中考数学一轮复习《等腰三角形》课时跟踪练习（含答案）

中考数学一轮复习

《等腰三角形》课时跟踪练习

一              、选择题

1.如图，直线a、b相交于点O，∠1＝50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有(　　)

A.1个          B.2个          C.3个           D.4个

2.如果等腰三角形的一个底角为α，那么(      )

A.α不大于45°                B.0°＜α＜90°                C.α不大于90°                  D.45°＜α＜90°

3.如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是(　　)

A.∠EBC＝∠BAC     B.∠EBC＝∠ABE      C.AE＝EC      D.AE＝BE

4.等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是(    )

A.25°                       B.40°                  C.25°或40°                  D.不能确定

5.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E.已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为(    )

A.30°                        B.40°                            C.50°                           D.60°

6.如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是(    )

A.100°          B.80°          C.60°          D.40°

7.点P是等边三角形ABC所在平面上一点，若P和△ABC的三个顶点所组成的△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，则这样的点P的个数为(　　)

A.1         B.4         C.7         D.10

8.如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N.

有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN.其中正确结论的个数是(    )

A.3个                                B.2个                                C.1个                                D.0个

二              、填空题

9.如图，H是△ABC的边BC的中点，AG平分∠BAC，点D是AC上一点，且AG⊥BD于点G.已知AB＝12，BC＝15，GH＝5，则△ABC的周长为　　　　　.

10.△ABC中其周长为7，AB＝3，当BC＝        时，△ABC为等腰三角形.

11.如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°，则∠2的度数为　   　.

12.在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝________．

13.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点共有      个.

14.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是            ．

三              、解答题

15.如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连结AM.

(1)求证：EF＝AC；

(2)若∠BAC＝45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系.

16.如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC.

(1)求证：△ABC是等腰三角形；

(2)若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长.

17.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.

(1)求证：BG＝CF；

(2)请你判断BE＋CF与EF的大小关系，并说明理由.

18.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝∠α(0°＜α＜60°)，分别以AB、BC为边作等边三角形ABE和等边三角形BCD，连结CE，如图1所示.

(1)直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；

(2)判断DC与CE的位置关系，并加以证明；

(3)在(2)的条件下，连结DE，如图2，若∠DEC＝45°，求∠α的值.

参考答案

1.D.

2.B

3.A.

4.C

5.B

6.A

7.D.

8.B.

9.答案为：49.

10.答案为：1或2.

11.答案为：40°.

12.答案为：2.

13.答案为：6.

14.答案为：110°或80°．

15.证明：(1)∵CD＝CB，点E为BD的中点，

∴CE⊥BD，

∵点F为AC的中点，

∴EF＝AC；

(2)∵∠BAC＝45°，CE⊥BD，

∴△AEC是等腰直角三角形，

∵点F为AC的中点，

∴EF垂直平分AC，

∴AM＝CM，

∵CD＝CM＋DM＝AM＋DM，CD＝CB，

∴BC＝AM＋DM.

16.证明：(1)∵AE∥BC，

∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE.

∵AE平分∠DAC，

∴∠DAE＝∠CAE.

∴∠B＝∠C.

∴AB＝AC.

∴△ABC是等腰三角形.

(2)∵F是AC的中点，

∴AF＝CF.

∵AE∥BC，

∴∠C＝∠CAE.

由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC.

在△AFE和△CFG中

，

∴△AFE≌△CFG.

∴AE＝GC＝8.

∵GC＝2BG，

∴BG＝4.

∴BC＝12.

∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝10＋10＋12＝32.

17.解：(1)∵BG∥AC，

∴∠DBG＝∠DCF.

∵D为BC的中点，

∴BD＝CD

又∵∠BDG＝∠CDF，

在△BGD与△CFD中，

∵

∴△BGD≌△CFD(ASA).

∴BG＝CF.

(2)BE＋CF＞EF.∵△BGD≌△CFD，

∴GD＝FD，BG＝CF.

又∵DE⊥FG，

∴EG＝EF(垂直平分线到线段端点的距离相等).

∴在△EBG中，BE＋BG＞EG，

即BE＋CF＞EF.

18.证明：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝∠α，

∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－∠α)，

∴∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝90°－∠α－60°＝30°－∠α；

(2)DC与CE垂直；连结AD；

∵∠ABE＝∠DBC＝60°，

∴∠ABE－∠DBE＝∠DBC－∠DBE，即∠ABD＝∠EBC，

在△ABD和△EBC中，

，

∴△ABD≌△EBC，

∴∠ADB＝∠ECB，

在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD，

∴∠BAD＝∠CAD＝∠α，

∴∠BDA＝180°－∠ABD－∠BAD＝150°，

∴∠BCE＝150°，

∵∠BCD＝60°，

∴∠DCE＝90°，即DC与CE垂直.

(3)∵∠DCE＝90°，又∵∠DEC＝45°，

∴△DEC为等腰直角三角形，

∴DC＝CE＝BC，

∵∠BCE＝150°，

∴∠EBC＝15°，

∵∠EBC＝30°－∠α＝15°，

∴∠α＝30°.