2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学月考专项突破模拟卷（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学月考专项突破模拟卷（AB卷）含解析，共45页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学月考专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选（48分）
1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A. B. C. =0 D.
2. 下列方程是一元二次方程一般形式的是（　　）
A. （x﹣1）2=16 B. 3（x﹣2）2=27 C. 5x2﹣3x=0 D. x2+2x=8
3. 已知x1、x2是方程x2﹣5x+10=0两根，则x1+x2= ，x1x2=（　　）
A. ﹣5，﹣10 B. ﹣5，10 C. 5，﹣10 D. 5，10
4. 下列方程中，有实数根的是（　　）
A. x2﹣x+1＝0 B. x2﹣2x+3＝0 C. x2+x﹣1＝0 D. x2+4＝0
5. 方程（x+1）（x-3）=0的解是（　　）
A x1=1，x2=3 B. x1=1，x2=﹣3 C. x1=﹣1，x2=3 D. x1=﹣1，x2=﹣3
6. 用配方法解3x2﹣6x＝6配方得（　　）
A. （x﹣1）2＝3 B. （x﹣2）2＝3 C. （x﹣3）2＝3 D. （x﹣4）2＝3
7. 方程2x2+6x+5=0根的情况是（　　）
A. 有两个没有相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法判断
8. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A. x(x+1)=1035 B. x(x-1)=1035 C. x(x+1)=1035 D. x(x-1)=1035
9. 若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　）
A. 2005 B. 2003 C. ﹣2005 D. 4010
10. 已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2=0有两个没有相等的实数根，那么k的整数值是（　　）
A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 1
11. 2017年底我市有绿化面积300公顷，为响应“退耕还林”的号召，计划到2019年底绿化面积增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意可列方程为（　　）
A. 300（1+ x）=363 B. 300（1+x）2=363
C. 300（1+2x）=363 D. 300（1﹣x）2=363
12. 甲、乙两个同学分别解一道二次项系数是1的一元二次方程，甲因把项系数看错了，而解得方程两根为﹣3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2和2，则原方程是....（　　）
A x2+4x﹣15=0 B. x2﹣4x﹣15=0 C. x2+4x+15=0 D. x2﹣4x+15=0
二、填 空 题（24分）
13. 把一元二次方程3x（x﹣2）=4化为一般形式是________．
14. 方程x2﹣3x+1=0的项系数是_____．
15. 关于x的方程x2+5x–m=0的一个根是2，则m=__________．
16. 方程的解为___________．
17. 请写出一个解为的一元方程：______．
18. 关于x的方程是一元二次方程，那么m=_____．
19. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是_________．
20. 制造一种商品，原来每件成本为100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是每件81元，则平均每次降低成本的百分数是_____．
三、解 答 题（78分）
21. 解方程
（1）（x﹣5）2=16（直接开平方法） （2）x2﹣4x+1=0（配方法）
（3）x2+3x﹣4=0（公式法） （4）x2+5x﹣3=0（配方法）
22. 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题：

（1）在第n个图中，横行共　 　 块瓷砖，竖列共有　 　 块瓷砖；（均用含n的代数式表示）铺设地面所用瓷砖的总块数为　 　（用含n的代数式表示，n表示第n个图形）
（2）上述铺设，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（3）黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（2）需要花多少钱购买瓷砖？
（4）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明．
23. 已知关于的方程
（1）当m取何值时，方程有两个实数根；
（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个没有相等的实数根，并求出这两个实数根．
24. 如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长.

25. 今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内减少农业税，某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同.
（1）求降低的百分率；
（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？
（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税．
26. 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价．经发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？




2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学月考专项突破模拟卷（A卷）
一、选一选（48分）
1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A. B. C. =0 D.
【正确答案】A

【分析】A、根据一元二次方程的定义A满足条件，
B、分母中有未知数，没有是整式方程，B没有满足条件，没有选B
C、判断二次项系数为a是否为0即可，没有选C
D、看二次项系数是0，没有是一元二次方程，没有选D
【详解】A、根据一元二次方程的定义A满足条件，故A正确，
B、分母中有未知数，没有是整式方程，没有选B，
C、二次项系数为a是否为0，没有确定，没有选C，
D、没有二次项，没有是一元二次方程，没有选D．
故选择：A．
本题考查一元二次方程问题，关键掌握一元二次方程定义满足的条件．
2. 下列方程是一元二次方程的一般形式的是（　　）
A. （x﹣1）2=16 B. 3（x﹣2）2=27 C. 5x2﹣3x=0 D. x2+2x=8
【正确答案】C

【详解】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），符合要求的只有选项C，故选C.
3. 已知x1、x2是方程x2﹣5x+10=0的两根，则x1+x2= ，x1x2=（　　）
A. ﹣5，﹣10 B. ﹣5，10 C. 5，﹣10 D. 5，10
【正确答案】D

【详解】根据一元二次方程根与系数的关系，设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2是=−，x1x2=，
∵x1、x2是方程x2﹣5x+10=0的两根，
∴x1+x2=5，x1x2=10，
故选D.
本题考查了一元二次方程0的根与系数关系即韦达定理，熟记一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键.
4. 下列方程中，有实数根的是（　　）
A. x2﹣x+1＝0 B. x2﹣2x+3＝0 C. x2+x﹣1＝0 D. x2+4＝0
【正确答案】C

【分析】分别根据四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：A、Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3<0，方程没有实数根，所以A选项错误；
B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8<0，方程没有实数根，所以B选项错误；
C、Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5>0，方程有两个没有相等的实数根，所以C选项正确；
D、Δ＝02﹣4×1×4＝﹣16＜0，方程没有实数根，所以D选项错误．
故选：C．
本题考查判别式的应用，理解记住一元二次方程判别式的公式是解答本题的关键．
5. 方程（x+1）（x-3）=0的解是（　　）
A. x1=1，x2=3 B. x1=1，x2=﹣3 C. x1=﹣1，x2=3 D. x1=﹣1，x2=﹣3
【正确答案】C

【详解】解：∵（x+1）（x﹣3）=0，
∴x+1=0或x﹣3=0，
解得：x1=﹣1，x2=3，
故选：C．
6. 用配方法解3x2﹣6x＝6配方得（　　）
A. （x﹣1）2＝3 B. （x﹣2）2＝3 C. （x﹣3）2＝3 D. （x﹣4）2＝3
【正确答案】A

【详解】3x2﹣6x=6，
x2﹣2x=2，
x2﹣2x+1=2+1，
（x﹣1）2=3，
故选A．
7. 方程2x2+6x+5=0的根的情况是（　　）
A. 有两个没有相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法判断
【正确答案】C

【详解】解：∵在方程2x2+6x+5=0中，
△=62﹣4×2×5=﹣4＜0，
∴方程2x2+6x+5=0没有实数根，
故选C．
8. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A. x(x+1)=1035 B. x(x-1)=1035 C. x(x+1)=1035 D. x(x-1)=1035
【正确答案】B

【详解】试题分析：如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程．
∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x-1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x-1）=1035．
故选B
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
9. 若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　）
A. 2005 B. 2003 C. ﹣2005 D. 4010
【正确答案】B

【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=-，x1x2= ．而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），即可求解．
【详解】α,β是方程x2+2x−2005=0的两个实数根，则有α+β=−2.
α是方程x2+2x−2005=0的根,得α2+2α−2005=0,即：α2+2α=2005.
所以α2+3α+β=α2+2α+(α+β)=α2+2α−2=2005−2=2003，
故选B.
此题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则.
10. 已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2=0有两个没有相等的实数根，那么k的整数值是（　　）
A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 1
【正确答案】C

【详解】∵a=1，b=﹣（2k﹣1），c=k2，方程有两个没有相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（2k﹣1）2﹣4k2=1﹣4k＞0，
∴k＜0.25 ，
∴k的整数为0，
故选C．
本题考查的是根的判别式，先根据题意得出关于k的一元没有等式是解答此题的关键．
11. 2017年底我市有绿化面积300公顷，为响应“退耕还林”的号召，计划到2019年底绿化面积增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意可列方程为（　　）
A. 300（1+ x）=363 B. 300（1+x）2=363
C. 300（1+2x）=363 D. 300（1﹣x）2=363
【正确答案】B

【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意即可列出方程．
【详解】解：设绿化面积平均每年的增长率为x，根据题意得：
300（1+x）2=363．
故选：B．
本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
12. 甲、乙两个同学分别解一道二次项系数是1的一元二次方程，甲因把项系数看错了，而解得方程两根为﹣3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2和2，则原方程是....（　　）
A. x2+4x﹣15=0 B. x2﹣4x﹣15=0 C. x2+4x+15=0 D. x2﹣4x+15=0
【正确答案】B

【分析】

【详解】甲的常数项是对的，所以常数项为： -3×5 = -15，
乙的项系数是对的，所以是项系数为：-（2+2）= -4，
原方程 x2 - 4 x -15 = 0，
故选B.
本题主要考查了根与系数的关系，牢记根与系数的关系是解决此类问题的关键．
二、填 空 题（24分）
13. 把一元二次方程3x（x﹣2）=4化为一般形式是________．
【正确答案】3x2-6x-4=0

【详解】把一元二次方程3x（x﹣2）=4去括号，移项合并同类项，
转化为一般形式是3x2﹣6x﹣4=0．
故答案为3x2﹣6x﹣4=0．
14. 方程x2﹣3x+1=0的项系数是_____．
【正确答案】-3

【详解】x2－3x+1=0项系数是－3.
故答案为－3.
点睛：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）二次项系数为a，项系数为b，常数项为c.
15. 关于x的方程x2+5x–m=0的一个根是2，则m=__________．
【正确答案】14

【详解】试题解析：把x=2代入方程：x2+5x-m=0可得4+10-m=0，
解得m=14．
16. 方程的解为___________．
【正确答案】

【分析】运用直接开方法解答即可．
【详解】
故．
本题考查了一元二次方程的解法，能够熟练掌握一元二次方程的解法是关键．
17. 请写出一个解为的一元方程：______．
【正确答案】x-2=0（答案没有）

【分析】根据方程的解的定义，只要使x=2能使方程左右两边相等即可．
【详解】解：写出一个解为x=2的一元方程是x-2=0．
故答案是：x-2=0（答案没有）．
本题考查了方程的解的定义，方程的解是能使方程的左右两边相等的未知数的值．
18. 关于x的方程是一元二次方程，那么m=_____．
【正确答案】-2

【详解】∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
∴m=-2，
故答案为-2.
19. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是_________．
【正确答案】

【分析】方程无实数根，则，建立关于k的没有等式，即可求出k的取值范围．
【详解】∵，，，
由题意知，，
解得：，
故．
本题考查了一元二次方程（，为常数）的根的判别式．当，方程有两个没有相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
20. 制造一种商品，原来每件成本为100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是每件81元，则平均每次降低成本的百分数是_____．
【正确答案】10%

【详解】设平均每次降低成本的百分数是x，
次降价后的价格为：100（1-x），第二次降价后的价格是：100（1-x）（1-x），
∴100（1-x）2=81，
解得x=0.1或x=1.9，
∵0＜x＜1，
∴x=0.1=10%，
故答案为10%.
本题考查了一元二次方程的应用，主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
三、解 答 题（78分）
21. 解方程
（1）（x﹣5）2=16（直接开平方法） （2）x2﹣4x+1=0（配方法）
（3）x2+3x﹣4=0（公式法） （4）x2+5x﹣3=0（配方法）
【正确答案】（1）x1=9，x2=1；（2）x1=2+，x2=2﹣；（3）x1=1，x2=﹣4；（4）x1=，x2=．

【详解】试题分析：（1）按要求利用直接开平方法进行求解即可；
（2）按要求利用配方法根据配方法的步骤进行求解即可；
（3）按要求利用公式法进行求解即可；
（4）按要求利用配方法根据配方法的步骤进行求解即可.
试题解析：（1）（x﹣5）2=16，
x-5=±4，
x-5=4或x-5=-4，
∴x1=9，x2=1；
（2）x2﹣4x+1=0，
x2﹣4x=-1，
x2﹣4x+4=-1+4，
（x-2）2=3，
x-2=±，
∴x1=2+，x2=2﹣；
（3）x2+3x﹣4=0，
a=1，b=3，c=-4，
b2-4ac=32-4×1×(-4)=25>0，
，
∴x1=1，x2=﹣4；
（4）x2+5x﹣3=0，
x2+5x=3，
x2+5x+=3+，
，
，
∴x1=，x2=．
22. 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题：

（1）在第n个图中，横行共　 　 块瓷砖，竖列共有　 　 块瓷砖；（均用含n的代数式表示）铺设地面所用瓷砖的总块数为　 　（用含n的代数式表示，n表示第n个图形）
（2）上述铺设，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（3）黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（2）需要花多少钱购买瓷砖？
（4）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明．
【正确答案】（1）（n+3），（n+2），（n+2）（n+3）；（2）n=20；（3）共花1604元钱购买瓷砖；（4）没有存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．

【详解】试题分析：（1）个图形用的正方形的个数=3×4=12，第二个图形用的正方形的个数=4×5=20，第三个图形用的正方形的个数=5×6=30…以此类推，根据发现的规律可得在第n个图中，横行共（n+3） 块瓷砖，竖列共有(n+2) 块瓷砖，铺设地面所用瓷砖的总块数为（n+2）（n+3）个；
（2）根据（1）中的结果可得（n+2）(n+3)=506，解方程即可得；
（3）根据（2）得出的结果，求出白瓷砖和黑瓷砖各有多少块，分别乘上它们的单价再相加即可；
（4）先假设黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形，根据黑、白瓷砖数量相等，看是否得到n的整数解即可．
试题解析：（1）个图形用的正方形的个数=3×4=12，第二个图形用的正方形的个数=4×5=20，第三个图形用的正方形的个数=5×6=30…以此类推，在第n个图中，横行共（n+3） 块瓷砖，竖列共有(n+2) 块瓷砖，铺设地面所用瓷砖的总块数为（n+2）（n+3）个，
故答案为（n+3），（n+2），（n+2）（n+3）；
（2）根据题意得：（n+2）（n+3）=506，
解得n1=20，n2=﹣25（没有符合题意，舍去）；
（3）观察图形可知，每﹣横行有白砖（n+1）块，每﹣竖列有白砖n块，因而白砖总数是n（n+1）块，n=20时，白砖为20×21=420（块），黑砖数为506﹣420=86（块），
故总钱数为420×3+86×4=1260+344=1604（元），
答：共花1604元钱购买瓷砖；
（4）根据题意得：n（n+1）=2（2n+3），
解得n=（没有符合题意，舍去），
∴没有存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等情形．
23. 已知关于的方程
（1）当m取何值时，方程有两个实数根；
（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个没有相等的实数根，并求出这两个实数根．
【正确答案】（1）m≥—；（2）x1=0,x2=2.

【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△＝b2−4ac≥0，从而建立关于m的没有等式，求出实数m的取值范围．
（2）答案没有，方程有两个没有相等实数根，即△＞0，可以解得m＞−，在m＞−的范围内选取一个合适的整数求解就可以．
【详解】解:(1)△=[-2（m+1)]²-4×1×m²
=8m+4
∵方程有两个实数根
∴△≥0，即8m+4≥0
解得，m≥-
（2）选取一个整数0，则原方程为，
x²-2x=0 解得x1=0,x2=2.
此题主要考查了根的判别式，以及解一元二次方程，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个没有相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
24. 如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长.

【正确答案】 截去正方形的边长为10厘米.

【详解】试题分析：可设截去正方形的边长为x厘米，对于该长方形铁皮，四个角各截去一个边长为x厘米的小正方形，长方体底面的长和宽分别是：（60﹣2x）厘米和（40﹣2x）厘米，底面积为：（60﹣2x）（40﹣2x），现在要求长方体的底面积为：800平方厘米，令二者相等求出x的值即可．
试题解析：设截去正方形的边长为x厘米，由题意得，长方体底面的长和宽分别是：（60﹣2x）厘米和（40﹣2x）厘米，
所以长方体的底面积为：（60﹣2x）（40﹣2x）=800，
即：x2﹣50x+400=0，
解得x1=10，x2=40（没有合题意舍去）．
答：截去正方形边长为10厘米．
考点：一元二次方程的应用
25. 今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内减少农业税，某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同.
（1）求降低的百分率；
（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？
（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税．
【正确答案】（1）降低的百分率为20%；（2）20元；（3）80000元

【分析】（1）设降低的百分率为x，根据等量关系“今年人均上缴农业税乘以（1-x）2=两年后人均上缴农业税”，列出方程求解即可；
（2）每人减少的税额是25x，则4个人的就是4×25x，代入（1）中求得的x的值，即可求解；
（3）每个人减少的税额是25x，乘以总人数16000即可求解．
【详解】解：（1）设降低的百分率为，依题意有25（1-x）2=16，
解得x1=0.2=20%，x2=1.8（舍去）；
答：降低的百分率为20%；
（2）小红全家少上缴税25×20％×4=20（元）
答：明年小红家减少20元农业税；
（3）全乡少上缴税16000× 25×20％=80000（元）
答：该乡农民明年减少80000元农业税．
26. 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价．经发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
【正确答案】应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元．

【分析】设该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低x元，根据等量关系：每千克的利润×每天售出数量-固定成本=200，列方程求解
【详解】设该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜售价降低x元，
（1-x）（200+400x）-24=200
-400x2+200x-24=0
即
x1=0.2，x2=0.3
答：该经营户要想每天盈利200元，应降价0.2元/千克或0.3元/千克.
























2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学月考专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选（每题2分，共12分）
1. 已知⊙的半径为，点为的中点，则当时，点与⊙的位置关系是（ ）．
A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 没有能确定
2. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（　　）

A. （x+1）（x+2）=18 B. x2﹣3x+16=0 C. （x﹣1）（x﹣2）=18 D. x2+3x+16=0
3. 如图，平行四边形的顶点、、在⊙上，顶点在⊙的直径上，连接，，则的度数是（ ）．

A. B. C. D.
4. 已知关于的方程的两根分别是，，且，则的值是（ ）．
A. B. C. D.
5. 从这七个数中随机抽取一个数记为，则的值是没有等式组的解，但没有是方程的实数解的概率为（ ）．
A. B. C. D.
6. 如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连结PD.已知PC＝PD＝BC.下列结论：(1)PD与⊙O相切；(2)四边形PCBD是菱形；(3)PO＝AB；(4)∠PDB＝120°.其中正确的个数为( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题（每题2分，共20分）
7. 一元二次方程化为一般形式为__________，常数项为__________．
8. 已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是_____,m的值是______.
9. 如图，在⊙中，半径垂直于弦，垂足，，，则__________．

10. 某商场以元/件进价购进一批商品，按元/件出售，平均每天可以售出件．经市场，单价每降低元，则平均每天的量可增加件．若该商品想要平均每天获利元，则每件应降价多少元？设每件应降价元，可列方程为_________．
11. 已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为_____．

12. 已知⊙直径为，点的坐标是，那么⊙与轴的位置关系是________，与轴的位置关系是_________．
13. 如图，⊙与的三边分别切于点、、，，，是上的动点（与、没有重合），的度数为__________．

14. 如图，在半径为的⊙中，点是劣弧的中点，点是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②；③；④四边形是菱形，其中正确结论的序号是__________．

15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=_______秒时，S1=2S2．

16. ⊙的半径为，点到直线的距离为，点是直线上的一个动点，切⊙于点，则的最小值是___________．

三、解 答 题（共88分）
17. 用适当的方法解下列方程
（） （）
（） （）
18. 已知当时，二次三项式的值等于，这个二次三项式的值可能是吗？请说明理由．
19. 关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取满足条件的整数时，求方程的根．
20. 某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为．
（1）用含x代数式表示第3年的可变成本为 万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年的增长百分率x．
21. 已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？
22. 如图是一块残缺的圆轮片，点A、C在圆弧上．

（1）用尺规作出的中点B，再作出△ABC的外接圆（没有写作法，保留作图痕迹）．
（2）若，，求外接圆的半径．
23. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．

24. 如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C的切线交AB于点D．若AD=2BD，CD=1，则⊙O的半径为______．

25. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．

26. 直角梯形中，，，，，．为⊙的直径，动点沿方向从点开始向点以的速度运动，动点沿方向从点开始向点以的速度运动，点、分别从、两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．

（）求⊙的直径．
（）当为何值时，四边形为等腰梯形？
（）是否存在某一时刻，使直线与⊙相切？若存在，求出的值；若没有存在，请说明理由．






















2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学月考专项突破模拟卷（B卷）
一、选一选（每题2分，共12分）
1. 已知⊙的半径为，点为的中点，则当时，点与⊙的位置关系是（ ）．
A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 没有能确定
【正确答案】B

【详解】设⊙半径为，则．
∵为中点，
∴，
∴点在圆上．
故选．
2. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（　　）

A. （x+1）（x+2）=18 B. x2﹣3x+16=0 C. （x﹣1）（x﹣2）=18 D. x2+3x+16=0
【正确答案】C

【详解】试题分析：可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式列方程可得=18．
故选C．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
3. 如图，平行四边形的顶点、、在⊙上，顶点在⊙的直径上，连接，，则的度数是（ ）．

A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】∵是⊙直径，
∴
．
又∵四边形是平行四边形，
∴．
故选．

点睛：
圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半.
①圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.
②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.
③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等.
④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.

4. 已知关于的方程的两根分别是，，且，则的值是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B

详解】易知，，
，
即．
解得．
故选．
点睛：一元二次方程根与系数的关系
ax2+bx+c=0(a,
,
如果题目中有关于两个根的和，两个根的积，可以以上公式定，整体代入求值.
5. 从这七个数中随机抽取一个数记为，则的值是没有等式组的解，但没有是方程的实数解的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】先解没有等式，再解一元二次方程，利用概率公式得到概率
【详解】
解①得，，
解②得，．
∴．
∵的值是没有等式组的解，
∴．
方程，
解得，．
∵没有是方程的解，
∴或．
∴满足条件的的值为，（个）．
∴概率为．
故选．
6. 如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连结PD.已知PC＝PD＝BC.下列结论：(1)PD与⊙O相切；(2)四边形PCBD是菱形；(3)PO＝AB；(4)∠PDB＝120°.其中正确的个数为( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】D

【分析】(1)利用切线的性质得出，进而得出（），即可得出 ，得出答案即可；

(2)利用（1）所求得出：，进而求出（），即可得出答案；
(3)利用全等三角形的判定得出（），进而得出；
(4)利用四边形是菱形，，则，则，求出即可.
【详解】（1）连接、，
与相切，切点为，
，
在和中，
，
（），
，
与相切，
故（1）正确；
（2）由（1）得：，
在和中，
，
（），
，
，
四边形是菱形，
故（2）正确；
（3）连接，
，
，
是直径，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
，
，
故（3）正确；
（4）四边形是菱形，，
，则，
，
故（4）正确；
正确个数有4个.

故选.
此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键.
二、填 空 题（每题2分，共20分）
7. 一元二次方程化为一般形式为__________，常数项为__________．
【正确答案】 ①. ， ②.

【详解】去括号，，
移项，，
合并同类项，，
常数项为：．
8. 已知方程x2+mx+3=0一个根是1,则它的另一个根是_____,m的值是______.
【正确答案】 ①. 3 ②. -4

【详解】试题分析：根据韦达定理可得：·==3，则方程的另一根为3；根据韦达定理可得：+=－=4=－m，则m=－4.
考点：方程的解

9. 如图，在⊙中，半径垂直于弦，垂足为，，，则__________．

【正确答案】8

【详解】连接，
则．
∵，∴．
在中，，
，
∴．
故答案为．

10. 某商场以元/件的进价购进一批商品，按元/件出售，平均每天可以售出件．经市场，单价每降低元，则平均每天的量可增加件．若该商品想要平均每天获利元，则每件应降价多少元？设每件应降价元，可列方程为_________．
【正确答案】

【详解】利润单件利润数量，
本题中，单件利润售价成本单价

．
数量．
∴利润为时，单价利润数量，得到
．
11. 已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为_____．

【正确答案】3＜r≤4或r＝．

【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．
【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝3，BC＝4．∴AB＝5，
如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，
当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，
∴CD×AB＝AC×BC，
∴CD＝r＝，
当直线与圆如图所示也可以有一个交点，
∴3＜r≤4，
故答案为3＜r≤4或r＝．

此题主要考查了直线与圆的位置关系，题意画出符合题意的图形，从而得出答案，此题比较容易漏解．
12. 已知⊙的直径为，点的坐标是，那么⊙与轴的位置关系是________，与轴的位置关系是_________．
【正确答案】 ①. 相交 ②. 相切

【详解】点的横坐标代表点到轴的距离为．
点的纵坐标为代表点到轴的距离为．
∵⊙的直径为，
∴⊙的半径为．
13. 如图，⊙与的三边分别切于点、、，，，是上的动点（与、没有重合），的度数为__________．

【正确答案】65°

详解】

．

连结、．
∵⊙与三边分别切于点，，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
14. 如图，在半径为的⊙中，点是劣弧的中点，点是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②；③；④四边形是菱形，其中正确结论的序号是__________．

【正确答案】①③④

【详解】
∵点是劣弧的中点，
∴，①正确．
∵，，
∴为等边三角形，
∴．②错误．
同理可得等边三角形，
∴，③正确．
∵，
∴四边形为菱形，④正确．
故答案为①③④．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=_______秒时，S1=2S2．

【正确答案】6．

【详解】∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，
∴AD=BD=CD=cm．
又∵AP=，∴．
∵PE∥BC，∴△APE∽△ADC．∴，即．
∴PE=AP=．
∴．
∵S1=2S2，∴，解得：t=6．
16. ⊙的半径为，点到直线的距离为，点是直线上的一个动点，切⊙于点，则的最小值是___________．

【正确答案】

【详解】
∵切于⊙于点，
∴，
∴．
又，
∴，即，
∴当最小时，有最小值．
又∵点到直线的距离为，
∴的最小值为，
∴．
故答案为．
三、解 答 题（共88分）
17. 用适当的方法解下列方程
（） （）
（） （）
【正确答案】（）；（），；（），；（），．

【详解】试题分析：（1）(2)利用十字相乘法解方程.(2)公式法解方程．(4)因式分解法解方程.
试题解析：
（）


解得．
故．
（）

解得，．
（）


根的判别式
．
解得，．
（）



解得，．
点睛：一元二次方程的解法（1）直接开平方法，没有项的方程适用（2）配方法，所有方程适用（3）公式法，所有方程适用，公式法需要先求判别式，根据判别式的正负，求方程的解（4）因式分解法，可因式分解的方程适用,其中因式分解的方法有提取公因式，公式法（平方差公式，完全平方公式），十字相乘法.
18. 已知当时，二次三项式的值等于，这个二次三项式的值可能是吗？请说明理由．
【正确答案】没有可能 理由见解析

【详解】试题分析：把当时代入，可得m值，得到二次三项式的范围.
试题解析：当时，


解得．
此时这个二次三项式是

∴值没有可能为．
19. 关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当取满足条件的整数时，求方程的根．
【正确答案】（1）且；（2），

【分析】（1）根据题意可得且，由此即可求得m的取值范围；（2）在（1）的条件下求得m的值，代入解方程即可.
【详解】（1）关于的一元二次方程有两个没有相等的实数根，
且.
解得且.
的取值范围是且.
（2）在且的范围内，整数为.
此时，方程化为.
解得，.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
20. 某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为．
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年的增长百分率x．
【正确答案】（1）2.6（1+x）2；（2）10%．

【分析】(1) 将基本等量关系“本年的可变成本=前一年的可变成本+本年可变成本的增长量”以及“本年可变成本的增长量=前一年的可变成本×可变成本平均每年增长的百分率”综合整理可得：本年的可变成本=前一年的可变成本×(1+可变成本平均每年增长的百分率)． 根据这一新的等量关系可以由第1年的可变成本依次递推求出第2年以及第3年的可变成本．
(2) 由题意知，第3年的养殖成本=第3年的固定成本+第3年的可变成本． 现已知固定成本每年均为4万元，在第(1)小题中已求得第3年的可变成本与x的关系式，故根据上述养殖成本的等量关系，容易列出关于x的方程，解方程即可得到x的值．
【详解】解：(1) ∵该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，
又∵该养殖户的可变成本平均每年增长的百分率为x，
∴该养殖户第2年的可变成本为：2.6(1+x) (万元)，
∴该养殖户第3年的可变成本为：[2.6(1+x)](1+x)=2.6(1+x)2 (万元)．
故本小题应填：2.6(1+x)2．
(2) 根据题意以及第(1)小题的结论，可列关于x的方程：
4+2.6(1+x)2=7.146
解此方程，得
x1=0.1，x2=－2.1，
由于x为可变成本平均每年增长的百分率，x2=－2.1没有合题意，故x的值应为0.1，即10%．
答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．
本题考查了一元二次方程相关应用题中的“平均增长率”型问题． 对“平均增长率”意义的理解是这类应用题的难点． 这类实际问题中某量的增长一般分为两个阶段且每个阶段的实际增长率没有同． 假设该量的值在保持某一增长率没有变的前提下由原值增长两次，若所得的最终值与实际的最终值相同，则这一没有变的增长率就是该量的“平均增长率”．

21. 已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？
【正确答案】（1）当m为1时，四边形ABCD是菱形．
（2）□ABCD的周长是5.

【分析】（1）根据菱形的性质可得出AB=AD，由根的判别式即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值；
（2）将x=2代入一元二次方程可求出m的值，再根据根与系数的关系即可得出AB+AD的值，利用平行四边形的性质即可求出平行四边形ABCD的周长．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD菱形，
∴AB＝AD，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+＝0的两个实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4（）＝m2﹣2m+1＝0，
解得：m＝1．
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
（2）将x＝2代入x2﹣mx+＝0中，得：4﹣2m+＝0，
解得：m＝，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+＝0的两个实数根，
∴AB+AD＝m＝，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2×＝5．
本题考查了根的判别式、菱形的性质、平行四边形的性质以及根与系数的关系，得出m的值是解题关键
22. 如图是一块残缺的圆轮片，点A、C在圆弧上．

（1）用尺规作出的中点B，再作出△ABC的外接圆（没有写作法，保留作图痕迹）．
（2）若，，求外接圆的半径．
【正确答案】（1）见解析（2）60cm

【分析】（1）利用垂径定理得出、的垂直平分线交点即是圆心到任意一点距离即是半径．
（2）先证明≌，再证明和是等边三角形，
是等边三角形，从而求得半径.
【详解】
（）利用垂径定理得出、的垂直平分线交点即是圆心到任意一点距离即是半径．
（）∵，，
∴．
又∵，，
∴≌，
∴和是等边三角形，
∴半径为．
23. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）8﹣

【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．
【详解】解：（1）证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E，
∵AE=BE，CE=DE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，
即AC=BD

（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，
连接OC，OA，
∵OA=10，OC=8，OE=6，
∴.
∴AC=AE﹣CE=8﹣．
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

24. 如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C的切线交AB于点D．若AD=2BD，CD=1，则⊙O的半径为______．

【正确答案】．

【详解】试题解析：连接OB，

∵AB、CD都是⊙O的切线，
∴∠OBA=90°，且DC=BD=1，
∴AD=2BD=2，
∴AB=2+1=3，
在Rt△ACD中，可求得AC=，
设半径为r，则OA=r+，
在Rt△ABO中，由勾股定理可得：OA2=OB2+AB2，
即（r+）2=r2+32，解得r=，
考点：切线的性质．
25. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．

【正确答案】（1）证明见解析（2）6

【分析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为 O的切线；
（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF为矩形，设AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5-x） +（6-x） =25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．
【详解】(1)证明：连接OC，

∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠，
∴∠DAC=∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴CD⊥OC，CO为O半径，
∴CD为O的切线；
(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90∘，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC=FD，OF=CD.
∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6−x，
∵O的直径为10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5−x，
在Rt△AOF中,由勾股定理得AF +OF=OA.
即(5−x) +(6−x) =25，化简得x−11x+18=0，
解得 .
∵CD=6−x大于0，故x=9舍去，
∴x=2，从而AD=2，AF=5−2=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=6.
26. 直角梯形中，，，，，．为⊙的直径，动点沿方向从点开始向点以的速度运动，动点沿方向从点开始向点以的速度运动，点、分别从、两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．

（）求⊙的直径．
（）当为何值时，四边形为等腰梯形？
（）是否存在某一时刻，使直线与⊙相切？若存在，求出的值；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（）⊙直径为；（）；（）存在，时，与⊙相切．

【详解】（）⊙直径为．
（）．
（）存在，时，与⊙相切．
试题分析：（1）过点作于，在中，利用勾股定理求DE.(2) 当四边形为等腰梯形时，,代入求值.(3) 存在，若与⊙相切，切点为，作于,,用t表示PQ,OH,勾股定理得，
求t.
试题解析：

（）过点作于，
．
∵，
∴，
在中．
∵，
∴．
∴⊙的直径为．
（）由题意知
，．
当四边形为等腰梯形时，
．
∵
解得．
（）存在，若与⊙相切，切点为，作于．
∴
．
又，
，
勾股定理得，
即，
解得，．
又∵，都符合．
综上所述，时，与⊙相切．