2022-2023学年安徽省芜湖市第一中学高一上学期第一次阶段性诊断测试数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省芜湖市第一中学高一上学期第一次阶段性诊断测试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.

【详解】因为，故.

故选：D.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】由全称命题的否定即可选出答案.

【详解】命题“，”的否定是 “，”

故选：C.

3．“且”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分、必要条件结合不等式性质理解判断.

【详解】若且，例如满足条件，但不满足

若，则，且

∴“且”是“”的必要不充分条件

故选：B.

4．已知函数，若，则（    ）

A． B．6 C．4 D．2

【答案】D

【分析】由题意分类讨论，求解a，再根据分段函数求函数值.

【详解】当时，则，解得：或（舍去）

当时，则，解得：（舍去）

综上所述：

∴，则

故选：D.

5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智书》一书中首先用“=”作为等号以后，后来英国数学家哈里奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下列命题错误的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】C

【分析】根据不等式性质结合作差法分析判断.

【详解】对A：∵，则，且

∴，则，即，A正确；

对B：∵，且

∴，B正确；

对C：

∵，则

∴，则，C错误；

对D：∵，则

又∵，则

∴，D正确；

故选：C.

6．已知，且，则的最小值是（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用配凑思想结合均值不等式求解作答.

【详解】，由得：，

即，解得，

当且仅当时取等号，由解得，

所以当时，取得最小值4.

故选：A

7．对于实数，规定表示不大于的最大整数，例如，那么不等式成立的充分不必要条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，解一元二次不等式，并求出x的范围，再利用充分不必要条件的意义求解作答.

【详解】不等式，因此或或，

于是得或或，即，显然，而选项A，C，D所对集合均不真包含于，

所以不等式成立的充分不必要条件是，B是.

故选：B

8．集合是的子集，当时，若有且，则称为的一个“孤立元素”，那么的子集中无“孤立元素”且包含有四个元素的集合个数是（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【分析】用列举法列出符合题意的集合，即可判断；

【详解】解：，

其中不含“孤立元素”且包含有四个元素的集合有：

，，，，，共个，

那么中无“孤立元素”的4个元素的子集的个数是个．

故选：B．

二、多选题

9．已知全集是的非空子集，且，则必有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据Venn图，结合子集和集合间的运算理解判断.

【详解】根据Venn图，由题意可得：

，A正确，D错误；

，B正确，C错误；

故选：AB.

10．已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．不等式的解集是

C．不等式的解集是

D．

【答案】BCD

【分析】根据给定的解集，结合一元二次不等式的解法确定a的符号，并用a表示b，c，再逐项判断作答.

【详解】因关于的不等式的解集是或，则是一元二次方程的二根，且，

则有，即，且，A不正确；

不等式化为：，解得，即不等式的解集是，B正确；

不等式化为：，即，解得，

因此不等式的解集是，C正确；

，D正确.

故选：BCD

11．下列对应中是函数的是（    ）．

A．，其中，，

B．，其中，，

C．，其中y为不大于x的最大整数，，

D．，其中，，

【答案】AC

【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐项分析判断作答.

【详解】对于A，对集合中的每个元素x，按照，在中都有唯一元素y与之对应，A是；

对于B，在区间内存在元素x，按照，在R中有两个y值与这对应，如，与之对应的，B不是；

对于C，对每个实数x，按照“y为不大于x的最大整数”，都有唯一一个整数y与之对应，C是；

对于D，当时，按照，在中不存在元素与之对应，D不是.

故选：AC

12．已知，，，则（    ）

A．的最小值是

B．的最大值是3

C．的最小值是9

D．最小值是

【答案】ABD

【分析】利用基本不等式一一计算可得.

【详解】解：因为，，，

因为，所以，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，故A正确；

所以，

当且仅当，即，取等号，故B正确；

因为，所以，

所以

，

当且仅当，即、时取等号，故C错误；

因为，所以，当且仅当时取等号，即，

又因为在上单调递减，所以，

所以最小值是，当且仅当时取等号，故D正确；

故选：ABD

三、填空题

13．已知的定义域是，则函数的定义域是___________.

【答案】

【分析】由已知的定义域求出函数的定义域，从而求出函数的定义域．

【详解】解：因为的定义域是，

所以，所以．

函数应满足，解得．

函数的定义域为．

故答案为：．

14．已知集合若则实数的值为________.

【答案】1或-2

【分析】利用交集定义,分类讨论求解即可．

【详解】解：集合若

或，

当时，成立；

当时，，

若，与矛盾；

若，成立，

综上所述，或．

故答案为1或-2．

【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．

15．若命题“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据给定条件，求出不等式恒成立的m的取值范围，再由命题为假求解作答.

【详解】因，不等式恒成立，当时，对任意实数不恒成立，

因此，，必有，解得，于是得，

而命题“，不等式恒成立” 为假命题，则，

所以实数的取值范围是.

故答案为：

16．已知，则的最小值是___________.

【答案】

【分析】利用换元可得，利用基本不等式运算求解，注意等号成立的条件.

【详解】令，则

则，当且仅当时等号成立

∵，当且仅当时等号成立

∴，当且仅当，即时等号成立

故答案为：.

四、解答题

17．已知，求的取值范围.

【答案】的取值范围是的取值范围是

【分析】根据不等式的性质运算求解

【详解】因为，所以，

又∵，所以，

因为，所以，

又∵，所以，

所以，即，

所以的取值范围是的取值范围是.

18．（1）已知，求的解析式；

（2）已知为一次函数，且，求的解析式.

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）根据题意利用换元法运算求解，注意变量的范围；（2）根据题意利用待定系数法运算求解.

【详解】（1）由，令，则，

所以，

故的解析式为；

（2）设，则，

所以，因此或，

故或.

19．已知，，其中.

(1)当时，设不等式的解集为，不等式的解集为，求；

(2)若是的必要不充分条件，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先解分式不等式求出集合，再求出集合，最后根据补集、并集的定义计算可得；

（2）分、、三种情况，分别求出不等式的解集，再根据必要不充分条件得到不等式组，即可得解.

【详解】(1)解：由，得，即，

即，解得或，

即或，所以，

当时，，所以；

(2)解：由（1）中结论可知，不等式的解集为或，

由，当时，解得；

当时，解得；

当时，不等式的解集为；

若是的必要不充分条件，

则或，解得或，

故的取值范围为.

20．已知为三角形的三边长，求证：

(1)；

(2).

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据给定的条件，利用作差法，变形并判断符号作答.

（2）利用三角形两边的和大于第三边的性质，结合不等式性质推理作答.

【详解】(1)为三角形的三边长，

而，

显然，即，当且仅当时取等号，

因此，所以.

(2)为三角形的三边长，则，

于是得：，

所以.

21．已知函数，其中.

(1)任意的，不等式恒成立，求的取值范围；

(2)求关于的不等式的解集.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）分离参数转化为利用基本不等式求函数的最值；

（2）根据最高次项系数，根的大小分类讨论可得．

【详解】(1)由题意，转化为，

因为，不等式恒成立，所以恒成立，

令，所以，

，当且仅当时等号成立，

所以，

故．

(2)①当时，即，所以解集为；

时，不等式化为，

②当时，，所以解集为；

③当时，，所以解集为或；

④当时，，所以不等式的解集为或；

⑤当时，，所以不等式的解集为.

22．近年来，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元．售价为8元，月销售5万只．

（1）据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总收入月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？

（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价元，并投入万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万只．则当每只售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．

【答案】（1）18.5元；（2）当x＝10时，最大利润为14万元.

【解析】（1）设口罩每只售价最多为元，根据条件建立不等式，解不等式即可得到结论．

（2）求出利润函数，利用基本不等式即可求出最值．

【详解】解：设口罩每只售价最多为元，则月销售量为万只，

则由已知，

即，即，

解得，即每只售价最多为18.5元．

（2）下月的月总利润

，

，

，

即，

当且仅当，即时取等号．

答：当时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元．

【点睛】本题主要考查与函数有关的应用问题，根据条件建立方程或不等式是解决本题关键，考查学生的阅读和应用能力，综合性较强．