还剩10页未读，
继续阅读
所属成套资源：全套2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案
成套系列资料，整套一键下载
2023-2024学年安徽省六安市舒城县晓天中学高二上学期期中数学试题含答案
展开
这是一份2023-2024学年安徽省六安市舒城县晓天中学高二上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据斜率和倾斜角之间的关系求倾斜角即可.
【详解】由直线可得斜率，设倾斜角为，则，因为，所以.
故选：C.
2．已知直线，：，若，则实数的值为（ ）
A．0B．C．2D．0或
【答案】D
【分析】分和两种情况讨论，即可求解．
【详解】当时，，：，则，符合题意；
当，直线的斜率，直线的斜率，
由得，，解得，
综上所述，实数的值为0或，
故选：D．
3．在平面直角坐标系中， 以点(0，1)为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由条件利用点到直线的距离公式求得半径，可得要求的圆的标准方程．
【详解】由题意可得圆心为点(0，1)，半径为，
要求的圆的标准方程为，
故选：A．
4．已知直线和直线，则当与间的距离最短时，t的值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】利用平行线之间的距离公式可求出关于的二次函数解析式，再利用二次函数的单调性即可求解.
【详解】解：
∵直线即为直线，∴直线直线．
∴与间的距离，当且仅当时取等号．
∴当与间的距离最短时，t的值为．
故答案选：B
5．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线平行的等价条件即可求解.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解得，
即直线与直线平行的等价条件为，
所以“”是“直线与直线平行”的充分必要条件.
故选：C.
6．设，向量，，，且，，则（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】C
【分析】通过，，可列式求出，则可求出，进而求出.
【详解】解：，，得，
又，则，得，
，
，
.
故选：C.
【点睛】本题考查空间向量垂直，平行，模的坐标表示，是基础题.
7．对于圆：，下列说法正确的为（ ）
A．点圆的内部B．圆的圆心为
C．圆的半径为D．圆与直线相切
【答案】A
【分析】利用圆的一般方程及点与圆的位置关系的判定方法，结合直线与圆的位置关系的判定方法即可求解.
【详解】对于A，将点代入圆C中，得，所以点圆C的内部，故A正确；
对于B，C，由，得，所以圆的圆心为，半径为，故B，C错误；
对于D，由圆心到直线的距离为，所以，即，所以圆与直线相离，故D错误.
故选：A.
8．如图，在正四棱柱中，，．点，，分别在棱，，上，，，，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构建空间直角坐标系坐标系，通过空间向量求解即可.
【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，．
设平面的法向量为，
则令，
得．
点到平面的距离为．
故选：D.
二、多选题
9．已知直线，点，，下列结论正确的是（ ）
A．直线l恒过定点B．当时，直线l的斜率不存在
C．当时，直线l的倾斜角为D．当时，直线l与直线垂直
【答案】CD
【分析】利用直线过定点的求法，结合直线斜率公式逐项分析即可得解.
【详解】直线，故时，，故直线l恒过定点，故A错误；
当时，直线，斜率，故B错误；
当时，直线，斜率，故倾斜角为，故C正确；
当时，直线，斜率，而，
故，故直线与直线垂直，故D正确.
故选：CD.
10．已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算并判断.
【详解】对于A，向量，，则，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，由数量积的定义得，C错误；
对于D，，所以，D正确.
故选：AD.
11．直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据题意，分直线的截距为0和直线的截距不为0，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解.
【详解】当直线的截距为0时，此时直线的方程为，即．
当直线的截距不为0时，设直线的方程为，
则，解得或，
当时，可得直线的方程为，即；
若时，可得则直线的方程为，即．
故选：BCD.
12．下列说法中，正确的有（ ）
A．过点且斜率为的直线的点斜式方程为
B．直线的一个方向向量为
C．若点和点关于直线对称，则
D．过点的直线分别交，的正半轴于，，则面积的最小值为8
【答案】BC
【分析】利用直线的点斜式方程的概念求解选项A;利用直线的一般式方程的概念以及方向向量的概念求解选项B；利用点关于直线对称的点的关系求解选项C;利用直线的截距式方程和基本不等式求解选项D.
【详解】对于A，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，故A错误；
对于B，直线的的斜率为，一个方向向量为，故B正确；
对于C，因为点和点关于直线对称，所以，解得，故，C正确；
对于D，设直线的方程为，因为直线过点，所以，
所以，所以，
所以，当且仅当即时，
面积取到最小值为6，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
13．方程表示圆，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由圆的一般式方程需要满足的条件可得，得到关于的不等式，求解可得的范围．
【详解】由圆的一般式方程可得，即，求得.
故答案为：．
【点睛】本题考查圆的一般式方程的特征，考查基本运算求解能力，属于基础题．
14．直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为
【答案】2
【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算.
【详解】∵，，
∴，，又，
∴在方向上的投影为，
∴P到l距离.
故答案为：2.
15．已知直线与圆相交于，两点，且线段的中点坐标为，则直线的方程为 .
【答案】.
【分析】由圆的方程，得到圆心的坐标，由圆的特征可得： ，从而可求出直线的斜率，再由直线过点，即可得出直线方程.
【详解】因为圆的圆心坐标为，又点坐标为，
所以直线的斜率为；
又因为是圆的一条弦，为的中点，
所以，故，即直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故答案为
【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系，以及由弦中点坐标，求弦所在直线方程的问题，属于常考题型.
16．圆上存在两点关于直线对称，则的最小值为 .
【答案】
【分析】首先求出圆心坐标，依题意可得直线过圆心，则，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】圆，即，圆心为，
因为圆上存在两点关于直线对称，
所以直线过圆心，
所以，即，
又，，
所以，
当且仅当，即、时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是．
(1)求边上的中线所在直线的方程；
(2)求的外接圆C的标准方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的坐标求出边的中点D的坐标，由斜率公式求出中线的斜率，由点斜式方程即可得出所在直线的方程；
（2）设的外接圆O的方程为，将点坐标代入圆的一般式方程，求解得出圆的一般式方程，再化为标准方程即可．
【详解】（1）因为，
所以边的中点D的坐标为，
所以中线的斜率为，
所以中线的直线方程为：，即．
（2）设的外接圆O的方程为，
因为点三点在圆上，
所以，解得：，
所以外接圆O的方程为，即．
18．已知圆C：x2+y2﹣4x＝0．
（1）直线l的方程为，直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的值；
（2）从圆C外一点P（4，4）引圆C的切线，求此切线方程．
【答案】(1)；(2) x＝4或3x﹣4y+4＝0．
【分析】（1）计算圆心到直线的距离为，再利用勾股定理得到答案.
（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，利用原点到直线的距离等于半径得到答案.
【详解】（1）化圆C：x2+y2﹣4x＝0为：（x﹣2）2+y2＝4，知圆心（2，0）为半径为2，
故圆心到直线的距离，∴；
（2）当斜率不存在时，过P（4，4）的直线是x＝4，显然是圆的切线；
当斜率存在时，设直线方程为y﹣4＝k（x﹣4）．由，解得．
此时切线方程为3x﹣4y+4＝0．
综上所述：切线方程为x＝4或3x﹣4y+4＝0．
【点睛】本题考查了弦长和切线问题，忽略斜率不存在的情况是容易发生的错误.
19．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动.
(1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程：
(2)设圆C1与曲线C2的交点为M、N，求线段MN的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为，由于点B的坐标为，利用点P是线段AB的中点，求出，，通过点A在圆上运动，转化求解中点P的轨迹的方程即可；
（2）将圆与圆的方程相减得，求出圆的圆心到直线的距离d，即可求解；
【详解】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为，
由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以， ，
于是有 ①，
因为点A在圆上运动，即： ②，
把①代入②，得，整理，得，
所以点P的轨迹的方程为．
（2）将圆与圆的方程相减得： ，
由圆的圆心为，半径为1，
且到直线的距离，
则.
20．已知圆
(1)求证：相交；
(2)求圆的公共弦所在的直线方程．
【答案】(1)证明见解析；
(2)﹒
【分析】(1)分别求出圆和圆的圆心和半径，再求出圆心距，由圆心距大于半径之差的绝对值，小于半径之和，能证明圆和圆相交．
(2)两圆和，两圆相减，得圆和圆的公共弦所在直线方程．
【详解】（1）圆的圆心，半径，
的圆，半径，
，
，
圆和圆相交．
（2）两圆，，
两圆相减，得圆和圆的公共弦所在直线方程为：
，即．
21．如图，在正方体中，E，F，G分别是，，的中点．
(1)证明：．
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明垂直关系和求解角度.
【详解】（1）如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为，
则，
则，故，
所以；
（2）设平面的一个法向量为，，
则，则，
令，则，，则，又，
设直线与平面所成角为，
则，
则直线与平面所成角的正弦值为.
一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据斜率和倾斜角之间的关系求倾斜角即可.
【详解】由直线可得斜率，设倾斜角为，则，因为，所以.
故选：C.
2．已知直线，：，若，则实数的值为（ ）
A．0B．C．2D．0或
【答案】D
【分析】分和两种情况讨论，即可求解．
【详解】当时，，：，则，符合题意；
当，直线的斜率，直线的斜率，
由得，，解得，
综上所述，实数的值为0或，
故选：D．
3．在平面直角坐标系中， 以点(0，1)为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由条件利用点到直线的距离公式求得半径，可得要求的圆的标准方程．
【详解】由题意可得圆心为点(0，1)，半径为，
要求的圆的标准方程为，
故选：A．
4．已知直线和直线，则当与间的距离最短时，t的值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】利用平行线之间的距离公式可求出关于的二次函数解析式，再利用二次函数的单调性即可求解.
【详解】解：
∵直线即为直线，∴直线直线．
∴与间的距离，当且仅当时取等号．
∴当与间的距离最短时，t的值为．
故答案选：B
5．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线平行的等价条件即可求解.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解得，
即直线与直线平行的等价条件为，
所以“”是“直线与直线平行”的充分必要条件.
故选：C.
6．设，向量，，，且，，则（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】C
【分析】通过，，可列式求出，则可求出，进而求出.
【详解】解：，，得，
又，则，得，
，
，
.
故选：C.
【点睛】本题考查空间向量垂直，平行，模的坐标表示，是基础题.
7．对于圆：，下列说法正确的为（ ）
A．点圆的内部B．圆的圆心为
C．圆的半径为D．圆与直线相切
【答案】A
【分析】利用圆的一般方程及点与圆的位置关系的判定方法，结合直线与圆的位置关系的判定方法即可求解.
【详解】对于A，将点代入圆C中，得，所以点圆C的内部，故A正确；
对于B，C，由，得，所以圆的圆心为，半径为，故B，C错误；
对于D，由圆心到直线的距离为，所以，即，所以圆与直线相离，故D错误.
故选：A.
8．如图，在正四棱柱中，，．点，，分别在棱，，上，，，，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构建空间直角坐标系坐标系，通过空间向量求解即可.
【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，．
设平面的法向量为，
则令，
得．
点到平面的距离为．
故选：D.
二、多选题
9．已知直线，点，，下列结论正确的是（ ）
A．直线l恒过定点B．当时，直线l的斜率不存在
C．当时，直线l的倾斜角为D．当时，直线l与直线垂直
【答案】CD
【分析】利用直线过定点的求法，结合直线斜率公式逐项分析即可得解.
【详解】直线，故时，，故直线l恒过定点，故A错误；
当时，直线，斜率，故B错误；
当时，直线，斜率，故倾斜角为，故C正确；
当时，直线，斜率，而，
故，故直线与直线垂直，故D正确.
故选：CD.
10．已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算并判断.
【详解】对于A，向量，，则，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，由数量积的定义得，C错误；
对于D，，所以，D正确.
故选：AD.
11．直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据题意，分直线的截距为0和直线的截距不为0，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解.
【详解】当直线的截距为0时，此时直线的方程为，即．
当直线的截距不为0时，设直线的方程为，
则，解得或，
当时，可得直线的方程为，即；
若时，可得则直线的方程为，即．
故选：BCD.
12．下列说法中，正确的有（ ）
A．过点且斜率为的直线的点斜式方程为
B．直线的一个方向向量为
C．若点和点关于直线对称，则
D．过点的直线分别交，的正半轴于，，则面积的最小值为8
【答案】BC
【分析】利用直线的点斜式方程的概念求解选项A;利用直线的一般式方程的概念以及方向向量的概念求解选项B；利用点关于直线对称的点的关系求解选项C;利用直线的截距式方程和基本不等式求解选项D.
【详解】对于A，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，故A错误；
对于B，直线的的斜率为，一个方向向量为，故B正确；
对于C，因为点和点关于直线对称，所以，解得，故，C正确；
对于D，设直线的方程为，因为直线过点，所以，
所以，所以，
所以，当且仅当即时，
面积取到最小值为6，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
13．方程表示圆，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由圆的一般式方程需要满足的条件可得，得到关于的不等式，求解可得的范围．
【详解】由圆的一般式方程可得，即，求得.
故答案为：．
【点睛】本题考查圆的一般式方程的特征，考查基本运算求解能力，属于基础题．
14．直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为
【答案】2
【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算.
【详解】∵，，
∴，，又，
∴在方向上的投影为，
∴P到l距离.
故答案为：2.
15．已知直线与圆相交于，两点，且线段的中点坐标为，则直线的方程为 .
【答案】.
【分析】由圆的方程，得到圆心的坐标，由圆的特征可得： ，从而可求出直线的斜率，再由直线过点，即可得出直线方程.
【详解】因为圆的圆心坐标为，又点坐标为，
所以直线的斜率为；
又因为是圆的一条弦，为的中点，
所以，故，即直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故答案为
【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系，以及由弦中点坐标，求弦所在直线方程的问题，属于常考题型.
16．圆上存在两点关于直线对称，则的最小值为 .
【答案】
【分析】首先求出圆心坐标，依题意可得直线过圆心，则，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】圆，即，圆心为，
因为圆上存在两点关于直线对称，
所以直线过圆心，
所以，即，
又，，
所以，
当且仅当，即、时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是．
(1)求边上的中线所在直线的方程；
(2)求的外接圆C的标准方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的坐标求出边的中点D的坐标，由斜率公式求出中线的斜率，由点斜式方程即可得出所在直线的方程；
（2）设的外接圆O的方程为，将点坐标代入圆的一般式方程，求解得出圆的一般式方程，再化为标准方程即可．
【详解】（1）因为，
所以边的中点D的坐标为，
所以中线的斜率为，
所以中线的直线方程为：，即．
（2）设的外接圆O的方程为，
因为点三点在圆上，
所以，解得：，
所以外接圆O的方程为，即．
18．已知圆C：x2+y2﹣4x＝0．
（1）直线l的方程为，直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的值；
（2）从圆C外一点P（4，4）引圆C的切线，求此切线方程．
【答案】(1)；(2) x＝4或3x﹣4y+4＝0．
【分析】（1）计算圆心到直线的距离为，再利用勾股定理得到答案.
（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，利用原点到直线的距离等于半径得到答案.
【详解】（1）化圆C：x2+y2﹣4x＝0为：（x﹣2）2+y2＝4，知圆心（2，0）为半径为2，
故圆心到直线的距离，∴；
（2）当斜率不存在时，过P（4，4）的直线是x＝4，显然是圆的切线；
当斜率存在时，设直线方程为y﹣4＝k（x﹣4）．由，解得．
此时切线方程为3x﹣4y+4＝0．
综上所述：切线方程为x＝4或3x﹣4y+4＝0．
【点睛】本题考查了弦长和切线问题，忽略斜率不存在的情况是容易发生的错误.
19．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动.
(1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程：
(2)设圆C1与曲线C2的交点为M、N，求线段MN的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为，由于点B的坐标为，利用点P是线段AB的中点，求出，，通过点A在圆上运动，转化求解中点P的轨迹的方程即可；
（2）将圆与圆的方程相减得，求出圆的圆心到直线的距离d，即可求解；
【详解】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为，
由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以， ，
于是有 ①，
因为点A在圆上运动，即： ②，
把①代入②，得，整理，得，
所以点P的轨迹的方程为．
（2）将圆与圆的方程相减得： ，
由圆的圆心为，半径为1，
且到直线的距离，
则.
20．已知圆
(1)求证：相交；
(2)求圆的公共弦所在的直线方程．
【答案】(1)证明见解析；
(2)﹒
【分析】(1)分别求出圆和圆的圆心和半径，再求出圆心距，由圆心距大于半径之差的绝对值，小于半径之和，能证明圆和圆相交．
(2)两圆和，两圆相减，得圆和圆的公共弦所在直线方程．
【详解】（1）圆的圆心，半径，
的圆，半径，
，
，
圆和圆相交．
（2）两圆，，
两圆相减，得圆和圆的公共弦所在直线方程为：
，即．
21．如图，在正方体中，E，F，G分别是，，的中点．
(1)证明：．
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明垂直关系和求解角度.
【详解】（1）如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为，
则，
则，故，
所以；
（2）设平面的一个法向量为，，
则，则，
令，则，，则，又，
设直线与平面所成角为，
则，
则直线与平面所成角的正弦值为.
相关试卷
安徽省六安市舒城县晓天中学2023-2024学年高一上学期12月质量检测数学试题： 这是一份安徽省六安市舒城县晓天中学2023-2024学年高一上学期12月质量检测数学试题，文件包含安徽省六安市舒城县晓天中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学答案docx、安徽省六安市舒城县晓天中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共11页， 欢迎下载使用。
2023-2024学年安徽省芜湖市无为襄安中学高二上学期期中数学试题含答案： 这是一份2023-2024学年安徽省芜湖市无为襄安中学高二上学期期中数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年安徽省六安市裕安区新安中学高二上学期期中考试数学试题含答案： 这是一份2023-2024学年安徽省六安市裕安区新安中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
