗？

（4）试求体积V随r变化的关系式，并指出其中的常量、变量与自变量。

课堂练习

1. 请同学们找出这些函数的常量、变量、自变量和函数：

(1)  y =3000-300x；  

(2) y=x；    

(3) S=。

解：(1)常量是3000，-300；变量是x，y；自变量是x；y是x的函数。

(2)  常量是1；变量是x，y；自变量是x；y是x的函数。

(3)常量是π；变量是r，S；自变量是r；S是r的函数。

2. 根据所给的条件，写出y与x的函数关系式：

①       y 比 x的少2。

②       y是x的倒数的4倍。

 ③ 矩形的周长是18 cm ,它的长是ycm，宽是x cm。

 ④ 等腰三角形的顶角度数y与底角x的关系。

 四、全课小结

1．这一节课你有什么收获？还有什么疑问？你可以编一道题考一考同学，也可以向同学请教。

2．函数是一种“数”吗？

五、作业：

教材习题4.1A组 1题

课后反思：

4.1.2  函数的表示法

教学目标:

知识与技能：1.了解函数的三种表示法：(1)公式法；(2)列表法；(3)图象法。2.进一步理解函数值的概念。3.会在简单情况下，根据函数的表达式求函数的值。

过程与方法：1. 经历回顾思考，训练提高归纳总结能力。 2. 利用数形结合思想，根据具体情况选用适当方法解决问题的能力。

情感态度与价值观：积极参与活动，提高学习兴趣。

重点: 认清函数的不同表示方法，知道各自的优缺点，能按具体情况选用适当的方法。

难点: 函数表示方法的应用

教学过程：

一、创设情境

问题1 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元／时计算。设小明的哥哥这个月工作的时间为时，应得的报酬为元，填写下表后回答下列问题：

（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量16，变量、）

（2）能用的代数式来表示的值吗？（能，=16）

教师指出：在这个变化过程中，有两个变量，，对的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应。

问题2  跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离(米)与助跑的速度(米／秒)有关。根据经验，跳远的距离(0<<10.5)， 然后回答下列问题：

（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量0.085，变量、）

（2）计算当分别为7.5，8，8.5时，相应的跳远距离是多少(结果保留3位小数)?

(3)给定一个的值，你能求出相应的的值吗?

教师指出：在这个变化过程中，有两个变量，，对的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应。

二、探究新知

 函数的表示法：①公式法：在问题1、2中，=16和这两个函数用等式来表示，这种表示函数关系的等式，叫作函数的表达式，简称函数式。用函数表达式表示函数的方法也叫公式法。

②列表法：有时把自变量的一系列值和函数的对应值列成一个表。这种表示函数关系的方法是列表法。

③图象法: 我们还可以用图象法来表示函数。

教师指出：（1）公式法、列表法、图象法是表示函数的三种方法，都很重要。尤其是列表法、图象法在今后代数、统计领域的学习中经常用到，教学中应引起学生的重视。

（2）对于列表法，图象法，如何表示两个变量之间的函数关系，学生可能不太容易理解，教学中可以用课本表和图来具体说明它们表示两个变量之间的函数关系的方法。

（3）函数值概念：与自变量对应的值叫作函数值，它与自变量的取值有关，通常函数值随着自变量的变化而变化。

若函数用公式法表示，只需把自变量的值代入函数式，就能得到相应的函数值。例如，函数=16，当=5时，把它代入函数解析式，得=16×5=80。=80叫作当自变量=5时的函数值。由于函数值的概念是由函数的概念派生出来，用列表法、图象法表示函数时同样存在函数值的概念，教学中也可以增加一些具体例子，来加深学生的印象。

若函数用列表法表示。我们可以通过查表得到。例如，在正方形面积与边长的函数关系中，当x=2时，函数值S=4；当x=6时，函数值S=36。

若函数用图象法表示。例如，在骑车时热量消耗(焦)与身体质量(千克)之间的函数关系中，对给定的自变量的值，怎样求它的函数值呢？如x=50，我们只要作一直线垂直于x轴，且垂足为点(50，0)，这条直线与图象的交点P(50，399)的纵坐标就是当函数x=50时的函数值，即W=399(焦)。

学生看书自学动脑筋和例2内容并完成练习。

  三、应用迁移、巩固提高

例1 等腰三角形ABC的周长为20，底边BC长为，腰AB长为，求：

（1）关于的函数解析式；

（2）当腰长AB=7时，底边的长；

（3）当=11和=4时，函数值是多少？

解：（1）=20-2；

（2）当腰长AB=7，即=7时，=6，所以底边长为6；

（3）当=11和=4时，函数值不再有意义。

说明（1）第1问中的函数解析式不能写成的形式，一定要把写成关于的代数式，（2）在实际问题中，自变量的取值范围往往受到条件的限制，此题自变量的取值范围是5<<10,具体的求法本节课不作介绍，放到下一节课中去完成，当=11和=4时，尽管可求出它对应的值，但自变量的值都不在相应的取值范围内，因此当=11和=4时，函数值不再有意义。

例2  某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表:

（1）y是x的函数吗？为什么？

（2）分别求当x=10,16,20时的函数值，并说明它的实际意义。

解：（1）是，根据函数的概念，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值；

（2）当x=10时，y=4×10=40。月用水量10吨度需缴水费40元；

当x=16时，y=4×12+4×4.50=66。月用水量16吨需缴水费66元；

当x=20时，y=4×12+6×4.50+2×5=85。月用水量45吨需缴水费85元。

说明 本例安排的目的有两个：①是让学生进一步巩固函数的概念；②让学生体会当函数用列表法给出时函数值的求法。本例教学时教师应向学生解释“收费实行阶梯水价”的含义，即月用水量不超过12吨时每吨4.00元，超过12吨不超过18吨时每4.50元，超过18吨时每吨5.00元，如月用水量为38吨时，应缴水费y =4×12+6×4.5+5×20=175（元）。

四、课堂小结：

 1、我们认识了函数的三种不同的表示方法：(1)公式法；(2)列表法；(3)图象法。并归纳总结出三种表示方法的优缺点，学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决相关问题，进一步知道了函数三种不同表示方法之间可以转化。

其实函数图象与函数性质之间存在着必然联系，我们可以归纳如下：

          图象特征              函数变化规律

    由左至右曲线呈上升状态y随x的增大而增大

    由左至右曲线呈下降状态y随x的增大而减小

    曲线上的最高点是（a，b）x=a时，y有最大值b

    曲线上的最低点是（a，b）x=a时，y有最小值b

 2、能够分析图象信息，解答有关问题。通过例题学会了用描点法画出函数图象，这样我们又一次利用了数形结合的思想。

五、作业  

课本习题4.1第2、3、4、5、6、7题

课后反思：