2021-2022学年安徽省芜湖市华星学校高一（下）第一次月考数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年安徽省芜湖市华星学校高一（下）第一次月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 在平行四边形中，(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在中，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则边等于(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列说法错误的是(    )

A. 向量 与向量长度相等 B. 单位向量都相等
C. 向量的模可以比较大小 D. 任一非零向量都可以平行移动

4. 已知向量，，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在中，“”是“”的(    )

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

6. 若三角形的三边长分别是，，，则这个三角形的形状是(    )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定

7. 在正方形中，为的中点，为的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在中，已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 已知，，是三个平面向量，则下列叙述错误的是(    )

A. 若，则
B. 若，且，则
C. 若，，则
D. 若，则

10. 下列关于复数的说法，其中正确的是(    )

A. 复数是实数的充要条件是
B. 复数是纯虚数的充要条件是
C. 若，互为共轭复数，则是实数
D. 若，互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于轴对称

11. 不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是(    )

A. ，，，有两解
B. ，，，有一解
C. ，，，无解
D. ，，，有两解

12. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则角可能等于(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知向量，则______．
14. 若为实数，复数，则______．
15. 已知向量，，则与的夹角余弦值为______．
16. 在中，角，，所对的边分别为，，，，则的面积为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，解三角形．
18. 已知向量，．
    若，求；
    若，求在上的投影向量．
19. 已知，，，向量与的夹角为，向量与的夹角为，计算：
    ；
     
20. 已知的内角，，的对边分别为，，，．
    求；
    若，求面积的最大值．
21. 台风中心从地以的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险区，城市在地正东处，求城市处于危险区内的时间．
22. 如图，正方形的边长为，以边为直径作半圆，为半圆上的动点，且，．
    设，，用，分别表示和；
    求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的运算，考查向量加减法混合运算法则等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
由平行四边形性质得：，由此能求出结果．

【解答】

解：如图，在平行四边形中，

．
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：由余弦定理得，．
故选：．
由已知结合余弦定理即可直接求解．
本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平面向量的概念，属于基础题．
根据平面向量的有关定义进行分析判断．
【解答】
解：对于，和长度相等，方向相反，故A正确；
对于，单位向量长度都为，但方向不确定，故B错误；
对于，向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确；
对于，向量只与长度和方向有关，无位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，即D正确．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，向量，，
若，则，则；
故选：．
根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得，解可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：在中，由，或．
“”是“”的必要非充分条件，
故选：．
在中，由，或即可判断出．
本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：三角形最大边长为，则设最大边长对应的角为，
则，
则，
所以三角形为钝角三角形，
故选：．
根据大边对大角，求出最大角的值，再判断形状即可．
本题主要考查三角形形状的判断，根据大角对大边求出最大角的值是解决本题的关键，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：
．
故选：．
可画出图形，根据向量加法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算即可表示出向量．
本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由余弦定理得，
整理得，
解得或舍．
故选：．
由已知结合余弦定理即可直接求解．
本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于选项A，若，则，即选项A正确；
对于选项B，若，且，则，即或，即选项B错误；
对于选项C，若，，当时，则；当时，与的关系不确定，即选项C错误；
对于选项D，若，则，又，即，即选项D正确，
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合向量共线及垂直的运算逐一判断即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了向量共线及垂直的运算，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于选项A：复数是实数的充要条件是，所以选项A正确；
对于选项B：复数是纯虚数的充要条件是且，所以选项B错误；
对于选项C：若，互为共轭复数，不妨设，则，所以，所以选项C正确；
对于选项D：若，互为共轭复数，不妨设，则，则它们在复平面内所对应的点分别为和，关于轴对称，所以选项D错误，
故选：．
利用实数和纯虚数的概念即可判定选项A正确，选项B错误，再利用共轭复数的定义即可判定选项C正确，选项D错误．
本题主要考查了复数的概念以及共轭复数的定义，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理的应用，属于中档题．
根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．

【解答】

解：对于，，，，由正弦定理可得，，即，只有一解，故A错误；
对于，，，，由正弦定理可得，，又，只有一解，故B正确；
对于，，，，由正弦定理可得，，即无解，故C正确；
对于，，，，由正弦定理可得，，即无解，故D错误．
故选：．

12.【答案】 

【解析】解：因为，
又由余弦定理，
若，则，化简可得，故A错误；
若，则，化简可得，故B正确；
若，则，化简可得，故C正确；
若，则，化简可得，故D正确．
故选：．
由已知利用余弦定理可得，将各个选项的的值代入，求解的值即可判断．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：向量，
，
故答案为：．
根据向量的求模公式求出向量的模即可．
本题考查了向量的求模问题，考查对应思想，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：复数，
复数为实数，
即且，
解得：．
所以，则，
故答案为：．
由复数，可得复数为实数，即有虚部为再求解即可．
本题考查复数的基本概念，复数的模，考查了一元二次方程的解法，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据向量夹角的余弦公式、数量积的坐标运算和根据向量坐标求向量长度的方法求解即可．
本题考查了根据向量的坐标求向量长度的方法，向量坐标的数量积运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为，，
由余弦定理得，
整理得，
解得舍负，
所以的面积．
故答案为：．
由已知结合余弦定理先求出，然后结合三角形面积公式可求．
本题主要考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题．
 

17.【答案】解：，，
由正弦定理得：，
，． 

【解析】根据内角和定理计算，利用正弦定理求出，．
本题考查了利用正弦定理解三角形，属于基础题．
 

18.【答案】解：，分
由，得，
解得或分
当时，，
，分
则与方向相同的单位向量分
设与的夹角为，
则所求投影向量分
分 

【解析】先求出，，再由，能求出．
当时，，求出和与方向相同的单位向量，由此能求出在上的投影向量．
本题考查平面向量的运算，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质、投影等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
 

19.【答案】解：由，，向量与的夹角为，
则，
即；
由，，向量与的夹角为，
则，
则． 

【解析】由平面向量数量积运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，属基础题．
 

20.【答案】解：，
由正弦定理有，，即，
又，
，
又为内角，则；
由余弦定理有，，即，当且仅当时等号成立，
，即面积的最大值为． 

【解析】根据已知条件结合正弦定理可得，进而求得；
由余弦定理及三角形的面积公式可得，再由三角形的面积公式可求得最值．
本题考查利用三角恒等变换求值，考查正余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的运用，同时还考查了基本不等式的运用，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：根据题意画出相应的图形，如图所示，可得，
为等腰直角三角形，且，
根据勾股定理得：，
作，可得，
在中，根据勾股定理得：，
，
则城市处于危险区内的时间为． 

【解析】根据题意画出相应的图形，如图所示，得出，三角形为等腰直角三角形，由的长求出的长，作垂直于，利用三线合一得出，在直角三角形中，根据勾股定理求出的长，进而确定出的长，除以速度即可求出城市处于危险区的时间．
此题考查了直线与圆的位置关系，做出相应的图形是解本题的关键．
 

22.【答案】解：因为，，
所以，，
所以，解得，；
建立如图所示的平面直角坐标系，
因为正方形的边长为，
所以半圆是单位圆位于轴上方的部分，
设，，
，，
所以，，
则，
又，
则，
则，
则，
即的取值范围为． 

【解析】由平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解即可；
先建系，然后结合平面向量数量积的坐标运算及三角函数值域的求法求解即可．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的坐标运算及三角函数值域的求法，属基础题．