2022-2023学年北京市西城区九年级上册数学期中专项提升模拟卷（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年北京市西城区九年级上册数学期中专项提升模拟卷（AB卷）含解析，共44页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市西城区九年级上册数学期中专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选
1. 下列图形中，是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC＝70°，则∠ABC的度数为（ ）

A. 10°； B. 20°； C. 35°； D. 55°．
3. 用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（　　）
A. 有一个内角小于60° B. 每一个内角都小于60°
C 有一个内角大于60° D. 每一个内角都大于60°
4. 气象台预测“本市降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是（　　）
A. 本市明天将有90%的地区降雨 B. 本市明天将有90%的时间降雨
C. 明天出行没有带雨具肯定会淋雨 D. 明天出行没有带雨具可能会淋雨
5. 一元二次方程x2﹣2x﹣5=0根判别式的值是（　　）
A. 24 B. 16 C. ﹣16 D. ﹣24
6. 已知正六边形的边长为3，则这个正六边形的半径是（　　）
A. B. 2 C. 3 D. 3
7. 如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（﹣4，﹣3），将线段OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（　　）

A. （﹣4，3） B. （﹣3，4） C. （3，﹣4） D. （4，﹣3）
8. 抛物线y=x2﹣4x+1的顶点坐标是（　　）
A. （﹣2，13） B. （2，﹣3） C. （2，5） D. （﹣2，﹣3）
9. 如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则r与R之间的关系是（ ）

A. R＝2r； B. ； C. R＝3r； D. R＝4r．
10. 如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（   ）

A. O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B. O是△AEB的外心，O没有是△AED的外心
C. O没有是△AEB的外心，O是△AED的外心
D. O没有是△AEB的外心，O没有是△AED的外心
二、填 空 题
11. 方程的根是_________；
12. 已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b=____．
13. “服务社会，提升自我．”凉山州某学校积极开展志愿者服务，来自九年级的5名同学（三男两女）成立了“交通秩序维护”小分队．若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是_______．
14. 如图，教室里有一只倒地的装的灰斗，与地面的夹角为，，小贤同学将它扶起平放在地面上（如图），则灰斗柄绕点转动的角度为________．

15. 如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为____．

16. 已知关于x的二次函数y=ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0），若3＜m＜4，则a的取值范围是_____．
三、解 答 题
17. 解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．
18. 如图是由边长为1的小正三角形组成的网格图，点O和△ABC的顶点都在正三角形的格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转120°得到△A′B′C′．
（1）在网格中画出旋转后的△A′B′C′；
（2）求AB边旋转时扫过的面积．

19. 已知关于x方程x2﹣3x+m=0．
（1）当m为何值时，方程有两个相等的实数根；
（2）当m=﹣时，求方程的解．
20. 随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到，国家卫计委通过严打药品环节中的没有正当行为，某种药品原价200元/瓶，连续两次降价后，现仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率．
21. 锐锐参加市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对两道单 选 题就顺利通关，道单 选 题有3个选项，第二道单 选 题有4个选项，这两道题锐锐都没有会，没有过锐锐还有两个“求助”可以用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）
（1）如果锐锐两次“求助”都在道题中使用，那么锐锐通关的概率是__________.
（2）如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是__________.
（3）如果锐锐将每道题各用“求助”，请用画树状图或者列表的方法来分析他顺利通关的概率.
22. 已知二次函数y=x2+x的图象，如图所示．
（1）在同一直角坐标系中用描点法画出函数y=x+图象，观察图象写出自变量x取值在什么范围时，函数的值小于二次函数的值；
（2）如图，点P是坐标平面上一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P是否在函数y=x+的图象上，请说明理由．

23. 如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O交CA于点E，点G是AD的中点．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若AC⊥BC，且AC=8，BC=6，求切线GE的长．

24. 在数学兴趣小组中，小明进行数学探究．将边长为2的正方形ABCD与边长为的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．
（1）小明发现，请你帮他说明理由．

（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．

（3）如图3，若小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△与△面积之和的值，并简要说明理由．

25. 已知抛物线（是常数）点.
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标.
（2）若点在抛物线上，且点关于原点的对称点为.
①当点落在该抛物线上时，求的值；
②当点落在第二象限内，取得最小值时，求的值.





























2022-2023学年北京市西城区九年级上册数学期中专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选
1. 下列图形中，是对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形，这个点叫做对称可得答案．
【详解】A、没有是对称图形，故此选项错误；
B、没有是对称图形，故此选项错误；
C、没有是对称图形，故此选项错误；
D、是对称图形，故此选项正确；
故选D．
本题考查了对称图形，解题的关键是掌握对称图形的定义．
2. 如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC＝70°，则∠ABC的度数为（ ）

A. 10°； B. 20°； C. 35°； D. 55°．
【正确答案】C

【详解】∵∠AOC=70°，
∴∠ABC=∠AOC=35°．
故选C.
3. 用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（　　）
A. 有一个内角小于60° B. 每一个内角都小于60°
C. 有一个内角大于60° D. 每一个内角都大于60°
【正确答案】B

【分析】根据反证法的步是假设结论没有成立，据此解答即可．
【详解】解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，
步应先假设每一个内角都小于 ，
故选：B．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论没有成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设没有成立，则结论成立．
4. 气象台预测“本市降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是（　　）
A. 本市明天将有90%的地区降雨 B. 本市明天将有90%的时间降雨
C. 明天出行没有带雨具肯定会淋雨 D. 明天出行没有带雨具可能会淋雨
【正确答案】D

【详解】“本市降雨的概率是90%”，是说明天下雨发生的可能性很大，但没有一定就一定会发生．所以A、B、C三个选项中的说法都没有正确，只有D符合题意．
故选D．
5. 一元二次方程x2﹣2x﹣5=0根的判别式的值是（　　）
A. 24 B. 16 C. ﹣16 D. ﹣24
【正确答案】A

详解】a=1,b=-2,c=-5,
,所以选A.
6. 已知正六边形的边长为3，则这个正六边形的半径是（　　）
A. B. 2 C. 3 D. 3
【正确答案】C

【详解】如图，设AB是⊙O的内接正六边形的一边，连接OA、OB，则∠AOB=，
又∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=3.
故选C.

点睛：（1）正n边形的角=；（2）正六边形的半径等于其边长；
7. 如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（﹣4，﹣3），将线段OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（　　）

A. （﹣4，3） B. （﹣3，4） C. （3，﹣4） D. （4，﹣3）
【正确答案】B

【详解】由题意画出旋转所得线段OA′如下图所示：作AB⊥x轴于点B，作A′C⊥x轴于点C，
∴∠ABO=∠A′CO=90°，
又∵∠A′OA=90°，
∴∠AOB+∠BAO=∠AOB+∠A′OC=90°，
∴∠BAO=∠A′OC，
又∵OA′=OA，
∴△A′OC≌△OAB，
∴A′C=OB，OC=AB，
∵点A的坐标为（-4，-3），
∴OB=4，AB=3，
∴OC=3，A′C=4，
又∵点A′在第二象限，
∴点A′的坐标为（-3，4）.
故选B.

8. 抛物线y=x2﹣4x+1的顶点坐标是（　　）
A. （﹣2，13） B. （2，﹣3） C. （2，5） D. （﹣2，﹣3）
【正确答案】B

【详解】∵y=x2﹣4x+1=x2﹣4x+4﹣3=（x﹣2）2+3，
∴抛物线的顶点坐标是（2，﹣3）．
故选B．
9. 如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则r与R之间的关系是（ ）

A. R＝2r； B. ； C. R＝3r； D. R＝4r．
【正确答案】D

【详解】解：扇形的弧长是： ，
圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：

∴即：R=4r，
r与R之间关系是R=4r．
故选D．
10. 如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（   ）

A. O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B. O是△AEB的外心，O没有是△AED的外心
C. O没有是△AEB的外心，O是△AED的外心
D. O没有是△AEB的外心，O没有是△AED的外心
【正确答案】B

【分析】根据三角形的外心的性质，可以证明O是△ABE的外心，没有是△AED的外心．
【详解】如图，连接OA、OB、OD.

∵O是△ABC外心，
∴OA=OB=OC，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OA=OB=OE，
∴O是△ABE的外心，
∵OA=OE≠OD，
∴O没有是△AED的外心，
故选:B.
考查三角形外心的概念，三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三条垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等.
二、填 空 题
11. 方程的根是_________；
【正确答案】，

【详解】x2-1=0
因式分解，得 (x-1)(x+1)=0，
∴x-1=0或x+1=0，
∴x1=1，x2=-1.
故本题应填写：x1=1，x2=-1.
12. 已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b=____．
【正确答案】-4

【详解】试题分析：可直接由对称轴公式=2，求得b=-4．
考点：二次函数的性质
13. “服务社会，提升自我．”凉山州某学校积极开展志愿者服务，来自九年级的5名同学（三男两女）成立了“交通秩序维护”小分队．若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是_______．
【正确答案】

【详解】根据题意画出树状图如下：

∵一共有20种情况，恰好是一男一女的有12种情况，
∴P（恰好是一男一女）=．
14. 如图，教室里有一只倒地的装的灰斗，与地面的夹角为，，小贤同学将它扶起平放在地面上（如图），则灰斗柄绕点转动的角度为________．

【正确答案】

【分析】连结AC并且延长至E，根据旋转的性质和平角的定义，由角的和差关系即可求解．
【详解】如图：连结AC并且延长至E，

∠DCE=180°-∠DCB-∠ACB=105°．
故灰斗柄AB绕点C转动的角度为105°．
故答案为105°．
考查了生活中的旋转现象，本题关键是由角的和差关系得到∠DCE的度数．
15. 如图，一个宽为2cm刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为____．

【正确答案】cm

【分析】设OB=rcm，由于刻度尺的宽为2cm，所以OC=r-2，再根据另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”可求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出r的值．
【详解】根据题意获得下图：


设OB=r cm，
∵刻度尺的宽为2cm，
∴OC=r-2，
∵另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”，
∴BC=×6=3，
在Rt△OBC中，
∵OB2=OC2+BC2，即r2=（r-2）2+32，解得r= cm．
故答案为cm．
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意得出BC=3是解答此题的关键．
16. 已知关于x的二次函数y=ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0），若3＜m＜4，则a的取值范围是_____．
【正确答案】＜a＜或﹣4＜a＜﹣3

【详解】∵y=ax2+（a2﹣1）x﹣a=（ax﹣1）（x+a），
∴当y=0时，可解得：x1=，x2=﹣a，
∴抛物线与x轴的交点为（，0）和（﹣a，0）．
∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且2＜m＜3，
∴（1）当a＞0时，3＜＜4，解得；
（2）当a＜0时，3＜﹣a＜4，解得﹣4＜a＜﹣3．
综上所述，a的取值范围是：或﹣4＜a＜﹣3.
故答案是：或﹣4＜a＜﹣3.
三、解 答 题
17. 解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．
【正确答案】x1=0，x2=4．

【详解】试题分析：先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
试题解析：方程化为x2﹣4x=0，x（x﹣4）=0，所以x1=0，x2=4．
考点：解一元二次方程﹣因式分解法．
18. 如图是由边长为1的小正三角形组成的网格图，点O和△ABC的顶点都在正三角形的格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转120°得到△A′B′C′．
（1）在网格中画出旋转后的△A′B′C′；
（2）求AB边旋转时扫过的面积．

【正确答案】(1)见解析；(2)π．

【详解】试题分析：
（1）利用网格特点、等边三角形的性质和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′，在顺次连接这三点即可得到△A′B′C′；
（2）根据扇形的面积公式，利用AB边旋转时扫过的面积=S扇形BOB′﹣S扇形AOA′进行计算即可．
试题解析：
（1）如图，△A′B′C′为所作；

（2）AB边旋转时扫过的面积=S扇形BOB′﹣S扇形AOA′=﹣=π
19. 已知关于x的方程x2﹣3x+m=0．
（1）当m为何值时，方程有两个相等的实数根；
（2）当m=﹣时，求方程的解．
【正确答案】（1）m=；（2）x1=，x2=．

【详解】试题分析：
（1）由方程有两个相等的实数根可得出根的判别式△=9﹣4m=0，解之即可得出m的值；
（2）将（1）中所求m的值代入原方程，用公式法解方程即可得出结论．
试题解析：
（1）∵方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣3）2﹣4m=9﹣4m=0，
解得：m=．
（2）将m=﹣代入原方程得：x2﹣3x﹣=0，
∴△=9﹣4m=12，
∴ ，
∴x1=，x2=．
20. 随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到，国家卫计委通过严打药品环节中的没有正当行为，某种药品原价200元/瓶，连续两次降价后，现仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率．
【正确答案】该种药品平均每次降价的百分率是30%.

【详解】试题分析：设该种药品平均每场降价的百分率是x，则两个次降价以后的价格是，据此列出方程求解即可．
试题解析：设该种药品平均每场降价的百分率是x，由题意得：
解得：（没有合题意舍去），=30%．
答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．
考点：一元二次方程的应用；增长率问题．
21. 锐锐参加市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对两道单 选 题就顺利通关，道单 选 题有3个选项，第二道单 选 题有4个选项，这两道题锐锐都没有会，没有过锐锐还有两个“求助”可以用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）
（1）如果锐锐两次“求助”都在道题中使用，那么锐锐通关的概率是__________.
（2）如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是__________.
（3）如果锐锐将每道题各用“求助”，请用画树状图或者列表的方法来分析他顺利通关的概率.
【正确答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）锐锐两次“求助”都在道题中使用，道肯定能对，第二道对的概率为，即可得出结果；
（2）由题意得出道题对的概率为，第二道题对的概率为，即可得出结果；
（3）用树状图得出共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，即可得出结果．
【详解】（1）道肯定能对，第二道对的概率为，
所以锐锐通关的概率为；
（2）锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则道题对的概率为，第二道题对的概率为，所以锐锐能通关的概率为×＝；
（3）锐锐将每道题各用“求助”，分别用A，B表示剩下的道单 选 题的2个选项，a，b，c表示剩下的第二道单 选 题的3个选项，树状图如图所示：

共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，
∴锐锐顺利通关的概率为.
22. 已知二次函数y=x2+x的图象，如图所示．
（1）在同一直角坐标系中用描点法画出函数y=x+的图象，观察图象写出自变量x取值在什么范围时，函数的值小于二次函数的值；
（2）如图，点P是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P是否在函数y=x+的图象上，请说明理由．

【正确答案】（1）当x＜﹣1.5或x＞1时，函数的值小于二次函数的值；（2）点P在直线y=x+的函数图象上．

【详解】试题分析：
（1）由题意和图可知，小正方形的边长为0.5个单位长度，这样先求得直线上任意两点的坐标，根据坐标在图中描出这两个点，然后画出过这两点的直线即可得到直线y=x+的函数图象，然后找出函数图象位于抛物线下方部分x的取值范围即可；
（2）先依据抛物线的顶点坐标和点P的坐标，确定出抛物线移动的方向和距离，然后依据抛物线的顶点式写出抛物线的解析式即可，将点P的坐标代入函数解析式，如果点P的坐标符合函数解析式，则点P在直线上，否则点P没有在直线上．
试题解析：
（1）∵将x=0代入y=x+得y=，将x=1代入得：y=2，
∴直线y=x+点（0，），（1，2）．
由抛物线y=x2+x与x轴左侧交点的位置可知，图中小正方形的边长为0.5个单位长度，由此可画出直线y=x+的图象如下图所示：

由函数图象可知：当x＜﹣1.5或x＞1时，函数的值小于二次函数的值．
（2）由抛物线y=x2+x=(x+)2-可知，抛物线的顶点坐标为，点P的坐标为（-1，1），
∴先将抛物线向上平移个单位，再向左平移个单位，即可使平移后的抛物线顶点落在点P（﹣1，1）处．
∴平移后的二次函数的表达式为：y=（x+1）2+1，即：y=x2+2x+2；
点P在y=x+的函数图象上．理由如下：
∵把x=﹣1代入y=x+得：y=1，
∴点P的坐标符合直线的解析式．
∴点P在直线y=x+的函数图象上．
23. 如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O交CA于点E，点G是AD的中点．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若AC⊥BC，且AC=8，BC=6，求切线GE的长．

【正确答案】（1）见解析；（2）

【详解】试题分析：
（1）连接OE、OG，由已知易证OG是△ACD的中位线，由此可得OG∥AC，OE=OC，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证得∠EOG=∠DOG，从而可证得△EOG≌△DOG，由此可得∠OEG=∠ODG=90°，即可证得EG是⊙O的切线；
（2）由已知条件易得AB=10，GD是⊙O的切线，则GE=GD，在Rt△ACD和Rt△BCD中，由AC2-AD2=CD2，BC2-BD2=CD2可得AC2-AD2=BC2-BD2，设BD=x，则AD=10-x，列出方程解得x的值，即可得到AD的长，从而得到GD的长就可得到GE的长了.
试题解析：
（1）连接OE，OG；

∵AG=GD，CO=OD，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG∥AC．
∴∠OEC=∠GOE，∠ACD=∠GOD．
∵OE=OC，
∴∠ACD=∠OEC．
∴∠GOD=∠GOE．
∵OE=OD，OG=OG，
∴△OEG≌△ODG．
∴∠OEG=∠ODG=90°．
∴GE是⊙O的切线．
（2）∵AC=8，BC=6，
∴AB==10．
∴OD⊥GD．
∴GD也是圆O的切线．
∴GD=GE．
设BD=x，则AD=10﹣x，
在Rt△CDA和Rt△CDB中，
由勾股定理得：CD2=82﹣（10﹣x）2，CD2=62﹣x2
∴82﹣（10﹣x）2=62﹣x2
解得x＝，
∴AD=10﹣=．
又∵点G是AD的中点，
∴GE=GD=AD=．
即切线GE长为．
24. 在数学兴趣小组中，小明进行数学探究．将边长为2的正方形ABCD与边长为的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．
（1）小明发现，请你帮他说明理由．

（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．

（3）如图3，若小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△与△面积之和的值，并简要说明理由．

【正确答案】（1）见解析；（2）（3）6

【详解】试题分析：（1）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应角相等得∠AGD=∠AEB，如图1所示，延长EB交DG于点H，利用等角的余角相等得到∠DHE=90°，利用垂直的定义即可得DG⊥BE；
（2）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应边相等得到DG=BE，如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD=∠AMG=90°，在直角三角形AMD中，求出AM的长，即为DM的长，根据勾股定理求出GM的长，进而确定出DG的长，即为BE的长；
（3）△GHE和△BHD面积之和的值为6，理由为：对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△EGH的高；对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△BDH的高，即可确定出面积的值．
试题解析：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，
∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，
在△ADG和△ABE中，
，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴∠AGD=∠AEB，
如图1所示，延长EB交DG于点H，

在△ADG中，∠AGD+∠ADG=90°，
∴∠AEB+∠ADG=90°，
在△EDH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，
∴∠DHE=90°，
则DG⊥BE；
（2）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE，
∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，即∠DAG=∠BAE，
在△ADG和△ABE中，

∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴DG=BE，
如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD=∠AMG=90°，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠MDA=45°，
在Rt△AMD中，∠MDA=45°，
∴cos45°=，
∵AD=2，
∴DM=AM=，
在Rt△AMG中，根据勾股定理得：GM=，
∵DG=DM+GM=，
∴BE=DG=；
（3）△GHE和△BHD面积之和的值为6，理由为：
对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，
∴当点H与点A重合时，△EGH的高；
对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，
∴当点H与点A重合时，△BDH的高，
则△GHE和△BHD面积之和的值为2+4=6．
考点：几何变换综合题．

25. 已知抛物线（是常数）点.
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标.
（2）若点在抛物线上，且点关于原点的对称点为.
①当点落在该抛物线上时，求的值；
②当点落在第二象限内，取得最小值时，求的值.
【正确答案】（1），顶点的坐标为(1,-4);（2）①，;②.

【分析】（1）把坐标代入求出解析式，再化为顶点式即可求解；
（2）①由对称性可表示出P’的坐标，再由P和P’都在抛物线上，可得到m的方程，即可求出m的值；
②由点P’在第二象限，可求出t的取值，利用两点间的距离公式可用t表示，再由带你P’在抛物线上，可消去m，整理得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质即可求出最小值时t的值，则可求出m的值.
【详解】（1）∵抛物线点，
∴，解得，∴抛物线的解析式为.
∵，∴顶点的坐标为.
（2）①由点在抛物线上，有.
∵关于原点的对称点为，有.
∴，即，
∴，
解得，.
②由题意知在第二象限，∴，，即，.
则在第四象限.
∵抛物线的顶点坐标为，∴.
过点作轴，为垂足，则.
∵，，
∴，.
当点和没有重合时，在中，.
当点和重合时，，，符合上式.
∴，即.
记，则，
∴当时，取得最小值.
把代入，得，
解得，，
由，可知没有符合题意，∴.
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的性质.


























2022-2023学年北京市西城区九年级上册数学期中专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选（每小题3分）
1. 下列各点中，在函数的图像上的是（ ）．
A. B. C. D.
2. 二次函数的对称轴是（ ）．
A. B. C. D.
3. 年统计，世界范围内癌症新发病例例，其中中国新增癌症占比，请用科学记数法表示世界癌症新发病例数为（ ）．
A. B. C. D.
4. 如图，正比例函数与反比例的图象相交于、两点，轴于，轴于，则四边形的面积为（ ）

A. B. C. D.
5. 已知函数的图像如图所示，则函数的图像是（ ）．

A. B.
C. D.
6. 已知点，，三点都在反比例函数图像上，则下列关系正确的是（ ）．
A. B. C. D.
7. 二次函数的图像与轴有交点，的取值范围是（ ）．
A. B. 且 C. 且 D. 且
8. 对形如的函数解析式说法错误的是（ ）．
A. 当时，此函数二次函数，开口向上
B. 当，时，此函数是函数
C. 当，时，随的增大而增大
D. 当，时，仍函数
9. ，其中，，则这个二次函数的图像可能是（ ）．
A B.
C. D.
10. 已知反比例函数，当时，随的增大而增大，函数，随的增大而减小，且与轴负半轴相交，那么二次函数的图像与轴（ ）
A. 必有两个交点 B. 有可能有两个交点
C. 有两个交点或一个交点 D. 无交点
11. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：；方程的两根之和大于0；随的 增大而增大；④，其中正确的个数（ ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空（每空3分）
12. 抛物线（，是常数）的顶点坐标是__________．
13. 函数与反比例函数的交点是，则__________,__________．
14. 请写出一个函数解析式，要求：图像关于原点对称：__________．
15. 使式子有意义的的范围是__________．
16. 直线与抛物线的交点坐标为__________．
17. 二次函数与轴分别交于、两点，其顶点为，则三角形的面积为__________．
18. 二次函数的值恒大于，则的取值范围是__________．
19. 已知抛物线，若顶点在轴上，则__________；若对称轴轴，则__________；若其过原点，则__________．
20. 如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，则由图象可知，没有等式的解集是______．

21. 如图所示，矩形中，，，是线段上一点（没有与重合），是上一点，且，设，的面积为，则与之间的函数关系式为________．

22. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形，，，每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形四条边上的整点共有__________个．

三、解决问题
23. 计算：
24. 解没有等式组：．
25. 已知关于的一元二次方程．
（）求证：无论取何实数时，原方程总有两个实数根．
（）若原方程的两个实数根一个大于，另一个小于，求的取值范围．
26. 列方程解应用题：
，两地相距千米，甲由向，先走分钟，然后乙由向走，已知乙速度比甲每小时快千米，两人在距地千米的处相遇，求甲、乙两人的速度分别是多少？
27. 如图，抛物线A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若没有存在，请说明理由．

2022-2023学年北京市西城区九年级上册数学期中专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选（每小题3分）
1. 下列各点中，在函数的图像上的是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】解：将各点分别代入中可知，满足方程．故选C．
2. 二次函数的对称轴是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】解：因，所以对称轴．故选C．
3. 年统计，世界范围内癌症新发病例例，其中中国新增癌症占比，请用科学记数法表示世界癌症新发病例数为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】解：．故选B．
4. 如图，正比例函数与反比例的图象相交于、两点，轴于，轴于，则四边形的面积为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】解：由题意得： ，解得： 或，∴，，，，∴四边形ABCD的面积为．故选B．
点睛：本题考查的是函数与反比例函数的交点问题，熟知反比例函数系数k的几何意义及同底等高的三角形面积相等的知识是解答此题的关键．
5. 已知函数的图像如图所示，则函数的图像是（ ）．

A. B.
C. D.
【正确答案】B

【详解】解：由图象，得，，∴过一、二、四象限．故选B．
6. 已知点，，三点都在反比例函数的图像上，则下列关系正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】解：∵点，，三点都在反比例函数的图像上，
∴
∵，
∴，，
即．
故选B．
7. 二次函数的图像与轴有交点，的取值范围是（ ）．
A. B. 且 C. 且 D. 且
【正确答案】D

【详解】解：由题意，得：，解得：且．故选D．
8. 对形如的函数解析式说法错误的是（ ）．
A. 当时，此函数是二次函数，开口向上
B. 当，时，此函数是函数
C. 当，时，随的增大而增大
D. 当，时，仍是函数
【正确答案】C

【详解】解：时，函数是二次函数，开口向上，正确；
，时，是函数，正确；
，时，随的增大而减小，错误；
，时，为常函数，正确．
故选C．
9. ，其中，，则这个二次函数的图像可能是（ ）．
A. B.
C D.
【正确答案】C

【详解】解：∵，∴函数开口向下．
∵，∴函数与轴交于负半轴．
∵，∴．
∵，，，∴，∴函数与轴无交点．
故选C．
10. 已知反比例函数，当时，随的增大而增大，函数，随的增大而减小，且与轴负半轴相交，那么二次函数的图像与轴（ ）
A. 必有两个交点 B. 有可能有两个交点
C. 有两个交点或一个交点 D. 无交点
【正确答案】A

【详解】解：∵时，随的增大而增大，∴，∴．
∵中，随的增大而减小，与轴交于负半轴，∴，，∴，，∴，∴函数的图象与轴必有两个交点．
故选A．
11. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：；方程的两根之和大于0；随的 增大而增大；④，其中正确的个数（ ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】C

【详解】解：由二次函数的图象可得a＜0，b＞0，c＞0，故错误，
方程ax2+bx+c=0的两根之和大于0，正确，x1+x2=-＞0；
③y随x的增大而增大，错误，应指明x的范围；
④a-b+c＜0，正确，x=-1时，a-b+c＜0．
故选C．
二、填空（每空3分）
12. 抛物线（，是常数）的顶点坐标是__________．
【正确答案】

【详解】解：由二次函数的顶点式性质，可得的顶点坐标是（－m，n）．故答案为（－m，n）．
13. 函数与反比例函数的交点是，则__________,__________．
【正确答案】 ①. -3 ②. -2

【详解】解：将代入，得：，∴．
将代入，得：，∴．
故答案为－3，－2．
14. 请写出一个函数解析式，要求：图像关于原点对称：__________．
【正确答案】

【详解】解：如：．答案没有，正比例函数，反比例函数均可以．故答案为．答案没有．
15. 使式子有意义的的范围是__________．
【正确答案】且

【详解】解：中，则，
中，则，
∴的范围是且．
故答案为x≤0且x≠－2．
16. 直线与抛物线的交点坐标为__________．
【正确答案】，

【详解】解：联立，解得：，，∴交点坐标为，．故答案为（－1，0），（1，－2）．
17. 二次函数与轴分别交于、两点，其顶点为，则三角形的面积为__________．
【正确答案】

【详解】解：由题意得：，，，∴的面积为．故答案为．
18. 二次函数的值恒大于，则的取值范围是__________．
【正确答案】

【详解】解：由题意得：，且，解得：．故答案为．
19. 已知抛物线，若顶点在轴上，则__________；若对称轴是轴，则__________；若其过原点，则__________．
【正确答案】 ①. 4或-8 ②. 0 ③. 8

【详解】解：若顶点在轴上，则，解得：，．
若对称轴是轴，则，解得：．
若其过原点，则，解得：．
故答案为4或－8，0，8．
20. 如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，则由图象可知，没有等式的解集是______．

【正确答案】或

【分析】由抛物线与x轴的一个交点（3，0）和对称轴x=1可以确定另一交点坐标为（-1，0），又＞0时，图象在x轴上方，由此可以求出x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点（3，0）
而对称轴x＝1
∴抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0）
当＞0时，图象在x轴上方
此时x＜﹣1或x＞3
故答案为x＜﹣1或x＞3．
本题考查的是二次函数与没有等式的关系，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形的思想方法．
21. 如图所示，矩形中，，，是线段上一点（没有与重合），是上一点，且，设，的面积为，则与之间的函数关系式为________．

【正确答案】

【详解】解：过作于，则.
在矩形中，，，∴.∵，∴.∵，∴，∴，∴，∴．

故答案为．
点睛：本题的难点是利用相似得到△MBP中BP边上的高ME的代数式，此题主要考查了利用相似三角形的性质确定函数关系式．
22. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形，，，每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形四条边上的整点共有__________个．

【正确答案】80

【详解】解：由题意得：
正方形四条边上整点的个数为个，
正方形四条边上整点的个数为个，
正方形四条边上整点的个数为个，

∴正方形四条边上整点的个数为个．
故答案为80．
点睛：本题主要考查了对正方形的性质和网格题问题的理解和掌握，总结出规律是解答此题的关键．
三、解决问题
23. 计算：
【正确答案】1

【详解】试题分析：根据二次根式性质，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义计算即可．
试题解析：解：原式．
24. 解没有等式组：．
【正确答案】

【详解】试题分析：分别求出没有等式组中两个没有等式解集，然后确定它们的公共部分即可．
试题解析：解没有等式1得，x＞-1 ；解没有等式2得，，所以没有等式组的解集是x＞-1 ．
考点：解没有等式组．
25. 已知关于的一元二次方程．
（）求证：无论取何实数时，原方程总有两个实数根．
（）若原方程的两个实数根一个大于，另一个小于，求的取值范围．
【正确答案】（1）证明见解析（2）

【详解】试题分析：（1）根据△，即可得出结论；
（2）先求出方程两根，再列没有等式组求解即可．
试题解析：解：（）由题意，得：
，
∴无论取何实数，原方程总有两个实数根．
（）解方程，得，，
∴或，解得：．
点睛：本题考查了一元二次方程根的判别式．当△≥0时，方程有两个实数根；同时考查了公式法解一元二次方程及解一元没有等式组．
26. 列方程解应用题：
，两地相距千米，甲由向，先走分钟，然后乙由向走，已知乙速度比甲每小时快千米，两人在距地千米的处相遇，求甲、乙两人的速度分别是多少？
【正确答案】甲、乙两人的速度分别是每小时千米，每小时千米

【详解】试题分析：设甲的速度是每小时x千米．根据等量关系：乙的时间=甲的时间－，列方程求解即可．
试题解析：解：设甲速度是每小时千米，根据题意得：

解得：，（舍）．
经检验，是原方程的根，
∴．
答：甲的速度是每小时14千米，乙的速度是每小时18千米．
27. 如图，抛物线A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若没有存在，请说明理由．

【正确答案】(1) y＝－x2＋x－2;(2)点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).

【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似，分两种情况讨论计算即可.
【详解】解：(1)∵该抛物线过点C(0，－2)，
∴可设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－2.
将A(4，0)，B(1，0)代入，得，解得 ，
∴此抛物线的解析式为.
(2)存在，
设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为－m2＋m－2，
当1＜m＜4时，AM＝4－m，PM＝－m2＋m－2.又∵∠COA＝∠PMA＝90°，
∴①当＝＝时，△APM∽△ACO，即4－m＝2(－m2＋m－2)．
解得m1＝2，m2＝4(舍去)，∴P(2，1)．
　②当＝＝时，△APM∽△，即2(4－m)＝－m2＋m－2.
解得m1＝4，m2＝5(均没有合题意，舍去)，∴当1＜m＜4时，P(2，1)．
类似地可求出当m＞4时，P(5，－2)．
当m＜1时，P(－3，－14)或P(0，－2)，
综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).
本题考查的知识点是二次函数综合题，解题的关键是熟练的掌握二次函数综合题.