高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用7 导数的应用7.1 实际问题中导数的意义达标测试

【特供】7.1 实际问题中导数的意义优选练习

一．填空题

1．设函数，，若为的极小值点，则______．

2．如图，用平行于母线的竖直平面截一个圆柱，得到底面为弓形的圆柱体的一部分，其中M．N为弧．的中点，，且，当几何体的体积最大值时，该柱体的高为______.

3．设，，，则的值域为__________，函数在上的最大值为，则的值为_________．

4．已知函数的单调增区间为__________

5．已知函数，，则_______．

6．如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为.，，为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得，，重合，得到三棱锥.当所得三棱锥体积（单位：）最大时，的边长为_________（）.

7．已知对任意，都有，则实数的取值范围为_________．

8．已知函数有两个不同的极值点，，则的取值范围是_____；若不等式有解，则的取值范围是______.

9．函数在上递减，则实数的取值范围是_____.

10．函数在处有极值，则的值是__________．

11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程有解，则实数的取值范围是________．

12．记函数若对任意的实数，总存在实数，使得成立，则实数的取值集合______.

13．规定，若函数在定义域上的值域是，则称该函数为“绅士风度”函数.已知函数（且）为“绅士风度”函数，则的取值范围是______.

14．用边长为的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大________，在四角截去的正方形的边长为________.

15．若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质．下列函数中所有具有性质的函数的序号为_______．

①②③④

16．已知函数.

若，则的极大值点为______．

若有3个极值点，则实数的取值范围是______．

17．已知偶函数的导函数为，且满足.当时，，则使得成立的x的取值范围为__________.

18．已知是奇函数，若恒成立，则实数a的取值范围是______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】本题根据极小值的信息，求出导函数，令其等于0，根据范围求解，代入求解即可.

详解：

，

令， 整理得：或，

解得：或．

当时，；

当时，；

当时，，

∴，

∴．

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数的导函数，求极小值点的问题以及三角函数求值问题，是中档题.

2．【答案】2

【解析】作出所在圆面，设圆心为，半径为，过M作，易知△和△都是正三角形，且四边形是菱形，设，可知，从而可得该柱体的底面积，高，即可得到体积的表达式，然后构造函数，，通过判断单调性可求出答案.

详解：作出所在圆面（如下图），设圆心为，半径为，

过M作，垂足为，因为，所以，

又，所以△和△都是正三角形，

所以，故四边形是菱形.

设，则，，

所得柱体的底面积为.

又，所以柱体的高，

所以几何体的体积，其中.

令，，则，

由，解得，列表如下：

所以当时，取得最大值，此时该柱体体积最大，高为.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查柱体的体积，考查利用导数解决实际问题，考查学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于难题.

3．【答案】     

【解析】求得函数的导数，得出函数的单调性，求得函数的最值及值域，根据函数的恒成立，列出相应的不等式组，求得实数的值，即可求解.

详解：由题意，函数，则，

因为，所以，所以函数在区间单调递减，

可得函数的最小值为，最大值为，

所以函数的值域为；

由，

因为函数在上的最大值为，即在恒成立，

所以 ，两式相加可得，

又因为，所以，解得，

又因为，所以，

可得，即，可得，所以.

故答案为：；.

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值，以及函数的恒成立问题的求解，着重考查了推理与运算能力，试题综合性强，属于中档试题.

4．【答案】和

【解析】求出函数的导数，令可得答案

详解：由函数，定义域为

得

由，结合函数的定义域可得：或.

所以函数单调增区间为和

故答案为： 和

【点睛】

本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，属于基础题．

5．【答案】

【解析】根据已知条件求得，结合是偶函数，即可求得结果.

详解：因为，

又因为，故可得；

又因为是奇函数，故为偶函数.

又也是偶函数，故可得.

故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用函数奇偶性求函数值，以及导数的计算，属综合基础题.

6．【答案】

【解析】连接，交于点，设，求出，，构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而得出时，所得三棱锥体积最大时，进而得解.

详解：如图，连接，交于点，连接，

由题意，知，，，

所以，，所以，

设，则，，

三棱锥的高，

，

则三棱锥的体积，

令，

则，

令，即，解得，

所以，当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减，

所以，当时，取得极大值，也是最大值，

此时，，

所以，当所得三棱锥体积最大时，的边长为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查三棱锥体积的计算及利用导数研究函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，本题的解题关键是掌握根据导数求极值的方法，属于中档题.

7．【答案】

【解析】首先将不等式转化为，再利用对数的运算法则转化为，构造函数，应用导数研究函数的单调性得到其在单调递增，不等式可以转化为，所以，所以，根据在单调递增，在单调递减，得到，从而求得的取值范围.

详解：因为，

所以①，

令，则，

所以，

当时，，当时，，

所以在单调递减，在单调递增，

所以，

所以在单调递增，

因为①式可化为，

所以，所以，

令，

所以可求得在单调递增，在单调递减，

所以，所以，

故答案为：.

【点睛】

该题考查的是有关应用导数解决不等式成立时参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有构造新函数，利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，恒成立问题向最值靠拢，属于较难题目.

8．【答案】     

【解析】根据有两个不同极值点，可得两个不相等的正实数根，根据二次函数的性质即可求解；将不等式转化为，代入方程，化简整理，即可得结果.

详解：由题可得（），因为函数有两个不同的极值点，，所以方程有两个不相等的正实数根，

于是有解得.

若不等式有解，所以

因为

.

设，

，故在上单调递增，故，

所以，所以的取值范围是.

【点睛】

本题考查导函数的实际应用，重点在于将题干中“两个不同的极值点”转化为导函数等于0时，有两个不相等的实数根，然后进行求解，计算难度偏大，属中档题.

9．【答案】

【解析】求出函数的导数，由函数在上递减，故在上恒成立，即可求出参数的取值范围；

详解：解：因为的定义域为，

又因为在上递减，故在上恒成立，

在上恒成立，

因为在上单调递减，

，

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.

10．【答案】2

【解析】

∵，

∴，

∵函数在处有极值，

∴，即：，

∴，

解得．

故答案为：2.

11．【答案】

【解析】本题首先可以根据得出，然后利用求出函数在区间上的单调性与取值范围，再然后根据函数是奇函数求出当时函数的取值范围，最后根据函数在上的取值范围即可得出实数的取值范围.

详解：当时，，，

当，，解得，函数为增函数；

当，，解得，函数为减函数，

故当时，函数在上最大值，，

因为当无限接近时，无限接近，当，，

所以当时，，

因为函数是定义在上的奇函数，

所以当时，，，

所以当，，

故若关于的方程有解，则实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的取值范围，考查奇函数的相关性质的应用，能否根据导函数求出函数的单调性以及最值是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是中档题.

12．【答案】

【解析】由题意得的值域为R，求出在单调递增，其值域为，然后求导，求出函数的值域，通过求解和的值域，并分析是否满足题意，可推出实数s的取值集合.

详解：因为对任意的实数，总存在实数，使得成立，

所以的值域为R.

函数在单调递增，其值域为，

函数，，

当时，，所以在单调递增；

当时，，所以在单调递减，

①当时，函数在单调递增，单调递减，其值域为，又，不符合题意；

②当时，函数在单调递增，其值域为，由题意得，即；

令，

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减，

所以当时，有最小值，从而恒成立，

所以，，所以

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的综合应用，难点在于根据题意分析出的值域为R，并由此求出和的值域，进行分析，考查分类讨论的思想，属难题.

13．【答案】

【解析】由新定义可得方程有两个不相等的实根，两边取自然对数，转化为有两个不等的实根，令函数，分析其单调性得其最值，即可得到所求a的范围.

详解：由新定义可得函数在定义域上的值域是，即方程有两个不相等的实根，

即有，即有两个不相等的实根.

令，则的导数为，

所以当时，，递减，当时，，递增，

即有取得最大值，且，，，所以，

所以有.解得.

故答案为:.

【点睛】

本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性的运用，以及导数的运用:求单调区间和极值．最值，属于较难题.

14．【答案】8192    8 

【解析】设小正方形边长为，铁盒体积为．根据题意建立函数关系,利用导数研究函数的单调性,进而求解.

详解：解：设小正方形边长为，铁盒体积为．

．

．

∵，∴．

令，则(舍去 )，，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以当时铁盒的容积最大，，

故答案为：8192；8.

【点睛】

本题考查导数在实际问题中的应用，涉及利用导数研究函数的最值，属基础题.

15．【答案】①③④.

【解析】根据指数函数的单调性可知，①具有性质；利用导数研究函数函数的单调性可知，②不具有性质，③具有性质，④具有性质.

详解：对于①，令，因为，所以在上单调递增，故①具有性质；

对于②，令，则，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以②不具有性质；

对于③，令，则恒成立，所以在上单调递增，故③具有性质；

对于④，令，则，令，则，由，得，由，得，所以在内递减，在内递增，所以时，取得最小值1，

所以，，所以在内为单调递增函数，故④具有性质.

故答案为：①③④.

【点睛】

本题考查了指数函数的单调性，考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题.

16．【答案】     

【解析】当时，利用导数求得的极大值点；根据有三个极值点，利用分离常数法求得的取值范围.

详解：当时，，，

令，解得.所以在和上递增，

在上递减.所以的极大值点为.

，，

令得，

构造函数，

，

所以在上递增，在上递减，

所以的极大值为，极小值为

注意到当时，，

所以由有个极值点，可得.

所以实数的取值范围是.

故答案为：；

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，属于中档题.

17．【答案】

【解析】令，利用导数以及当时，，可得在上为减函数，再根据等价于，利用在上为减函数，可解得结果.

详解：令，则，…，

所以当时，，所以在上为减函数，

因为为偶函数，所以，

所以，所以为偶函数，

因为，所以，

所以当时，等价于等价于

所以，又在上为减函数，

所以，解得，又，

所以或.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.

18．【答案】

【解析】由题意结合奇函数的性质可得，进而可得，按照．讨论成立情况；当时，转化条件为恒成立，令，求导求得的最大值，令即可得解.

详解：由是奇函数可得，即，

所以，

当时，，可知此时单调递减，

所以，所以恒成立；

当时，，所以等价于，

令，则，

令，则，，

当时，，当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以，

若要使恒成立，则恒成立，

所以即；

当，，单调递增，所以恒成立，满足题意；

当时，，当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以，

若要使恒成立，则恒成立，

所以即；

综上所述，实数a的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了奇函数性质的应用及导数的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，合理构造新函数是解题关键，属于中档题.