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初中数学苏科版八年级下册12.3 二次根式的加减课后测评
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这是一份初中数学苏科版八年级下册12.3 二次根式的加减课后测评，共23页。
12.5二次根式的求值问题
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2022春•江阴市校级月考）已知a＝5+26，b＝5﹣26，求下列各式的值．
（1）a2b+ab2；
（2）a+b．
2．（2022春•亭湖区校级月考）已知x＝23+1，y＝23−1，求下列各式的值：
（1）x2﹣2x﹣3
（2）x2y﹣xy2
3．（2022•泗洪县一模）已知：a=5+2，b=5−2，求（a+b）（a2+b2﹣ab）的值．
4．（2022•崇川区校级开学）已知x=3+2，y=3−2，求：xy+yx的值．
5．（2021秋•启东市期末）（1）先化简，再求值：(x+2x2−2x−x−1x2−4x+4)÷x−4x，其中x=2+2；
（2）当a=12+3时，求a2−2a+1a2−a的值．
6．（2020秋•苏州期中）已知a＝3−2，b＝﹣3−2，求下列各式的值．
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣ab+b2．
7．（2021春•射阳县校级月考）已知a=7+2，b=7−2，求下列代数式的值：
（1）a2﹣2ab+b2；
（2）a2﹣b2．
8．（2022春•靖江市校级月考）已知m＝1+2，n＝1−2，求代数式m2+n2−3mn．
9．（2021秋•惠山区校级期中）（1）已知1≤x≤3，化简：(1−x)2−(3−x)2．
（2）已知a＝3−2，b＝3+2，求a2﹣ab+b2的值．
10．（2021春•靖江市校级期中）已知：y﹣2=1−4x+4x−1，求xy+yx−2的值．
11．（2021秋•苏州期中）已知x=3−22，y=1+22，求下列各式的值．
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣2xy+y2．
12．（2021秋•常熟市校级月考）已知x=3−7，y=7+3，求x2﹣xy+y2的值．
13．（2020春•建湖县期中）已知x＝2+3，y＝2−3，求x2+xy+y2的值．
14．（2019春•广陵区校级月考）已知a＝2+3，b＝2−3，求
（1）ab−ba；
（2）a2﹣ab+b2
15．（2016春•无锡校级月考）已知a、b满足4a−b+1+13b−4a−3=0，求2a（ba÷1−b）
16．（2022秋•龙岗区期中）已知a＝2+6，b＝2−6．
（1）填空：a+b＝ ，ab＝ ；
（2）求a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）的值．
17．（2022秋•三水区期中）（1）计算（直接写结果）：(3+2)2= ；(1−5)2= ．
（2）把4+23写成（a+b）2的形式为 ．
（3）已知a=7−1，求代数式a2+2a+3的值．
18．（2022秋•锦江区校级月考）已知x＝2−3，y＝2+3．
（1）求xy2﹣x2y的值；
（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax+by的值．
19．（2022秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知x=2+1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：根据x=2+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣5＝1﹣5＝﹣4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x=3−2，求代数式x2+4x﹣5的值；
（2）已知x=5−12，求代数式x3+x2+1的值．
20．（2022春•彭州市校级月考）已知x=17−5，y=17+5，求值：
（1）xy；
（2）x2+3xy+y2．
21．（2022秋•武侯区校级月考）已知a=2−12+1，b=2+12−1，求下列代数式的值：
（1）a2﹣ab+b2；
（2）ba+ab．
22．（2022秋•榆树市月考）已知a＝4﹣23，b＝4+23．
（1）求ab，a﹣b的值；
（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．
23．（2022春•阳新县期末）计算：
（1）（2+2）2−8（2﹣32）；
（2）化简求值：已知a=5−1，求a2−aa2−2a+1−a2+8a+16a+4的值．
24．（2021春•江汉区期中）（1）已知x=7+2，y=7−2，求下列各式的值：
①1x+1y；
②x2﹣xy+y2；
（2）若39−a2+5+a2=8，则39−a2−5+a2= ．
25．（2019秋•张家港市期末）已知：a−2+|b−3|=0
（1）求14a+6b的值；
（2）设x=b−a，y=b+a，求1x+1y的值．
26．（2018秋•东营区校级期中）求值：
（1）已知a＝3+22，b＝3﹣22，求a2+ab+b2的值；
（2）已知：y＞3x−2+2−3x+2，求y2−4y+42−y+5﹣3x的值．
27．（2022春•藁城区校级期中）求代数式a+1−2a+a2的值．其中a＝1011，如图所示的是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）求代数式a+2a2−6a+9的值，其中a＝﹣2022．
28．（2022秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知a=12+3．求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：
∵a=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3∴a﹣2=−3
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简12+1+13+2+14+3+⋯+150+49；
（2）比较6−5 7−6；（填“＞”或“＜”）
（3）A题：若a=2+1，则a2﹣2a+3＝ ．
B题：若a=13−1，则4a2﹣43a+7＝ ．
29．（2021秋•洛宁县月考）学习了二次根式的乘除后，李老师给同学们出了这样一道题：已知a=2−1，求a2−2a+1a2−1的值．小明想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程：
解：原式=(a−1)2(a+1)(a−1)=a−1(a+1)(a−1)=1a+1．
当a=2−1时，原式=12−1+1=22．
李老师看了之后说：小明错误地运用了二次根式的性质，请你指出小明错误地运用了二次根式的哪条性质，并写出正确的解题过程．
30．（2022春•赤坎区校级期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如a与a，2+1与2−1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：23=2×33×3=63，23−3=2(3+3)(3−3)(3+3)=2(3+3)9−3=2(3+3)6=3+33．
（1）请你写出3+11的有理化因式： ；
（2）请仿照上面的方法化简1−b1−b（b≥0且b≠1）；
（3）已知a=13−2，b=13+2，求a2+b2+2的值．
答案与解析
一．解答题（共30小题）
1．（2022春•江阴市校级月考）已知a＝5+26，b＝5﹣26，求下列各式的值．
（1）a2b+ab2；
（2）a+b．
【分析】（1）先求出a+b＝10，ab＝1，再将所求式子变形乘含a+b、ab的形式，整体代入计算即可；
（2）先求出（a+b）2＝12，即可得到答案．
【解答】解：∵a＝5+26，b＝5﹣26，
∴a+b＝10，ab＝1，
（1）a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝1×10
＝10；
（2）（a+b）2
＝a+b+2ab
＝10+2×1
＝12，
∵a+b≥0，
∴a+b=12=23．
2．（2022春•亭湖区校级月考）已知x＝23+1，y＝23−1，求下列各式的值：
（1）x2﹣2x﹣3
（2）x2y﹣xy2
【分析】（1）由x的值，求出x﹣1的值，原式配方变形后代入计算即可求出值；
（2）由x与y的值，求出xy与x﹣y的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵x＝23+1，
∴x﹣1＝23，
则原式＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4＝12﹣4＝8；
（2）∵x＝23+1，y＝23−1，
∴xy＝（23+1）（23−1）＝12﹣1＝11，x﹣y＝（23+1）﹣（23−1）＝2，
则原式＝xy（x﹣y）＝22．
3．（2022•泗洪县一模）已知：a=5+2，b=5−2，求（a+b）（a2+b2﹣ab）的值．
【分析】首先把原式化为（a+b）[（a﹣b）2+ab]，把a=5+2，b=5−2代入原式计算即可．
【解答】解：原式＝（a+b）[（a﹣b）2+ab]，
当a=5+2，b=5−2时，
原式＝25×（16+1）
＝345．
4．（2022•崇川区校级开学）已知x=3+2，y=3−2，求：xy+yx的值．
【分析】由x与y的值，求出x+y与xy的值，原式通分并利用同分母分式的加法法则及完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x=3+2，y=3−2，
∴x+y＝（3+2）+（3−2）＝23，xy＝（3+2）×（3−2）＝3﹣2＝1，
则原式=x2+y2xy=(x+y)2−2xyxy=(23)2−2×11=10．
5．（2021秋•启东市期末）（1）先化简，再求值：(x+2x2−2x−x−1x2−4x+4)÷x−4x，其中x=2+2；
（2）当a=12+3时，求a2−2a+1a2−a的值．
【分析】（1）先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后代入求值；
（2）利用平方差公式对a的值进行分母有理化计算，然后结合二次根式的性质和分式的基本性质对原式进行化简，最后代入求值．
【解答】解：（1）原式＝[x+2x(x−2)−x−1(x−2)2]⋅xx−4
＝[(x+2)(x−2)x(x−2)2−x(x−1)x(x−2)2]⋅xx−4
=x2−4−x2+xx(x−2)2⋅xx−4
=1(x−2)2，
当x＝2+2时，
原式=1(2+2−2)2=12；
（2）∵a=12+3，
∴a=2−3(2+3)(2−3)=2−3＜1，
原式=(a−1)2a(a−1)
=1−aa(a−1)
=−1a
＝﹣（2+3）
＝﹣2−3．
6．（2020秋•苏州期中）已知a＝3−2，b＝﹣3−2，求下列各式的值．
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣ab+b2．
【分析】（1）将a、b的值代入a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）计算即可；
（2）将a、b的值代入原式，再利用完全平方公式和平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）当a＝3−2，b＝﹣3−2时，
a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝（3−2−3−2）（3−2+3+2）
＝﹣22×6
＝﹣122；
（2）原式＝（3−2）2﹣（3−2）（﹣3−2）+（﹣3−2）2
＝9﹣62+2﹣（2﹣9）+9+62+2
＝29．
7．（2021春•射阳县校级月考）已知a=7+2，b=7−2，求下列代数式的值：
（1）a2﹣2ab+b2；
（2）a2﹣b2．
【分析】（1）直接利用已知得出a+b，a﹣b的值，进而结合完全平方公式计算得出答案；
（2）结合平方差公式计算得出答案．
【解答】解：∵a=7+2，b=7−2，
∴a+b=7+2+7−2＝27，
a﹣b＝（7+2）﹣（7−2）＝4，
（1）a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2
＝42
＝16；
（2）a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝27×4
＝87．
8．（2022春•靖江市校级月考）已知m＝1+2，n＝1−2，求代数式m2+n2−3mn．
【分析】先计算出m+n＝2，mn＝﹣1，再利用完全平方公式把原式变形得到m2+n2−3mn=(m+n)2−5mn，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m＝1+2，n＝1−2，
∴m+n＝2，mn＝﹣1，
∴m2+n2−3mn=(m+n)2−5mn=22−5×(−1)=3．
9．（2021秋•惠山区校级期中）（1）已知1≤x≤3，化简：(1−x)2−(3−x)2．
（2）已知a＝3−2，b＝3+2，求a2﹣ab+b2的值．
【分析】（1）根据a2=|a|，进行计算即可解答；
（2）根据完全平方公式可得a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab，然后把a，b的值代入进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵1≤x≤3，
∴1﹣x≤0，3﹣x≥0，
∴(1−x)2−(3−x)2
＝|1﹣x|﹣|3﹣x|
＝x﹣1﹣（3﹣x）
＝x﹣1﹣3+x
＝2x﹣4；
（2）∵a＝3−2，b＝3+2，
∴a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝（3−2+3+2）2﹣3×（3−2）×（3+2）
＝62﹣3×（9﹣2）
＝36﹣3×7
＝36﹣21
＝15．
10．（2021春•靖江市校级期中）已知：y﹣2=1−4x+4x−1，求xy+yx−2的值．
【分析】根据二次根式a（a≥0）可得x=14，从而求出y的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
1﹣4x≥0，4x﹣1≥0，
∴x=14，
当x=14时，y﹣2＝0，
∴y＝2，
∴xy+yx−2
=142+214−2
=18+8−2
=24+22−2
=942−2，
∴xy+yx−2的值为942−2．
11．（2021秋•苏州期中）已知x=3−22，y=1+22，求下列各式的值．
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣2xy+y2．
【分析】（1）将x、y的值代入到原式＝（x+y）（x﹣y）计算即可；
（2）将x、y的值代入到原式＝（x﹣y）2计算即可．
【解答】解：（1）当x=3−22，y=1+22时，
原式＝（x+y）（x﹣y）
＝（3−22+1+22）×（3−22−1+22）
＝2×（1−2）
＝2﹣22；
（2）当x=3−22，y=1+22时，
原式＝（x﹣y）2
＝（3−22−1+22）2
＝（1−2）2
＝1﹣22+2
＝3﹣22．
12．（2021秋•常熟市校级月考）已知x=3−7，y=7+3，求x2﹣xy+y2的值．
【分析】先计算出x+y与xy的值，再利用完全平方公式得到x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x=3−7，y=7+3，
∴x+y＝23，xy＝3﹣7＝﹣4，
∴x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝（23）2﹣3×（﹣4）＝12+12＝24．
13．（2020春•建湖县期中）已知x＝2+3，y＝2−3，求x2+xy+y2的值．
【分析】先计算出x+y和xy，再利用完全平方公式得到x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x＝2+3，y＝2−3，
∴x+y＝4，xy＝1，
∴x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝42﹣1＝15．
14．（2019春•广陵区校级月考）已知a＝2+3，b＝2−3，求
（1）ab−ba；
（2）a2﹣ab+b2
【分析】（1）将a、b的值代入代数式，先分母有理化，再进一步计算可得；
（2）将a、b的值代入原式＝（a+b）2﹣3ab，再根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：（1）当a＝2+3，b＝2−3时，
原式=2+32−3−2−32+3
=(2+3)2(2+3)(2−3)−(2−3)2(2+3)(2−3)
=7+434−3−7−434−3
＝7+43−7+43
＝83；
（2）当a＝2+3，b＝2−3时，
原式＝（a+b）2﹣3ab
＝（2+3+2−3）2﹣3×（2+3）（2−3）
＝16﹣3×（4﹣3）
＝16﹣3
＝13．
15．（2016春•无锡校级月考）已知a、b满足4a−b+1+13b−4a−3=0，求2a（ba÷1−b）
【分析】根据非负数性质可得关于a、b的方程组，求得a、b的值代入计算即可．
【解答】解：根据题意，得：4a−b+1=013b−4a−3=0，
解得：a=−1b=−3，
故2a（ba÷1−b）
＝2×（﹣1）×（−3−1÷13）
＝﹣2×（3×3）
＝﹣2×3
＝﹣6．
16．（2022秋•龙岗区期中）已知a＝2+6，b＝2−6．
（1）填空：a+b＝ 4 ，ab＝ ﹣2 ；
（2）求a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）的值．
【分析】（1）根据二次根式的加法法则、乘法法则计算即可；
（2）根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则把原式变形，代入计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵a＝2+6，b＝2−6，
∴a+b＝（2+6）+（2−6）＝4，ab＝（2+6）（2−6）＝4﹣6＝﹣2，
故答案为：4；﹣2；
（2）a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）
＝a2﹣3ab+b2+ab+a+b+1
＝a2+2ab+b2﹣4ab+a+b+1
＝（a+b）2﹣4ab+a+b+1
＝42﹣4×（﹣2）+4+1
＝16+8+4+1
＝29．
17．（2022秋•三水区期中）（1）计算（直接写结果）：(3+2)2= 11+62 ；(1−5)2= 6﹣25 ．
（2）把4+23写成（a+b）2的形式为 （1+3）2 ．
（3）已知a=7−1，求代数式a2+2a+3的值．
【分析】（1）用完全平方公式展开，再合并即可；
（2）用完全平方公式可得答案；
（3）将已知变形，可得a2+2a+1＝7，从而可得答案．
【解答】解：（1）（3+2）2＝9+62+2＝11+62，（1−5）2＝1﹣25+5＝6﹣25，
故答案为：11+62，6﹣25；
（2）4+23=1+23+（3）2＝（1+3）2，
故答案为：（1+3）2；
（3）∵a=7−1，
∴a+1=7，
∴a2+2a+1＝7，
∴a2+2a+3＝9．
18．（2022秋•锦江区校级月考）已知x＝2−3，y＝2+3．
（1）求xy2﹣x2y的值；
（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax+by的值．
【分析】（1）利用提公因式法，进行计算即可解答；
（2）先估算出2−3与2+3的值的范围，从而求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵x＝2−3，y＝2+3，
∴xy＝（2−3）（2+3）＝4﹣3＝1，
y﹣x＝2+3−（2−3）＝2+3−2+3=23，
∴xy2﹣x2y
＝xy（y﹣x）
＝1×23
＝23；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜3＜2，
∴3＜2+3＜4，
∴2+3的整数部分是3，
∴b＝3，
∵1＜3＜2，
∴﹣2＜−3＜−1，
∴0＜2−3＜1，
∴2−3的整数部分是0，小数部分＝2−3−0＝2−3，
∴a＝2−3，
∴ax+by
＝（2−3）（2−3）+3（2+3）
＝7﹣43+6+33
＝13−3，
∴ax+by的值为13−3．
19．（2022秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知x=2+1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：根据x=2+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣5＝1﹣5＝﹣4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x=3−2，求代数式x2+4x﹣5的值；
（2）已知x=5−12，求代数式x3+x2+1的值．
【分析】（1）仿照阅读材料解答即可；
（2）把已知变形可得x2+x＝1，代入即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x=3−2，
∴x+2=3，
∴（x+2）2＝（3）2，
∴x2+4x＝﹣1，
∴x2+4x﹣5＝﹣6；
（2）∵x=5−12，
∴2x+1=5，
∴（2x+1）2＝（5）2，
变形整理得：x2+x＝1，
∴x3+x2+1
＝x（x2+x）+1
＝x+1
=5−12+1
=5+12．
20．（2022春•彭州市校级月考）已知x=17−5，y=17+5，求值：
（1）xy；
（2）x2+3xy+y2．
【分析】（1）利用平方差公式进行运算即可；
（2）利用完全平方公式及平方差公式进行运算即可．
【解答】解：（1）xy
=17−5×17+5
=17−5
=12；
（2）x2+3xy+y2
＝（x+y）2+xy
＝（17−5+17+5）2+12
＝（7+5+7−52）2+12
＝（7）2+12
＝7+12
＝712．
21．（2022秋•武侯区校级月考）已知a=2−12+1，b=2+12−1，求下列代数式的值：
（1）a2﹣ab+b2；
（2）ba+ab．
【分析】利用分母有理化把a、b化简，根据二次根式的加法法则求出a+b，根据二次根式的乘法法则求出ab；
（1）根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据分式的加法法则、完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案．
【解答】解：a=2−12+1=(2−1)2(2−1)(2+1)=3﹣22，b=2+12−1=(2+1)2(2+1)(2−1)=3+22，
则a+b＝3﹣22+3+22=6，ab＝（3﹣22）（3+22）＝1，
（1）a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝36﹣3
＝33；
（2）ba+ab=a2+b2ab=(a+b)2−2abab=34．
22．（2022秋•榆树市月考）已知a＝4﹣23，b＝4+23．
（1）求ab，a﹣b的值；
（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和二次根式的减法法则求出即可；
（2）先分解因式得出原式＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b），代入后根据二次根式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）∵a＝4﹣23，b＝4+23，
∴ab＝（4﹣23）×（4+23）
＝42﹣（23）2
＝16﹣12
＝4；
a﹣b＝（4﹣23）﹣（4+23）
＝4﹣23−4﹣23
＝﹣43；
（2）由（1）知：ab＝4，a﹣b＝﹣43，
所以2a2+2b2﹣a2b+ab2
＝2（a2+b2）﹣ab（a﹣b）
＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b）
＝2×[（﹣43）2+2×4]﹣4×（﹣43）
＝2×（48+8）+163
＝2×56+163
＝112+163．
23．（2022春•阳新县期末）计算：
（1）（2+2）2−8（2﹣32）；
（2）化简求值：已知a=5−1，求a2−aa2−2a+1−a2+8a+16a+4的值．
【分析】（1）利用完全平方公式和二次根式的乘法法则运算；
（2）先利用完全平方公式和二次根式的性质化简得到原式=a(a−1)|a−1|−（a+4），再利用a的值去绝对值，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝4+42+2﹣42+12
＝18；
（2）原式=a(a−1)(a−1)2−(a+4)2a+4
=a(a−1)|a−1|−（a+4），
∵a=5−1，
∴a﹣1=5−2＞0，
∴原式=a(a−1)(a−1)−a﹣4
＝a﹣a﹣4
＝﹣4．
24．（2021春•江汉区期中）（1）已知x=7+2，y=7−2，求下列各式的值：
①1x+1y；
②x2﹣xy+y2；
（2）若39−a2+5+a2=8，则39−a2−5+a2= ﹣26 ．
【分析】（1）①根据x=7+2，y=7−2，可以得到xy、x+y的值，然后即可求得所求式子的值；
②将所求式子变形，然后根据x=7+2，y=7−2，可以得到xy、x+y的值，从而可以求得所求式子的值；
（2）根据完全平方公式和换元法可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1）①1x+1y=y+xxy，
∵x=7+2，y=7−2，
∴x+y＝27，xy＝3，
当x+y＝27，xy＝3时，原式=273；
②x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy，
∵x=7+2，y=7−2，
∴x+y＝27，xy＝3，
当x+y＝27，xy＝3时，原式＝（27）2﹣3×3＝19；
（2）设39−a2=x，5+a2=y，则39﹣a2＝x2，5+a2＝y2，
∴x2+y2＝44，
∵39−a2+5+a2=8，
∴（x+y）2＝64，
∴x2+2xy+y2＝64，
∴2xy＝64﹣（x2+y2）＝64﹣44＝20，
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝44﹣20＝24，
∴x﹣y＝±26，
∵39−a2−5+a2＜4＜26，
即39−a2−5+a2=−26，
故答案为：﹣26．
25．（2019秋•张家港市期末）已知：a−2+|b−3|=0
（1）求14a+6b的值；
（2）设x=b−a，y=b+a，求1x+1y的值．
【分析】（1）先利用非负数的性质得到a＝2，b＝3，则14a+6b=14×2+63，然后利用分母有理化和二次根式的除法法则运算；
（2）由于x=3−2，y=3+2，则1x+1y=13−2+13+2，然后分母有理化后合并即可．
【解答】解：（1）∵a−2+|b−3|=0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝2，b＝3，
∴14a+6b=14×2+63=24+2=524；
（2）∵x=b−a=3−2，y=b+a=3+2，
∴1x+1y=13−2+13+2=3+2+3−2=23．
26．（2018秋•东营区校级期中）求值：
（1）已知a＝3+22，b＝3﹣22，求a2+ab+b2的值；
（2）已知：y＞3x−2+2−3x+2，求y2−4y+42−y+5﹣3x的值．
【分析】（1）根据a＝3+22，b＝3﹣22，代入（a+b）2﹣ab进行计算即可；
（2）依据被开方数为非负数，即可得到x=23，进而得出y＞2，据此可得y2−4y+42−y+5﹣3x的值．
【解答】解：（1）∵a＝3+22，b＝3﹣22，
∴a2+ab+b2＝a2+2ab+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣ab
＝36﹣1
＝35；
（2）∵3x−2≥02−3x≥0，
∴x≥23x≤23，
∴x=23，
∴y＞2，
∴y2−4y+42−y+5﹣3x
=(y−2)22−y+5﹣3x
=|y−2|−(y−2)+5﹣3x
＝﹣1+5﹣3x
＝4﹣3x
＝4﹣3×23
＝2．
27．（2022春•藁城区校级期中）求代数式a+1−2a+a2的值．其中a＝1011，如图所示的是小亮和小芳的解答过程．
（1） 小亮 的解法是错误的；
（2）求代数式a+2a2−6a+9的值，其中a＝﹣2022．
【分析】（1）先将被开方式进行因式分解，然后根据二次根式的性质进行化简，从而作出判断；
（2）先将被开方式进行因式分解，然后根据二次根式的性质进行化简，最后代入求值．
【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，理由如下：
原式＝a+(1−a)2，
∵a＝1011，
∴1﹣a＜0，
∴原式＝a+a﹣1＝2a﹣1＝2×1011﹣1＝2021，
故答案为：小亮；
（2）原式＝a+2(a−3)2，
∵a＝﹣2022，
∴a﹣3＜0，
∴原式＝a+2（3﹣a）
＝a+6﹣2a
＝6﹣a
＝6﹣（﹣2022）
＝6+2022
＝2028．
28．（2022秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知a=12+3．求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：
∵a=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3∴a﹣2=−3
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简12+1+13+2+14+3+⋯+150+49；
（2）比较6−5 ＞ 7−6；（填“＞”或“＜”）
（3）A题：若a=2+1，则a2﹣2a+3＝ 4 ．
B题：若a=13−1，则4a2﹣43a+7＝ 5 ．
【分析】（1）根据分母有理化的方法化简即可；
（2）先将16−5和17−6化简，比较大小，从而可比较6−5 和7−6；
（3）A题：由a=2+1，可得a﹣1=2，（a﹣1）2＝2，从而可得a2﹣2a＝1，进一步求解即可；
B题：由a=13−1，可得a=3+12，从而可得2a−3=1，两边同时作平方，可得4a2−43a=−2，进一步求解即可．
【解答】解：（1）12+1+13+2+14+3+⋯+150+49
=2−1+3−2+4−3+⋯+50−49
=50−1
=52−1；
（2）16−5=6+5，
17−6=7+6，
∵6+5＜7+6，
∴6−5＞7−6，
故答案为：＞；
（3）A题：∵a=2+1，
∴a﹣1=2，
∴（a﹣1）2＝2，
即a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴a2﹣2a+3＝4，
故答案为：4；
B题：∵a=13−1，
∴a=3+12，
∴2a−3=1，
∴(2a−3)2=1，
即4a2−43a+3=1，
∴4a2−43a=−2，
∴4a2﹣43a+7＝5，
故答案为：5．
29．（2021秋•洛宁县月考）学习了二次根式的乘除后，李老师给同学们出了这样一道题：已知a=2−1，求a2−2a+1a2−1的值．小明想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程：
解：原式=(a−1)2(a+1)(a−1)=a−1(a+1)(a−1)=1a+1．
当a=2−1时，原式=12−1+1=22．
李老师看了之后说：小明错误地运用了二次根式的性质，请你指出小明错误地运用了二次根式的哪条性质，并写出正确的解题过程．
【分析】小明错误运用了a2=|a|这条性质；利用a=2−1得到a﹣1＜0，则原式=−(a−1)(a+1)(a−1)，约分得到原式=−1a+1，然后把a的值代入计算即可．
【解答】解：小明错误运用了a2=|a|这条性质；
正确解法为：原式=(a−1)2(a+1)(a−1)=|a−1|(a+1)(a−1)，
∵a=2−1，
∴a﹣1＜0，
∴原式=−(a−1)(a+1)(a−1)
=−1a+1
=−12−1+1
=−22．
30．（2022春•赤坎区校级期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如a与a，2+1与2−1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：23=2×33×3=63，23−3=2(3+3)(3−3)(3+3)=2(3+3)9−3=2(3+3)6=3+33．
（1）请你写出3+11的有理化因式： 3−11 ；
（2）请仿照上面的方法化简1−b1−b（b≥0且b≠1）；
（3）已知a=13−2，b=13+2，求a2+b2+2的值．
【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；
（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；
（3）通过分母有理化可化简a、b，从而求出a+b、ab，根据a2+b2+2=(a+b)2−2ab+2，将a+b，ab的值代入即可求解．
【解答】解：（1）∵（3+11）（3−11）＝9﹣11＝﹣2，
∴3−11是3+11的有理化因式，
故答案为：3−11；
（2）1−b1−b
=(1−b)(1+b)(1−b)(1+b)
=(1−b)(1+b)1−b
＝1+b；
（3）∵a=13−2=−3−2，b=13+2=2−3，
∴a+b＝﹣23，ab＝﹣1，
∴a2+b2+2
=(a+b)2−2ab+2
=(−23)2−2×(−1)+2
=16
＝4．
12.5二次根式的求值问题
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2022春•江阴市校级月考）已知a＝5+26，b＝5﹣26，求下列各式的值．
（1）a2b+ab2；
（2）a+b．
2．（2022春•亭湖区校级月考）已知x＝23+1，y＝23−1，求下列各式的值：
（1）x2﹣2x﹣3
（2）x2y﹣xy2
3．（2022•泗洪县一模）已知：a=5+2，b=5−2，求（a+b）（a2+b2﹣ab）的值．
4．（2022•崇川区校级开学）已知x=3+2，y=3−2，求：xy+yx的值．
5．（2021秋•启东市期末）（1）先化简，再求值：(x+2x2−2x−x−1x2−4x+4)÷x−4x，其中x=2+2；
（2）当a=12+3时，求a2−2a+1a2−a的值．
6．（2020秋•苏州期中）已知a＝3−2，b＝﹣3−2，求下列各式的值．
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣ab+b2．
7．（2021春•射阳县校级月考）已知a=7+2，b=7−2，求下列代数式的值：
（1）a2﹣2ab+b2；
（2）a2﹣b2．
8．（2022春•靖江市校级月考）已知m＝1+2，n＝1−2，求代数式m2+n2−3mn．
9．（2021秋•惠山区校级期中）（1）已知1≤x≤3，化简：(1−x)2−(3−x)2．
（2）已知a＝3−2，b＝3+2，求a2﹣ab+b2的值．
10．（2021春•靖江市校级期中）已知：y﹣2=1−4x+4x−1，求xy+yx−2的值．
11．（2021秋•苏州期中）已知x=3−22，y=1+22，求下列各式的值．
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣2xy+y2．
12．（2021秋•常熟市校级月考）已知x=3−7，y=7+3，求x2﹣xy+y2的值．
13．（2020春•建湖县期中）已知x＝2+3，y＝2−3，求x2+xy+y2的值．
14．（2019春•广陵区校级月考）已知a＝2+3，b＝2−3，求
（1）ab−ba；
（2）a2﹣ab+b2
15．（2016春•无锡校级月考）已知a、b满足4a−b+1+13b−4a−3=0，求2a（ba÷1−b）
16．（2022秋•龙岗区期中）已知a＝2+6，b＝2−6．
（1）填空：a+b＝ ，ab＝ ；
（2）求a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）的值．
17．（2022秋•三水区期中）（1）计算（直接写结果）：(3+2)2= ；(1−5)2= ．
（2）把4+23写成（a+b）2的形式为 ．
（3）已知a=7−1，求代数式a2+2a+3的值．
18．（2022秋•锦江区校级月考）已知x＝2−3，y＝2+3．
（1）求xy2﹣x2y的值；
（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax+by的值．
19．（2022秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知x=2+1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：根据x=2+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣5＝1﹣5＝﹣4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x=3−2，求代数式x2+4x﹣5的值；
（2）已知x=5−12，求代数式x3+x2+1的值．
20．（2022春•彭州市校级月考）已知x=17−5，y=17+5，求值：
（1）xy；
（2）x2+3xy+y2．
21．（2022秋•武侯区校级月考）已知a=2−12+1，b=2+12−1，求下列代数式的值：
（1）a2﹣ab+b2；
（2）ba+ab．
22．（2022秋•榆树市月考）已知a＝4﹣23，b＝4+23．
（1）求ab，a﹣b的值；
（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．
23．（2022春•阳新县期末）计算：
（1）（2+2）2−8（2﹣32）；
（2）化简求值：已知a=5−1，求a2−aa2−2a+1−a2+8a+16a+4的值．
24．（2021春•江汉区期中）（1）已知x=7+2，y=7−2，求下列各式的值：
①1x+1y；
②x2﹣xy+y2；
（2）若39−a2+5+a2=8，则39−a2−5+a2= ．
25．（2019秋•张家港市期末）已知：a−2+|b−3|=0
（1）求14a+6b的值；
（2）设x=b−a，y=b+a，求1x+1y的值．
26．（2018秋•东营区校级期中）求值：
（1）已知a＝3+22，b＝3﹣22，求a2+ab+b2的值；
（2）已知：y＞3x−2+2−3x+2，求y2−4y+42−y+5﹣3x的值．
27．（2022春•藁城区校级期中）求代数式a+1−2a+a2的值．其中a＝1011，如图所示的是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）求代数式a+2a2−6a+9的值，其中a＝﹣2022．
28．（2022秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知a=12+3．求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：
∵a=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3∴a﹣2=−3
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简12+1+13+2+14+3+⋯+150+49；
（2）比较6−5 7−6；（填“＞”或“＜”）
（3）A题：若a=2+1，则a2﹣2a+3＝ ．
B题：若a=13−1，则4a2﹣43a+7＝ ．
29．（2021秋•洛宁县月考）学习了二次根式的乘除后，李老师给同学们出了这样一道题：已知a=2−1，求a2−2a+1a2−1的值．小明想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程：
解：原式=(a−1)2(a+1)(a−1)=a−1(a+1)(a−1)=1a+1．
当a=2−1时，原式=12−1+1=22．
李老师看了之后说：小明错误地运用了二次根式的性质，请你指出小明错误地运用了二次根式的哪条性质，并写出正确的解题过程．
30．（2022春•赤坎区校级期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如a与a，2+1与2−1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：23=2×33×3=63，23−3=2(3+3)(3−3)(3+3)=2(3+3)9−3=2(3+3)6=3+33．
（1）请你写出3+11的有理化因式： ；
（2）请仿照上面的方法化简1−b1−b（b≥0且b≠1）；
（3）已知a=13−2，b=13+2，求a2+b2+2的值．
答案与解析
一．解答题（共30小题）
1．（2022春•江阴市校级月考）已知a＝5+26，b＝5﹣26，求下列各式的值．
（1）a2b+ab2；
（2）a+b．
【分析】（1）先求出a+b＝10，ab＝1，再将所求式子变形乘含a+b、ab的形式，整体代入计算即可；
（2）先求出（a+b）2＝12，即可得到答案．
【解答】解：∵a＝5+26，b＝5﹣26，
∴a+b＝10，ab＝1，
（1）a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝1×10
＝10；
（2）（a+b）2
＝a+b+2ab
＝10+2×1
＝12，
∵a+b≥0，
∴a+b=12=23．
2．（2022春•亭湖区校级月考）已知x＝23+1，y＝23−1，求下列各式的值：
（1）x2﹣2x﹣3
（2）x2y﹣xy2
【分析】（1）由x的值，求出x﹣1的值，原式配方变形后代入计算即可求出值；
（2）由x与y的值，求出xy与x﹣y的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵x＝23+1，
∴x﹣1＝23，
则原式＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4＝12﹣4＝8；
（2）∵x＝23+1，y＝23−1，
∴xy＝（23+1）（23−1）＝12﹣1＝11，x﹣y＝（23+1）﹣（23−1）＝2，
则原式＝xy（x﹣y）＝22．
3．（2022•泗洪县一模）已知：a=5+2，b=5−2，求（a+b）（a2+b2﹣ab）的值．
【分析】首先把原式化为（a+b）[（a﹣b）2+ab]，把a=5+2，b=5−2代入原式计算即可．
【解答】解：原式＝（a+b）[（a﹣b）2+ab]，
当a=5+2，b=5−2时，
原式＝25×（16+1）
＝345．
4．（2022•崇川区校级开学）已知x=3+2，y=3−2，求：xy+yx的值．
【分析】由x与y的值，求出x+y与xy的值，原式通分并利用同分母分式的加法法则及完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x=3+2，y=3−2，
∴x+y＝（3+2）+（3−2）＝23，xy＝（3+2）×（3−2）＝3﹣2＝1，
则原式=x2+y2xy=(x+y)2−2xyxy=(23)2−2×11=10．
5．（2021秋•启东市期末）（1）先化简，再求值：(x+2x2−2x−x−1x2−4x+4)÷x−4x，其中x=2+2；
（2）当a=12+3时，求a2−2a+1a2−a的值．
【分析】（1）先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后代入求值；
（2）利用平方差公式对a的值进行分母有理化计算，然后结合二次根式的性质和分式的基本性质对原式进行化简，最后代入求值．
【解答】解：（1）原式＝[x+2x(x−2)−x−1(x−2)2]⋅xx−4
＝[(x+2)(x−2)x(x−2)2−x(x−1)x(x−2)2]⋅xx−4
=x2−4−x2+xx(x−2)2⋅xx−4
=1(x−2)2，
当x＝2+2时，
原式=1(2+2−2)2=12；
（2）∵a=12+3，
∴a=2−3(2+3)(2−3)=2−3＜1，
原式=(a−1)2a(a−1)
=1−aa(a−1)
=−1a
＝﹣（2+3）
＝﹣2−3．
6．（2020秋•苏州期中）已知a＝3−2，b＝﹣3−2，求下列各式的值．
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣ab+b2．
【分析】（1）将a、b的值代入a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）计算即可；
（2）将a、b的值代入原式，再利用完全平方公式和平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）当a＝3−2，b＝﹣3−2时，
a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝（3−2−3−2）（3−2+3+2）
＝﹣22×6
＝﹣122；
（2）原式＝（3−2）2﹣（3−2）（﹣3−2）+（﹣3−2）2
＝9﹣62+2﹣（2﹣9）+9+62+2
＝29．
7．（2021春•射阳县校级月考）已知a=7+2，b=7−2，求下列代数式的值：
（1）a2﹣2ab+b2；
（2）a2﹣b2．
【分析】（1）直接利用已知得出a+b，a﹣b的值，进而结合完全平方公式计算得出答案；
（2）结合平方差公式计算得出答案．
【解答】解：∵a=7+2，b=7−2，
∴a+b=7+2+7−2＝27，
a﹣b＝（7+2）﹣（7−2）＝4，
（1）a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2
＝42
＝16；
（2）a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝27×4
＝87．
8．（2022春•靖江市校级月考）已知m＝1+2，n＝1−2，求代数式m2+n2−3mn．
【分析】先计算出m+n＝2，mn＝﹣1，再利用完全平方公式把原式变形得到m2+n2−3mn=(m+n)2−5mn，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m＝1+2，n＝1−2，
∴m+n＝2，mn＝﹣1，
∴m2+n2−3mn=(m+n)2−5mn=22−5×(−1)=3．
9．（2021秋•惠山区校级期中）（1）已知1≤x≤3，化简：(1−x)2−(3−x)2．
（2）已知a＝3−2，b＝3+2，求a2﹣ab+b2的值．
【分析】（1）根据a2=|a|，进行计算即可解答；
（2）根据完全平方公式可得a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab，然后把a，b的值代入进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵1≤x≤3，
∴1﹣x≤0，3﹣x≥0，
∴(1−x)2−(3−x)2
＝|1﹣x|﹣|3﹣x|
＝x﹣1﹣（3﹣x）
＝x﹣1﹣3+x
＝2x﹣4；
（2）∵a＝3−2，b＝3+2，
∴a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝（3−2+3+2）2﹣3×（3−2）×（3+2）
＝62﹣3×（9﹣2）
＝36﹣3×7
＝36﹣21
＝15．
10．（2021春•靖江市校级期中）已知：y﹣2=1−4x+4x−1，求xy+yx−2的值．
【分析】根据二次根式a（a≥0）可得x=14，从而求出y的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
1﹣4x≥0，4x﹣1≥0，
∴x=14，
当x=14时，y﹣2＝0，
∴y＝2，
∴xy+yx−2
=142+214−2
=18+8−2
=24+22−2
=942−2，
∴xy+yx−2的值为942−2．
11．（2021秋•苏州期中）已知x=3−22，y=1+22，求下列各式的值．
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣2xy+y2．
【分析】（1）将x、y的值代入到原式＝（x+y）（x﹣y）计算即可；
（2）将x、y的值代入到原式＝（x﹣y）2计算即可．
【解答】解：（1）当x=3−22，y=1+22时，
原式＝（x+y）（x﹣y）
＝（3−22+1+22）×（3−22−1+22）
＝2×（1−2）
＝2﹣22；
（2）当x=3−22，y=1+22时，
原式＝（x﹣y）2
＝（3−22−1+22）2
＝（1−2）2
＝1﹣22+2
＝3﹣22．
12．（2021秋•常熟市校级月考）已知x=3−7，y=7+3，求x2﹣xy+y2的值．
【分析】先计算出x+y与xy的值，再利用完全平方公式得到x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x=3−7，y=7+3，
∴x+y＝23，xy＝3﹣7＝﹣4，
∴x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝（23）2﹣3×（﹣4）＝12+12＝24．
13．（2020春•建湖县期中）已知x＝2+3，y＝2−3，求x2+xy+y2的值．
【分析】先计算出x+y和xy，再利用完全平方公式得到x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x＝2+3，y＝2−3，
∴x+y＝4，xy＝1，
∴x2+xy+y2＝（x+y）2﹣xy＝42﹣1＝15．
14．（2019春•广陵区校级月考）已知a＝2+3，b＝2−3，求
（1）ab−ba；
（2）a2﹣ab+b2
【分析】（1）将a、b的值代入代数式，先分母有理化，再进一步计算可得；
（2）将a、b的值代入原式＝（a+b）2﹣3ab，再根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：（1）当a＝2+3，b＝2−3时，
原式=2+32−3−2−32+3
=(2+3)2(2+3)(2−3)−(2−3)2(2+3)(2−3)
=7+434−3−7−434−3
＝7+43−7+43
＝83；
（2）当a＝2+3，b＝2−3时，
原式＝（a+b）2﹣3ab
＝（2+3+2−3）2﹣3×（2+3）（2−3）
＝16﹣3×（4﹣3）
＝16﹣3
＝13．
15．（2016春•无锡校级月考）已知a、b满足4a−b+1+13b−4a−3=0，求2a（ba÷1−b）
【分析】根据非负数性质可得关于a、b的方程组，求得a、b的值代入计算即可．
【解答】解：根据题意，得：4a−b+1=013b−4a−3=0，
解得：a=−1b=−3，
故2a（ba÷1−b）
＝2×（﹣1）×（−3−1÷13）
＝﹣2×（3×3）
＝﹣2×3
＝﹣6．
16．（2022秋•龙岗区期中）已知a＝2+6，b＝2−6．
（1）填空：a+b＝ 4 ，ab＝ ﹣2 ；
（2）求a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）的值．
【分析】（1）根据二次根式的加法法则、乘法法则计算即可；
（2）根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则把原式变形，代入计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵a＝2+6，b＝2−6，
∴a+b＝（2+6）+（2−6）＝4，ab＝（2+6）（2−6）＝4﹣6＝﹣2，
故答案为：4；﹣2；
（2）a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）
＝a2﹣3ab+b2+ab+a+b+1
＝a2+2ab+b2﹣4ab+a+b+1
＝（a+b）2﹣4ab+a+b+1
＝42﹣4×（﹣2）+4+1
＝16+8+4+1
＝29．
17．（2022秋•三水区期中）（1）计算（直接写结果）：(3+2)2= 11+62 ；(1−5)2= 6﹣25 ．
（2）把4+23写成（a+b）2的形式为 （1+3）2 ．
（3）已知a=7−1，求代数式a2+2a+3的值．
【分析】（1）用完全平方公式展开，再合并即可；
（2）用完全平方公式可得答案；
（3）将已知变形，可得a2+2a+1＝7，从而可得答案．
【解答】解：（1）（3+2）2＝9+62+2＝11+62，（1−5）2＝1﹣25+5＝6﹣25，
故答案为：11+62，6﹣25；
（2）4+23=1+23+（3）2＝（1+3）2，
故答案为：（1+3）2；
（3）∵a=7−1，
∴a+1=7，
∴a2+2a+1＝7，
∴a2+2a+3＝9．
18．（2022秋•锦江区校级月考）已知x＝2−3，y＝2+3．
（1）求xy2﹣x2y的值；
（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax+by的值．
【分析】（1）利用提公因式法，进行计算即可解答；
（2）先估算出2−3与2+3的值的范围，从而求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵x＝2−3，y＝2+3，
∴xy＝（2−3）（2+3）＝4﹣3＝1，
y﹣x＝2+3−（2−3）＝2+3−2+3=23，
∴xy2﹣x2y
＝xy（y﹣x）
＝1×23
＝23；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜3＜2，
∴3＜2+3＜4，
∴2+3的整数部分是3，
∴b＝3，
∵1＜3＜2，
∴﹣2＜−3＜−1，
∴0＜2−3＜1，
∴2−3的整数部分是0，小数部分＝2−3−0＝2−3，
∴a＝2−3，
∴ax+by
＝（2−3）（2−3）+3（2+3）
＝7﹣43+6+33
＝13−3，
∴ax+by的值为13−3．
19．（2022秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知x=2+1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：根据x=2+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣5＝1﹣5＝﹣4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x=3−2，求代数式x2+4x﹣5的值；
（2）已知x=5−12，求代数式x3+x2+1的值．
【分析】（1）仿照阅读材料解答即可；
（2）把已知变形可得x2+x＝1，代入即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x=3−2，
∴x+2=3，
∴（x+2）2＝（3）2，
∴x2+4x＝﹣1，
∴x2+4x﹣5＝﹣6；
（2）∵x=5−12，
∴2x+1=5，
∴（2x+1）2＝（5）2，
变形整理得：x2+x＝1，
∴x3+x2+1
＝x（x2+x）+1
＝x+1
=5−12+1
=5+12．
20．（2022春•彭州市校级月考）已知x=17−5，y=17+5，求值：
（1）xy；
（2）x2+3xy+y2．
【分析】（1）利用平方差公式进行运算即可；
（2）利用完全平方公式及平方差公式进行运算即可．
【解答】解：（1）xy
=17−5×17+5
=17−5
=12；
（2）x2+3xy+y2
＝（x+y）2+xy
＝（17−5+17+5）2+12
＝（7+5+7−52）2+12
＝（7）2+12
＝7+12
＝712．
21．（2022秋•武侯区校级月考）已知a=2−12+1，b=2+12−1，求下列代数式的值：
（1）a2﹣ab+b2；
（2）ba+ab．
【分析】利用分母有理化把a、b化简，根据二次根式的加法法则求出a+b，根据二次根式的乘法法则求出ab；
（1）根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
（2）根据分式的加法法则、完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案．
【解答】解：a=2−12+1=(2−1)2(2−1)(2+1)=3﹣22，b=2+12−1=(2+1)2(2+1)(2−1)=3+22，
则a+b＝3﹣22+3+22=6，ab＝（3﹣22）（3+22）＝1，
（1）a2﹣ab+b2
＝（a+b）2﹣3ab
＝36﹣3
＝33；
（2）ba+ab=a2+b2ab=(a+b)2−2abab=34．
22．（2022秋•榆树市月考）已知a＝4﹣23，b＝4+23．
（1）求ab，a﹣b的值；
（2）求2a2+2b2﹣a2b+ab2的值．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和二次根式的减法法则求出即可；
（2）先分解因式得出原式＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b），代入后根据二次根式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）∵a＝4﹣23，b＝4+23，
∴ab＝（4﹣23）×（4+23）
＝42﹣（23）2
＝16﹣12
＝4；
a﹣b＝（4﹣23）﹣（4+23）
＝4﹣23−4﹣23
＝﹣43；
（2）由（1）知：ab＝4，a﹣b＝﹣43，
所以2a2+2b2﹣a2b+ab2
＝2（a2+b2）﹣ab（a﹣b）
＝2[（a﹣b）2+2ab]﹣ab（a﹣b）
＝2×[（﹣43）2+2×4]﹣4×（﹣43）
＝2×（48+8）+163
＝2×56+163
＝112+163．
23．（2022春•阳新县期末）计算：
（1）（2+2）2−8（2﹣32）；
（2）化简求值：已知a=5−1，求a2−aa2−2a+1−a2+8a+16a+4的值．
【分析】（1）利用完全平方公式和二次根式的乘法法则运算；
（2）先利用完全平方公式和二次根式的性质化简得到原式=a(a−1)|a−1|−（a+4），再利用a的值去绝对值，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝4+42+2﹣42+12
＝18；
（2）原式=a(a−1)(a−1)2−(a+4)2a+4
=a(a−1)|a−1|−（a+4），
∵a=5−1，
∴a﹣1=5−2＞0，
∴原式=a(a−1)(a−1)−a﹣4
＝a﹣a﹣4
＝﹣4．
24．（2021春•江汉区期中）（1）已知x=7+2，y=7−2，求下列各式的值：
①1x+1y；
②x2﹣xy+y2；
（2）若39−a2+5+a2=8，则39−a2−5+a2= ﹣26 ．
【分析】（1）①根据x=7+2，y=7−2，可以得到xy、x+y的值，然后即可求得所求式子的值；
②将所求式子变形，然后根据x=7+2，y=7−2，可以得到xy、x+y的值，从而可以求得所求式子的值；
（2）根据完全平方公式和换元法可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1）①1x+1y=y+xxy，
∵x=7+2，y=7−2，
∴x+y＝27，xy＝3，
当x+y＝27，xy＝3时，原式=273；
②x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy，
∵x=7+2，y=7−2，
∴x+y＝27，xy＝3，
当x+y＝27，xy＝3时，原式＝（27）2﹣3×3＝19；
（2）设39−a2=x，5+a2=y，则39﹣a2＝x2，5+a2＝y2，
∴x2+y2＝44，
∵39−a2+5+a2=8，
∴（x+y）2＝64，
∴x2+2xy+y2＝64，
∴2xy＝64﹣（x2+y2）＝64﹣44＝20，
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝44﹣20＝24，
∴x﹣y＝±26，
∵39−a2−5+a2＜4＜26，
即39−a2−5+a2=−26，
故答案为：﹣26．
25．（2019秋•张家港市期末）已知：a−2+|b−3|=0
（1）求14a+6b的值；
（2）设x=b−a，y=b+a，求1x+1y的值．
【分析】（1）先利用非负数的性质得到a＝2，b＝3，则14a+6b=14×2+63，然后利用分母有理化和二次根式的除法法则运算；
（2）由于x=3−2，y=3+2，则1x+1y=13−2+13+2，然后分母有理化后合并即可．
【解答】解：（1）∵a−2+|b−3|=0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝2，b＝3，
∴14a+6b=14×2+63=24+2=524；
（2）∵x=b−a=3−2，y=b+a=3+2，
∴1x+1y=13−2+13+2=3+2+3−2=23．
26．（2018秋•东营区校级期中）求值：
（1）已知a＝3+22，b＝3﹣22，求a2+ab+b2的值；
（2）已知：y＞3x−2+2−3x+2，求y2−4y+42−y+5﹣3x的值．
【分析】（1）根据a＝3+22，b＝3﹣22，代入（a+b）2﹣ab进行计算即可；
（2）依据被开方数为非负数，即可得到x=23，进而得出y＞2，据此可得y2−4y+42−y+5﹣3x的值．
【解答】解：（1）∵a＝3+22，b＝3﹣22，
∴a2+ab+b2＝a2+2ab+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣ab
＝36﹣1
＝35；
（2）∵3x−2≥02−3x≥0，
∴x≥23x≤23，
∴x=23，
∴y＞2，
∴y2−4y+42−y+5﹣3x
=(y−2)22−y+5﹣3x
=|y−2|−(y−2)+5﹣3x
＝﹣1+5﹣3x
＝4﹣3x
＝4﹣3×23
＝2．
27．（2022春•藁城区校级期中）求代数式a+1−2a+a2的值．其中a＝1011，如图所示的是小亮和小芳的解答过程．
（1） 小亮 的解法是错误的；
（2）求代数式a+2a2−6a+9的值，其中a＝﹣2022．
【分析】（1）先将被开方式进行因式分解，然后根据二次根式的性质进行化简，从而作出判断；
（2）先将被开方式进行因式分解，然后根据二次根式的性质进行化简，最后代入求值．
【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，理由如下：
原式＝a+(1−a)2，
∵a＝1011，
∴1﹣a＜0，
∴原式＝a+a﹣1＝2a﹣1＝2×1011﹣1＝2021，
故答案为：小亮；
（2）原式＝a+2(a−3)2，
∵a＝﹣2022，
∴a﹣3＜0，
∴原式＝a+2（3﹣a）
＝a+6﹣2a
＝6﹣a
＝6﹣（﹣2022）
＝6+2022
＝2028．
28．（2022秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知a=12+3．求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：
∵a=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3∴a﹣2=−3
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简12+1+13+2+14+3+⋯+150+49；
（2）比较6−5 ＞ 7−6；（填“＞”或“＜”）
（3）A题：若a=2+1，则a2﹣2a+3＝ 4 ．
B题：若a=13−1，则4a2﹣43a+7＝ 5 ．
【分析】（1）根据分母有理化的方法化简即可；
（2）先将16−5和17−6化简，比较大小，从而可比较6−5 和7−6；
（3）A题：由a=2+1，可得a﹣1=2，（a﹣1）2＝2，从而可得a2﹣2a＝1，进一步求解即可；
B题：由a=13−1，可得a=3+12，从而可得2a−3=1，两边同时作平方，可得4a2−43a=−2，进一步求解即可．
【解答】解：（1）12+1+13+2+14+3+⋯+150+49
=2−1+3−2+4−3+⋯+50−49
=50−1
=52−1；
（2）16−5=6+5，
17−6=7+6，
∵6+5＜7+6，
∴6−5＞7−6，
故答案为：＞；
（3）A题：∵a=2+1，
∴a﹣1=2，
∴（a﹣1）2＝2，
即a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴a2﹣2a+3＝4，
故答案为：4；
B题：∵a=13−1，
∴a=3+12，
∴2a−3=1，
∴(2a−3)2=1，
即4a2−43a+3=1，
∴4a2−43a=−2，
∴4a2﹣43a+7＝5，
故答案为：5．
29．（2021秋•洛宁县月考）学习了二次根式的乘除后，李老师给同学们出了这样一道题：已知a=2−1，求a2−2a+1a2−1的值．小明想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程：
解：原式=(a−1)2(a+1)(a−1)=a−1(a+1)(a−1)=1a+1．
当a=2−1时，原式=12−1+1=22．
李老师看了之后说：小明错误地运用了二次根式的性质，请你指出小明错误地运用了二次根式的哪条性质，并写出正确的解题过程．
【分析】小明错误运用了a2=|a|这条性质；利用a=2−1得到a﹣1＜0，则原式=−(a−1)(a+1)(a−1)，约分得到原式=−1a+1，然后把a的值代入计算即可．
【解答】解：小明错误运用了a2=|a|这条性质；
正确解法为：原式=(a−1)2(a+1)(a−1)=|a−1|(a+1)(a−1)，
∵a=2−1，
∴a﹣1＜0，
∴原式=−(a−1)(a+1)(a−1)
=−1a+1
=−12−1+1
=−22．
30．（2022春•赤坎区校级期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如a与a，2+1与2−1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：23=2×33×3=63，23−3=2(3+3)(3−3)(3+3)=2(3+3)9−3=2(3+3)6=3+33．
（1）请你写出3+11的有理化因式： 3−11 ；
（2）请仿照上面的方法化简1−b1−b（b≥0且b≠1）；
（3）已知a=13−2，b=13+2，求a2+b2+2的值．
【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；
（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；
（3）通过分母有理化可化简a、b，从而求出a+b、ab，根据a2+b2+2=(a+b)2−2ab+2，将a+b，ab的值代入即可求解．
【解答】解：（1）∵（3+11）（3−11）＝9﹣11＝﹣2，
∴3−11是3+11的有理化因式，
故答案为：3−11；
（2）1−b1−b
=(1−b)(1+b)(1−b)(1+b)
=(1−b)(1+b)1−b
＝1+b；
（3）∵a=13−2=−3−2，b=13+2=2−3，
∴a+b＝﹣23，ab＝﹣1，
∴a2+b2+2
=(a+b)2−2ab+2
=(−23)2−2×(−1)+2
=16
＝4．
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