高中4.1 平面向量基本定理学案设计

§4　平面向量基本定理及坐标表示

4.1　平面向量基本定理 

1．平面向量基本定理

(1)定义：如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)基：把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为{e1，e2}．

2．标准正交基

若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基．在正交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基．

思考：1.0能不能作为基中的一个基向量？

提示：由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基向量．

2．平面向量的基唯一吗？

提示：不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基．

1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，不能作为基的是(　　)

A．e1＋e2和e1－e2　　　 B．3e1－4e2和6e1－8e2

C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2

B　[B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，

∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，

∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基．]

2．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则等于(　　)

A．a＋b　　　 B．a＋b

C．a＋b D．a＋b

B　[＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.]

3．如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.

　[设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b，

又∵＝a＋b，

∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.]

4．设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将、、表示出来．

[解]　如图，＝－＝－＝－－(－)＝－＝b－a.

同理可得＝a－b.

＝－＝－(＋)＝a＋b.

【例1】　下列关于基的说法正确的是(　　)

①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基；

②基中的向量可以是零向量；

③平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的．

A．①　　　　　　 B．②

C．①③ D．②③

C　[由平面向量基本定理可知，只有①③是正确的．]

考查两个向量是否能构成基，主要看两向量是否非零向量且不共线.此外，一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基唯一线性表示出来.

若e1，e2是平面内的一组基，则下列四组向量能作为平面向量的基的是(　　)

A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－e2

C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2

D　[只有e1＋e2与e1－e2不共线，故选D．]

【例2】　如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a，b为基表示，.

[解]　∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，

∴＝＝2，＝＝2，

∴＝＝b，＝＝－＝－a.

∴＝＋＋＝－＋＋＝－b＋a＋b＝a－b，

＝＋＝＋＝b－a.

应用平面向量基本定理时的关注点

1充分利用向量的加法、减法的法则，在平行四边形、三角形中确定向量的关系.

2应用数乘向量时特别注意线段的比例关系，如中点、三等分点等.

3一个重要结论：设a、b是同一平面内的两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则有.

【例3】　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．

[解]　设＝e1，＝e2，

则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.

∵A，P，M和B，P，N分别共线，

∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.

故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.

而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，

得解得

∴＝，＝，

∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝.

1．事实上，母题探究2给出了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.

2．例3求解的关键是在同一组基下，对向量算了两次，然后根据平面向量基本定理可知其对应向量系数相等，从而可得关于λ，μ的方程组，解方程组即得．这种方法叫“算两次”，是一种重要的数学方法．

1．基的特征

(1)一组基是两个不共线向量；(2)基的选择是不唯一的．

2．准确理解平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．

(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的一组基，将问题中涉及的向量向基化归，使问题得以解决．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基．

  (　　)

(2)零向量不能作为基向量．  (　　)

(3)平面向量基本定理中基的选取是唯一的． (　　)

(4)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．已知平行四边形ABCD，下列各组向量中，是该平面内所有向量基的是(　　)

A．，　　　　 B．，

C．， D．，

D　[结合图形及基的概念知D正确，故选D．]

3．如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.

　[由B，H，C三点共线，可令＝x＋(1－x)，又M是AH的中点，所以＝＝x＋(1－x)，又＝λ＋μ.所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝.]

4．如图，△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝a，＝c.

(1)用a，c表示向量；

(2)若点F在AC上，且＝a＋c，求AF∶CF.

[解]　(1)∵＝－＝c－a，

∴＝＝(c－a)，

∴＝(＋)＝＋＝－a＋(c－a)＝c－a.

(2)设＝λ，

∴＝＋＝＋λ＝a＋λ(c－a)＝(1－λ)a＋λc. 又＝a＋c，

∴λ＝，

∴＝，

∴AF∶CF＝4∶1.