数学选择性必修 第二册第二章 导数及其应用7 导数的应用7.1 实际问题中导数的意义测试题

【基础】7.1 实际问题中导数的意义同步练习

一．填空题

1．设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集为__________.

2．已知函数，则的单调减区间为__________.

3．已知函数（为自然对数的底数，），当时，函数有______个零点；若函数有四个不同零点，则实数的取值范围是______．

4．设奇函数定义在上，其导函数为，且，当时，,则关于的不等式的解集为      ．

5．已知函数为偶函数，函数，则______；若对恒成立，则的取值范围为______.

6．已知定义在上的函数的导函数为，且，，则关于的方程的解集为_____________.

7．已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是_________．

8．已知函数，，若曲线与在处有相同的切线，则函数的最小值为________.

9．已知函数，若有3个零点，则实数的取值范围为________.

10．在锐角三角形中，已知，则的取值范围是________.

11．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为，其底面两邻边之比为，则它的长为__________，高为__________时，可使表面积最小.

12．定义在R上的偶函数，其导函数，当时，恒有，若，则不等式的解集为____________

13．设直线与函数，的图象分别交于点，则当达到最小值时，的值为________．

14．已知函数，函数在上的最大值为__________.

15．已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是__.

16．函数的单调减区间是______．

17．设函数是奇函数的导函数， ，当时，，则不等式的解集为______________.

18．已知函数在区间上有四个不同的零点，则实数的取值范围为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】构造函数，由已知可得当时，，从而可得函数在单调递减，右由已知可得函数是定义在上的奇函数，故可得，且在单调递减，结合图像，即可求得结果.

详解：解：当时，，

，

令，

当时，，单调递减，即在单调递减.

分别是定义在上的奇函数和偶函数，

，是定义在上的奇函数.

在单调递减，且.

，.

根据单调性和特殊点画出函数图像如图：

由图像可得的解集为，

即不等式的解集为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，函数的奇偶性的应用，构造函数解不等式，数形结合的思想，属于中档题.

2．【答案】

【解析】先求函数定义域，然后对函数求导，使导函数小于零，求出的解集与定义域求交集就是所求的单调减区间

详解：解：函数的定义域为，

由，得，

令，则，解得，

又因为，所以，

所以的单调减区间为，

故答案为：

【点睛】

此题考查利用导数求函数的单调区间，解题时要注意函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.

3．【答案】     

【解析】当时，由可得出，令，可得出，解得，，利用导数研究函数的单调性与极值，观察直线．与函数图象的交点个数，可得此时函数的零点个数；令，可得出，令，可得出，解得，，由题意可得，，进而可解得实数的取值范围.

详解：当时，，，

令可得，令，可得，整理得，

解得，.

对于函数，，令得，列表如下：

当时，，如下图所示：

由图象可知，直线与曲线有个交点，直线与曲线只有个交点，

所以，当时，函数的零点个数为；

对于函数，，

令，可得，

令，可得，即，

即，

由于函数有四个不同零点，则关于的方程必有两个不等实根．，且，，

所以，，则，解方程得，，

由题意可得，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查函数零点个数的判断，同时也考查了利用函数的零点个数求参数，将问题转化为复合函数的零点是解题的关键，考查化归与转化思想以及数形结合思想的应用，属于较难题.

4．【答案】

【解析】详解：设，∴，

∵是定义在上的奇函数，∴，

∴是定义在上的偶函数，

∵当时，，

∴，∴在上单调递减，在上单调递增，

∵，∴，

∵，

∴，，或，，

∴或.

∴关于x的不等式的解集为.

考点：利用导数研究函数的单调性.

5．【答案】1     

【解析】由已知条件，利用函数奇偶性的性质可得为奇函数，进而根据奇函数的定义求得；将题中不等式分离参数为，构造函数，利用导数求得其最小值，根据不等式恒成立的意义得到的取值范围为.

详解：因为为奇函数，为偶函数，

所以为奇函数，

∴，所以，则.

因为对恒成立，

所以对恒成立.

设函数，则，

显然在上单调递增，且，

所以当时，；当时，.

从而可得，

故的取值范围为.

故答案为：1；.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性，利用导数求不等式恒成立中的参数取值范围问题，难度中等，关键是分离参数，构造函数并利用导数求函数的最值.

6．【答案】

【解析】由所给等式变形可得，则，令可求得c从而求出的解析式，利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可.

详解：因为，所以，即，

所以，

因为，所以，解得，则，，

当时，，函数在上单调递增，

又，所以的解集为.

故答案为:

【点睛】

本题考查导数的运算法则．利用导数研究函数的单调性．利用函数的单调性解不等式，属于中档题.

7．【答案】

【解析】由得，即.设，由得，从而.判断函数的单调性，数形结合求实数的取值范围.

详解：，

即.

设.

,

.

由，得；由，得或，

函数在上单调递增，在和上单调递减，如图所示

当时，.

又，且时，，

由图象可知，要使不等式的解集中恰有两个整数，

需满足，即.

所以实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.

8．【答案】0

【解析】首先对函数和求导，代入，求得切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，利用两直线重合得到方程组，求得，利用导数研究的单调性，确定出最小值，得到结果.

详解：因为，，有，，

所以，且，

所以在处的切线方程为，即，

在处的切线方程为，即，

因为两条切线相同，所以有，解得，

所以，，

，，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递减，在时单调递增，

所以在处取得最小值，且，

故答案为：0.

【点睛】

该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有曲线在某个点处的切线方程的求解，利用导数研究函数的最值，属于中档题目.

9．【答案】

【解析】分别画出函数与的图象，根据两图象的交点有3个，可得结果.

详解：由题可知：有3个零点

等价于函数与的图象有3个交点

当时，，则

可知若，，则函数单调递减

若，，则函数单调递增

当时，，则

则函数在单调递增

又直线恒过原点

如图

当直线与相切时，设切点为

，

所以，所以

当直线与相切时，切点为原点

所以，则

由函数在单调递减，在单调递增

所以，所以

又函数与的图象有3个交点

则

故答案为：

【点睛】

本题考查根据函数零点个数求参问题，常常使用等价转化的思想，转化为两个函数交点个数问题，数形结合，解决问题，属中档题.

10．【答案】

【解析】利用同角三角函数关系式化简条件，构造函数将双变量转化单变量并结合锐角三角形得到取值范围，利用三角函数的恒等变换化简为，构造函数利用导数研究其值域即可.

详解：由题意可得，，

即.不妨设

则

由得 令 ，

单调递减，

单调递增，

取得极小值，也是最下值，，

所以在上的值域为，

所以 ,又△为锐角三角形，

所以，

则 ，故 .

,

令，故在 上单调递增，

所以的值域为

 故的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查三角函数式的化简及构造函数，利用导数研究函数的性质，属于能力提升题.

11．【答案】     

【解析】设底面的长为，则由条件可得宽为，高为，所以表面积，然后利用导数可求出答案.

详解：设底面的长为，则由条件可得宽为，高为

所以表面积

因为，，

所以在上单调递减，上单调递增

所以当时取得最小值，即此时长为，宽为，高为

故答案为：；

【点睛】

本题考查的是长方体的表面积．体积公式和利用导数求最值，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.

12．【答案】.

【解析】利用是偶函数．以及导数可得在上为递减函数，再根据奇偶性和单调性可解得结果.

详解：因为是偶函数，所以且，

因为，所以，

因为，且，所以，

所以在上为递减函数，

所以，

即，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了函数的奇偶性，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.

13．【答案】1

【解析】先构造函数：设，再利用导数求函数的单调性及极值：由，即函数在为减函数，在为增函数，即，得解．

详解：解：设，

则，

当时，，当时，，

即函数在为减函数，在为增函数，

即，

即当达到最小值时，的值为1，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了构造函数求距离的最值及导数的应用，属于中档题．

14．【答案】

【解析】根据，求导函数，根据在上单调性求解.

详解：因为函数，

所以，

所以在上单调递增，

所以函数在上的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数法求函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

15．【答案】.

【解析】利用导数判断出函数的单调区间，作出函数的图象，数形结合即可

详解：解：当时，函数单调递增；

当时，，则

时，，时，，

故当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取极小值，极小值为；

当时，

作出函数的图象如图：

函数恰有3个零点，等价于函数与的图象有且仅有3个交点，

由图可知，，

故答案为：

【点睛】

本题考查函数零点与方程根的关系，涉及利用导数判断函数单调性，数形结合思想等，属于中档题.

16．【答案】

【解析】分析：先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出的范围，写成区间形式，可得到函数的单调减区间.

详解：函数的定义域为，，令，得函数的单调递减区间是，故答案为.

点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.

17．【答案】

【解析】根据当时，，构造函数 ，求导

，在上是减函数，再根据是奇函数，在上是增函数，由，，写出的解集.

详解：设 ，

所以，

因为当时，，则，

所以在上是减函数，

又因为是奇函数，所以在上是增函数，

因为，所以，

所以当 或时，，

所以不等式的解集为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查构造函数，用导数研究函数的单调性解不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

18．【答案】

【解析】根据函数在R上有四个不同的零点，得到和上各自都有两个零点，分类讨论，即可求解．

详解：由题意，要使得函数在R上有四个不同的零点，

则当和上各自都有两个零点，

当时，函数的两根方程为，，所以，解得；

当时，函数，则，解得，

所以当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以当，函数取得最大值，所以，解得，

综上可得实数的取值范围为．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中涉及到二次函数的零点问题，以及利用导数研究函数的单调性与最值的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．