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2022-2023学年福建省莆田市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年福建省莆田市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（AB卷）含解析，共52页。试卷主要包含了选一选，四个既是对称又是轴对称图形，等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省莆田市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选(每题只有一个正确答案,每题4分,共10小题，共40分)
1. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是对称图形的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 若一个反比例函数的图象点（－4，6），则它的图象一定也点（ ）
A. （3，8） B. （3，－8） C. （－8，－3） D. （－4，－6）
3. 一元二次方程的根（ ）
A. ， B. C. D.
4. 一个正多边形的每个外角都是36°，那么它是（ ）
A. 正六边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十二边形
5. 如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（ ）
A 64° B. 58° C. 72° D. 55°
6. 二次函数图象的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A. （―1，2）
B. （―9，18）
C. （―9，18）或（9，―18）
D. （―1，2）或（1，―2）
8. 如图所示，中，∥，若，则下列结论中没有正确的是( )
A. B. C. D.
9. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形没有相似的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A. B. C. D.
二．填 空 题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11. 一个圆锥的底面圆半径为2cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是_____________cm．
12. 已知函数，当＜0 时，随的增大而增大，则的取值范围是_______________.
13. 如果将抛物线向上平移，使它点，那么所得新抛物线的表达式是_______________.
14. 在一个没有透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色没有同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为，则n=_____．
15. 如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3.5 cm，则此光盘的直径是 __________cm.
16. 如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD．若四边形ABCD的面积为3，则k值为___________．
三．解 答 题(本大题共9小题，共86分)
17. 用适当方法解下列方程：
（1） （2）
18. 如图，正方形网格中，△ABC的顶点及点O在格点上．
（1）画出与△ABC关于点O对称的△；
（2）画出一个以点O为位似的△，使得△与△的相似比为2.
19. 小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个没有透明文具袋中，装有型号完全相同的3个红球和2个黑球，两人先后从袋中取出一个球(没有放回)，若两人所取球的颜色相同，则小明胜；否则，小军胜；
（1）请用树状图法求出摸笔游戏所有可能的结果；
（2）计算小明获胜的概率是 ，小军获胜的概率是 ，并指出本游戏规则是否公平，若没有公平，你认为对谁有利.
20. 如图，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空： ， ；
（2）判断与是否相似，并证明你的结论．
21. 如图，点O是坐标原点，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为(4，2)．直线分别交AB，BC于点M，N，反比例函数的图像点M．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）判断点N是否在反比例函数的图像上？试说明理由．
22. 某商场一批衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利30元，为了扩大，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天赢利750元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利至多？
23. 已知⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．
（1）连接PO，并延长交⊙O于点D，连接AD．证明：AD平分∠BAC；
（2）在（1）的条件下，AD交BC于点E，连接CD．若DE＝2，AE＝6．试求CD的长．
24. 如图，已知抛物线轴交于点A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点.
（1）求此抛物线解析式；
（2）设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标；
（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值，并求此时P点的坐标.
25. 如图1，两个等腰直角三角板和有一条边在同一条直线上，， ．将射线绕点逆时针旋转，交直线于点．将图1中的三角板沿直线向右平移，设、两点间的距离为．
解答问题：
（1）①当点与点重合时，如图2所示，可得的值为 ；
②在平移过程中，的值为 （用含的代数式表示）；
（2）将图2中的三角板绕点逆时针旋转，原题中的其他条件保持没有变.当点落在线段上时，如图3所示,计算的值；
（3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度，≤，原题中的其他条件保持没有变.如图4所示，请补全图形,计算的值（用含k的代数式表示）．
2022-2023学年福建省莆田市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选(每题只有一个正确答案,每题4分,共10小题，共40分)
1. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是对称图形的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】试题解析：∵从左往右第二个图形没有是对称图形，但是轴对称图形；、三、四个既是对称又是轴对称图形，
∴四个图形中既是对称图形又是轴对称图形的有三个，
故选C．
2. 若一个反比例函数的图象点（－4，6），则它的图象一定也点（ ）
A. （3，8） B. （3，－8） C. （－8，－3） D. （－4，－6）
【正确答案】B
【详解】解：设反比例函数为．∵图象点（－4，6），∴k=－24，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为－24的点就在函数图象上，四个选项中只有B符合．故选B．
点睛：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
3. 一元二次方程的根（ ）
A. ， B. C. D.
【正确答案】D
【分析】运用配方法，将原方程左边写出完全平方式即可．
【详解】解：原方程左边配方，得（x-）2=0，
∴x1=x2=
故选D．
4. 一个正多边形的每个外角都是36°，那么它是（ ）
A. 正六边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十二边形
【正确答案】C
【分析】根据多边形外角和是以及正多边形每个外角度数一样的性质求解．
【详解】解：，
是正十边形．
故选：C．
本题考查多边形外角和的性质，解题的关键是掌握多边形外角和的性质．
5. 如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（ ）
A. 64° B. 58° C. 72° D. 55°
【正确答案】B
【详解】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论．
解：∵BC是直径，∠D=32°，
∴∠B=∠D=32°，∠BAC=90°．
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠B=32°，
∴∠OAC=∠BAC﹣∠BAO=90°﹣32°=58°．
故选B．
6. 二次函数的图象的顶点坐标是( )
A B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：，∴顶点坐标为（－1，－4）．故选A．
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A. （―1，2）
B. （―9，18）
C. （―9，18）或（9，―18）
D. （―1，2）或（1，―2）
【正确答案】D
【详解】试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且＝ .∴＝＝.∴A′E＝AD＝2，OE＝OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.
方法二：∵点A（―3，6）且相似比为，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×，6×），∴A′（－1,2）.
∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.
故答案选D.
考点：位似变换.
8. 如图所示，中，∥，若，则下列结论中没有正确是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：∵DE∥BC，∴，故A正确；
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴.∵，∴，故B没有正确；
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴周长之比=1：3，面积比=1：9．故C、D正确．
故选B．
点睛：本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，对应边的比没有要搞错．
9. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形没有相似的是（ ）
A B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题解析：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边没有成比例，故两三角形没有相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选C．
点睛：相似三角形的判定：两组角对应相等，两个三角形相似.
两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似.
三组边对应成比例，两个三角形相似
10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF=BF=AE=BG=2，
∴DE=3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN=DE=3，MN=MG，
∴CM=5-2-MN=3-MN，
在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，
∴（3+NM）2=（3-NM）2+42，
∴NM=，
∴DM=3+=，
故选A．
二．填 空 题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11. 一个圆锥的底面圆半径为2cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是_____________cm．
【正确答案】6
【详解】解：设圆锥的母线长为xcm，
根据题意得：=2π•2，
解得x=6，即圆锥的母线长为6cm．
故答案为6．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12. 已知函数，当＜0 时，随的增大而增大，则的取值范围是_______________.
【正确答案】
【详解】解：∵反比例函数 ，当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴2m+3＜0，
∴m＜．
故m＜．
本题考查了反比例函数的性质：反比例函数（k≠0）的图象为双曲线，当k＞0时，图象在、三象限，在每一象限，y随x增大而减小；当k＜0时，图象在第二、四象限，在每一象限，y随x增大而增大．
13. 如果将抛物线向上平移，使它点，那么所得新抛物线的表达式是_______________.
【正确答案】
【详解】解：设平移后的抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣1+b，把A（0，3）代入，得：
3=﹣1+b，解得b=4，则该函数解析式为y=x2﹣2x+3．故答案为y=x2﹣2x+3．
点睛：本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式，会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．
14. 在一个没有透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色没有同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为，则n=_____．
【正确答案】4
【分析】根据白球的概率公式列出关于n的方程，解方程即可得.
【详解】由题意得，
解得n=4，
经检验 n=4是方程的根，
故答案为4.
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
15. 如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3.5 cm，则此光盘的直径是 __________cm.
【正确答案】
【详解】解：设圆心为O，连接OB，OA，OC．∵AC，AB与⊙O相切，∴∠OAB=×120°=60°，∠OBA=90°，在Rt△AOB中，∵AB=3.5，∴OB=ABtan60°=，∴圆的直径是cm．故答案为．
点睛：此题综合运用了切线的性质定理、切线长定理以及锐角三角函数的知识．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD．若四边形ABCD的面积为3，则k值为___________．
【正确答案】-3
【详解】试题分析：根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，于是得到四边形AEOB的面积=AB·OE，由于S平行四边形ABCD=AB·CD=3，得到四边形AEOB的面积=3，即可得到|k|=3，再由k＜0，求得k=﹣3．
考点：反比例函数系数k的几何意义
三．解 答 题(本大题共9小题，共86分)
17. 用适当的方法解下列方程：
（1） （2）
【正确答案】（1）；(2) .
【详解】试题分析：（1）移项后用因式分解法解答即可；
（2）用因式分解法解答即可．
试题解析：解：（1）x(x+3)-6(x+3)=0
(x-6)(x+3)=0，
解得：，.
(2)因式分解得：(x+4)(x-2)=0，
解得：，.
18. 如图，正方形网格中，△ABC的顶点及点O在格点上．
（1）画出与△ABC关于点O对称的△；
（2）画出一个以点O为位似的△，使得△与△的相似比为2.
【正确答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.
【详解】试题分析：（1）根据对称平分对应点连线可找到各点的对应点，然后顺次连接即可；
（2）根据△A2B2C2与△A1B1C1相似比是2，O为位似，画出对应图形即可．
试题解析：解：（1）如图所示；
（2）如图所示．
19. 小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个没有透明文具袋中，装有型号完全相同的3个红球和2个黑球，两人先后从袋中取出一个球(没有放回)，若两人所取球的颜色相同，则小明胜；否则，小军胜；
（1）请用树状图法求出摸笔游戏所有可能的结果；
（2）计算小明获胜的概率是 ，小军获胜的概率是 ，并指出本游戏规则是否公平，若没有公平，你认为对谁有利.
【正确答案】（1）见解析；（2）0.4，0.6，没有公平，对小军有利.
【详解】试题分析：（1）画树状图将所有等可能的结果一一列举出来即可；
（2）根据树状图，由概率公式求得小明，小军获胜的概率，即可判断是否公平．
试题解析：解：（1）依题意，得设红球为黑球为 ；则树状图如下：
所以共有20种可能；
（2）小明获胜的概率是 ，小军获胜的概率是1-0.4=0.6；
∵ 0.6＞0.4，所以没有公平，对小军有利．
20. 如图，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空： ， ；
（2）判断与是否相似，并证明你的结论．
【正确答案】（1），；（2）相似，理由见解析
【分析】（1）先在Rt△BCG中根据等腰直角三角形的性质求出∠GBC的度数，再根据∠ABC=∠GBC+∠ABG即可得出∠ABC的度数；在Rt△BCH中利用勾股定理即可求出BC的长．
（2）利用格点三角形的知识求出AB，BC及CE，DE的长度，继而可作出判断．
【详解】解：（1）∵△BCG是等腰直角三角形，
∴∠GBC=45°，
∵∠ABG=90°，
∴∠ABC=∠GBC+∠ABG=90°+45°=135°；
∵在Rt△BHC中，BH=2，CH=2，
∴；
故，；
（2）解：相似．理由如下：
∵，，
∴，
∴
又∵
∴．
此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．
21. 如图，点O是坐标原点，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为(4，2)．直线分别交AB，BC于点M，N，反比例函数的图像点M．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）判断点N是否在反比例函数的图像上？试说明理由．
【正确答案】（1）反比例函数的解析式是； （2）点N在反比例函数 上.
【详解】试题分析：（1）求出OA=BC=2，将y=2代入y=﹣x+3求出x=2，得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；
（2）把x=4代入直线解析式，求出N的坐标，再判断点N是否在反比例函数的图象上．
试题解析：解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，∴OA=BC=2，将y=2代入y=﹣x+3得：x=2，∴M（2，2），把M的坐标代入得：k=4，∴反比例函数的解析式是；
（2）把x=4代入y=﹣x+3：得：y=1，∴N（4，1），把x=4代入，得：y=1，∴点N在反比例函数上．
22. 某商场一批衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利30元，为了扩大，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天赢利750元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利至多？
【正确答案】（1）为了尽快减少库存，应减价15元；（2）降价10元时，利润为800元.
【详解】试题分析：（1）每天盈利=每件盈利×件数，每件实际盈利=原每件盈利-每件降价数．检验时，要考虑尽快减少库存，就是要保证盈利没有变的情况下，降价越多，量越多，达到减少库存的目的．
（2）在（1）的基础上，由到一般，列出二次函数，求出二次函数的值．
试题解析：解：（1）设每件衬衫应降价x元，依题意得：
(20+2x)(30-x)=750
解得：x=15或x=5．
为了尽快减少库存，应减价15元；
答：每件衬衫应降价15元．
（2）设平均每天盈利为P元，得：
P=(20+2x)(30-x) =-2x2+40x+600=
∴当x=10时，P，值为800．
答：每件衬衫降价10元时，商场平均每天赢利至多．
点睛：在营销问题中，降价必然会带来利润减少，同时，会带来件数的增加，“一减一加”．
23. 已知⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．
（1）连接PO，并延长交⊙O于点D，连接AD．证明：AD平分∠BAC；
（2）在（1）的条件下，AD交BC于点E，连接CD．若DE＝2，AE＝6．试求CD的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）CD=4.
【详解】试题分析：（1）由切线的性质得到PD⊥l，再由∥BC，得到PD垂直平分弦BC，由垂径定理得到弧BD=弧DC，即可得到结论；
（2）证明△ADC∽△CDE，由相似三角形的对应边成比例即可得到结论．
试题解析：解：（1）∵与⊙O相切于点P，∴PD⊥l．∵ ∥BC，∴PD⊥BC，∴ PD平分弦BC ，∴弧BD=弧DC ， ∴∠BAD=∠DAC ，即AD平分∠BAC；
（2）∠BAD=∠BCD且∠BAD=∠DAC，∴ ∠DAC=∠BCD．
在△ADC和△CDE中
∵∠DAC=∠BCD，∠ADC=∠EDC，∴△ADC∽△CDE ，
∴，，∴DC=4．
24. 如图，已知抛物线轴交于点A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标；
（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值，并求此时P点的坐标.
【正确答案】（1） ；（2）E的坐标是； （3）P点的坐标是（-2，-3）.
【详解】解：（1）由二次函数与轴交于、两点可得：
解得：
故所求二次函数的解析式为．
（2）∵S△CEF="2" S△BEF, ∴ ∵EF//AC, ∴,
∴△BEF～△BAC,
∴得
故E点的坐标为(,0).
（3）解法一：由抛物线与轴的交点为，则点的坐标为（0，－2）．若设直线的解析式为，则有 解得： 故直线的解析式为．
若设点的坐标为，又点是过点所作轴的平行线与直线的交点，则点的坐标为（．则有： ＝
＝即当时，线段取大值，此时点的坐标为（－2，－3）
解法二：延长交轴于点，则．要使线段最长，则只须△的面积取大值时即可.
设点坐标为（，则有:
＝
＝
＝
＝
＝ ＝－
即时，△的面积取大值，此时线段最长，则点坐标为（－2，－3）
（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；
（2）根据抛物线的解析式可得出C点的坐标，易证得△ABC是直角三角形，则EF⊥BC；△CEF和△BEF同高，则面积比等于底边比，由此可得出CF=2BF；易证得△BEF∽△BAC，根据相似三角形的性质，即可求得BE、AB的比例关系，由此可求出E点坐标；
（3）PQ的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点横坐标为m，用m表示出P、Q的纵坐标，然后可得出PQ的长与m的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PQ时，m的值，也就能求出此时P点的坐标．
25. 如图1，两个等腰直角三角板和有一条边在同一条直线上，， ．将射线绕点逆时针旋转，交直线于点．将图1中的三角板沿直线向右平移，设、两点间的距离为．
解答问题：
（1）①当点与点重合时，如图2所示，可得的值为 ；
②在平移过程中，的值为 （用含的代数式表示）；
（2）将图2中的三角板绕点逆时针旋转，原题中的其他条件保持没有变.当点落在线段上时，如图3所示,计算的值；
（3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度，≤，原题中的其他条件保持没有变.如图4所示，请补全图形,计算的值（用含k的代数式表示）．
【正确答案】（1）①1， ② ；（2）1；（3）.
【详解】试题分析：（1）①根据题意可得EM垂直平分DF，直线AF∥EM，从而转化为，继而得出结论；②仿照①的思路进行求解即可；
（2）先补全图形，连接AE，分别求出AM及DM的值，然后可确定比值．
（3）先画出图形，然后证明△ABG≌△CBE，继而推出AG∥DE，△AGM∽△DEM，利用相似三角形的性质即可得出答案．
试题解析：解：（1）①如图，∵∠MEB=45°，∠AFB=45°，∴EM垂直且平分DF，AF∥EM，∴==1；
②如图：
由①可得=；
（2）连接AE．∵△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，DE=2，AB=1，∴EF=2，BC=1，∠DEF=90°，∠4=∠5=45°，∴DF=，AC=，∠EFB=90°，∴DF=2AC，AD=，∴点A为CD的中点，∴EA⊥DF，EA平分∠DEF，∴∠MAE=90°，∠AEF=45°，AE=．∵∠BEM=45°，∴∠1+∠2=∠3+∠2=45°，∴∠1=∠3，∴△AEM∽△FEB，∴ ，∴AM=，∴DM=AD﹣AM=，∴=1．
（3）过B作BE的垂线交直线EM于点G，连接AG、BG，∴∠EBG=90°．∵∠BEM=45°，∴∠EGB=∠BEM=45°，∴BE=BG．∵△ABC为等腰直角三角形，∴BA=BC，∠ABC=90°，∴∠1=∠2，∴△ABG≌△CBE，∴AG=EC=k，∠3=∠4．∵∠3+∠6=∠5+∠4=45°，∴∠6=∠5，∴AG∥DE，∴△AGM∽△DEM，∴．
点睛：本题考查了相似形综合题，解答本题之前一定要将图形画出来，这样可以使我们的思考方向更准确一些，另外要求我们熟练掌握各个基础知识点的内容．
2022-2023学年福建省莆田市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选
1. 下列图形中，没有是对称图形的为（ ）
A. 圆 B. 正六边形 C. 正方形 D. 等边三角形
2. 一元二次方程的两根为， ，则的值是（ ）
A. 4 B. －4 C. 3 D. －3
3. 二次函数的图像大致为（ ）
A B. C. D.
4. 一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投掷这样的骰子，向上一面点数是偶数的结果有（ ）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 6种
5. ⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
6. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转50°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为130°，则∠C的度数是（ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
7. 在长方形ABCD中AB=16，如图所示裁出一扇形ABE，将扇形围成一个圆锥（AB和AE重合），则此圆锥底面半径为（ ）
A 4 B. 16 C. D. 8
8. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）.
A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570
C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570
9. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D两点分别在反比例函数（k＜0，x＜0）与（x＞0）的图像上，若平行四边形ABCD的面积为4，则k的值为（ ）
A. -1 B. -2 C. -3 D. -5
10. 在平面直角坐标系中，抛物线与直线均过原点，直线抛物线的顶点（2，4），
则下列说法：①当0＜x＜2时，y2＞y1；②y2随x的增大而增大的取值范围是x＜2；③使得y2大于4的x值没有存在； ④若y2=2，则x=2﹣或x=1．
其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题
11. 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为________．
12. 点P（－3，2）与点P′关于原点O成对称，则点P′ 的坐标为___________
13. 将抛物线y＝－2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_____
14. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=140°，则∠A等于______°.
15. 篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，比赛组织者应邀请___个队参赛.
16. 如图，已知点A是反比例函数的图象上的一个动点，连接OA，若将线段O A绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图象的函数表达式为______．
三、解 答 题
17. 已知关于x的方程.
（1）求证：没有论a取何实数，该方程都有两个没有相等实数根．
（2）当a=1时，求该方程的根．
18. 已知二次函数，当时有值，且此函数的图象点，求此二次函数的关系式，并指出当为何值时，随的增大而增大．
19. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，若正方形的边长等于4，求图中阴影部分面积．
20. 某商店今年1月份的额是2万元，3月份的额是3.38万元.
（1）求从1月份到3月份，该商店额平均每月增长率；
（2）如果该商店4月份额增长率保持没有变，额能否达到4.5万元，若没有能，请说明理由.
21. 在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（-1，-1），（1，-2），将△ABC绕着点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′.
（1）在图中画出△A′B′C′并写出点A的对应点A′坐标；
（2）求出在△ABC旋转的过程中，点A的路径长.
22. 从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，请用列表法或画树状图的方法，求点（m，n）在函数y=图象上的概率．
23. 如图，正比例函数y1＝－3x的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，AC＝AO，S△ACO＝12．
（1）求k的值；
（2）当y1＞y2时，写出x的取值范围；
（3）当x为何值时，y2＜1．
24. 已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．
25. 矩形AOCD绕顶点A(0，5)逆时针方向旋转，当旋转到如图所示的位置时，边BE交边CD于M，且ME=2，CM=4.
（1）求AD的长；
（2）求A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在直线AM下方，（2）中的抛物线上是否存在点P，使S△PAM =？若存在，求出P点坐标；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年福建省莆田市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选
1. 下列图形中，没有是对称图形的为（ ）
A. 圆 B. 正六边形 C. 正方形 D. 等边三角形
【正确答案】D
【详解】试题分析：A．是对称图形，故本选项错误；
B．对称图形，故本选项错误；
C．是对称图形，故本选项错误；
D．没有是对称图形，故本选项正确；
故选D．
考点：对称图形．
2. 一元二次方程的两根为， ，则的值是（ ）
A. 4 B. －4 C. 3 D. －3
【正确答案】B
【详解】由根与系数的关系可知：==−4.
故选B.
3. 二次函数的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】解：∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，
由解析式可知对称轴为x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）．
故选：D．
4. 一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投掷这样的骰子，向上一面点数是偶数的结果有（ ）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 6种
【正确答案】C
【详解】试题分析：一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷这枚骰子，向上的一面的点数为偶数的有3种情况，故选C．
考点：正方体相对两个面上的文字．
5. ⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
【正确答案】C
【详解】已知⊙O的半径为5，圆心O到直线L的距离为3，因5＞3，即d＜r，所以直线L与⊙O的位置关系是相交.故选C
6. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转50°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为130°，则∠C的度数是（ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
【正确答案】C
【分析】先根据∠AOC的度数为130°，∠AOD＝∠BOC＝50°，可得∠AOB＝80°，再根据△AOD中，AO＝DO，可得∠A＝65°，然后求出∠B即可．
【详解】解：∵∠AOC的度数为130°，∠AOD＝∠BOC＝50°，
∴∠AOB＝130°﹣50°＝80°，
∵△AOD中，AO＝DO，
∴∠A＝（180°﹣50°）＝65°，
∴△ABO中，∠B＝180°﹣80°﹣65°＝35°，
∴∠C＝∠B＝35°，
故选：C．
本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．
7. 在长方形ABCD中AB=16，如图所示裁出一扇形ABE，将扇形围成一个圆锥（AB和AE重合），则此圆锥的底面半径为（ ）
A. 4 B. 16 C. D. 8
【正确答案】A
【详解】试题分析：设圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，得2πr=，解得r=4．故小圆锥的底面半径为4；
故选A．
考点：圆锥的计算
8. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）.
A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570
C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570
【正确答案】A
【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得：
(32−2x)(20−x)=570，
故选：A
9. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D两点分别在反比例函数（k＜0，x＜0）与（x＞0）的图像上，若平行四边形ABCD的面积为4，则k的值为（ ）
A. -1 B. -2 C. -3 D. -5
【正确答案】C
【详解】连接OA、OD,如图,
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD垂直y轴，
∴ ,
，
∴ ，
∵▱ABCD的面积=2=4.
∴|k|+1=4，
解得k=−3或3，
∵k<0.
∴k=−3
故C.
10. 在平面直角坐标系中，抛物线与直线均过原点，直线抛物线的顶点（2，4），
则下列说法：①当0＜x＜2时，y2＞y1；②y2随x的增大而增大的取值范围是x＜2；③使得y2大于4的x值没有存在； ④若y2=2，则x=2﹣或x=1．
其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【分析】根据图象得出函数解析式为y=a（x-2）2+4，再把c=0代入即可得出解析式，根据二次函数的性质得出答案．
【详解】设抛物线解析式为y=a（x-2）2+4，
∵抛物线与直线均过原点，
∴a（0-2）2+4=0，
∴a=-1，
∴y=-（x-2）2+4，
∴由图象得当0＜x＜2时，y2＞y1，故①正确；
y2随x的增大而增大的取值范围是x＜2，故②正确；
∵抛物线的顶点（2，4），
使得y2大于4的x值没有存在，故③正确；
把y=2代入y=-（x-2）2+4，得y2=2，
则x=2-或x=2+，故④没有正确．
其中正确的有3个，
故选C．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填 空 题
11. 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为________．
【正确答案】-2
【详解】试题解析：由韦达定理可得，
故答案为
12. 点P（－3，2）与点P′关于原点O成对称，则点P′ 的坐标为___________
【正确答案】（3，－2）
【详解】∵点P的坐标为(−3,2)，
∴和点P关于原点对称点P′的坐标是(3,−2)，
故答案为（3，－2）.
13. 将抛物线y＝－2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_____
【正确答案】
【详解】y＝－2x2,其顶点坐标为(0,0).
向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为(3,2),得到的抛物线的解析式是y=-2(x−3) 2+2，
故答案为.
14. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=140°，则∠A等于______°.
【正确答案】110
【详解】∵∠BOD=140°，
∴∠C=∠BOD=70°，
∠A=180°−∠C=110°.
故答案为:110.
15. 篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，比赛组织者应邀请___个队参赛.
【正确答案】6
【详解】设比赛组织者应邀请x队参赛，根据题意得：
解得：=6， =-5 (舍去)，
答：比赛组织者应邀请6个队参赛.
故答案为6.
点睛: 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，的总场数应除以2．
16. 如图，已知点A是反比例函数的图象上的一个动点，连接OA，若将线段O A绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图象的函数表达式为______．
【正确答案】
【详解】解∵点A是反比例函数的图象上的一个动点，
∴设A（m，n），过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∴AC=n，OC=﹣m，∴∠ACO=∠ADO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠+∠AOC=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠=∠BOD，
在△ACO与△ODB中，
∵∠ACO=∠ODB，∠=∠BOD，AO=BO，
∴△ACO≌△ODB，
∴AC=OD=n，CO=BD=﹣m，
∴B（n，﹣m），
∵mn=﹣2，∴n（﹣m）=2，
∴点B所在图象的函数表达式为，
故答案为．
三、解 答 题
17. 已知关于x的方程.
（1）求证：没有论a取何实数，该方程都有两个没有相等的实数根．
（2）当a=1时，求该方程的根．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）x1=，x2=
【详解】试题分析: （1）将x=1代入方程x2+ax+a-2=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
试题解析:
解：⑴ ∵∆=
∴该方程有两个没有相等的实数根.
⑵ 当a=1时，方程可化为
解得：x1=，x2=
18. 已知二次函数，当时有值，且此函数的图象点，求此二次函数的关系式，并指出当为何值时，随的增大而增大．
【正确答案】当x＜2时，y随x的增大而增大．
【详解】试题分析：根据当x=2时函数有值，可得h=2，再把点（1，﹣3）代入函数解析式求得a值，即可求得函数解析式，根据函数的性质直接写出函数y随x的增大而增大时x的取值范围即可．
试题解析：
根据题意得y=a（x﹣2）2，
把（1，﹣3）代入得a=﹣3，
所以二次函数解析式为y=﹣3（x﹣2）2，
因为抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线开口向下，
所以当x＜2时，y随x的增大而增大．
19. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，若正方形边长等于4，求图中阴影部分面积．
【正确答案】S阴影＝
【详解】试题分析: 连结OA、OB，根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积即可求解.
试题解析:
解：如图，连结OA、OB，作OE⊥AB，垂足为E，
则∠AOB＝90°，OE＝AB＝2
∴S阴影＝S扇形OAB－S△OAB＝＝＝
20. 某商店今年1月份的额是2万元，3月份的额是3.38万元.
（1）求从1月份到3月份，该商店额平均每月的增长率；
（2）如果该商店4月份额增长率保持没有变，额能否达到4.5万元，若没有能，请说明理由.
【正确答案】（1）从1月份到3月份，该店额平均每月的增长率为30%；（2）没有能.理由见解析.
【详解】试题分析:
(1) 设每月增长率为x，据题意可知：三月份额为2（1+x）2万元，依此等量关系列出方程，求解即可．
(2) 根据该商店4月份额增长率保持没有变,计算出4月份额,和4.5万元进行比较即可.
试题解析:
解：⑴ 设该店额平均每月的增长率为x，
则二月份额为万元，三月份额为万元，
由题意可得：，
解得：x1=0.3=30%，x2=﹣2.3（没有合题意舍去），
答：从1月份到3月份，该店额平均每月的增长率为30%；
⑵ 没有能.理由如下：
∵ 该商店4月份额增长率保持没有变
∴ 四月份额为万元
当x=0.3时，
21. 在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（-1，-1），（1，-2），将△ABC绕着点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′.
（1）在图中画出△A′B′C′并写出点A的对应点A′坐标；
（2）求出在△ABC旋转的过程中，点A的路径长.
【正确答案】（1）画图见解析，点A的对应点A′的坐标为（5，-1）；（2）点A的路径长
【详解】试题分析: （1）先利用B，C两点的坐标画出直角坐标系得到A点坐标，再画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后点A的对应点的A′、B′，然后写出点A′、B′的坐标即可．
（2）求得AC的长，然后根据弧长公式求得即可．
试题解析:
解：⑴ 如图，A点坐标为（0，2），
将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为（5，-1）．
⑵ 点A的路径长
22. 从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，请用列表法或画树状图的方法，求点（m，n）在函数y=图象上的概率．
【正确答案】画树状图见解析，、 点（m，n）在函数y=图象上的概率P＝．
【详解】试题分析: 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（m，n）恰好在反比例函数y=图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
试题解析:
解：树状图：
如图，等可能的结果共有12种，点（m，n）恰好在反比例函数y=图象上的有：（2，3），（﹣1，﹣6），（3，2），（﹣6，﹣1），
∴ 点（m，n）在函数y=图象上的概率P＝．
23. 如图，正比例函数y1＝－3x的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，AC＝AO，S△ACO＝12．
（1）求k的值；
（2）当y1＞y2时，写出x的取值范围；
（3）当x为何值时，y2＜1．
【正确答案】（1）k＝－12；（2）x＜-2或0＜x＜2时，y1＞y2；（3）当x＜－12或x＞0时，y2＜1.
【详解】试题分析: （1）过点A作AD垂直于OC，由AC=AD，得到CD=DO，确定出三角形ADO与三角形ACO面积，即可求出k值；
（2）根据函数图象，找出满足题意x的范围即可;
(3) 把y2=1代入y2＝求出x的值,图象找出 y2＜1的x的取值即可.
试题解析:
解：（1）如图，过点A作AD⊥x轴，作AE⊥y轴，垂足为D、E，
∵AC=AO.
∴CD=DO.
∴S△ADO=S△ACO=6.
∴｜k｜=S四边形ADOE＝2 S△ADO ＝12
又∵双曲线分布在第二、四象限
∴ k＜0
∴ k＝－12
（2）由（1）得y2＝，由得：，
∴A（-2，6），B（2，-6）
由图象可知：x＜-2或0＜x＜2时，y1＞y2
（3）当x＜0时，由＝1得，x＝－12
∵ k＝－12＜0
∴ y2随x的增大而减小
∴ 当x＜－12时，y2＜1
当x＞0时，y2＜0＜1
综上，当x＜－12或x＞0时，y2＜1
24. 已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接FO，可根据三角形中位线的性质可判断易证OF∥AB，然后根据直径所对的圆周角是直角，可得CE⊥AE，进而知OF⊥CE，然后根据垂径定理可得∠FEC＝∠FCE，∠OEC＝∠OCE，再通过Rt△ABC可知∠OEC＋∠FEC＝90°，因此可证FE为⊙O的切线；
（2）根据⊙O的半径为3，可知AO＝CO＝EO＝3，再由∠EAC＝60°可证得∠COD＝∠EOA＝60°，在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，可由勾股定理求得CD=3，根据Rt△ACD，用勾股定理求得结果．
【详解】解：（1）连接FO
易证OF∥AB
∵AC⊙O的直径
∴CE⊥AE
∵OF∥AB
∴OF⊥CE
∴OF所在直线垂直平分CE
∴FC＝FE，OE＝OC
∴∠FEC＝∠FCE，∠0EC＝∠OCE
∵Rt△ABC
∴∠ACB＝90°
即：∠OCE＋∠FCE＝90°
∴∠OEC＋∠FEC＝90°
即：∠FEO＝90°
∴FE为⊙O的切线
（2）∵⊙O的半径为3
∴AO＝CO＝EO＝3
∵∠EAC＝60°，OA＝OE
∴∠EOA＝60°
∴∠COD＝∠EOA＝60°
∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3
∴CD＝
∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，
CD＝，AC＝6
∴AD＝．
本题考查切线的判定，中位线的性质，以及直角三角形的边角关系和勾股定理．
25. 矩形AOCD绕顶点A(0，5)逆时针方向旋转，当旋转到如图所示的位置时，边BE交边CD于M，且ME=2，CM=4.
（1）求AD的长；
（2）求A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在直线AM下方，（2）中的抛物线上是否存在点P，使S△PAM =？若存在，求出P点坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）AD=7；（2）；（3）P点坐标为（3，1）、
【详解】试题分析: （1）作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，根据旋转的性质得AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，利用等角的余角相等得∠ABP=∠MBQ，可证明Rt△ABP∽Rt△MBQ得到，设BQ=PD=x，AP=y，则AD=x+y，所以BM=x+y-2，利用比例性质得到PB•MQ=xy，而PB-MQ=DQ-MQ=DM=1，利用完全平方公式和勾股定理得到52-y2-2xy+（x+y-2）2-x2=1，解得x+y=7，则BM=5，BE=BM+ME=7，所以AD=7；
（2）由AB=BM可判断Rt△ABP≌Rt△MBQ，则BQ=PD=7-AP，MQ=AP，利用勾股定理得到（7-MQ）2+MQ2=52，解得MQ=4（舍去）或MQ=3，则BQ=4，根据三角形面积公式和梯形面积公式，利用S阴影部分=S梯形ABQD-S△BQM进行计算即可；然后利用待定系数法求直线AM的解析式.先确定B（3，1），然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（3）当点P在线段AM的下方的抛物线上时，作∥y轴交AM于K，如图2设P（x，x2-x+5），则K（x，-x+5），则KP=-x2+x，根据三角形面积公式得到•（-x2+x）•7=，解得x1=3，x2=，于是得到此时P点坐标为（3，1）、；再求出过点（3，1）与的直线l的解析式为y=-x+，则可得到直线l与y轴的交点A′的坐标为（0，），所以AA′=，然后把直线AM向上平移个单位得到l′，直线l′与抛物线的交点即为P点，由于A″（0，），则直线l′的解析式为y=-x+，再通过解方程组得P点坐标．
试题解析:
解：⑴ 如图1，连接AM，
在矩形AOCD中，∠AOC=∠ADC=90°，AD=OC，CD=AO=5，
∵CM=4，
∴DM=1，
由旋转，得∠B=∠AOC =90°，BE=OC，AB=AO=5，
设BE=OC= AD=x，
在Rt△ADM中，AM2=x2+1，
在Rt△ABM中，AM2=(x-2) 2+25,
∴x2+1=(x-2) 2+25，解得x=7，
∴AD=7.
⑵ 如图2，过点B作x轴的平行线，交AO于G，交DC于H，
则 ∠AGB=∠BHM =90°，
∴ ∠ABG＋∠BAG =90°，
∵ ∠ABE=90°，
∴ ∠ABG＋∠MBH =90°，
∴ ∠BAG =∠MBH ，
∵ AB=BM=5，
∴ △AGB≌△BHM（AAS），
∴ BH=AG，MH=BG，
设MH=BG=n，则DH=n＋1，∴BH=AG=n＋1，
∵ GH=OC=AD=7，
∴ n＋（n＋1）=7，
∴ n=3，
∴ AG=4，BG=3，
∵ A（0，5），
∴ 点B的坐标为（3，1），
设A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+5，将B（3，1），
D（7，5）代入，得
解得
∴y=x2-x+5.
图2
⑶ 存在．
设直线AM的解析式为y=kx+5，将M（7，4）代入，得k=，
∴y=-x+5,
∵点P在线段AD的下方的抛物线上，作∥y轴交AM于K，
设P（x，），则K（x，），
∴KP=﹣=，
∵S△PAM=，
∴••7=，
整理得7x2﹣46x+75=0，
解得x1=3，x2=，
此时P点坐标为（3，1）、
点睛: 本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转性质、矩形的性质和三角形全等于相似的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会进行代数式的变形．
2022-2023学年福建省莆田市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选(每题只有一个正确答案,每题4分,共10小题，共40分)
1. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是对称图形的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 若一个反比例函数的图象点（－4，6），则它的图象一定也点（ ）
A. （3，8） B. （3，－8） C. （－8，－3） D. （－4，－6）
3. 一元二次方程的根（ ）
A. ， B. C. D.
4. 一个正多边形的每个外角都是36°，那么它是（ ）
A. 正六边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十二边形
5. 如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（ ）
A 64° B. 58° C. 72° D. 55°
6. 二次函数图象的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A. （―1，2）
B. （―9，18）
C. （―9，18）或（9，―18）
D. （―1，2）或（1，―2）
8. 如图所示，中，∥，若，则下列结论中没有正确的是( )
A. B. C. D.
9. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形没有相似的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A. B. C. D.
二．填 空 题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11. 一个圆锥的底面圆半径为2cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是_____________cm．
12. 已知函数，当＜0 时，随的增大而增大，则的取值范围是_______________.
13. 如果将抛物线向上平移，使它点，那么所得新抛物线的表达式是_______________.
14. 在一个没有透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色没有同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为，则n=_____．
15. 如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3.5 cm，则此光盘的直径是 __________cm.
16. 如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD．若四边形ABCD的面积为3，则k值为___________．
三．解 答 题(本大题共9小题，共86分)
17. 用适当方法解下列方程：
（1） （2）
18. 如图，正方形网格中，△ABC的顶点及点O在格点上．
（1）画出与△ABC关于点O对称的△；
（2）画出一个以点O为位似的△，使得△与△的相似比为2.
19. 小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个没有透明文具袋中，装有型号完全相同的3个红球和2个黑球，两人先后从袋中取出一个球(没有放回)，若两人所取球的颜色相同，则小明胜；否则，小军胜；
（1）请用树状图法求出摸笔游戏所有可能的结果；
（2）计算小明获胜的概率是 ，小军获胜的概率是 ，并指出本游戏规则是否公平，若没有公平，你认为对谁有利.
20. 如图，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空： ， ；
（2）判断与是否相似，并证明你的结论．
21. 如图，点O是坐标原点，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为(4，2)．直线分别交AB，BC于点M，N，反比例函数的图像点M．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）判断点N是否在反比例函数的图像上？试说明理由．
22. 某商场一批衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利30元，为了扩大，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天赢利750元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利至多？
23. 已知⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．
（1）连接PO，并延长交⊙O于点D，连接AD．证明：AD平分∠BAC；
（2）在（1）的条件下，AD交BC于点E，连接CD．若DE＝2，AE＝6．试求CD的长．
24. 如图，已知抛物线轴交于点A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点.
（1）求此抛物线解析式；
（2）设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标；
（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值，并求此时P点的坐标.
25. 如图1，两个等腰直角三角板和有一条边在同一条直线上，， ．将射线绕点逆时针旋转，交直线于点．将图1中的三角板沿直线向右平移，设、两点间的距离为．
解答问题：
（1）①当点与点重合时，如图2所示，可得的值为 ；
②在平移过程中，的值为 （用含的代数式表示）；
（2）将图2中的三角板绕点逆时针旋转，原题中的其他条件保持没有变.当点落在线段上时，如图3所示,计算的值；
（3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度，≤，原题中的其他条件保持没有变.如图4所示，请补全图形,计算的值（用含k的代数式表示）．
2022-2023学年福建省莆田市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选(每题只有一个正确答案,每题4分,共10小题，共40分)
1. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是对称图形的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】试题解析：∵从左往右第二个图形没有是对称图形，但是轴对称图形；、三、四个既是对称又是轴对称图形，
∴四个图形中既是对称图形又是轴对称图形的有三个，
故选C．
2. 若一个反比例函数的图象点（－4，6），则它的图象一定也点（ ）
A. （3，8） B. （3，－8） C. （－8，－3） D. （－4，－6）
【正确答案】B
【详解】解：设反比例函数为．∵图象点（－4，6），∴k=－24，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为－24的点就在函数图象上，四个选项中只有B符合．故选B．
点睛：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
3. 一元二次方程的根（ ）
A. ， B. C. D.
【正确答案】D
【分析】运用配方法，将原方程左边写出完全平方式即可．
【详解】解：原方程左边配方，得（x-）2=0，
∴x1=x2=
故选D．
4. 一个正多边形的每个外角都是36°，那么它是（ ）
A. 正六边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十二边形
【正确答案】C
【分析】根据多边形外角和是以及正多边形每个外角度数一样的性质求解．
【详解】解：，
是正十边形．
故选：C．
本题考查多边形外角和的性质，解题的关键是掌握多边形外角和的性质．
5. 如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（ ）
A. 64° B. 58° C. 72° D. 55°
【正确答案】B
【详解】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论．
解：∵BC是直径，∠D=32°，
∴∠B=∠D=32°，∠BAC=90°．
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠B=32°，
∴∠OAC=∠BAC﹣∠BAO=90°﹣32°=58°．
故选B．
6. 二次函数的图象的顶点坐标是( )
A B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：，∴顶点坐标为（－1，－4）．故选A．
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A. （―1，2）
B. （―9，18）
C. （―9，18）或（9，―18）
D. （―1，2）或（1，―2）
【正确答案】D
【详解】试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且＝ .∴＝＝.∴A′E＝AD＝2，OE＝OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.
方法二：∵点A（―3，6）且相似比为，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×，6×），∴A′（－1,2）.
∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.
故答案选D.
考点：位似变换.
8. 如图所示，中，∥，若，则下列结论中没有正确是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：∵DE∥BC，∴，故A正确；
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴.∵，∴，故B没有正确；
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴周长之比=1：3，面积比=1：9．故C、D正确．
故选B．
点睛：本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，对应边的比没有要搞错．
9. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形没有相似的是（ ）
A B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题解析：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边没有成比例，故两三角形没有相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选C．
点睛：相似三角形的判定：两组角对应相等，两个三角形相似.
两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似.
三组边对应成比例，两个三角形相似
10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF=BF=AE=BG=2，
∴DE=3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN=DE=3，MN=MG，
∴CM=5-2-MN=3-MN，
在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，
∴（3+NM）2=（3-NM）2+42，
∴NM=，
∴DM=3+=，
故选A．
二．填 空 题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11. 一个圆锥的底面圆半径为2cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是_____________cm．
【正确答案】6
【详解】解：设圆锥的母线长为xcm，
根据题意得：=2π•2，
解得x=6，即圆锥的母线长为6cm．
故答案为6．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12. 已知函数，当＜0 时，随的增大而增大，则的取值范围是_______________.
【正确答案】
【详解】解：∵反比例函数 ，当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴2m+3＜0，
∴m＜．
故m＜．
本题考查了反比例函数的性质：反比例函数（k≠0）的图象为双曲线，当k＞0时，图象在、三象限，在每一象限，y随x增大而减小；当k＜0时，图象在第二、四象限，在每一象限，y随x增大而增大．
13. 如果将抛物线向上平移，使它点，那么所得新抛物线的表达式是_______________.
【正确答案】
【详解】解：设平移后的抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣1+b，把A（0，3）代入，得：
3=﹣1+b，解得b=4，则该函数解析式为y=x2﹣2x+3．故答案为y=x2﹣2x+3．
点睛：本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式，会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．
14. 在一个没有透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色没有同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为，则n=_____．
【正确答案】4
【分析】根据白球的概率公式列出关于n的方程，解方程即可得.
【详解】由题意得，
解得n=4，
经检验 n=4是方程的根，
故答案为4.
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
15. 如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3.5 cm，则此光盘的直径是 __________cm.
【正确答案】
【详解】解：设圆心为O，连接OB，OA，OC．∵AC，AB与⊙O相切，∴∠OAB=×120°=60°，∠OBA=90°，在Rt△AOB中，∵AB=3.5，∴OB=ABtan60°=，∴圆的直径是cm．故答案为．
点睛：此题综合运用了切线的性质定理、切线长定理以及锐角三角函数的知识．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD．若四边形ABCD的面积为3，则k值为___________．
【正确答案】-3
【详解】试题分析：根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，于是得到四边形AEOB的面积=AB·OE，由于S平行四边形ABCD=AB·CD=3，得到四边形AEOB的面积=3，即可得到|k|=3，再由k＜0，求得k=﹣3．
考点：反比例函数系数k的几何意义
三．解 答 题(本大题共9小题，共86分)
17. 用适当的方法解下列方程：
（1） （2）
【正确答案】（1）；(2) .
【详解】试题分析：（1）移项后用因式分解法解答即可；
（2）用因式分解法解答即可．
试题解析：解：（1）x(x+3)-6(x+3)=0
(x-6)(x+3)=0，
解得：，.
(2)因式分解得：(x+4)(x-2)=0，
解得：，.
18. 如图，正方形网格中，△ABC的顶点及点O在格点上．
（1）画出与△ABC关于点O对称的△；
（2）画出一个以点O为位似的△，使得△与△的相似比为2.
【正确答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.
【详解】试题分析：（1）根据对称平分对应点连线可找到各点的对应点，然后顺次连接即可；
（2）根据△A2B2C2与△A1B1C1相似比是2，O为位似，画出对应图形即可．
试题解析：解：（1）如图所示；
（2）如图所示．
19. 小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个没有透明文具袋中，装有型号完全相同的3个红球和2个黑球，两人先后从袋中取出一个球(没有放回)，若两人所取球的颜色相同，则小明胜；否则，小军胜；
（1）请用树状图法求出摸笔游戏所有可能的结果；
（2）计算小明获胜的概率是 ，小军获胜的概率是 ，并指出本游戏规则是否公平，若没有公平，你认为对谁有利.
【正确答案】（1）见解析；（2）0.4，0.6，没有公平，对小军有利.
【详解】试题分析：（1）画树状图将所有等可能的结果一一列举出来即可；
（2）根据树状图，由概率公式求得小明，小军获胜的概率，即可判断是否公平．
试题解析：解：（1）依题意，得设红球为黑球为 ；则树状图如下：
所以共有20种可能；
（2）小明获胜的概率是 ，小军获胜的概率是1-0.4=0.6；
∵ 0.6＞0.4，所以没有公平，对小军有利．
20. 如图，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空： ， ；
（2）判断与是否相似，并证明你的结论．
【正确答案】（1），；（2）相似，理由见解析
【分析】（1）先在Rt△BCG中根据等腰直角三角形的性质求出∠GBC的度数，再根据∠ABC=∠GBC+∠ABG即可得出∠ABC的度数；在Rt△BCH中利用勾股定理即可求出BC的长．
（2）利用格点三角形的知识求出AB，BC及CE，DE的长度，继而可作出判断．
【详解】解：（1）∵△BCG是等腰直角三角形，
∴∠GBC=45°，
∵∠ABG=90°，
∴∠ABC=∠GBC+∠ABG=90°+45°=135°；
∵在Rt△BHC中，BH=2，CH=2，
∴；
故，；
（2）解：相似．理由如下：
∵，，
∴，
∴
又∵
∴．
此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．
21. 如图，点O是坐标原点，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为(4，2)．直线分别交AB，BC于点M，N，反比例函数的图像点M．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）判断点N是否在反比例函数的图像上？试说明理由．
【正确答案】（1）反比例函数的解析式是； （2）点N在反比例函数 上.
【详解】试题分析：（1）求出OA=BC=2，将y=2代入y=﹣x+3求出x=2，得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；
（2）把x=4代入直线解析式，求出N的坐标，再判断点N是否在反比例函数的图象上．
试题解析：解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，∴OA=BC=2，将y=2代入y=﹣x+3得：x=2，∴M（2，2），把M的坐标代入得：k=4，∴反比例函数的解析式是；
（2）把x=4代入y=﹣x+3：得：y=1，∴N（4，1），把x=4代入，得：y=1，∴点N在反比例函数上．
22. 某商场一批衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利30元，为了扩大，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天赢利750元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利至多？
【正确答案】（1）为了尽快减少库存，应减价15元；（2）降价10元时，利润为800元.
【详解】试题分析：（1）每天盈利=每件盈利×件数，每件实际盈利=原每件盈利-每件降价数．检验时，要考虑尽快减少库存，就是要保证盈利没有变的情况下，降价越多，量越多，达到减少库存的目的．
（2）在（1）的基础上，由到一般，列出二次函数，求出二次函数的值．
试题解析：解：（1）设每件衬衫应降价x元，依题意得：
(20+2x)(30-x)=750
解得：x=15或x=5．
为了尽快减少库存，应减价15元；
答：每件衬衫应降价15元．
（2）设平均每天盈利为P元，得：
P=(20+2x)(30-x) =-2x2+40x+600=
∴当x=10时，P，值为800．
答：每件衬衫降价10元时，商场平均每天赢利至多．
点睛：在营销问题中，降价必然会带来利润减少，同时，会带来件数的增加，“一减一加”．
23. 已知⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．
（1）连接PO，并延长交⊙O于点D，连接AD．证明：AD平分∠BAC；
（2）在（1）的条件下，AD交BC于点E，连接CD．若DE＝2，AE＝6．试求CD的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）CD=4.
【详解】试题分析：（1）由切线的性质得到PD⊥l，再由∥BC，得到PD垂直平分弦BC，由垂径定理得到弧BD=弧DC，即可得到结论；
（2）证明△ADC∽△CDE，由相似三角形的对应边成比例即可得到结论．
试题解析：解：（1）∵与⊙O相切于点P，∴PD⊥l．∵ ∥BC，∴PD⊥BC，∴ PD平分弦BC ，∴弧BD=弧DC ， ∴∠BAD=∠DAC ，即AD平分∠BAC；
（2）∠BAD=∠BCD且∠BAD=∠DAC，∴ ∠DAC=∠BCD．
在△ADC和△CDE中
∵∠DAC=∠BCD，∠ADC=∠EDC，∴△ADC∽△CDE ，
∴，，∴DC=4．
24. 如图，已知抛物线轴交于点A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标；
（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值，并求此时P点的坐标.
【正确答案】（1） ；（2）E的坐标是； （3）P点的坐标是（-2，-3）.
【详解】解：（1）由二次函数与轴交于、两点可得：
解得：
故所求二次函数的解析式为．
（2）∵S△CEF="2" S△BEF, ∴ ∵EF//AC, ∴,
∴△BEF～△BAC,
∴得
故E点的坐标为(,0).
（3）解法一：由抛物线与轴的交点为，则点的坐标为（0，－2）．若设直线的解析式为，则有 解得： 故直线的解析式为．
若设点的坐标为，又点是过点所作轴的平行线与直线的交点，则点的坐标为（．则有： ＝
＝即当时，线段取大值，此时点的坐标为（－2，－3）
解法二：延长交轴于点，则．要使线段最长，则只须△的面积取大值时即可.
设点坐标为（，则有:
＝
＝
＝
＝
＝ ＝－
即时，△的面积取大值，此时线段最长，则点坐标为（－2，－3）
（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；
（2）根据抛物线的解析式可得出C点的坐标，易证得△ABC是直角三角形，则EF⊥BC；△CEF和△BEF同高，则面积比等于底边比，由此可得出CF=2BF；易证得△BEF∽△BAC，根据相似三角形的性质，即可求得BE、AB的比例关系，由此可求出E点坐标；
（3）PQ的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点横坐标为m，用m表示出P、Q的纵坐标，然后可得出PQ的长与m的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PQ时，m的值，也就能求出此时P点的坐标．
25. 如图1，两个等腰直角三角板和有一条边在同一条直线上，， ．将射线绕点逆时针旋转，交直线于点．将图1中的三角板沿直线向右平移，设、两点间的距离为．
解答问题：
（1）①当点与点重合时，如图2所示，可得的值为 ；
②在平移过程中，的值为 （用含的代数式表示）；
（2）将图2中的三角板绕点逆时针旋转，原题中的其他条件保持没有变.当点落在线段上时，如图3所示,计算的值；
（3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度，≤，原题中的其他条件保持没有变.如图4所示，请补全图形,计算的值（用含k的代数式表示）．
【正确答案】（1）①1， ② ；（2）1；（3）.
【详解】试题分析：（1）①根据题意可得EM垂直平分DF，直线AF∥EM，从而转化为，继而得出结论；②仿照①的思路进行求解即可；
（2）先补全图形，连接AE，分别求出AM及DM的值，然后可确定比值．
（3）先画出图形，然后证明△ABG≌△CBE，继而推出AG∥DE，△AGM∽△DEM，利用相似三角形的性质即可得出答案．
试题解析：解：（1）①如图，∵∠MEB=45°，∠AFB=45°，∴EM垂直且平分DF，AF∥EM，∴==1；
②如图：
由①可得=；
（2）连接AE．∵△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，DE=2，AB=1，∴EF=2，BC=1，∠DEF=90°，∠4=∠5=45°，∴DF=，AC=，∠EFB=90°，∴DF=2AC，AD=，∴点A为CD的中点，∴EA⊥DF，EA平分∠DEF，∴∠MAE=90°，∠AEF=45°，AE=．∵∠BEM=45°，∴∠1+∠2=∠3+∠2=45°，∴∠1=∠3，∴△AEM∽△FEB，∴ ，∴AM=，∴DM=AD﹣AM=，∴=1．
（3）过B作BE的垂线交直线EM于点G，连接AG、BG，∴∠EBG=90°．∵∠BEM=45°，∴∠EGB=∠BEM=45°，∴BE=BG．∵△ABC为等腰直角三角形，∴BA=BC，∠ABC=90°，∴∠1=∠2，∴△ABG≌△CBE，∴AG=EC=k，∠3=∠4．∵∠3+∠6=∠5+∠4=45°，∴∠6=∠5，∴AG∥DE，∴△AGM∽△DEM，∴．
点睛：本题考查了相似形综合题，解答本题之前一定要将图形画出来，这样可以使我们的思考方向更准确一些，另外要求我们熟练掌握各个基础知识点的内容．
2022-2023学年福建省莆田市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选
1. 下列图形中，没有是对称图形的为（ ）
A. 圆 B. 正六边形 C. 正方形 D. 等边三角形
2. 一元二次方程的两根为， ，则的值是（ ）
A. 4 B. －4 C. 3 D. －3
3. 二次函数的图像大致为（ ）
A B. C. D.
4. 一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投掷这样的骰子，向上一面点数是偶数的结果有（ ）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 6种
5. ⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
6. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转50°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为130°，则∠C的度数是（ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
7. 在长方形ABCD中AB=16，如图所示裁出一扇形ABE，将扇形围成一个圆锥（AB和AE重合），则此圆锥底面半径为（ ）
A 4 B. 16 C. D. 8
8. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）.
A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570
C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570
9. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D两点分别在反比例函数（k＜0，x＜0）与（x＞0）的图像上，若平行四边形ABCD的面积为4，则k的值为（ ）
A. -1 B. -2 C. -3 D. -5
10. 在平面直角坐标系中，抛物线与直线均过原点，直线抛物线的顶点（2，4），
则下列说法：①当0＜x＜2时，y2＞y1；②y2随x的增大而增大的取值范围是x＜2；③使得y2大于4的x值没有存在； ④若y2=2，则x=2﹣或x=1．
其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题
11. 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为________．
12. 点P（－3，2）与点P′关于原点O成对称，则点P′ 的坐标为___________
13. 将抛物线y＝－2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_____
14. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=140°，则∠A等于______°.
15. 篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，比赛组织者应邀请___个队参赛.
16. 如图，已知点A是反比例函数的图象上的一个动点，连接OA，若将线段O A绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图象的函数表达式为______．
三、解 答 题
17. 已知关于x的方程.
（1）求证：没有论a取何实数，该方程都有两个没有相等实数根．
（2）当a=1时，求该方程的根．
18. 已知二次函数，当时有值，且此函数的图象点，求此二次函数的关系式，并指出当为何值时，随的增大而增大．
19. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，若正方形的边长等于4，求图中阴影部分面积．
20. 某商店今年1月份的额是2万元，3月份的额是3.38万元.
（1）求从1月份到3月份，该商店额平均每月增长率；
（2）如果该商店4月份额增长率保持没有变，额能否达到4.5万元，若没有能，请说明理由.
21. 在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（-1，-1），（1，-2），将△ABC绕着点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′.
（1）在图中画出△A′B′C′并写出点A的对应点A′坐标；
（2）求出在△ABC旋转的过程中，点A的路径长.
22. 从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，请用列表法或画树状图的方法，求点（m，n）在函数y=图象上的概率．
23. 如图，正比例函数y1＝－3x的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，AC＝AO，S△ACO＝12．
（1）求k的值；
（2）当y1＞y2时，写出x的取值范围；
（3）当x为何值时，y2＜1．
24. 已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．
25. 矩形AOCD绕顶点A(0，5)逆时针方向旋转，当旋转到如图所示的位置时，边BE交边CD于M，且ME=2，CM=4.
（1）求AD的长；
（2）求A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在直线AM下方，（2）中的抛物线上是否存在点P，使S△PAM =？若存在，求出P点坐标；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年福建省莆田市九年级上册数学期末专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选
1. 下列图形中，没有是对称图形的为（ ）
A. 圆 B. 正六边形 C. 正方形 D. 等边三角形
【正确答案】D
【详解】试题分析：A．是对称图形，故本选项错误；
B．对称图形，故本选项错误；
C．是对称图形，故本选项错误；
D．没有是对称图形，故本选项正确；
故选D．
考点：对称图形．
2. 一元二次方程的两根为， ，则的值是（ ）
A. 4 B. －4 C. 3 D. －3
【正确答案】B
【详解】由根与系数的关系可知：==−4.
故选B.
3. 二次函数的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】解：∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，
由解析式可知对称轴为x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）．
故选：D．
4. 一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投掷这样的骰子，向上一面点数是偶数的结果有（ ）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 6种
【正确答案】C
【详解】试题分析：一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷这枚骰子，向上的一面的点数为偶数的有3种情况，故选C．
考点：正方体相对两个面上的文字．
5. ⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
【正确答案】C
【详解】已知⊙O的半径为5，圆心O到直线L的距离为3，因5＞3，即d＜r，所以直线L与⊙O的位置关系是相交.故选C
6. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转50°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为130°，则∠C的度数是（ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
【正确答案】C
【分析】先根据∠AOC的度数为130°，∠AOD＝∠BOC＝50°，可得∠AOB＝80°，再根据△AOD中，AO＝DO，可得∠A＝65°，然后求出∠B即可．
【详解】解：∵∠AOC的度数为130°，∠AOD＝∠BOC＝50°，
∴∠AOB＝130°﹣50°＝80°，
∵△AOD中，AO＝DO，
∴∠A＝（180°﹣50°）＝65°，
∴△ABO中，∠B＝180°﹣80°﹣65°＝35°，
∴∠C＝∠B＝35°，
故选：C．
本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．
7. 在长方形ABCD中AB=16，如图所示裁出一扇形ABE，将扇形围成一个圆锥（AB和AE重合），则此圆锥的底面半径为（ ）
A. 4 B. 16 C. D. 8
【正确答案】A
【详解】试题分析：设圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，得2πr=，解得r=4．故小圆锥的底面半径为4；
故选A．
考点：圆锥的计算
8. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）.
A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570
C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570
【正确答案】A
【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得：
(32−2x)(20−x)=570，
故选：A
9. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D两点分别在反比例函数（k＜0，x＜0）与（x＞0）的图像上，若平行四边形ABCD的面积为4，则k的值为（ ）
A. -1 B. -2 C. -3 D. -5
【正确答案】C
【详解】连接OA、OD,如图,
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD垂直y轴，
∴ ,
，
∴ ，
∵▱ABCD的面积=2=4.
∴|k|+1=4，
解得k=−3或3，
∵k<0.
∴k=−3
故C.
10. 在平面直角坐标系中，抛物线与直线均过原点，直线抛物线的顶点（2，4），
则下列说法：①当0＜x＜2时，y2＞y1；②y2随x的增大而增大的取值范围是x＜2；③使得y2大于4的x值没有存在； ④若y2=2，则x=2﹣或x=1．
其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【分析】根据图象得出函数解析式为y=a（x-2）2+4，再把c=0代入即可得出解析式，根据二次函数的性质得出答案．
【详解】设抛物线解析式为y=a（x-2）2+4，
∵抛物线与直线均过原点，
∴a（0-2）2+4=0，
∴a=-1，
∴y=-（x-2）2+4，
∴由图象得当0＜x＜2时，y2＞y1，故①正确；
y2随x的增大而增大的取值范围是x＜2，故②正确；
∵抛物线的顶点（2，4），
使得y2大于4的x值没有存在，故③正确；
把y=2代入y=-（x-2）2+4，得y2=2，
则x=2-或x=2+，故④没有正确．
其中正确的有3个，
故选C．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填 空 题
11. 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为________．
【正确答案】-2
【详解】试题解析：由韦达定理可得，
故答案为
12. 点P（－3，2）与点P′关于原点O成对称，则点P′ 的坐标为___________
【正确答案】（3，－2）
【详解】∵点P的坐标为(−3,2)，
∴和点P关于原点对称点P′的坐标是(3,−2)，
故答案为（3，－2）.
13. 将抛物线y＝－2x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_____
【正确答案】
【详解】y＝－2x2,其顶点坐标为(0,0).
向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为(3,2),得到的抛物线的解析式是y=-2(x−3) 2+2，
故答案为.
14. 如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=140°，则∠A等于______°.
【正确答案】110
【详解】∵∠BOD=140°，
∴∠C=∠BOD=70°，
∠A=180°−∠C=110°.
故答案为:110.
15. 篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，比赛组织者应邀请___个队参赛.
【正确答案】6
【详解】设比赛组织者应邀请x队参赛，根据题意得：
解得：=6， =-5 (舍去)，
答：比赛组织者应邀请6个队参赛.
故答案为6.
点睛: 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，的总场数应除以2．
16. 如图，已知点A是反比例函数的图象上的一个动点，连接OA，若将线段O A绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图象的函数表达式为______．
【正确答案】
【详解】解∵点A是反比例函数的图象上的一个动点，
∴设A（m，n），过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∴AC=n，OC=﹣m，∴∠ACO=∠ADO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠+∠AOC=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠=∠BOD，
在△ACO与△ODB中，
∵∠ACO=∠ODB，∠=∠BOD，AO=BO，
∴△ACO≌△ODB，
∴AC=OD=n，CO=BD=﹣m，
∴B（n，﹣m），
∵mn=﹣2，∴n（﹣m）=2，
∴点B所在图象的函数表达式为，
故答案为．
三、解 答 题
17. 已知关于x的方程.
（1）求证：没有论a取何实数，该方程都有两个没有相等的实数根．
（2）当a=1时，求该方程的根．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）x1=，x2=
【详解】试题分析: （1）将x=1代入方程x2+ax+a-2=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
试题解析:
解：⑴ ∵∆=
∴该方程有两个没有相等的实数根.
⑵ 当a=1时，方程可化为
解得：x1=，x2=
18. 已知二次函数，当时有值，且此函数的图象点，求此二次函数的关系式，并指出当为何值时，随的增大而增大．
【正确答案】当x＜2时，y随x的增大而增大．
【详解】试题分析：根据当x=2时函数有值，可得h=2，再把点（1，﹣3）代入函数解析式求得a值，即可求得函数解析式，根据函数的性质直接写出函数y随x的增大而增大时x的取值范围即可．
试题解析：
根据题意得y=a（x﹣2）2，
把（1，﹣3）代入得a=﹣3，
所以二次函数解析式为y=﹣3（x﹣2）2，
因为抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线开口向下，
所以当x＜2时，y随x的增大而增大．
19. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，若正方形边长等于4，求图中阴影部分面积．
【正确答案】S阴影＝
【详解】试题分析: 连结OA、OB，根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积即可求解.
试题解析:
解：如图，连结OA、OB，作OE⊥AB，垂足为E，
则∠AOB＝90°，OE＝AB＝2
∴S阴影＝S扇形OAB－S△OAB＝＝＝
20. 某商店今年1月份的额是2万元，3月份的额是3.38万元.
（1）求从1月份到3月份，该商店额平均每月的增长率；
（2）如果该商店4月份额增长率保持没有变，额能否达到4.5万元，若没有能，请说明理由.
【正确答案】（1）从1月份到3月份，该店额平均每月的增长率为30%；（2）没有能.理由见解析.
【详解】试题分析:
(1) 设每月增长率为x，据题意可知：三月份额为2（1+x）2万元，依此等量关系列出方程，求解即可．
(2) 根据该商店4月份额增长率保持没有变,计算出4月份额,和4.5万元进行比较即可.
试题解析:
解：⑴ 设该店额平均每月的增长率为x，
则二月份额为万元，三月份额为万元，
由题意可得：，
解得：x1=0.3=30%，x2=﹣2.3（没有合题意舍去），
答：从1月份到3月份，该店额平均每月的增长率为30%；
⑵ 没有能.理由如下：
∵ 该商店4月份额增长率保持没有变
∴ 四月份额为万元
当x=0.3时，
21. 在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（-1，-1），（1，-2），将△ABC绕着点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′.
（1）在图中画出△A′B′C′并写出点A的对应点A′坐标；
（2）求出在△ABC旋转的过程中，点A的路径长.
【正确答案】（1）画图见解析，点A的对应点A′的坐标为（5，-1）；（2）点A的路径长
【详解】试题分析: （1）先利用B，C两点的坐标画出直角坐标系得到A点坐标，再画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后点A的对应点的A′、B′，然后写出点A′、B′的坐标即可．
（2）求得AC的长，然后根据弧长公式求得即可．
试题解析:
解：⑴ 如图，A点坐标为（0，2），
将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为（5，-1）．
⑵ 点A的路径长
22. 从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，请用列表法或画树状图的方法，求点（m，n）在函数y=图象上的概率．
【正确答案】画树状图见解析，、 点（m，n）在函数y=图象上的概率P＝．
【详解】试题分析: 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（m，n）恰好在反比例函数y=图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
试题解析:
解：树状图：
如图，等可能的结果共有12种，点（m，n）恰好在反比例函数y=图象上的有：（2，3），（﹣1，﹣6），（3，2），（﹣6，﹣1），
∴ 点（m，n）在函数y=图象上的概率P＝．
23. 如图，正比例函数y1＝－3x的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，AC＝AO，S△ACO＝12．
（1）求k的值；
（2）当y1＞y2时，写出x的取值范围；
（3）当x为何值时，y2＜1．
【正确答案】（1）k＝－12；（2）x＜-2或0＜x＜2时，y1＞y2；（3）当x＜－12或x＞0时，y2＜1.
【详解】试题分析: （1）过点A作AD垂直于OC，由AC=AD，得到CD=DO，确定出三角形ADO与三角形ACO面积，即可求出k值；
（2）根据函数图象，找出满足题意x的范围即可;
(3) 把y2=1代入y2＝求出x的值,图象找出 y2＜1的x的取值即可.
试题解析:
解：（1）如图，过点A作AD⊥x轴，作AE⊥y轴，垂足为D、E，
∵AC=AO.
∴CD=DO.
∴S△ADO=S△ACO=6.
∴｜k｜=S四边形ADOE＝2 S△ADO ＝12
又∵双曲线分布在第二、四象限
∴ k＜0
∴ k＝－12
（2）由（1）得y2＝，由得：，
∴A（-2，6），B（2，-6）
由图象可知：x＜-2或0＜x＜2时，y1＞y2
（3）当x＜0时，由＝1得，x＝－12
∵ k＝－12＜0
∴ y2随x的增大而减小
∴ 当x＜－12时，y2＜1
当x＞0时，y2＜0＜1
综上，当x＜－12或x＞0时，y2＜1
24. 已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接FO，可根据三角形中位线的性质可判断易证OF∥AB，然后根据直径所对的圆周角是直角，可得CE⊥AE，进而知OF⊥CE，然后根据垂径定理可得∠FEC＝∠FCE，∠OEC＝∠OCE，再通过Rt△ABC可知∠OEC＋∠FEC＝90°，因此可证FE为⊙O的切线；
（2）根据⊙O的半径为3，可知AO＝CO＝EO＝3，再由∠EAC＝60°可证得∠COD＝∠EOA＝60°，在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，可由勾股定理求得CD=3，根据Rt△ACD，用勾股定理求得结果．
【详解】解：（1）连接FO
易证OF∥AB
∵AC⊙O的直径
∴CE⊥AE
∵OF∥AB
∴OF⊥CE
∴OF所在直线垂直平分CE
∴FC＝FE，OE＝OC
∴∠FEC＝∠FCE，∠0EC＝∠OCE
∵Rt△ABC
∴∠ACB＝90°
即：∠OCE＋∠FCE＝90°
∴∠OEC＋∠FEC＝90°
即：∠FEO＝90°
∴FE为⊙O的切线
（2）∵⊙O的半径为3
∴AO＝CO＝EO＝3
∵∠EAC＝60°，OA＝OE
∴∠EOA＝60°
∴∠COD＝∠EOA＝60°
∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3
∴CD＝
∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，
CD＝，AC＝6
∴AD＝．
本题考查切线的判定，中位线的性质，以及直角三角形的边角关系和勾股定理．
25. 矩形AOCD绕顶点A(0，5)逆时针方向旋转，当旋转到如图所示的位置时，边BE交边CD于M，且ME=2，CM=4.
（1）求AD的长；
（2）求A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在直线AM下方，（2）中的抛物线上是否存在点P，使S△PAM =？若存在，求出P点坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）AD=7；（2）；（3）P点坐标为（3，1）、
【详解】试题分析: （1）作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，根据旋转的性质得AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，利用等角的余角相等得∠ABP=∠MBQ，可证明Rt△ABP∽Rt△MBQ得到，设BQ=PD=x，AP=y，则AD=x+y，所以BM=x+y-2，利用比例性质得到PB•MQ=xy，而PB-MQ=DQ-MQ=DM=1，利用完全平方公式和勾股定理得到52-y2-2xy+（x+y-2）2-x2=1，解得x+y=7，则BM=5，BE=BM+ME=7，所以AD=7；
（2）由AB=BM可判断Rt△ABP≌Rt△MBQ，则BQ=PD=7-AP，MQ=AP，利用勾股定理得到（7-MQ）2+MQ2=52，解得MQ=4（舍去）或MQ=3，则BQ=4，根据三角形面积公式和梯形面积公式，利用S阴影部分=S梯形ABQD-S△BQM进行计算即可；然后利用待定系数法求直线AM的解析式.先确定B（3，1），然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（3）当点P在线段AM的下方的抛物线上时，作∥y轴交AM于K，如图2设P（x，x2-x+5），则K（x，-x+5），则KP=-x2+x，根据三角形面积公式得到•（-x2+x）•7=，解得x1=3，x2=，于是得到此时P点坐标为（3，1）、；再求出过点（3，1）与的直线l的解析式为y=-x+，则可得到直线l与y轴的交点A′的坐标为（0，），所以AA′=，然后把直线AM向上平移个单位得到l′，直线l′与抛物线的交点即为P点，由于A″（0，），则直线l′的解析式为y=-x+，再通过解方程组得P点坐标．
试题解析:
解：⑴ 如图1，连接AM，
在矩形AOCD中，∠AOC=∠ADC=90°，AD=OC，CD=AO=5，
∵CM=4，
∴DM=1，
由旋转，得∠B=∠AOC =90°，BE=OC，AB=AO=5，
设BE=OC= AD=x，
在Rt△ADM中，AM2=x2+1，
在Rt△ABM中，AM2=(x-2) 2+25,
∴x2+1=(x-2) 2+25，解得x=7，
∴AD=7.
⑵ 如图2，过点B作x轴的平行线，交AO于G，交DC于H，
则 ∠AGB=∠BHM =90°，
∴ ∠ABG＋∠BAG =90°，
∵ ∠ABE=90°，
∴ ∠ABG＋∠MBH =90°，
∴ ∠BAG =∠MBH ，
∵ AB=BM=5，
∴ △AGB≌△BHM（AAS），
∴ BH=AG，MH=BG，
设MH=BG=n，则DH=n＋1，∴BH=AG=n＋1，
∵ GH=OC=AD=7，
∴ n＋（n＋1）=7，
∴ n=3，
∴ AG=4，BG=3，
∵ A（0，5），
∴ 点B的坐标为（3，1），
设A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+5，将B（3，1），
D（7，5）代入，得
解得
∴y=x2-x+5.
图2
⑶ 存在．
设直线AM的解析式为y=kx+5，将M（7，4）代入，得k=，
∴y=-x+5,
∵点P在线段AD的下方的抛物线上，作∥y轴交AM于K，
设P（x，），则K（x，），
∴KP=﹣=，
∵S△PAM=，
∴••7=，
整理得7x2﹣46x+75=0，
解得x1=3，x2=，
此时P点坐标为（3，1）、
点睛: 本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转性质、矩形的性质和三角形全等于相似的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会进行代数式的变形．
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