第五章末过关检测

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章末过关检测(五)　三角函数一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．sin  eq \f(13π,6) ＝(　　)A． eq \f(1,2)  B．－ eq \f(1,2)  C． eq \f(\r(3),2)  D．－ eq \f(\r(3),2) 2．若sin (π－α)>0，tan (π＋α)<0，则角α的终边在(　　)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．将函数y＝sin 5x的图象向左平移 eq \f(π,6) 个单位后，所得图象对应的函数是(　　)A．y＝sin (5x－ eq \f(π,6) ) B．y＝sin (5x－ eq \f(5π,6) )C．y＝sin (5x＋ eq \f(π,6) ) D．y＝sin (5x＋ eq \f(5π,6) )4．函数y＝sin22x的最小正周期是(　　)A． eq \f(π,2)  B．π C．2π D．4π5.如图表示电流强度I与时间t的关系(I＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0))在一个周期内的图象，则该函数解析式可以是(　　)A．I＝300sin (50πt＋ eq \f(π,3) ) B．I＝300sin (50πt－ eq \f(π,3) )C．I＝300sin (100πt＋ eq \f(π,3) ) D．I＝300sin (100πt－ eq \f(π,3) )6．已知扇形的周长为15 cm，圆心角为3 rad，则此扇形的弧长为(　　)A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm7．已知α∈( eq \f(π,2) ，π)，tan α＝－2，则cos α＝(　　)A．－ eq \f(\r(5),5)  B． eq \f(\r(5),5)  C．－ eq \f(2\r(5),5)  D． eq \f(2\r(5),5) 8．若sin θ－cos θ＝ eq \f(\r(2),2) ，则sin 4θ＋cos4θ＝(　　)A． eq \f(3,4)  B． eq \f(5,6)  C． eq \f(7,8)  D． eq \f(8,9) 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．已知角θ与角－ eq \f(5π,3) 的终边相同，则角θ可以是(　　)A．－ eq \f(7,3) π B． eq \f(1,3) π C． eq \f(4,3) π D． eq \f(13,3) π10．[2022·河北邯郸高一期中]下列说法正确的是(　　)A．sin25°的值与cos 65°的值相等B．sin 23°的值比sin  eq \f(π,8) 的值大C．sin 316°cos 188°tan 189°的值为正数D．关于x的不等式cos x≥ eq \f(\r(3),2) 的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)≤x≤2kx＋\f(π,3)，k∈Z)))) 11．若cos  eq \f(α,2) ＝ eq \f(1,3) ，α∈(0，π)，则下列结论正确的是(　　)A．cos α＝ eq \f(7,9)  B．sin α＝ eq \f(4\r(2),9) C．cos (2π－ eq \f(α,2) )＝－ eq \f(1,3)  D．cos ( eq \f(π,2) ＋ eq \f(α,2) )＝－ eq \f(2\r(2),3) 12．将函数f(x)＝ eq \r(3) cos (2x＋ eq \f(π,3) )的图象向左平移 eq \f(π,3) 个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)具有以下哪些性质(　　)A．最大值为 eq \r(3) ，图象关于直线x＝－ eq \f(π,3) 对称 B．图象关于y轴对称C．最小正周期为π D．图象关于点( eq \f(π,4) ，0)成中心对称三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．用弧度制表示终边在y轴正半轴上的角的集合________．14．若角α的终边过点P(m，－1)，且cos α＝ eq \f(2\r(5),5) ，则m＝________．15．若sin (α－ eq \f(π,6) )＝ eq \f(1,4) ，则sin (2α＋ eq \f(π,6) )＝________．16．已知函数f(x)＝cos 2x＋a cos x，当a＝2时，f(x)的最小值为________；若f(x)的最大值为2，则a的值为________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知tan α＝2.(1)求tan (α＋ eq \f(π,4) )的值；(2)求 eq \f(cos α,3sin α－2cos α) 的值．18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin2x＋ eq \r(3) sinx cos x－ eq \f(1,2) ，(1)求f(x)的最小正周期；(2)用“五点法”画函数f(x)的在一个周期内的图象．19.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)，(ω>0，0<φ< eq \f(π,2) )，f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π， eq \f(2π,3)  是函数f(x)的一个零点．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[0，2π]上的单调递增区间．20．(本小题满分12分)已知α，β为锐角，cos α＝ eq \f(1,7) ，cos (α＋β)＝－ eq \f(11,14) .(1)求sin α和sin (α＋ eq \f(π,6) )的值；(2)求sin (α＋β)的值．21.(本小题满分12分)函数f(x)＝A sin (2ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|< eq \f(π,2) )的部分图象如图所示．(1)求A，ω，φ的值；(2)将函数f(x)的图象向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度，得到函数g(x)的图象，若α∈[0，π]，且g(α)＝ eq \r(2) ，求α的值．22．(本小题满分12分)在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．①f(x)的最小正周期为π，且f(x)是偶函数：②f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π，且f( eq \f(π,4) )＝0；③直线x＝0与直线x＝ eq \f(π,2) 是f(x)图象上相邻的两条对称轴，且f(0)＝2.问题：已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)，若__________．(1)求ω，φ的值；(请先在答题卡上写出所选序号再做答)(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度后，再将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[0，π]上的最小值和最大值．章末过关检测(五)　三角函数1．解析：sin  eq \f(13π,6) ＝sin (2π＋ eq \f(π,6) )＝sin  eq \f(π,6) ＝ eq \f(1,2) .答案：A2．解析：由题设，sin α>0，tan α<0，所以角α的终边在第二象限．答案：B3．解析：由题设，y＝f(x＋ eq \f(π,6) )＝sin 5(x＋ eq \f(π,6) )＝sin (5x＋ eq \f(5π,6) ).答案：D4．解析：∵f(x)＝sin22x＝ eq \f(1,2) － eq \f(1,2) cos4x，即ω＝4，∴T＝ eq \f(2π,ω) ＝ eq \f(2π,4) ＝ eq \f(π,2) .答案：A5．解析：由图可知A＝300，T＝2( eq \f(1,150) ＋ eq \f(1,300) )＝ eq \f(1,50) ，所以ω＝ eq \f(2π,T) ＝100π，所以I＝300sin (100πt＋φ).代入点(－ eq \f(1,300) ，0)，得100π×(－ eq \f(1,300) )＋φ＝0，取φ＝ eq \f(π,3) ，∴I＝300sin (100πt＋ eq \f(π,3) ).答案：C6．解析：设扇形弧长为l cm，半径为r cm，则 eq \f(l,r) ＝3，即l＝3r且l＋2r＝15，解得：l＝9(cm)，故此扇形的弧长为9 cm.答案：C7．解析：因为tan α＝－2，所以sin α＝－2 cos α，又sin2α＋cos2α＝1，所以(－2cosα)2＋cos2α＝1，即cos2α＝ eq \f(1,5) ，又α∈( eq \f(π,2) ，π)，所以cosα＝－ eq \f(\r(5),5) .答案：A8．解析：sin θ－cos θ＝ eq \f(\r(2),2) ，等式两边同时平方，得sin2θ－2sinθcos θ＋cos2θ＝ eq \f(1,2) ，即1－sin2θ＝ eq \f(1,2) ，所以sin 2θ＝ eq \f(1,2) ，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－ eq \f(1,2) sin22θ＝1－ eq \f(1,2) ×( eq \f(1,2) )2＝ eq \f(7,8) .答案：C9．解析：依题意θ＝－ eq \f(5π,3) ＋2kπ，k∈Z，当k＝1时，θ＝ eq \f(π,3) ，当k＝3时，θ＝ eq \f(13π,3) ，所以BD选项符合，AC选项不符合．答案：BD10．解析：对于选项A，由sin ( eq \f(π,2) －θ)＝cos θ可知选项A正确；对于选项B，由sin  eq \f(π,8) ＝sin 22.5°及正弦函数的单调性可知B选项正确；对于选项C，由sin 316°<0，cos 188°<0，tan 189°>0，可知C选项正确；对于选项D，由余弦函数的图象及cos  eq \f(π,6) ＝ eq \f(\r(3),2) ，可知关于x的不等式cos x≥ eq \f(\r(3),2) 的解集为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)≤x≤2kπ＋\f(π,6)，k∈Z)))) ，故D选项错误．答案：ABC11．解析：由α∈(0，π)⇒ eq \f(α,2) ∈(0， eq \f(π,2) )，所以sin  eq \f(α,2) ＝ eq \r(1－cos2\f(α,2)) ＝ eq \r(1－\f(1,9)) ＝ eq \f(2\r(2),3) .A：因为cos  eq \f(α,2) ＝ eq \f(1,3) ，所以cos α＝2cos2 eq \f(α,2) －1＝2× eq \f(1,9) －1＝－ eq \f(7,9) ，本选项结论不正确；B：因为cos eq \f(α,2) ＝ eq \f(1,3) ，sin  eq \f(α,2) ＝ eq \f(2\r(2),3) ，所以sin α＝2sin  eq \f(α,2) cos  eq \f(α,2) ＝2× eq \f(1,3) × eq \f(2\r(2),3) ＝ eq \f(4\r(2),9) ，本选项结论正确；C：因为cos (2π－ eq \f(α,2) )＝cos  eq \f(α,2) ＝ eq \f(1,3) ，所以本选项结论不正确；D：因为cos ( eq \f(π,2) ＋ eq \f(α,2) )＝－sin  eq \f(α,2) ＝－ eq \f(2\r(2),3) ，所以本选项结论正确，答案：BD12．解析：由题意，g(x)＝f(x＋ eq \f(π,3) )＝ eq \r(3) cos  eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2（x＋\f(π,3)）＋\f(π,3))) ＝ eq \r(3) cos (2x＋π)＝－ eq \r(3) cos 2x，g(x)的最大值为 eq \r(3) ，最小值为－ eq \r(3) ，因为g(－ eq \f(π,3) )＝－ eq \r(3) cos (－ eq \f(2π,3) )＝ eq \f(\r(3),2) ，所以函数g(x)的图象不关于直线x＝－ eq \f(π,3) 对称，故选项A错误；因为g(－x)＝－ eq \r(3) cos [2(－x)]＝－ eq \r(3) cos 2x＝g(x)，所以函数g(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故选项B正确；由周期公式有T＝ eq \f(2π,2) ＝π，所以函数g(x)的最小正周期为π，故选项C正确；因为g( eq \f(π,4) )＝－ eq \r(3) cos (2× eq \f(π,4) )＝－ eq \r(3) cos  eq \f(π,2) ＝0，所以函数g(x)的图象关于点( eq \f(π,4) ，0)成中心对称，故选项D正确．答案：BCD13．解析：根据终边相同的角可得，终边在y轴正半轴上的角为α＝ eq \f(π,2) ＋2kπ，k∈Z，所以角的集合为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋2kπ，k∈Z)))) .答案： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋2kπ，k∈Z)))) 14．解析：因为角α的终边过点P(m，－1)，且cos α＝ eq \f(2\r(5),5) ，所以 eq \f(m,\r(m2＋1)) ＝ eq \f(2\r(5),5) ，所以m>0，所以解得m＝2.答案：215．解析：∵sin (α－ eq \f(π,6) )＝ eq \f(1,4) ，∴sin (2α＋ eq \f(π,6) )＝sin  eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2（α－\f(π,6)）＋\f(π,2))) ＝cos 2(α－ eq \f(π,6) )＝1－2sin2(α－ eq \f(π,6) )＝1－2× eq \f(1,16) ＝ eq \f(7,8) .答案： eq \f(7,8) 16．解析：因为f(x)＝cos2x＋a cos x＝2cos2x＋a cosx－1，令t＝cos x，t∈[－1，1]，则y＝2t2＋at－1，当a＝2时，y＝2t2＋2t－1，因此当t＝－ eq \f(1,2) 时，ymin＝2×(－ eq \f(1,2) )2＋2×(－ eq \f(1,2) )－1＝－ eq \f(3,2) ，由于y＝2t2＋at－1开口向上，对称轴为t＝－ eq \f(a,4) ，若－ eq \f(a,4) ≤0，即a≥0，此时ymax＝2×12＋a×1－1＝1＋a＝2，则a＝1；若－ eq \f(a,4) >0，即a<0，此时ymax＝2×(－1)2＋a×(－1)－1＝1－a＝2，则a＝－1；综上：a＝±1.答案：－ eq \f(3,2) 　±117．解析：(1)∵tan α＝2，∴tan (α＋ eq \f(π,4) )＝ eq \f(tan α＋tan \f(π,4),1－tan \f(π,4)tan α) ＝ eq \f(tan α＋1,1－tan α) ＝ eq \f(2＋1,1－2) ＝－3；(2)∵tan α＝2，∴ eq \f(cos α,3sin α－2cos α) ＝ eq \f(1,3tan α－2) ＝ eq \f(1,3×2－2) ＝ eq \f(1,4) .18．解析：(1)因为f(x)＝sin2x＋ eq \r(3) sinx cos x－ eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,2) (1－cos 2x)＋ eq \f(\r(3),2) sin 2x－ eq \f(1,2) ＝ eq \f(\r(3),2) sin 2x－ eq \f(1,2) cos 2x＝sin (2x－ eq \f(π,6) ).故f(x)的最小正周期T＝ eq \f(2π,2) ＝π.(2)因为f(x)＝sin (2x－ eq \f(π,6) )，最小正周期为π，故列表如下：根据上述列表，f(x)在一个周期内的函数图象如图所示：19．解析：(1)因为函数f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π，所以T＝ eq \f(2π,ω) ＝2π，所以ω＝1.故f(x)＝2sin (x＋φ)，又因为 eq \f(2,3) π是函数f(x)的一个零点，所以f( eq \f(2,3) π)＝2sin ( eq \f(2,3) π＋φ)＝0，所以φ＝kπ－ eq \f(2π,3) ，k∈Z.因为0<φ< eq \f(π,2) ，故φ＝ eq \f(π,3) ，故f(x)＝2sin (x＋ eq \f(π,3) ).(2)由－ eq \f(π,2) ＋2kπ≤x＋ eq \f(π,3) ≤ eq \f(π,2) ＋2kπ，k∈Z，得－ eq \f(5,6) π＋2kπ≤x≤ eq \f(π,6) ＋2kπ，k∈Z.令k＝0，得－ eq \f(5π,6) ≤x≤ eq \f(π,6) ，令k＝1，得 eq \f(7π,6) ≤x≤ eq \f(13π,6) ，所以函数f(x)在[0，2π]上的单调递增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) ， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,6)π，2π)) .20．解析：(1)因为α为锐角，且cos α＝ eq \f(1,7) ，所以sin α＝ eq \r(1－cos 2α) ＝  eq \r(1－\f(1,49)) ＝ eq \f(4\r(3),7) .所以sin (α＋ eq \f(π,6) )＝sin αcos  eq \f(π,6) ＋cos αsin  eq \f(π,6) ＝ eq \f(4\r(3),7) × eq \f(\r(3),2) ＋ eq \f(1,7) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(13,14) .(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).所以sin (α＋β)＝ eq \r(（1－cos2（α＋β）) ＝ eq \r(1－（\f(11,14)）2) ＝ eq \f(5\r(3),14) .21．解析：(1)由图可知，A＝2， eq \f(3,4) T＝ eq \f(5π,12) ＋ eq \f(π,3) ，所以T＝π，即 eq \f(2π,2ω) ＝π，所以ω＝1.将点( eq \f(5π,12) ，0)代入f(x)＝2sin (2x＋φ)得 eq \f(5π,6) ＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，又|φ|< eq \f(π,2) ，所以φ＝ eq \f(π,6) ；(2)由(1)知f(x)＝2sin (2x＋ eq \f(π,6) )，由题意有g(x)＝2sin  eq \b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2（x－\f(π,6)）＋\f(π,6))) ]＝2sin (2x－ eq \f(π,6) )，所以g(α)＝2sin (2α－ eq \f(π,6) )＝ eq \r(2) ，即sin (2α－ eq \f(π,6) )＝ eq \f(\r(2),2) ，因为α∈[0，π]，所以2α－ eq \f(π,6) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(11π,6))) ，所以2α－ eq \f(π,6) ＝ eq \f(π,4) 或 eq \f(3π,4) ，即α＝ eq \f(5π,24) 或α＝ eq \f(11π,24) ，所以α的值为 eq \f(5π,24) 或 eq \f(11π,24) .22．解析：(1)选条件①：∵f(x)的最小正周期为π，∴T＝ eq \f(2π,ω) ＝π，∴ω＝2；又f(x)是偶函数，∴sin (2x＋φ)＝sin (－2x＋φ)对x∈R恒成立，得sin 2x cos φ＝0对x∈R恒成立，∴cos φ＝0，∴φ＝kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)，又0<φ<π，∴φ＝ eq \f(π,2) ；选条件②：∵函数f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π，∴T＝ eq \f(2π,ω) ＝π，ω＝2；又f( eq \f(π,4) )＝0，∴sin (2× eq \f(π,4) ＋φ)＝0，即cos φ＝0，∴φ＝kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)，又0<φ<π，∴φ＝ eq \f(π,2) ；选条件③：∵直线x＝0与直线x＝ eq \f(π,2) 是f(x)图象上相邻的两条对称轴，∴ eq \f(T,2) ＝ eq \f(π,2) ，即T＝ eq \f(2π,ω) ＝π.∴ω＝2；又f(0)＝2sin φ＝2，∴sin φ＝1，∴φ＝2kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)，又0<φ<π，∴φ＝ eq \f(π,2) ；(2)由(1)无论选择①②③均有ω＝2，φ＝ eq \f(π,2) ，即f(x)＝2sin (2x＋ eq \f(π,2) )＝2cos 2x，将y＝f(x)的图象向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度后，得到y＝2cos  eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2（x－\f(π,6)）)) ＝2cos (2x－ eq \f(π,3) )的图象，将y＝2cos (2x－ eq \f(π,3) )的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到g(x)＝2cos ( eq \f(x,2) － eq \f(π,3) )的图象，∵0≤x≤π，∴－ eq \f(π,3) ≤ eq \f(x,2) － eq \f(π,3) ≤ eq \f(π,6) ，∴g(x)在x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3))) 上单调递增；在x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) 上单调递减．又∵g(0)＝2cos (－ eq \f(π,3) )＝1g( eq \f(2π,3) )＝2cos 0＝2，g(π)＝2cos  eq \f(π,6) ＝ eq \r(3) ，∴g(x)在[0，π]的最小值为1，最大值为2；综上：ω＝2，φ＝ eq \f(π,2) ，最小值＝1，最大值＝2.2x－ eq \f(π,6) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3,2) π2πx eq \f(π,12)  eq \f(π,3)  eq \f(7π,12)  eq \f(5,6) π eq \f(13,12) πf(x)010－10