北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆与圆的位置关系当堂检测题

2.4　圆与圆的位置关系

1.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是(　　).

A.内切 B.相交 

C.外切 D.相离

解析:圆x2+y2-1=0的圆心为C1(0,0),半径为r1=1,圆x2+y2-4x+2y-4=0的圆心为C2(2,-1),半径为r2=3.

两圆的圆心距d=|C1C2|=,又r2-r1=2,r1+r2=4,所以r2-r1<d<r1+r2,故两圆相交.

答案:B

2.已知0<r<+1,则两圆x2+y2=r2与(x-1)2+(y+1)2=2的位置关系是(　　).

A.外切 B.相交 C.外离 D.内含

解析:设圆(x-1)2+(y+1)2=2的圆心为O',

则点O'为(1,-1).

两圆的圆心距d=.

因为|r-|<+r,所以两圆相交.

答案:B

3.(多选题)若点P在圆C1:x2+y2=1上,点Q在圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0上,则(　　).

A.|PQ|的最小值为0

B.|PQ|的最大值为7

C.两个圆心所在直线的斜率为-

D.两个圆的公共弦所在直线的方程为6x-8y-25=0

解析:根据题意,圆C1:x2+y2=1,其圆心为C1(0,0),半径r1=1;

圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0,即(x-3)2+(y+4)2=1,其圆心为C2(3,-4),半径r2=1.

因为圆心距|C1C2|==5,

所以|PQ|的最小值为|C1C2|-r1-r2=3,最大值为|C1C2|+r1+r2=7,故A错误,B正确;

对于C,圆心C1(0,0),圆心C2(3,-4),则两个圆心所在直线的斜率k==-,故C正确;

对于D,两圆圆心距|C1C2|=5,有|C1C2|>r1+r2=2,两圆外离,不存在公共弦,故D错误.

答案:BC

4.圆A、圆B、圆C两两外切,半径分别为2,3,10,则△ABC的形状是(　　).

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.不确定

解析:△ABC的三边长分别为5,12,13,因为52+122=132,所以△ABC为直角三角形.

答案:B

5.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=(　　).

A.4 B.4 C.8 D.8

解析:因为两圆都与两坐标轴相切,且都经过点(4,1),所以两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等.

设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b),

则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,

即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,

整理得x2-10x+17=0.

所以a+b=10,ab=17,

所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32.

所以|C1C2|==8.

答案:C

6.已知以C(4,-3)为圆心的圆与圆O:x2+y2=1相切,则圆C的方程是　　. 

解析:设圆C的半径为r.

由已知得圆心距|CO|==5.

当圆C与圆O外切时,r+1=5,r=4;

当圆C与圆O内切时,r-1=5,r=6,所以圆C的方程为(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36.

答案:(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36

7.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2,则a=　　　　　. 

解析:将两圆的方程相减,得公共弦所在直线的方程为y=,圆心(0,0)到直线y=的距离d==1,所以a=1.

答案:1

8.经过直线x+y+1=0与圆x2+y2=2的交点,且过点(1,2)的圆的方程为　. 

解析:由已知,可设所求圆的方程为x2+y2-2+λ(x+y+1)=0,将点(1,2)的坐标代入,可得λ=-,故所求圆的方程为x2+y2-x-y-=0.

答案:x2+y2-x-y-=0

9.已知圆O的方程是x2+y2-2=0,圆O'的方程是x2+y2-8x+10=0.由动点P向☉O和☉O'所引的切线长相等,则动点P的轨迹方程是　　　　　. 

解析:圆O的圆心为O(0,0),半径r=;圆O'的圆心为O'(4,0),半径r'=.

设点P(x,y),由切线长相等,得x2+y2-2=(x-4)2+y2-6,解得x=,这就是动点P的轨迹方程.

答案:x=

10.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心为O2(2,1).

(1)若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程,并求内公切线方程;

(2)若圆O2与圆O1交于A,B两点,且|AB|=2,求圆O2的方程.

解:(1)设圆O1,O2的半径分别为r1,r2.

由两圆外切,得|O1O2|=r1+r2.

又|O1O2|==2,

所以r2=|O1O2|-r1=2(-1),

故圆O2的方程是(x-2)2+(y-1)2=12-8.

两圆的方程相减,即得两圆内公切线的方程为x+y+1-2=0.

(2)设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=.

因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,所以两圆的方程相减,可得两圆公共弦AB所在直线的方程4x+4y+-8=0.

过点O1作O1H⊥AB,垂足为点H(图略),

则|AH|=|AB|=,

|O1H|=.

所以圆心O1(0,-1)到直线AB的距离为,解得=4或=20.

故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.

11.已知两圆M:x2+y2=10和N:x2+y2+2x+2y-14=0.

(1)求两圆的公共弦所在直线的方程;

(2)求过两圆交点且圆心在直线x+2y-3=0上的圆的方程.

解:(1)由

解得

故两圆的交点为(-1,3),(3,-1).

由直线方程的两点式,可得两圆的公共弦所在直线的方程为x+y-2=0.

(2)由两圆方程,可得圆心连线所在直线的方程为y=x.

由圆的性质,可得所求圆的圆心在直线y=x上.

由解得x=y=1.

则所求圆的圆心坐标为(1,1),

半径r==2,

故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=8.