人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精品同步练习题

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养

A夯实基础

1．平面的法向量为，平面的法向量为，则下列命题正确的是（       ）

A．，平行 B．，垂直

C．，重合 D．，相交不垂直

【答案】B

因为，所以，所以，垂直.

故选：B.

2．已知，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

故选：B

3．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的锐二面角的大小为（       ）

A．30° B．45° C．60° D．75°

【答案】B

，所以两平面所成的锐二面角的大小为45°．

故选：B

4．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面B1D1EF的距离为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

建立如图所示的空间直角坐标系，则，

故，，

设平面的法向量为，则，

取，则，故，

故到平面的距离为，

故选：A.

5．已知正方体的棱长为，则平面与平面的距离为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

由正方体的性质，∥,∥，，，

易得平面平面，

则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离．

以D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴

建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，，．

连接，由，，且，可知平面，

得平面的一个法向量为，

则两平面间的距离．

故选：C

6．鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

因为，且是直角三角形，所以.以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，，，，则，.故点到直线的距离.

故点到直线的距离是.

7．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（       ）．

A． B． C． D．

【答案】A

如图，设正方体棱长为1，，则，

以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．

则，故，，又，则，所以．

在正方体中，可知体对角线平面，

所以是平面的一个法向量，

所以．

所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值．

所以.

故选：A．

8．如图，在直三棱柱中，，，D为上一点．若二面角的大小为，则AD的长为（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

如下图所示，以为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

设，则，，，，平面的一个法向量为．

设平面的法向量为，由，得，

令，得平面的一个法向量为，

由题意知，解得，故选A.

二、多选题

9．直线的方向向量为，两个平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是（       ）

A．若，则直线平面

B．若，则直线平面

C．若，则直线与平面所成角的大小为

D．若，则平面，所成二面角的大小为

【答案】BC

【详解】

对于A：若，则直线平面，或直线平面，故A错误；

对于B：若，根据平行的传递性可得直线平面，故B正确；

对于C：因为直线与平面所成角范围为，且若，即与的夹角为，

所以直线与平面所成角的大小为，故C正确；

对于D：因为两面所成角范围为，若，则平面，所成二面角的大小为或，故D错误.

故选：BC

10．在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（       ）

A．平面

B．若是上的中点，则

C．直线与平面所成角的正弦值为

D．直线与直线所成角最小时，线段长为

【答案】ACD

由题意可得，，，，

，，，设，

，，

直三棱柱中，，

可得为平面的一个法向量，

为平面的一个法向量，

对于A，，，

即，又平面，所以平面，故A正确；

对于B，若是上的中点，则，

所以，所以与不垂直，故B不正确；

对于C，由为平面的一个法向量，，

设直线与平面所成角为，

则，故C正确；

对于D，设，

则，

当时，即时，取最大值，

即直线与直线所成角最小，此时，

，故D正确.

故选：ACD

三、填空题

11．如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角为_____;二面角的余弦值是_____. 

【答案】         

解：以为原点建立如图空间直角坐标系，

则

，，.

由，

故异面直线与所成角为，

设平面的一个法向量为，

由

设，得，

平面的一个法向量，

所以，

所以二面角的余弦值是.

故答案为：；.

12．已知为正方体，，分别是，的中点，异面直线与所成的角为_______

【答案】##

取点为原点，边，，所在的直线分别为，，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，

则，0，，，2，，，1，，，1，，

，

，，

，

与所成的角为．

故答案为：．

四、解答题

13．如图，四棱锥中，面，底面为菱形，，M是的中点．

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析(2)

(1)证明：∵面，面，

∴，

又,

∴平面.

(2)取的中点为N，则两两垂直，

∴以分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系如图，

则，

设面的法向量为，

则

令，则，．

又面，∴面的法向量，

∴，

又二面角的平面角为锐角，∴余弦值为．

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，E为PA上一点，且．

(1)证明：平面平面PAC；

(2)求直线PB与平面BEC所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析(2)

(1)证明：

∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，

∴PA⊥BC，

∵在直角梯形ABCD中，，，，，

∴，

∴，

∴，

又．平面PAC，平面PAC，

∴BC⊥平面PAC，

∵平面EBC，

∴平面EBC⊥平面PAC．

(2)以A为坐标原点，AD，AB，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示）．

∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，

∴PA⊥AD，

∵，，

∴，

∵，

∴，

易知，，，．

则，，．

设是平面BCE的法向量．

则，即，所以可取

∵．

∴直线PB与平面BEC所成角的正弦值为．

B能力提升

1．如图,在正方体中,点是线段上的动点,则下列判断：

①三棱锥的体积是定值与点位置无关；

②若异面直线与所成的角为,则的最大值为；

③无论点在线段的什么位置,都有；

④当点与线段的中点重合时,与异面．

其中正确的个数是(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

因为平面,所以点到平面的距离为,

设正方体的棱长为,则,即无论点在线段 的什么位置,三棱锥的体积为定值,故①正确；

建立如图所示的直角坐标系,

设正方体棱长为,则,

设, ,则,

又,设异面直线与 所成角为,

则 ,

当时,有最大值,此时点是线段 的中点,故②正确,

又，所以,所以,故③正确；

当点与线段的中点重合时,,显然与均在平面 ,故④错误,所以①②③正确.

故选：C.

2．如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，

则，，，，

若(0 ≤ λ ≤ 1)得：，

，

，

由，

∴，则.

故选：C.

3．已知正方体的棱长为1，在正方体内部，且满足，则点到直线AD的距离是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

如图，建立空间直角坐标系，则，，，，

故，，，

因为，所以，易知，

故点到直线AD的距离.

故选：B.

4．如图，在平行六面体中，AB＝AD＝2，，，点E是AB中点，则异面直线与DE所成角余弦值是______．

【答案】##

由题意，AB＝AD＝2，，

且,,

，

又,

,

,

设异面直线与DE所成角为，则.

故答案为：

C综合素养

1．在直三棱柱中，，，，，分别是，上的点，且．

(1)求证：∥平面；

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(1)以C为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

如图，则，，，，，，

设，因为，所以，

故，得，同理求得，所以，

因为是平面的一个法向量，且，

所以，又平面，所以平面；

(2)由（1）可得：

，，设平面的一个法向量为，

则，即令，则，所以，

又平面的一个法向量为，

设表示平面与平面所成锐二面角，则

2．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

(1)证明：MN∥平面；

(2)求平面与平面夹角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析(2)

(1)证明：连接．

因为分别为的中点，

所以，且．又因为为的中点，所以．

由题设知，可得，故，

因此四边形MNDE为平行四边形，．

又平面EDC1，平面EDC1，所以平面C1DE．

(2)解：由已知可得DE⊥DA．

以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

则，，，，

，，，．

设为平面A1MA的法向量，则，所以可取．

设为平面A1MN的法向量，则所以可取.

于是，.

所以平面AMA1与平面NMA1夹角的正弦值为．