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安徽省宿州市十三所重点中学2021-2022学年高一上学期期终质量检测数学试卷（Word版附解析）
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这是一份安徽省宿州市十三所重点中学2021-2022学年高一上学期期终质量检测数学试卷（Word版附解析），共15页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数函数的性质化简集合A，再利用交集的定义求解.
【详解】因为集合，又，
所以.
故选：A.
2. 已知，且为第二象限角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用同角三角函数平方关系计算可得.
【详解】因为,
所以，
因为为第二象限角，
所以.
故选：C.
3. 已知，则（ ）
A 3B. 5C. 7D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】将两边平方，化简即得.
【详解】因为，
所以，两边平方可得，
所以.
故选：C.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用倍角公式，即得.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
5. 已知函数的部分图象如图所示，则φ的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据周期求ω，再根据点坐标求φ的值.
【详解】由题意，得，所以T=π，
由T=，得ω=2，
由图可知A=1，所以f(x)=sin(2x+φ).
又因为
故选：B
【点睛】本题考查根据三角函数图象求解析式，考查数形结合思想方法，属基础题.
6. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦函数性质及余弦函数性质可得，再根据指数函数、对数函数单调性可得结果.
【详解】由正弦函数性质及余弦函数性质可知：，即；
根据指数函数单调性得；由对数函数单调性得；
所以；
故选：A.
7. 设是定义在R上的函数且对任意实数x恒有，当时，，则（ ）
A. 2022B. 2023C. 2021D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用题设条件推导出函数的周期，再借助于条件即可求得.
【详解】由函数对任意实数x恒有可得，则函数为周期函数，周期为4.
因当时，，故
故选：B.
8. 若函数图象上存在不同两点关于原点对称，则称点对是函数的一对“和谐点对”（点对与看作同一对“和谐点对”），已知函数，则此函数的“和谐点对”有（ ）
A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的“和谐点对”定义，作出函数，关于原点对称的图象，对称图象在上两个图象的交点个数，即为此函数的“和谐点对”的对数.
【详解】因为
所以时，其关于原点对称的函数为，
所以函数的“和谐点对”的对数可转化为，
函数与的图象的交点的个数，
作与的图象如下：
由图可得两个图象的交点有3个，即此函数的“和谐点对”有3对.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9. 下列结论中，正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据诱导公式逐项分析即得.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：AD.
10. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性依次判断即可.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以当时，，故A正确；
因为函数在上单调递增，
所以当时，，故B正确；
因为函数在上单调递减，
所以当时，，故C错误；
因为函数在上单调递减，
所以当时，，故D错误；
故选：AB.
11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 函数图像关于直线对称
C. 函数的值域为
D. 若函数有四个零点，则实数的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数的解析式可得判断A，根据函数的定义域可判断B，根据二次函数的性质及三角函数的性质可得函数的值域判断C，利用数形结合可判断D.
【详解】因为，
所以，故A正确；
由题可知函数的定义域为，不关于对称，故B错误；
当时，，
当时，，，
所以函数的值域为，故C正确；
由可得，则函数与有四个交点，
作出函数与的大致图象，
由图象可知函数有四个零点，则实数的取值范围是，故D错误.
故选：AC.
12. 函数的图象关于点对称，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 函数在区间上是增函数
C. 函数图像的一条对称轴为直线
D. 函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到
【答案】AB
【解析】
【分析】根据辅助角公式可得，即可根据三角函数的性质逐一求解ABC，根据函数平移即可求解D.
【详解】,
由于是的一个对称中心，所以,
故，由于，则，A正确，
由于，令,解得，取，所以是的一个单调递增区间，B正确，
对于C，由于，所以不是函数的对称轴，C错误，
对于D, 函数的图像向左平移个单位得到，故D错误.
故选：AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数（，且）的图象过定点A，则点A的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用指数函数的性质即可得解.
【详解】因为（，且）的图象过定点A，
令，则，，
所以点A的坐标为.
故答案为：.
14. cs 28°cs 32°－cs 62°sin 32°=________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】先利用诱导公式将化简成，再利用和差公式化简.
【详解】因为，所以.
故答案为：.
15. 函数的单调递增区间是__________.
【答案】（2，+∞）
【解析】
【分析】
根据复合函数“同增异减”的方法求函数的单调递增区间，注意函数的定义域.
【详解】是复合函数，可以写成，，根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法可知外层函数是增函数，所以只需求在定义域内的单调递增区间，
，解得：或，函数在单调递增，在单调递减，
所以函数的单调递增区间是.
故答案为：
16. 已知函数，则该函数的最小正周期是______； 当时，关于的方程仅有一实数根，则实数的取值范围为__________.
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
分析】根据三角恒等变换化简，即可周期公式求解，利用整体法即可求解范围.
【详解】，
所以最小正周期为，
当时，，
因为在为增函数，在为减函数，
故在上为增函数，在为减函数，
而，，，
要使得仅有一实数根，
即在上只有一个实数根，
即，或，解得或，
故答案为：；或，
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 化简求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）根据对数在运算性质即可求解，
（2）根据特殊角的三角函数值即可求解.
小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
18. 设函数，
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并证明.
【答案】（1）
（2）奇函数，证明见解析
【解析】
分析】（1）根据对数中真数大于0即可求解定义域，
（2）根据的关系即可判断其奇偶性.
【小问1详解】
函数，
，，
即函数的定义域，
【小问2详解】
是奇函数，
证明：，定义域关于原点对称，
，
即的奇函数，
19. 函数，
（1）当时，解不等式；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】19.
20.
【解析】
【分析】（1）换元法解二次不等式；
（2）利用换元法将“函数有两个零点”转化为方程有两个不等正根，再由根的分布求解的范围即可.
【小问1详解】
解不等式，设，则，
由得，得，
所以不等式解集为.
【小问2详解】
由题意方程有两个不等实根，
设，即有两个不等正根，
，解得.
所以，的取值范围是
20. 在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.
①；
②，都有；
③函数为奇函数.
问题：已知函数的图像与直线的两个相邻交点的距离为，若_________.
（1）求的解析式；
（2）将函数的图像向左平移个长度单位得到函数，求的单调递减区间.
【答案】（1）条件选择见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得，然后根据所选条件求得，从而求得的解析式.
（2）利用图像变换求得，利用整体代入法求得的单调递减区间.
【小问1详解】
，所以.
若选①，则，又，所以，
所以；
若选②，由，所以当时函数取得最大值，
，又，所以，
所以；
若选③，为奇函数，
，又，所以，
所以；
【小问2详解】
由，得，
所以的单调递减区间为.
21. 已知函数的最小正周期为8．
（1）若，求函数的值域；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换结合周期公式可得，即可根据整体法求解，
（2）根据同角关系以及和差角公式即可求解.
【小问1详解】
,
由函数的最小正周期为8，所以，
所以,
当时，，所以
所以函数的值域为.
小问2详解】
由， ，
又所以
所以
22. 已知函数，.
（1）求的值；
（2）解关于的不等式；
（3）对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将函数解析式代入所求式计算即得；
（2）利用函数的奇偶性和单调性化简抽象不等式得出正弦型函数，再根据其图像求得解集；
（3）利用（1）的结论巧妙替换，将题设不等式转化成的不等式，最后运用参数分离法求得参数的取值范围.
【小问1详解】
【小问2详解】
易知定义域为R，又，故函数是奇函数；又函数均为增函数，则为增函数，
则不等式
，即得：，
故，即，
故不等式的解集为.
【小问3详解】
由（1）知
不等式 （*）
又，当且仅当时取等号，（*）式即等价于对恒成立，
令，易知在上单调递减，所以，即的最大值为0，
所以实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象不等式的求解和不等式恒成立问题.解决关键在于通过相关函数的奇偶性和单调性将其转化为具体不等式的求解；对于不等式恒成立问题，一般将其参变分离，转化为求对应函数的最值.
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数函数的性质化简集合A，再利用交集的定义求解.
【详解】因为集合，又，
所以.
故选：A.
2. 已知，且为第二象限角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用同角三角函数平方关系计算可得.
【详解】因为,
所以，
因为为第二象限角，
所以.
故选：C.
3. 已知，则（ ）
A 3B. 5C. 7D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】将两边平方，化简即得.
【详解】因为，
所以，两边平方可得，
所以.
故选：C.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用倍角公式，即得.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
5. 已知函数的部分图象如图所示，则φ的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据周期求ω，再根据点坐标求φ的值.
【详解】由题意，得，所以T=π，
由T=，得ω=2，
由图可知A=1，所以f(x)=sin(2x+φ).
又因为
故选：B
【点睛】本题考查根据三角函数图象求解析式，考查数形结合思想方法，属基础题.
6. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦函数性质及余弦函数性质可得，再根据指数函数、对数函数单调性可得结果.
【详解】由正弦函数性质及余弦函数性质可知：，即；
根据指数函数单调性得；由对数函数单调性得；
所以；
故选：A.
7. 设是定义在R上的函数且对任意实数x恒有，当时，，则（ ）
A. 2022B. 2023C. 2021D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用题设条件推导出函数的周期，再借助于条件即可求得.
【详解】由函数对任意实数x恒有可得，则函数为周期函数，周期为4.
因当时，，故
故选：B.
8. 若函数图象上存在不同两点关于原点对称，则称点对是函数的一对“和谐点对”（点对与看作同一对“和谐点对”），已知函数，则此函数的“和谐点对”有（ ）
A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的“和谐点对”定义，作出函数，关于原点对称的图象，对称图象在上两个图象的交点个数，即为此函数的“和谐点对”的对数.
【详解】因为
所以时，其关于原点对称的函数为，
所以函数的“和谐点对”的对数可转化为，
函数与的图象的交点的个数，
作与的图象如下：
由图可得两个图象的交点有3个，即此函数的“和谐点对”有3对.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9. 下列结论中，正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据诱导公式逐项分析即得.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：AD.
10. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性依次判断即可.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以当时，，故A正确；
因为函数在上单调递增，
所以当时，，故B正确；
因为函数在上单调递减，
所以当时，，故C错误；
因为函数在上单调递减，
所以当时，，故D错误；
故选：AB.
11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 函数图像关于直线对称
C. 函数的值域为
D. 若函数有四个零点，则实数的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数的解析式可得判断A，根据函数的定义域可判断B，根据二次函数的性质及三角函数的性质可得函数的值域判断C，利用数形结合可判断D.
【详解】因为，
所以，故A正确；
由题可知函数的定义域为，不关于对称，故B错误；
当时，，
当时，，，
所以函数的值域为，故C正确；
由可得，则函数与有四个交点，
作出函数与的大致图象，
由图象可知函数有四个零点，则实数的取值范围是，故D错误.
故选：AC.
12. 函数的图象关于点对称，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 函数在区间上是增函数
C. 函数图像的一条对称轴为直线
D. 函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到
【答案】AB
【解析】
【分析】根据辅助角公式可得，即可根据三角函数的性质逐一求解ABC，根据函数平移即可求解D.
【详解】,
由于是的一个对称中心，所以,
故，由于，则，A正确，
由于，令,解得，取，所以是的一个单调递增区间，B正确，
对于C，由于，所以不是函数的对称轴，C错误，
对于D, 函数的图像向左平移个单位得到，故D错误.
故选：AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数（，且）的图象过定点A，则点A的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用指数函数的性质即可得解.
【详解】因为（，且）的图象过定点A，
令，则，，
所以点A的坐标为.
故答案为：.
14. cs 28°cs 32°－cs 62°sin 32°=________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】先利用诱导公式将化简成，再利用和差公式化简.
【详解】因为，所以.
故答案为：.
15. 函数的单调递增区间是__________.
【答案】（2，+∞）
【解析】
【分析】
根据复合函数“同增异减”的方法求函数的单调递增区间，注意函数的定义域.
【详解】是复合函数，可以写成，，根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法可知外层函数是增函数，所以只需求在定义域内的单调递增区间，
，解得：或，函数在单调递增，在单调递减，
所以函数的单调递增区间是.
故答案为：
16. 已知函数，则该函数的最小正周期是______； 当时，关于的方程仅有一实数根，则实数的取值范围为__________.
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
分析】根据三角恒等变换化简，即可周期公式求解，利用整体法即可求解范围.
【详解】，
所以最小正周期为，
当时，，
因为在为增函数，在为减函数，
故在上为增函数，在为减函数，
而，，，
要使得仅有一实数根，
即在上只有一个实数根，
即，或，解得或，
故答案为：；或，
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 化简求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）根据对数在运算性质即可求解，
（2）根据特殊角的三角函数值即可求解.
小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
18. 设函数，
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并证明.
【答案】（1）
（2）奇函数，证明见解析
【解析】
分析】（1）根据对数中真数大于0即可求解定义域，
（2）根据的关系即可判断其奇偶性.
【小问1详解】
函数，
，，
即函数的定义域，
【小问2详解】
是奇函数，
证明：，定义域关于原点对称，
，
即的奇函数，
19. 函数，
（1）当时，解不等式；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】19.
20.
【解析】
【分析】（1）换元法解二次不等式；
（2）利用换元法将“函数有两个零点”转化为方程有两个不等正根，再由根的分布求解的范围即可.
【小问1详解】
解不等式，设，则，
由得，得，
所以不等式解集为.
【小问2详解】
由题意方程有两个不等实根，
设，即有两个不等正根，
，解得.
所以，的取值范围是
20. 在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.
①；
②，都有；
③函数为奇函数.
问题：已知函数的图像与直线的两个相邻交点的距离为，若_________.
（1）求的解析式；
（2）将函数的图像向左平移个长度单位得到函数，求的单调递减区间.
【答案】（1）条件选择见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得，然后根据所选条件求得，从而求得的解析式.
（2）利用图像变换求得，利用整体代入法求得的单调递减区间.
【小问1详解】
，所以.
若选①，则，又，所以，
所以；
若选②，由，所以当时函数取得最大值，
，又，所以，
所以；
若选③，为奇函数，
，又，所以，
所以；
【小问2详解】
由，得，
所以的单调递减区间为.
21. 已知函数的最小正周期为8．
（1）若，求函数的值域；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换结合周期公式可得，即可根据整体法求解，
（2）根据同角关系以及和差角公式即可求解.
【小问1详解】
,
由函数的最小正周期为8，所以，
所以,
当时，，所以
所以函数的值域为.
小问2详解】
由， ，
又所以
所以
22. 已知函数，.
（1）求的值；
（2）解关于的不等式；
（3）对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将函数解析式代入所求式计算即得；
（2）利用函数的奇偶性和单调性化简抽象不等式得出正弦型函数，再根据其图像求得解集；
（3）利用（1）的结论巧妙替换，将题设不等式转化成的不等式，最后运用参数分离法求得参数的取值范围.
【小问1详解】
【小问2详解】
易知定义域为R，又，故函数是奇函数；又函数均为增函数，则为增函数，
则不等式
，即得：，
故，即，
故不等式的解集为.
【小问3详解】
由（1）知
不等式 （*）
又，当且仅当时取等号，（*）式即等价于对恒成立，
令，易知在上单调递减，所以，即的最大值为0，
所以实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象不等式的求解和不等式恒成立问题.解决关键在于通过相关函数的奇偶性和单调性将其转化为具体不等式的求解；对于不等式恒成立问题，一般将其参变分离，转化为求对应函数的最值.
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