第五章 章末测试题

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专项培优5 章末复习课知识网络·形成体系　考点聚焦·分类突破考点一　三角函数求值1．三角函数求值是高考重点考查内容之一，常涉及到三角函数的概念、同角三角函数基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式，熟记以上公式是解决问题的前提．2．通过对三角函数求值问题的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．例1　(1)已知α∈(0，π2)，且3cos 2α＋sin α＝1，则(　　)A．sin (π－α)＝23 B．cos (π－α)＝－23C．sin (π2＋α)＝－53 D．cos (π2＋α)＝－53(2)若tan θ＝－2，则sinθ1+sin2θsinθ+cosθ＝(　　)A．－65 B．－25C．25 D．65(3)已知α，β∈(－π2，π2)，tan α＝3，cos (α＋β)＝－55，则tan (α－β)＝(　　)A．－52 B．12C．2 D．112考点二　三角函数的图象1．三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定．2．通过对三角函数图象的变换和根据图象求解析式的考查，提升学生的直观想象和数学运算素养．例2　(1)要得到函数y＝sin x＋cos x的图象，只需将函数y＝2cos 2x的图象上所有的点(　　)A．先向右平移π8个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)B．先向左平移π8个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)C．先向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)D．先向左平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)(2)(多选)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝(　　)A.sin (2x＋2π3)B．sin (π3－2x)C．cos (2x＋π6)D．cos (5π6－2x)考点三　三角函数的性质1．对三角函数的性质考查多以三角函数的最值(或值域)、单调性、奇偶性、对称性为主，在研究以上性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．2．通过对三角函数性质的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．例3　(1)下列区间中，函数f(x)＝7sin (x－π6)单调递增的区间是(　　)A．(0，π2) B．(π2，π)C．(π，3π2) D．(3π2，2π)(2)(多选)已知三角函数f(x)＝2sin (2x＋π3)，以下对该函数的说法正确的是(　　)A．该函数的最小正周期为πB．该函数在(－π6，π6)上单调递增C．x＝－π6为其一条对称轴D．该函数图象关于点(－π6，0)对称(3)已知函数f(x)＝2sin (2x＋π3)＋m，x∈R，且f(x)在-π4，π6上的最小值为0.①求f(x)的最小正周期及单调递增区间；②求f(x)的最大值以及取得最大值时x的取值集合．考点四　三角恒等变换、三角函数的图象与性质的综合1．利用和差角、二倍角及其变形公式将函数f(x)的表达式变换为f(x)＝A sin (ωx＋φ)的形式，再研究f(x)的图象与性质(如求周期、单调区间、最值等)，这是处理三角函数问题最基本且最重要的通法．2．通过对三角恒等变换、三角函数的图象与性质的综合考查，提升学生的逻辑推理、直观想象和数学运算素养．例4　已知函数f(x)＝cos4x－2sinx cos x－sin4x.(1)求f(x)的单调增区间；(2)当x∈-π4，π4，求f(x)的值域，并求取得最小值时x的取值集合．专项培优5　章末复习课考点聚集·分类突破例1　解析：(1)∵3cos 2α＋sin α＝1，α∈(0，π2)，∴3(1－2sin2α)＋sinα＝1，即6sin2α－sinα－2＝0，∴sin α＝23或sin α＝－12(舍去)，∴cos α＝53，sin (π－α)＝sin α＝23，cos (π－α)＝－cos α＝－53，sin (π2＋α)＝cos α＝53，cos (π2＋α)＝－sin α＝－23，故选项A正确．(2)将式子进行齐次化处理得：sinθ1+sin2θsinθ+cosθ＝sinθsin2θ+cos2θ+2sinθcosθsinθ+cosθ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sinθsinθ+cosθsin2θ+cos2θ＝tan2θ+tanθ1+tan2θ＝4-21+4＝25.故选C.(3)因为α∈(－π2，π2)，tanα＝3>0，故α∈(0，π2)，因为β∈(－π2，π2)，故－π2<α＋β<π，而cos (α＋β)＝－55<0，故π2<α＋β<π，所以tan (α＋β)＝－2，故tan β＝tan [(α＋β)－α]＝-2-31+-2×3＝1，所以tan (α－β)＝3-11+3×1＝12.故选B.答案：(1)A　(2)C　(3)B例2　解析：(1)y＝sin x＋cos x＝2cos (x－π4)，将函数y＝2cos 2x的图象上所有的点向右平移π8个单位长度得到y＝2cos 2(x－π8)＝2cos (2x－π4)，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝2cos (x－π4)．(2)由函数图象可知：T2＝2π3-π6＝π2，∴T＝π，则|ω|＝2πT＝2ππ＝2，不妨令ω＝2，当x＝23π+π62＝5π12时，y＝－1，∴2×5π12＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)，解得：φ＝2kπ＋2π3(k∈Z)，即函数的解析式为：y＝sin (2x＋2π3＋2kπ)＝sin (2x＋2π3)，故A正确；又sin (2x＋2π3)＝sin (π＋2x－π3)＝sin (π3－2x)，故B正确；又sin (2x＋2π3)＝sin (2x＋π6+π2)＝cos (2x＋π6)，故C正确；而cos (2x＋π6)＝cos (π＋2x－5π6)＝－cos (2x－5π6)＝cos (5π6－2x)，故D错误．答案：(1)A　(2)ABC例3　解析：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)，对于函数f(x)＝7sin (x－π6)，由2kπ－π2≤x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得2kπ－π3≤x≤2kπ＋2π3(k∈Z)，取k＝0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为[－π3，2π3]，则(0，π2)⊆[－π3，2π3]，(π2，π) ⊈ [－π3，2π3]，A选项满足条件，B不满足条件；取k＝1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为[5π3，8π3]，[π，3π2]⊈ [－π3，2π3]且[π，3π2]⊈ [5π3，8π3]，[3π2，2π]⊈ [5π3，8π3]，CD选项均不满足条件．(2)函数f(x)＝2sin (2x＋π3)，函数的最小正周期为T＝2πω＝2π2＝π，故选项A正确；当x∈(－π6，π6)时，2x＋π3∈(0，2π3)，而y＝2sin x在(0，π2)上单调递增，在(π2，2π3)上单调递减，所以函数f(x)＝2sin (2x＋π3)在(－π6，π12)上单调递增，在(π12，π6)上单调递减，故选项B错误；因为f(－π6)＝2sin 2×-π6+π3＝0，所以函数f(x)＝2sin (2x＋π3)图象关于点(－π6，0)对称，故选项D正确，C错误．(3)①f(x)的最小正周期为π.令－π2＋2kπ≤2x＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－5π12＋kπ≤x≤π12＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为-5π12+kπ，π12+kπ(k∈Z)．②当x∈-π4，π6时，2x＋π3∈-π6，2π3.f(x)min＝2×(－12)＋m＝0，解得m＝1.所以f(x)＝2sin (2x＋π3)＋1.当2x＋π3＝π2＋2kπ，k∈Z，即x＝π12＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值，且最大值为3.故f(x)的最大值为3，取得最大值时x的取值集合为{x|x=π12+kπ，k∈Z}答案：(1)A　(2)AD　(3)见解析例4　解析：(1)f(x)＝cos4x－2sinx cos x－sin4x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－2sinx cos x＝(cos2x－sin2x)－2sinx cos x＝cos 2x－sin 2x＝2cos (2x＋π4)，∵π＋2kπ≤2x＋π4≤2π＋2kπ，k∈Z，∴3π8＋kπ≤x≤7π8＋kπ，k∈Z，∴f(x)的单调增区间为3π8+kπ，7π8+kπ，k∈Z.(2)当x∈-π4，π4，∴－π2≤2x≤π2，∴－π4≤2x＋π4≤3π4，所以－22≤cos (2x＋π4)≤1，－1≤2cos (2x＋π4)≤2，∴f(x)的值域为[－1，2].当2x＋π4＝3π4时，即x＝π4，∴f(x)取最小值时x的集合为π4.