人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精品练习题

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（精讲）

目录

第一部分：思维导图（总览全局）

第二部分：知识点精准记忆

第三部分：课前自我评估测试

第四部分：典 型 例 题 剖 析

重点题型一：利用空间向量求点线距

重点题型二：利用空间向量求点面距

重点题型三：转化与化归思想在求空间距离中的应用

重点题型四：利用向量方法求两异面直线所成角

重点题型五：利用向量方法求直线与平面所成角

重点题型六：利用向量方法求两个平面的夹角

第五部分：高考（模拟）题体验

知识点一：用向量法求空间距离

1、点到直线的距离

已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：

2、点到平面的距离

如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.

知识点二：用向量法求空间角

1、用向量运算求两条直线所成角

已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则

①

②.

2、用向量运算求直线与平面所成角

设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有

①

②.（注意此公式中最后的形式是：）

3、用向量运算求平面与平面的夹角

如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.

若分别为面，的法向量

①

②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；

若二面角为锐二面角（取正），则；

若二面角为顿二面角（取负），则；

1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误

（1）两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(        )

（2）直线l与平面的法向量的夹角的余角就是直线l与平面所成的角．(        )

（3）二面角的大小为，平面，的法向量分别为，，则．(        )

2．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线与所成的角为（       ）

A．30° B．150° C．60° D．120°

3．（2022·江苏·马坝高中高二期中）如图，在四棱锥中，，底面ABCD为长方形，，，Q为PC上一点，且，则异面直线AC与BQ所成的角的余弦值为（       ）

A． B．

C． D．

4．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期末（理））平面的法向量为，平面的法向量为，则下列命题正确的是（       ）

A．，平行 B．，垂直

C．，重合 D．，相交不垂直

5．（2022·江苏淮安·高二期中）已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（       ）

A． B． C． D．

重点题型一：利用空间向量求点线距

典型例题

例题1．（2022·江苏徐州·高二期末）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（  ）

A． B． C． D．

例题2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是______．

例题3．（2022·江西南昌·高二期中（理））如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为_______.

同类题型归类练

1．（2022·河北沧州·高二期末）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（       ）

A． B． C． D．6

2．（2022·天津·静海一中高二期末）已知点P(5，3，6)，直线l过点A(2，3，1)，且一个方向向量为，则点P到直线l的距离为(       )

A． B． C． D．

3．（2022·福建省同安第一中学高二阶段练习）已知，，，则点C到直线AB的距离为（       ）

A．3 B． C． D．

4．（2022·山东滨州·高二期末）已知空间直角坐标系中的点，，，则点P到直线AB的距离为（       ）

A． B． C． D．

重点题型二：利用空间向量求点面距

典型例题

例题1．（2022·江苏省扬州市教育局高二期末）已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_________.

例题2．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知平面的法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则________.

同类题型归类练

1．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））如图，在棱长为1的正方体中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面的距离为______．

2．（2022·广东·高二阶段练习）在直三棱柱中，，，E，F分别为棱、的中点，G为棱上的一点，且，则点G到平面的距离为______．

3．（2022·吉林·梅河口市第五中学高二期末）在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点A到平面的距离为___________.

4．（2022·全国·高二期末）如图，已知长方体中，，，则点到平面的距离为__________．

重点题型三：转化与化归思想在求空间距离中的应用

典型例题

例题1．（2022·湖南·高二课时练习）在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求平面与平面之间的距离．

例题2．（2022·湖南·高二课时练习）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，棱长为4，求平面与平面之间的距离．

同类题型归类练

1．（2022·江苏·高二课时练习）已知正方体的棱长为a，则平面与平面的距离为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高二）在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为

A． B．

C． D．

3．（2022·全国·高二课时练习）两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是

A． B． C． D．

4．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）在棱长为的正方体中，平面与平面间的距离是________.

重点题型四：利用向量方法求两异面直线所成角

典型例题

例题1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ）

A．         B．         C．    D．

例题2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长度为2，且．

(1)求的长；

(2)直线与所成角的余弦值．

例题3．（2022·江苏盐城·高一期末）在四棱锥中，已知底面是菱形，，，，若点为菱形的内切圆上一点，则异面直线与所成角的余弦值的取值范围是___________.

同类题型归类练

1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））在正三棱柱中，，点、分别为棱、的中点，则和所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·江苏省镇江中学高二期末）在空间直角坐标系O-xyz中，向量分别为异面直线方向向量，则异面直线所成角的余弦值为___________.

4．（2022·湖南岳阳·高二期末）如图，在直三棱柱中，侧面侧面分别为的中点，；

(1)求证：直线面；

(2)求异面直线与所成角的余弦值．

5．（2022·浙江·效实中学高一期中）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，面，，点为线段中点

(1)求证：面；

(2)求异面直线与所成角的大小.

重点题型五：利用向量方法求直线与平面所成角

典型例题

例题1．（2022·福建龙岩·高二期中）如图，正三棱柱的所有棱长都相等，，，分别为，，的中点，则与平面所成角的正弦值为（       ）

A． B． C． D．

例题2．（2022·全国·高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，且，为的重心，设与平面所成角的正弦值为_______．

例题3．（2022·全国·高三专题练习）如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，，，平面平面.为线段上一动点，当______时，直线与平面所成角的正弦值为.

同类题型归类练

1．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））平行六面体中，，则与底面所成的线面角的正弦值是（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习）如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为(　　)

A． B．

C． D．

3．（2022·上海中学高一期末）在正方体中，棱与平面所成角的余弦值为__________．

4．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（理））一个正方体的平面展开图如图所示.在该正方体中，以下命题正确的是___________.（填序号）

①；

②平面；

③与是异面直线且夹角为；

④与平面所成的角为；

⑤二面角的大小为.

5．（2022·浙江·高三期末）如图，已知菱形，，沿直线将翻折成，分别为的中点，与平面所成角的正弦值为，为线段上一点（含端点），则与平面所成角的正弦值的最大值为___________.

重点题型六：利用向量方法求两个平面的夹角

典型例题

例题1．（2022·四川省绵阳普明中学高二阶段练习（文））二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，，则该二面角的大小为（   ）

A．30° B．45° C．60° D．120°

例题2．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）如图，在四棱锥中，，分别是，的中点，底面，，，，若平面平面，则二面角的正弦值是_________.

例题3．（2022·江苏·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面中，，侧面平面，且，点在棱上，且．

则二面角的余弦值为____________

同类题型归类练

1．（2022·全国·高二课时练习）在一个二面角的两个半平面上，与二面角的棱垂直的两个向量分别为、，则这个二面角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．或

2．（2022·河南·华中师范大学附属息县高级中学高二阶段练习（理））已知矩形ABCD，，，将沿AC折起到的位置若，则二面角平面角的余弦值的大小为（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·北京八中高二期末）已知长方体中，，，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

4．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AD，DD1的中点，则平面EFC1B和平面BCC1所成锐二面角的正弦值为________.

5．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且平面ABCD，，点F为PC的中点，则二面角的正切值为__________

1．（2022·全国·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；

(2)若，，，求二面角的正弦值．

2．（2022·全国·高考真题（理））如图，四面体中，，E为的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．