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2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学月考专项提升模拟卷（AB卷）含解析
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这是一份2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学月考专项提升模拟卷（AB卷）含解析，共48页。试卷主要包含了选一选，填 空 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（每题4分，共40分）
1. 下列四条线段中，没有能成比例的是（ ）
A. a=3，b=6，c=2，d=4 B. a=1，b= ，c= ，d=
C. a=4，b=6，c=5，d=10 D. a=2，b= ，c= ，d=2
2. 二次函数图象一定过点（ ）
A. （0，0） B. （1，2） C. （—1，2） D. 以上都正确
3. 对于函数，下列说法错误的是【 】
A. 它的图像分布在一、三象限 B. 它的图像既是轴对称图形又是对称图形
C. 当x>0时，y的值随x的增大而增大 D. 当x<0时，y的值随x的增大而减小
4. 抛物线的图象开口的是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
5. 在同一平面直角坐标系中，函数)和二次函数)的图象可能为（ ）
A. A B. B C. C D. D
6. 如图，下列各式能使ΔACB∽ΔDCA是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝4cm，则BC的长为（ ）
A. 8cm B. 12cm C. 11cm D. 10cm
8. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为
A. 2 B. 2.5或3.5 C. 3.5或4.5 D. 2或3.5或4.5
9. 在平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以点O为位似，按比例1：2把△EFO缩小，则点E对应点E的坐标为（ ）
A. （2，﹣1）或（﹣2，1） B. （8，﹣4）或（﹣8，4） C. （2，﹣1） D. （8，﹣4）
10. 如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象点A(﹣1，1)，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P(0，t)，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（每小题5分，共20分）
11. 已知，则抛物线的顶点坐标为____________．
12. 如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=3，CM、CH 分别是中线和高，则SΔACM：SΔBCM = __________，SΔACH：SΔBCH = __________.
13. 如图，小明在墙上挂了一面镜子AB，调整好标杆CD，正好通过标杆顶部在镜子上边缘A处看到旗杆的顶端E的影子，已知AB=2m，CD=1．5m，BD=2m，BF=20m，则旗杆EF的高度为______．
14. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为__．
三、（每小题8分，共16分）
15. 若y与x3成反比例，且x=2时．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）求y=—16时x的值．
16. 一条河的两岸有一段是平行的．在河的这一岸每相距5米有一棵树,在河的对岸每相距50米有一根电线杆．在这岸离开岸边25米处看对岸,看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,求河宽．
四、（每小题8分，共16分）
17. 如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(1,2）、B(3,1）、C(2,3)，以原点O为位似，将△ABC放大为原来的2倍得．
(1)在图中象限内画出符合要求的(没有要求写画法)；
(2)的面积是:_____________.
18. 正方形ABCD中，E，F分别是AB与BC边上的中点，连接AF，DE，BD，交于G，H（如图所示）．求AG:GH:HF的值．
五、（每小题10分，共20分）
19. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90º，E为AB的中点，求证：
（1）AC2=AB·AD；
（2）CE∥AD．
20. 如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象．
（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的总蓄水量；
（2）写出此函数的解析式；
（3）若要6 h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？
六、（10分）
21. 如图，正比例函数图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2．
（1）求k的值；
（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若没有存在，请说明理由．
七、（14分）
22. 如图，在△ABC中，D是BC边上的点（没有与点B、C重合），连结AD．
问题引入：
（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC= ；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC= （用图中已有线段表示）．
探索研究：
（2）如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点（没有与点A、D重合），连结BO、CO，试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．
拓展应用：
（3）如图③，O是线段AD上一点（没有与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，试猜想的值，并说明理由．
八、（14分）
23. 如图，已知∠MON=90º，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂点为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E、F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=1秒时，ΔEOF与ΔABO否相似？请说明理由．
（2）在运动过程中，没有论t取何值时，总有EF⊥OA，为什么？
（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得SΔAEF=S四边形ABOF ？若存在，请求出此时t的值；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（每题4分，共40分）
1. 下列四条线段中，没有能成比例的是（ ）
A. a=3，b=6，c=2，d=4 B. a=1，b= ，c= ，d=
C. a=4，b=6，c=5，d=10 D. a=2，b= ，c= ，d=2
【正确答案】C
【详解】试题解析：∵，故选项A中的线段成比例；
∵，，故选项B中的线段成比例；
∵，故选项C中的线段没有成比例；
∵，，故选项D中的线段成比例；
故选C．
2. 二次函数的图象一定过点（ ）
A. （0，0） B. （1，2） C. （—1，2） D. 以上都正确
【正确答案】A
【详解】根据二次函数的图象的性质可得, 二次函数的图象一定过点(0,0),故选A.
点睛:本题考查二次函数图象性质,解决本题的关键是熟练掌握二次函数的图象性质.
3. 对于函数，下列说法错误的是【 】
A. 它的图像分布在一、三象限 B. 它的图像既是轴对称图形又是对称图形
C. 当x>0时，y的值随x的增大而增大 D. 当x<0时，y的值随x的增大而减小
【正确答案】C
【分析】根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可：
【详解】A、∵函数中k=6＞0，∴此函数图象的两个分支分别在一、三象限，故本选项正确；
B、∵函数是反比例函数，∴它的图象既是轴对称图形又是对称图形，故本选项正确；
C、∵当x＞0时，函数的图象在象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项错误；
D、∵当x＜0时，函数的图象在第三象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项正确．
故选C．
4. 抛物线的图象开口的是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【正确答案】A
【详解】因为二次函数中的值越大,开口越小,的值越小,开口越大,因此
的图象开口,故选A.
5. 在同一平面直角坐标系中，函数)和二次函数)的图象可能为（ ）
A. A B. B C. C D. D
【正确答案】A
【详解】A选项中,函数图象一,三,四象限,所以,二次函数图象的开口方向向上可知,根据对称轴位于y轴右侧可知a,b异号,所以,因此A选项正确,
B选项中,函数图象一,二,四象限,所以,二次函数图象开口方向向上可知, 根据对称轴位于y轴左侧可知a,b同号,所以,因此B选项没有正确,
C选项中,函数图象二,三,四象限,所以,二次函数图象的开口方向向下可知, 根据对称轴位于y轴右侧可知a,b异号,所以,因此C选项没有正确,
D选项中,函数图象一,二,三象限,所以,二次函数图象的开口方向向下可知, 根据对称轴位于y轴左侧可知a,b同号,所以,因此D选项没有正确,
故选A.
6. 如图，下列各式能使ΔACB∽ΔDCA的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】因为两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,所以在ΔACB和 ΔDCA中, 已知∠ACB=∠DCA,所以当, ΔACB∽ΔDCA,故选B.
7. 如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝4cm，则BC的长为（ ）
A. 8cm B. 12cm C. 11cm D. 10cm
【正确答案】B
【分析】由平行可得＝，再由条件可求得＝，代入可求得BC．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
且DE＝4cm，
∴＝，
解得：BC＝12cm，
故选：B．
本题主要考查平行线分线段成比例性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段成比例是解题的关键．
8. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为
A. 2 B. 2.5或3.5 C. 3.5或4.5 D. 2或3.5或4.5
【正确答案】D
【详解】试题分析：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，∴AB=2BC=4（cm）．
∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，
∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），
若∠DBE=90°，∵∠ABC=60°，∴∠BDE=30°．∴BE=BD=（cm）．
当A→B时，t=4﹣0.5=3.5；当B→A时，t=4+0.5=4.5．
若∠EDB=90°时，∵∠ABC=60°，∴∠BED=30°．∴BE=2BD=2（cm）．
当A→B时，∴t=4﹣2=2；当B→A时，t=4+2=6（舍去）．
综上可得：t的值为2或3.5或4.5．故选D．
9. 在平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以点O为位似，按比例1：2把△EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为（ ）
A. （2，﹣1）或（﹣2，1） B. （8，﹣4）或（﹣8，4） C. （2，﹣1） D. （8，﹣4）
【正确答案】A
【分析】利用位似比为1：2，可求得点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1），注意分两种情况计算．
【详解】∵E（-4，2），位似比为1：2，
∴点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1）．
故选A．
本题考查了位似的相关知识，位似是相似的形式，位似比等于相似比．注意位似的两种位置关系．
10. 如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象点A(﹣1，1)，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P(0，t)，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（-1，1）得到k=-1，即反比例函数解析式为y=-，且OB=1，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y轴，则点B′的坐标可表示为（-，t），于是利用PB=PB′得t-1=|-|=，然后解方程可得到满足条件的t的值．
【详解】解：如图，
∵点A坐标为（-1，1），
∴k=-1×1=-1，
∴反比例函数解析式为y=-，
∵OB=AB=1，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵点B和点B′关于直线l对称，
∴PB=PB′，BB′⊥PQ，
∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，
∴B′P⊥y轴，
∴点B′的坐标为（-，t），
∵PB=PB′，
∴t-1=|-|=，
整理得t2-t-1=0，解得t1=，t2=（没有符合题意，舍去），
∴t的值为 ．
故选：B．
本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质；会用求根公式法解一元二次方程．
二、填 空 题（每小题5分，共20分）
11. 已知，则抛物线的顶点坐标为____________．
【正确答案】（2,3）或（-1,3）
【详解】因为,所以
所以所以
当时,, 当时,,因为所以,所以,又因为抛物线的顶点坐标为(k,3),故答案为（2,3）或（-1,3）.
点睛:本题考查二次函数的图象性质和分式条件化简求值,解决本题的关键是掌握分式条件化简求值的技巧.
12. 如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=3，CM、CH 分别是中线和高，则SΔACM：SΔBCM = __________，SΔACH：SΔBCH = __________.
【正确答案】 ①. 1：1 ②. 49：9
【详解】因为CM是中线,CH是高,所以AM=BM,
所以.
因为∠ACB=90°,CH⊥AB,所以ΔACH∽ΔCBH,
所以k=AC:CB=7:3,所以,
故答案为:,.
13. 如图，小明在墙上挂了一面镜子AB，调整好标杆CD，正好通过标杆顶部在镜子上边缘A处看到旗杆的顶端E的影子，已知AB=2m，CD=1．5m，BD=2m，BF=20m，则旗杆EF的高度为______．
【正确答案】7m．
【分析】过C′作C′H∥FD分别交AB、CD于G、H，根据EF∥AB∥C′D′可求出AG、EG、GH，再根据相似三角形的判定定理可得△C′AG∽△C′EH，再根据三角形的相似比解答即可．
【详解】解：过C′作C′H∥FD分别交AB、CD于G、H．
因为EF∥AB∥C′D′，所以HF=GB=C′D′．
所以AG=AB-GB=AB-C′D′=2-1.5=0.5m
C′G=D′B=2m，GH=BF=20m
CH=CD-1.5m
又因为
所以EH=5.5m，
即旗杆的高EF=7m．
故7m．
本题考查了相似三角形的应用，此题难度没有大，解答此题的关键是作出辅助线．构造出相似三角形，利用平行线的性质及相似三角形的相似比解答．
14. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为__．
【正确答案】2
【详解】如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线上，∴四边形AEOD的面积为1
∵点B在双曲线上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝2
三、（每小题8分，共16分）
15. 若y与x3成反比例，且x=2时．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）求y=—16时x的值．
【正确答案】（1）y= （2）x=
【详解】试题分析:(1)根据y与x3成反比例,可设,把x=2,,代入可得k=2, 即可求出函数表达式,(2)把y=－16代入(1)中函数关系式即可求解.
试题解析:(1)因为y与x3成反比例,
则可设,
因为x=2,,
所以,
所以
(2)当 y=－16时,代入可得:,解得: x=.
16. 一条河的两岸有一段是平行的．在河的这一岸每相距5米有一棵树,在河的对岸每相距50米有一根电线杆．在这岸离开岸边25米处看对岸,看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,求河宽．
【正确答案】37.5m.
【分析】画出图形，找出题中的相似三角形，根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】如图所示：AF=25m，BC=5×4=20m，DE=50m.
∵BC∥DE，
∴ ，
即 ，
解得：FG=37.5m.
∴河宽37.5m.
故答案为37.5m.
此题考查相似三角形的应用，解题关键在于掌握其性质.
四、（每小题8分，共16分）
17. 如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(1,2）、B(3,1）、C(2,3)，以原点O为位似，将△ABC放大为原来的2倍得．
(1)在图中象限内画出符合要求的(没有要求写画法)；
(2)的面积是:_____________.
【正确答案】（1）详见解析；（2）6.
【分析】（1）利用位似图形的性质，对应点坐标同乘以2，进而得出答案；（2）利用点A'、B'、C'的矩形的面积减去3个直角三角形的面积即可求得的面积.
【详解】（1）如图所示：
（2）△A′B′C′的面积=4×4- ×2×2-×2×4-×2×4=6，
故6．
本题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出对应点坐标是解题关键．
18. 正方形ABCD中，E，F分别是AB与BC边上的中点，连接AF，DE，BD，交于G，H（如图所示）．求AG:GH:HF的值．
【正确答案】AG：GH：HF=6:4:5
【详解】试题分析:如图,延长DE,CD交于点M,易证AD=DM,通过△AED∽△BME得,
即AD=MB,同理, △AGD∽△FMG, 则,,所以AG=,设AG=2a,则FG=3a,AF=5a,同理△AHD∽△FBH,则,即,∴AH=2FH,所以所以,所以.
试题解析:
如图,延长DE,CB交于点M,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BC,AD=BC=AB,
∵点E是AB的中点,点F是BC的中点,则FM=AD,
∴AE=BE, BF=,
易证△AED∽△BME,
∴,
∴,即AD=MB,
同理,△AGD∽△FMG,
则,,所以AG=,
设AG=2a,则FG=3a,AF=5a,
同理△AHD∽△FBH,则,即,
∴AH=2FH,
所以
所以,
所以.
点睛:本题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质,在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角,公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.
五、（每小题10分，共20分）
19. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90º，E为AB的中点，求证：
（1）AC2=AB·AD；
（2）CE∥AD．
【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【详解】试题分析: (1)易证△ADC∽△ACB 得即,
(2)由E为AB中点得CE= AB=AE,∠EAC=∠ECA,又AC平分∠DAB,∴∠CAD=∠CAB,
∴∠DAC=∠ECA,∴∠CAD=∠CAB,∴∠DAC=∠ECA, ∴CE∥AD.
试题解析:(1)∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB,
又∵∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB
∴即,
(2)∵E为AB的中点,
∴CE=AB=AE,∠EAC=∠ECA,
∵AC平分∠DAB,
∴∠CAD=∠CAB,
∴∠DAC=∠ECA,
∴CE∥AD.
20. 如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象．
（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的总蓄水量；
（2）写出此函数的解析式；
（3）若要6 h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？
【正确答案】（1）48000 m3（2）V= （3）8000 m3
【分析】（1）此题根据函数图象为双曲线的一支，可设V=，再把点（12，4000）代入即可求出答案；
（2）此题根据点（12，4000）在此函数图象上，利用待定系数法求出函数的解析式；
（3）此题须把t=6代入函数的解析式即可求出每小时的排水量．
【详解】（1）设V=．
∵点（12，4000）在此函数图象上，
∴蓄水量为12×4000=48000m3；
（2）∵点（12，4000）在此函数图象上，
∴4000=，
k=48000，
∴此函数的解析式V=；
（3）∵当t=6时，V==8000m3；
∴每小时的排水量应该是8000m3．
主要考查了反比例函数应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．会用没有等式解决实际问题．
六、（10分）
21. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2．
（1）求k的值；
（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）k=2；（2）D（5，0）或（﹣5，0）或（，0）或D（，0）．
【详解】试题分析：（1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于1，然后由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于，从而求出k的值；
（2）先将与联立成方程组，求出A、B两点的坐标，然后分三种情况讨论：①当AD⊥AB时，求出直线AD的关系式，令y=0，即可确定D点的坐标；②当BD⊥AB时，求出直线BD的关系式，令y=0，即可确定D点的坐标；③当AD⊥BD时，由O为线段AB的中点，可得OD=AB=OA，然后利用勾股定理求出OA的值，即可求出D点的坐标．
试题解析：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA=OB，∴△BOC的面积=△AOC的面积=2÷2=1，又∵A是反比例函数图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积=，∴，∵k＞0，∴k=2．故这个反比例函数的解析式为；
（2）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．将与联立成方程组得：，解得：，，∴A（1，2），B（﹣1，﹣2），
①当AD⊥AB时，如图1，
设直线AD的关系式为，将A（1，2）代入上式得：，∴直线AD的关系式为，令y=0得：x=5，∴D（5，0）；
②当BD⊥AB时，如图2，
设直线BD的关系式为，将B（﹣1，﹣2）代入上式得：，∴直线AD的关系式为，令y=0得：x=﹣5，∴D（﹣5，0）；
③当AD⊥BD时，如图3，
∵O为线段AB的中点，∴OD=AB=OA，∵A（1，2），∴OC=1，AC=2，由勾股定理得：OA==，∴OD=，∴D（，0），
根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（，0）；
故x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（，0）或D（，0）．
考点：反比例函数与函数的交点问题．
七、（14分）
22. 如图，在△ABC中，D是BC边上的点（没有与点B、C重合），连结AD．
问题引入：
（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC= ；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC= （用图中已有线段表示）．
探索研究：
（2）如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点（没有与点A、D重合），连结BO、CO，试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．
拓展应用：
（3）如图③，O是线段AD上一点（没有与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，试猜想的值，并说明理由．
【正确答案】（1）1：2，BD：BC；（2）S△BOC：S△ABC=OD：AD，理由见解析；（3）=1，理由见解析．
【分析】（1）根据三角形的面积公式，两三角形等高时，可得两三角形底与面积的关系，可得答案；
（2）根据三角形面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，可得答案；
（3）根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，再根据分式的加减，可得答案．
【详解】解：（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=1：2；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC=BD：BC，
故1：2，BD：BC；
（2）S△BOC︰S△ABC＝OD︰AD．
理由如下：如图，分别过点O、A作OM⊥BC于M，AN⊥BC于N．
∴OM∥AN．
∴△OMD∽△AND，
∴．
∵，
∴．
（3）．
理由如下：
由（2）得，
同理可得，．
∴
＝1．
本题考查了相似形综合题，利用了等底的三角形面积与高的关系，相似三角形的判定与性质．
八、（14分）
23. 如图，已知∠MON=90º，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂点为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E、F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=1秒时，ΔEOF与ΔABO是否相似？请说明理由．
（2）在运动过程中，没有论t取何值时，总有EF⊥OA，为什么？
（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得SΔAEF=S四边形ABOF ？若存在，请求出此时t的值；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）△EOF∽△ABO（2）EF⊥OA（3）t1=或t2=
【分析】（1）由及∠MON=∠ABE=90°，可得出△EOF∽△ABO．
（2）证明Rt△EOF∽Rt△ABO，进而证明EF⊥OA．
（3）由已知S△AEF=S四边形ABOF．得出S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF，从而可求出t的值．
【详解】解：（1）相似；
∵t=1，
∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，
∵AB=3厘米，OB=4厘米，
∴，
∵∠MON=∠ABE=90°，
∴△EOF∽△ABO．
（2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t．
∵AB=3，OB=4．
∴．
又∵∠EOF=∠ABO=90°，
∴Rt△EOF∽Rt△ABO．
∴∠AOB=∠EOF．
∵∠AOB+∠FOC=90°，
∴∠EOF+∠FOC=90°，
∴EF⊥OA．
（3）如图，连接AF，
∵OE=1.5t，OF=2t，
∴BE=4﹣1.5t
∴S△FOE=OE•OF=×1.5t×2t=t2，S△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，
S梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6
∵S△AEF=S四边形ABOF
∴S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF，
∴t2+6﹣t=（4t+6），即6t2﹣17t+12=0，
解得t=或t=．
∴当t=或t=时，S△AEF=S四边形ABOF．
2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学月考专项提升模拟卷（B卷）
一．选一选：
1. 从﹣,0,,π,3.5这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是（ ）
A. B. C. D.
2. 袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线AC=（）．
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
4. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论没有正确是（ ）
A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形
5. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是（ ）
A. AF＝AE B. △ABE≌△AGF C. EF＝ D. AF＝EF
6. 一元二次方程5x2－x＝－3，其中二次项系数、项系数、常数项分别是( )
A 5，－x，3 B. 5，－1，－3 C. 5，－1，3 D. 5x2，－1，3
7. 某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A. 289（1﹣x）2=256 B. 256（1﹣x）2=289
C. 289（1﹣2x）2=256 D. 256（1﹣2x）2=289
8. 若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象没有第( )象限．
A. 四 B. 三 C. 二 D. 一
9. 下列说确的是( )
A. 对应边都成比例的多边形相似 B. 对应角都相等的多边形相似
C. 边数相同的正多边形相似 D. 矩形都相似
10. 若，则等于 ( )
A. B. C. D.
二．填 空 题
11. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__________．
12. 如图，边长为1菱形ABCD中，∠DAB=60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是___．
13. 若将方程x2－8x＝7化为(x－m)2＝n，则m＝________.
14. 某市准备加大对雾霾的治理力度，2015年季度投入资金100万元，第二季度和第三季度共投入资金260万元，求这两个季度投入资金的平均增长率．设这两个季度投入资金的平均增长率为x，根据题意可列方程为______________________．
15. 若(y≠n)，则＝____．
三、解 答 题：
16. 用适当方法解下列方程．
(1).x2－2x＝2x＋1；
(2).(x＋3)2＝(1－2x)2.
17. 如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.
求证：△BCE≌△DCF；
18. 小明有2件上衣，分别为红色和蓝色，有3条裤子，其中2条为蓝色、1条为棕色．小明任意拿出1件上衣和1条裤子穿上．请用画树状图或列表的方法列出所有可能出现的结果，并求小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率．
19. 某景区7月1日～7月7日一周天气预报如图，小丽打算选择这期间或两天去该景区旅游．求下列的概率：
(1)随机选择，恰好天气预报是晴；
(2)随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴．
20. 已知：如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以3cm/S的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/S的速度向点D移动
（1）P，Q两点从出发点出发几秒时，四边形PBCQ面积为33cm²
（2）P，Q两点从出发点出发几秒时，P，Q间的距离是为10cm．
21. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点一个60°的角∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F没有与B，C，D重合，连接EF.
(1)求证：BE＝CF.
(2) 在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形 AECF的面积是否发生变化？如果没有变，求出其定值；如果变化，请说明理由．
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一．选一选：
1. 从﹣,0,,π,3.5这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵−、π是无理数，
∴从−、0、、π、3.5这五个数中,随机抽取一个,则抽到无理数的概率是.
故选B.
2. 袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，抽取的两个球数字之和大于6的有10种情况，
∴抽取的两个球数字之和大于6的概率是：．
故选C．
考点：1．列表法或树状图法；2．概率．
3. 如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线AC=（）．
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
【正确答案】D
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴AC=AB=3．
故选D．
4. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论没有正确的是（ ）
A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形
C. 当时，它矩形 D. 当时，它是正方形
【正确答案】D
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】解：A. 当AB＝BC时，它是菱形，正确，没有符合题意；
B. 当AC⊥BD时，它是菱形，正确，没有符合题意；
C. 当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确，没有符合题意；
D. 当AC＝BD时，它是矩形，原选项没有正确，符合题意．
故选：D．
本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，解题关键是熟记相关判定定理，准确进行判断．
5. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是（ ）
A. AF＝AE B. △ABE≌△AGF C. EF＝ D. AF＝EF
【正确答案】D
【详解】试题分析：∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEC，∵∠AEF=∠FEC，∴∠AFE=∠AEF，∴AF=AE，∴选项A正确；
∵ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠C=90°，∵AG=DC，∠G=∠C，∴∠B=∠G=90°，AB=AG，∵AE=AF，∴△ABE≌△AGF，∴选项B正确；
设BE=x，则CE=BC﹣BE=8﹣x，∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE=CE=8﹣x，在Rt△ABE中，，即，解得x=3，∴AE=8﹣3=5，由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=5，过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，∴EH=AB=4，AH=BE=3，∴FH=AF﹣AH=5﹣3=2，在Rt△EFH中，EF=，∴选项C正确；
由已知条件无法确定AF和EF的关系，故选D．
考点：翻折变换（折叠问题）．
6. 一元二次方程5x2－x＝－3，其中二次项系数、项系数、常数项分别是( )
A. 5，－x，3 B. 5，－1，－3 C. 5，－1，3 D. 5x2，－1，3
【正确答案】C
【详解】试题分析：由5x2－x＝－3得
5x2－x＋3＝0，
所以二次项系数、项系数、常数项分别是5、－1、3．
故选C．
7. 某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A. 289（1﹣x）2=256 B. 256（1﹣x）2=289
C. 289（1﹣2x）2=256 D. 256（1﹣2x）2=289
【正确答案】A
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．
【详解】根据题意可得两次降价后售价为289（1-x）2，
∴方程为289（1-x）2=256．
故选：A．
8. 若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则函数y＝(m＋1)x＋m－1图象没有第( )象限．
A. 四 B. 三 C. 二 D. 一
【正确答案】D
【详解】∵一元二次方程x2- 2x - m = 0无实数根，
∴△=4+4m<0，即m<-1，
∴函数的比例系数m+1<0，图像二四象限，
截距m-1<0，则图象与y轴交于负半轴，图像过第三象限
∴函数y =(m+1)x + m - 1的图像没有象限，
故选D．
9. 下列说确的是( )
A. 对应边都成比例的多边形相似 B. 对应角都相等的多边形相似
C. 边数相同正多边形相似 D. 矩形都相似
【正确答案】C
【分析】根据相似图形的定义，对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、对应边都成比例的多边形，属于形状没有确定的图形，故错误，没有符合题意；
B、对应角都相等的多边形，属于形状没有确定的图形，故错误，没有符合题意；
C、边数相同的正多边形，形状相同，但大小没有一定相同，故正确，符合题意；
D、矩形属于形状没有确定的图形，故错误，没有符合题意．
故选C．
本题考查相似变换的定义，解题的关键是掌握图形的形状相同，但大小没有一定相同的是相似形．
10. 若，则等于 ( )
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】先化简，得到关于m、n的关系，化为比例即可．
【详解】解：∵，
∴ ，
∴，
∴ ．
故选：D
本题考查了比例的化简，明确比例性质“两外项之积等于量内向之积是解题关键” ．
二．填 空 题
11. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__________．
【正确答案】12
【分析】根据对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积解答．
【详解】∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积=×6×8=24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积=×24=12．
故答案是：12．
本题考查了对称，菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
12. 如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是___．
【正确答案】
【分析】连接于相交于，根据已知和菱形的性质可分别求得，，的长，从而可发现规律根据规律没有难求得第个菱形的边长．
【详解】解：连接，
四边形是菱形，
．，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
同理可得，，
按此规律所作的第个菱形的边长为，
故．
此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及学生探索规律的能力，解题的关键掌握菱形的性质．
13. 若将方程x2－8x＝7化为(x－m)2＝n，则m＝________.
【正确答案】4
【详解】试题分析：配方得x2－8x＋16＝23，
即(x－4)2＝23，
∴m＝4．
故答案4．
点睛：用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2＋px＋q＝0型：步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2＋bx＋c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2＋px＋q＝0，然后配方．
14. 某市准备加大对雾霾的治理力度，2015年季度投入资金100万元，第二季度和第三季度共投入资金260万元，求这两个季度投入资金的平均增长率．设这两个季度投入资金的平均增长率为x，根据题意可列方程为______________________．
【正确答案】100(1+x)+100(1+x)2=260
【详解】解：设两个季度投入资金的平均增长率为x，则第二季度投入资金为100(1＋x)万元，第三季度投入的资金为100(1＋x)2万元，
根据第二季度和第三季度共投入资金260万元可列方程为100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260．
故答案是：100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260．
15. 若(y≠n)，则＝____．
【正确答案】
【详解】∵（y≠n），
∴ ，
∴＝ ，
故 .
三、解 答 题：
16. 用适当的方法解下列方程．
(1).x2－2x＝2x＋1；
(2).(x＋3)2＝(1－2x)2.
【正确答案】（1）x1＝2＋，x2＝2－（2）x1＝－，x2＝4
【详解】试题分析：（1）把含有未知数的项移至方程左边，合并同类项后把等号左边配成完全平方式，然后开方即可；
（2）把等号右边的项移至等号左边，然后利用平方差公式分解因式，利用因式分解法求解即可．
试题解析：
（1）(配方法)原方程可化为x2－4x＝1，
配方，得x2－4x＋4＝1＋4，(x－2)2＝5.
两边开平方，得x－2＝±，
所以x1＝2＋，x2＝2－；
（2）(因式分解法)移项，得(x＋3)2－(1－2x)2＝0，
因式分解，得(3x＋2)(－x＋4)＝0，
所以3x＋2＝0或－x＋4＝0，
解得x1＝，x2＝4．
点睛：此题主要考查一元二次方程的解法，主要有：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法等，要针对没有同的题型选用合适的方法．
17. 如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.
求证：△BCE≌△DCF；
【正确答案】证明见解析
【详解】试题分析：由正方形的性质得出BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°，由SAS证明△BCE≌△DCF．
试题解析：
证明：在正方形ABCD中
BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°，
在△BCE与△DCF中，
∴△BCE≌△DCF．
18. 小明有2件上衣，分别为红色和蓝色，有3条裤子，其中2条为蓝色、1条为棕色．小明任意拿出1件上衣和1条裤子穿上．请用画树状图或列表的方法列出所有可能出现的结果，并求小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率．
【正确答案】
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】画树状图得：
如图：共有6种可能出现的结果，
∵小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的有2种情况，
∴小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率为.
本题考查了列表法与树状图法求概率的知识．注意列表法与树状图法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的；树状图法适合两步或两步以上完成的；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
19. 某景区7月1日～7月7日一周天气预报如图，小丽打算选择这期间或两天去该景区旅游．求下列的概率：
(1)随机选择，恰好天气预报是晴；
(2)随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴．
【正确答案】（1）（2）
【详解】试题分析：（1）随机选择，共有7种结果，天气预报是晴的有4天，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先利用列举法可得：随机选择连续的两天等可能的结果有：晴晴，晴雨，雨阴，阴晴，晴晴，晴阴，天气预报都是晴的有2天，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
试题解析：
（1）随机选择，天气预报可能出现的结果有7种，即7月1日晴、7月2日晴、7月3日雨、7月4日阴、7月5日晴、7月6日晴、7月7日阴，并且它们出现的可能性相等．恰好天气预报是晴(记为A)的结果有4种，即7月1日晴、7月2日晴、7月5日晴、7月6日晴，所以P(A)＝；
（2）随机选择连续的两天，天气预报可能出现的结果有6种，即(7月1日晴，7月2日晴)、(7月2日晴，7月3日雨)、(7月3日雨，7月4日阴)、(7月4日阴，7月5日晴)、(7月5日晴，7月6日晴)、(7月6日晴，7月7日阴)，并且它们出现的可能性相等．恰好天气预报都是晴(记为B)的结果有2种，即(7月1日晴，7月2日晴)、(7月5日晴，7月6日晴)，所以P(B)＝＝．
点睛：此题考查了列举法求概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20. 已知：如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以3cm/S的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/S的速度向点D移动
（1）P，Q两点从出发点出发几秒时，四边形PBCQ面积为33cm²
（2）P，Q两点从出发点出发几秒时，P，Q间的距离是为10cm．
【正确答案】（1）5秒；（2）P，Q两点出发秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【分析】当运动时间为t秒时，PB=（16-3t）cm，CQ=2tcm．
（1）利用梯形的面积公式四边形PBCQ的面积为33cm2，即可得出关于t的一元方程，解之即可得出结论；
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，则PM=|16-5t|cm，QM=6cm，利用勾股定理PQ=10cm，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：当运动时间为t秒时，PB=（16-3t）cm，CQ=2tcm．
（1）依题意，得：×（16-3t+2t）×6=33，
解得：t=5．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示．
∵PM=PB-CQ=|16-5t|cm，QM=6cm，
∴PQ2=PM2+QM2，即102=（16-5t）2+62，
解得：t1=，t2=．
答：P，Q两点出发秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．
本题考查了一元方程应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据梯形的面积公式，找出关于t的一元方程；（2）利用勾股定理，找出关于t的一元二次方程．
21. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点的一个60°的角∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F没有与B，C，D重合，连接EF.
(1)求证：BE＝CF.
(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形 AECF的面积是否发生变化？如果没有变，求出其定值；如果变化，请说明理由．
【正确答案】(1)证明见解析(2) S四边形AECF＝4
【分析】（1）连接AC，根据∠BAD＝120°和菱形的性质可得∠ABE＝∠ACF＝60°，然后由∠1＋∠2＝60°，∠3＋∠2＝∠EAF＝60°得∠1＝∠3，再证得△ABC为等边三角形，得AC＝AB，进而证得△ABE≌△ACF，由全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE＝S△ACF，故根据S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC可知四边形AECF的面积没有变，做出BC边上的高，根据等边三角形的性质和勾股定理求出高，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积即为AECF的面积．
【详解】（1）证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD为菱形，
∠BAD＝120°，
∴∠ABE＝∠ACF＝60°，
∠1＋∠2＝60°，
∵∠3＋∠2＝∠EAF＝60°，
∴∠1＝∠3．
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB，
∴△ABE≌△ACF．
∴BE＝CF．
（2）解：四边形AECF的面积没有变．
由（1）知△ABE≌△ACF，
则S△ABE＝S△ACF，
故S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC．
如图，过A作AM⊥BC于点M，则BM＝MC＝2，
∴AM＝＝＝．
∴S△ABC＝BC·AM＝×4×＝．
故S四边形AECF＝．
本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质、三角形面积的计算以及勾股定理等知识，利用菱形的性质得出△ABE≌△ACF是解题的关键．
2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（每题4分，共40分）
1. 下列四条线段中，没有能成比例的是（ ）
A. a=3，b=6，c=2，d=4 B. a=1，b= ，c= ，d=
C. a=4，b=6，c=5，d=10 D. a=2，b= ，c= ，d=2
2. 二次函数图象一定过点（ ）
A. （0，0） B. （1，2） C. （—1，2） D. 以上都正确
3. 对于函数，下列说法错误的是【 】
A. 它的图像分布在一、三象限 B. 它的图像既是轴对称图形又是对称图形
C. 当x>0时，y的值随x的增大而增大 D. 当x<0时，y的值随x的增大而减小
4. 抛物线的图象开口的是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
5. 在同一平面直角坐标系中，函数)和二次函数)的图象可能为（ ）
A. A B. B C. C D. D
6. 如图，下列各式能使ΔACB∽ΔDCA是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝4cm，则BC的长为（ ）
A. 8cm B. 12cm C. 11cm D. 10cm
8. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为
A. 2 B. 2.5或3.5 C. 3.5或4.5 D. 2或3.5或4.5
9. 在平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以点O为位似，按比例1：2把△EFO缩小，则点E对应点E的坐标为（ ）
A. （2，﹣1）或（﹣2，1） B. （8，﹣4）或（﹣8，4） C. （2，﹣1） D. （8，﹣4）
10. 如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象点A(﹣1，1)，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P(0，t)，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（每小题5分，共20分）
11. 已知，则抛物线的顶点坐标为____________．
12. 如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=3，CM、CH 分别是中线和高，则SΔACM：SΔBCM = __________，SΔACH：SΔBCH = __________.
13. 如图，小明在墙上挂了一面镜子AB，调整好标杆CD，正好通过标杆顶部在镜子上边缘A处看到旗杆的顶端E的影子，已知AB=2m，CD=1．5m，BD=2m，BF=20m，则旗杆EF的高度为______．
14. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为__．
三、（每小题8分，共16分）
15. 若y与x3成反比例，且x=2时．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）求y=—16时x的值．
16. 一条河的两岸有一段是平行的．在河的这一岸每相距5米有一棵树,在河的对岸每相距50米有一根电线杆．在这岸离开岸边25米处看对岸,看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,求河宽．
四、（每小题8分，共16分）
17. 如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(1,2）、B(3,1）、C(2,3)，以原点O为位似，将△ABC放大为原来的2倍得．
(1)在图中象限内画出符合要求的(没有要求写画法)；
(2)的面积是:_____________.
18. 正方形ABCD中，E，F分别是AB与BC边上的中点，连接AF，DE，BD，交于G，H（如图所示）．求AG:GH:HF的值．
五、（每小题10分，共20分）
19. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90º，E为AB的中点，求证：
（1）AC2=AB·AD；
（2）CE∥AD．
20. 如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象．
（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的总蓄水量；
（2）写出此函数的解析式；
（3）若要6 h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？
六、（10分）
21. 如图，正比例函数图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2．
（1）求k的值；
（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若没有存在，请说明理由．
七、（14分）
22. 如图，在△ABC中，D是BC边上的点（没有与点B、C重合），连结AD．
问题引入：
（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC= ；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC= （用图中已有线段表示）．
探索研究：
（2）如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点（没有与点A、D重合），连结BO、CO，试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．
拓展应用：
（3）如图③，O是线段AD上一点（没有与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，试猜想的值，并说明理由．
八、（14分）
23. 如图，已知∠MON=90º，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂点为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E、F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=1秒时，ΔEOF与ΔABO否相似？请说明理由．
（2）在运动过程中，没有论t取何值时，总有EF⊥OA，为什么？
（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得SΔAEF=S四边形ABOF ？若存在，请求出此时t的值；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学月考专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选（每题4分，共40分）
1. 下列四条线段中，没有能成比例的是（ ）
A. a=3，b=6，c=2，d=4 B. a=1，b= ，c= ，d=
C. a=4，b=6，c=5，d=10 D. a=2，b= ，c= ，d=2
【正确答案】C
【详解】试题解析：∵，故选项A中的线段成比例；
∵，，故选项B中的线段成比例；
∵，故选项C中的线段没有成比例；
∵，，故选项D中的线段成比例；
故选C．
2. 二次函数的图象一定过点（ ）
A. （0，0） B. （1，2） C. （—1，2） D. 以上都正确
【正确答案】A
【详解】根据二次函数的图象的性质可得, 二次函数的图象一定过点(0,0),故选A.
点睛:本题考查二次函数图象性质,解决本题的关键是熟练掌握二次函数的图象性质.
3. 对于函数，下列说法错误的是【 】
A. 它的图像分布在一、三象限 B. 它的图像既是轴对称图形又是对称图形
C. 当x>0时，y的值随x的增大而增大 D. 当x<0时，y的值随x的增大而减小
【正确答案】C
【分析】根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可：
【详解】A、∵函数中k=6＞0，∴此函数图象的两个分支分别在一、三象限，故本选项正确；
B、∵函数是反比例函数，∴它的图象既是轴对称图形又是对称图形，故本选项正确；
C、∵当x＞0时，函数的图象在象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项错误；
D、∵当x＜0时，函数的图象在第三象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项正确．
故选C．
4. 抛物线的图象开口的是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【正确答案】A
【详解】因为二次函数中的值越大,开口越小,的值越小,开口越大,因此
的图象开口,故选A.
5. 在同一平面直角坐标系中，函数)和二次函数)的图象可能为（ ）
A. A B. B C. C D. D
【正确答案】A
【详解】A选项中,函数图象一,三,四象限,所以,二次函数图象的开口方向向上可知,根据对称轴位于y轴右侧可知a,b异号,所以,因此A选项正确,
B选项中,函数图象一,二,四象限,所以,二次函数图象开口方向向上可知, 根据对称轴位于y轴左侧可知a,b同号,所以,因此B选项没有正确,
C选项中,函数图象二,三,四象限,所以,二次函数图象的开口方向向下可知, 根据对称轴位于y轴右侧可知a,b异号,所以,因此C选项没有正确,
D选项中,函数图象一,二,三象限,所以,二次函数图象的开口方向向下可知, 根据对称轴位于y轴左侧可知a,b同号,所以,因此D选项没有正确,
故选A.
6. 如图，下列各式能使ΔACB∽ΔDCA的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】因为两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,所以在ΔACB和 ΔDCA中, 已知∠ACB=∠DCA,所以当, ΔACB∽ΔDCA,故选B.
7. 如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝4cm，则BC的长为（ ）
A. 8cm B. 12cm C. 11cm D. 10cm
【正确答案】B
【分析】由平行可得＝，再由条件可求得＝，代入可求得BC．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
且DE＝4cm，
∴＝，
解得：BC＝12cm，
故选：B．
本题主要考查平行线分线段成比例性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段成比例是解题的关键．
8. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为
A. 2 B. 2.5或3.5 C. 3.5或4.5 D. 2或3.5或4.5
【正确答案】D
【详解】试题分析：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，∴AB=2BC=4（cm）．
∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，
∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），
若∠DBE=90°，∵∠ABC=60°，∴∠BDE=30°．∴BE=BD=（cm）．
当A→B时，t=4﹣0.5=3.5；当B→A时，t=4+0.5=4.5．
若∠EDB=90°时，∵∠ABC=60°，∴∠BED=30°．∴BE=2BD=2（cm）．
当A→B时，∴t=4﹣2=2；当B→A时，t=4+2=6（舍去）．
综上可得：t的值为2或3.5或4.5．故选D．
9. 在平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以点O为位似，按比例1：2把△EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为（ ）
A. （2，﹣1）或（﹣2，1） B. （8，﹣4）或（﹣8，4） C. （2，﹣1） D. （8，﹣4）
【正确答案】A
【分析】利用位似比为1：2，可求得点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1），注意分两种情况计算．
【详解】∵E（-4，2），位似比为1：2，
∴点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1）．
故选A．
本题考查了位似的相关知识，位似是相似的形式，位似比等于相似比．注意位似的两种位置关系．
10. 如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象点A(﹣1，1)，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P(0，t)，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（-1，1）得到k=-1，即反比例函数解析式为y=-，且OB=1，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y轴，则点B′的坐标可表示为（-，t），于是利用PB=PB′得t-1=|-|=，然后解方程可得到满足条件的t的值．
【详解】解：如图，
∵点A坐标为（-1，1），
∴k=-1×1=-1，
∴反比例函数解析式为y=-，
∵OB=AB=1，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵点B和点B′关于直线l对称，
∴PB=PB′，BB′⊥PQ，
∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，
∴B′P⊥y轴，
∴点B′的坐标为（-，t），
∵PB=PB′，
∴t-1=|-|=，
整理得t2-t-1=0，解得t1=，t2=（没有符合题意，舍去），
∴t的值为 ．
故选：B．
本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质；会用求根公式法解一元二次方程．
二、填 空 题（每小题5分，共20分）
11. 已知，则抛物线的顶点坐标为____________．
【正确答案】（2,3）或（-1,3）
【详解】因为,所以
所以所以
当时,, 当时,,因为所以,所以,又因为抛物线的顶点坐标为(k,3),故答案为（2,3）或（-1,3）.
点睛:本题考查二次函数的图象性质和分式条件化简求值,解决本题的关键是掌握分式条件化简求值的技巧.
12. 如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=3，CM、CH 分别是中线和高，则SΔACM：SΔBCM = __________，SΔACH：SΔBCH = __________.
【正确答案】 ①. 1：1 ②. 49：9
【详解】因为CM是中线,CH是高,所以AM=BM,
所以.
因为∠ACB=90°,CH⊥AB,所以ΔACH∽ΔCBH,
所以k=AC:CB=7:3,所以,
故答案为:,.
13. 如图，小明在墙上挂了一面镜子AB，调整好标杆CD，正好通过标杆顶部在镜子上边缘A处看到旗杆的顶端E的影子，已知AB=2m，CD=1．5m，BD=2m，BF=20m，则旗杆EF的高度为______．
【正确答案】7m．
【分析】过C′作C′H∥FD分别交AB、CD于G、H，根据EF∥AB∥C′D′可求出AG、EG、GH，再根据相似三角形的判定定理可得△C′AG∽△C′EH，再根据三角形的相似比解答即可．
【详解】解：过C′作C′H∥FD分别交AB、CD于G、H．
因为EF∥AB∥C′D′，所以HF=GB=C′D′．
所以AG=AB-GB=AB-C′D′=2-1.5=0.5m
C′G=D′B=2m，GH=BF=20m
CH=CD-1.5m
又因为
所以EH=5.5m，
即旗杆的高EF=7m．
故7m．
本题考查了相似三角形的应用，此题难度没有大，解答此题的关键是作出辅助线．构造出相似三角形，利用平行线的性质及相似三角形的相似比解答．
14. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为__．
【正确答案】2
【详解】如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线上，∴四边形AEOD的面积为1
∵点B在双曲线上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝2
三、（每小题8分，共16分）
15. 若y与x3成反比例，且x=2时．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）求y=—16时x的值．
【正确答案】（1）y= （2）x=
【详解】试题分析:(1)根据y与x3成反比例,可设,把x=2,,代入可得k=2, 即可求出函数表达式,(2)把y=－16代入(1)中函数关系式即可求解.
试题解析:(1)因为y与x3成反比例,
则可设,
因为x=2,,
所以,
所以
(2)当 y=－16时,代入可得:,解得: x=.
16. 一条河的两岸有一段是平行的．在河的这一岸每相距5米有一棵树,在河的对岸每相距50米有一根电线杆．在这岸离开岸边25米处看对岸,看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,求河宽．
【正确答案】37.5m.
【分析】画出图形，找出题中的相似三角形，根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】如图所示：AF=25m，BC=5×4=20m，DE=50m.
∵BC∥DE，
∴ ，
即 ，
解得：FG=37.5m.
∴河宽37.5m.
故答案为37.5m.
此题考查相似三角形的应用，解题关键在于掌握其性质.
四、（每小题8分，共16分）
17. 如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(1,2）、B(3,1）、C(2,3)，以原点O为位似，将△ABC放大为原来的2倍得．
(1)在图中象限内画出符合要求的(没有要求写画法)；
(2)的面积是:_____________.
【正确答案】（1）详见解析；（2）6.
【分析】（1）利用位似图形的性质，对应点坐标同乘以2，进而得出答案；（2）利用点A'、B'、C'的矩形的面积减去3个直角三角形的面积即可求得的面积.
【详解】（1）如图所示：
（2）△A′B′C′的面积=4×4- ×2×2-×2×4-×2×4=6，
故6．
本题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出对应点坐标是解题关键．
18. 正方形ABCD中，E，F分别是AB与BC边上的中点，连接AF，DE，BD，交于G，H（如图所示）．求AG:GH:HF的值．
【正确答案】AG：GH：HF=6:4:5
【详解】试题分析:如图,延长DE,CD交于点M,易证AD=DM,通过△AED∽△BME得,
即AD=MB,同理, △AGD∽△FMG, 则,,所以AG=,设AG=2a,则FG=3a,AF=5a,同理△AHD∽△FBH,则,即,∴AH=2FH,所以所以,所以.
试题解析:
如图,延长DE,CB交于点M,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BC,AD=BC=AB,
∵点E是AB的中点,点F是BC的中点,则FM=AD,
∴AE=BE, BF=,
易证△AED∽△BME,
∴,
∴,即AD=MB,
同理,△AGD∽△FMG,
则,,所以AG=,
设AG=2a,则FG=3a,AF=5a,
同理△AHD∽△FBH,则,即,
∴AH=2FH,
所以
所以,
所以.
点睛:本题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质,在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角,公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.
五、（每小题10分，共20分）
19. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90º，E为AB的中点，求证：
（1）AC2=AB·AD；
（2）CE∥AD．
【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【详解】试题分析: (1)易证△ADC∽△ACB 得即,
(2)由E为AB中点得CE= AB=AE,∠EAC=∠ECA,又AC平分∠DAB,∴∠CAD=∠CAB,
∴∠DAC=∠ECA,∴∠CAD=∠CAB,∴∠DAC=∠ECA, ∴CE∥AD.
试题解析:(1)∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB,
又∵∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB
∴即,
(2)∵E为AB的中点,
∴CE=AB=AE,∠EAC=∠ECA,
∵AC平分∠DAB,
∴∠CAD=∠CAB,
∴∠DAC=∠ECA,
∴CE∥AD.
20. 如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象．
（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的总蓄水量；
（2）写出此函数的解析式；
（3）若要6 h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？
【正确答案】（1）48000 m3（2）V= （3）8000 m3
【分析】（1）此题根据函数图象为双曲线的一支，可设V=，再把点（12，4000）代入即可求出答案；
（2）此题根据点（12，4000）在此函数图象上，利用待定系数法求出函数的解析式；
（3）此题须把t=6代入函数的解析式即可求出每小时的排水量．
【详解】（1）设V=．
∵点（12，4000）在此函数图象上，
∴蓄水量为12×4000=48000m3；
（2）∵点（12，4000）在此函数图象上，
∴4000=，
k=48000，
∴此函数的解析式V=；
（3）∵当t=6时，V==8000m3；
∴每小时的排水量应该是8000m3．
主要考查了反比例函数应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．会用没有等式解决实际问题．
六、（10分）
21. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2．
（1）求k的值；
（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）k=2；（2）D（5，0）或（﹣5，0）或（，0）或D（，0）．
【详解】试题分析：（1）首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于1，然后由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于，从而求出k的值；
（2）先将与联立成方程组，求出A、B两点的坐标，然后分三种情况讨论：①当AD⊥AB时，求出直线AD的关系式，令y=0，即可确定D点的坐标；②当BD⊥AB时，求出直线BD的关系式，令y=0，即可确定D点的坐标；③当AD⊥BD时，由O为线段AB的中点，可得OD=AB=OA，然后利用勾股定理求出OA的值，即可求出D点的坐标．
试题解析：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA=OB，∴△BOC的面积=△AOC的面积=2÷2=1，又∵A是反比例函数图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积=，∴，∵k＞0，∴k=2．故这个反比例函数的解析式为；
（2）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．将与联立成方程组得：，解得：，，∴A（1，2），B（﹣1，﹣2），
①当AD⊥AB时，如图1，
设直线AD的关系式为，将A（1，2）代入上式得：，∴直线AD的关系式为，令y=0得：x=5，∴D（5，0）；
②当BD⊥AB时，如图2，
设直线BD的关系式为，将B（﹣1，﹣2）代入上式得：，∴直线AD的关系式为，令y=0得：x=﹣5，∴D（﹣5，0）；
③当AD⊥BD时，如图3，
∵O为线段AB的中点，∴OD=AB=OA，∵A（1，2），∴OC=1，AC=2，由勾股定理得：OA==，∴OD=，∴D（，0），
根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（，0）；
故x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（，0）或D（，0）．
考点：反比例函数与函数的交点问题．
七、（14分）
22. 如图，在△ABC中，D是BC边上的点（没有与点B、C重合），连结AD．
问题引入：
（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC= ；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC= （用图中已有线段表示）．
探索研究：
（2）如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点（没有与点A、D重合），连结BO、CO，试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．
拓展应用：
（3）如图③，O是线段AD上一点（没有与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，试猜想的值，并说明理由．
【正确答案】（1）1：2，BD：BC；（2）S△BOC：S△ABC=OD：AD，理由见解析；（3）=1，理由见解析．
【分析】（1）根据三角形的面积公式，两三角形等高时，可得两三角形底与面积的关系，可得答案；
（2）根据三角形面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，可得答案；
（3）根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，再根据分式的加减，可得答案．
【详解】解：（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=1：2；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC=BD：BC，
故1：2，BD：BC；
（2）S△BOC︰S△ABC＝OD︰AD．
理由如下：如图，分别过点O、A作OM⊥BC于M，AN⊥BC于N．
∴OM∥AN．
∴△OMD∽△AND，
∴．
∵，
∴．
（3）．
理由如下：
由（2）得，
同理可得，．
∴
＝1．
本题考查了相似形综合题，利用了等底的三角形面积与高的关系，相似三角形的判定与性质．
八、（14分）
23. 如图，已知∠MON=90º，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂点为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E、F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=1秒时，ΔEOF与ΔABO是否相似？请说明理由．
（2）在运动过程中，没有论t取何值时，总有EF⊥OA，为什么？
（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得SΔAEF=S四边形ABOF ？若存在，请求出此时t的值；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）△EOF∽△ABO（2）EF⊥OA（3）t1=或t2=
【分析】（1）由及∠MON=∠ABE=90°，可得出△EOF∽△ABO．
（2）证明Rt△EOF∽Rt△ABO，进而证明EF⊥OA．
（3）由已知S△AEF=S四边形ABOF．得出S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF，从而可求出t的值．
【详解】解：（1）相似；
∵t=1，
∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，
∵AB=3厘米，OB=4厘米，
∴，
∵∠MON=∠ABE=90°，
∴△EOF∽△ABO．
（2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t．
∵AB=3，OB=4．
∴．
又∵∠EOF=∠ABO=90°，
∴Rt△EOF∽Rt△ABO．
∴∠AOB=∠EOF．
∵∠AOB+∠FOC=90°，
∴∠EOF+∠FOC=90°，
∴EF⊥OA．
（3）如图，连接AF，
∵OE=1.5t，OF=2t，
∴BE=4﹣1.5t
∴S△FOE=OE•OF=×1.5t×2t=t2，S△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，
S梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6
∵S△AEF=S四边形ABOF
∴S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF，
∴t2+6﹣t=（4t+6），即6t2﹣17t+12=0，
解得t=或t=．
∴当t=或t=时，S△AEF=S四边形ABOF．
2022-2023学年北京市通州区九年级上册数学月考专项提升模拟卷（B卷）
一．选一选：
1. 从﹣,0,,π,3.5这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是（ ）
A. B. C. D.
2. 袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线AC=（）．
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
4. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论没有正确是（ ）
A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形
5. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是（ ）
A. AF＝AE B. △ABE≌△AGF C. EF＝ D. AF＝EF
6. 一元二次方程5x2－x＝－3，其中二次项系数、项系数、常数项分别是( )
A 5，－x，3 B. 5，－1，－3 C. 5，－1，3 D. 5x2，－1，3
7. 某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A. 289（1﹣x）2=256 B. 256（1﹣x）2=289
C. 289（1﹣2x）2=256 D. 256（1﹣2x）2=289
8. 若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象没有第( )象限．
A. 四 B. 三 C. 二 D. 一
9. 下列说确的是( )
A. 对应边都成比例的多边形相似 B. 对应角都相等的多边形相似
C. 边数相同的正多边形相似 D. 矩形都相似
10. 若，则等于 ( )
A. B. C. D.
二．填 空 题
11. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__________．
12. 如图，边长为1菱形ABCD中，∠DAB=60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是___．
13. 若将方程x2－8x＝7化为(x－m)2＝n，则m＝________.
14. 某市准备加大对雾霾的治理力度，2015年季度投入资金100万元，第二季度和第三季度共投入资金260万元，求这两个季度投入资金的平均增长率．设这两个季度投入资金的平均增长率为x，根据题意可列方程为______________________．
15. 若(y≠n)，则＝____．
三、解 答 题：
16. 用适当方法解下列方程．
(1).x2－2x＝2x＋1；
(2).(x＋3)2＝(1－2x)2.
17. 如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.
求证：△BCE≌△DCF；
18. 小明有2件上衣，分别为红色和蓝色，有3条裤子，其中2条为蓝色、1条为棕色．小明任意拿出1件上衣和1条裤子穿上．请用画树状图或列表的方法列出所有可能出现的结果，并求小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率．
19. 某景区7月1日～7月7日一周天气预报如图，小丽打算选择这期间或两天去该景区旅游．求下列的概率：
(1)随机选择，恰好天气预报是晴；
(2)随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴．
20. 已知：如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以3cm/S的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/S的速度向点D移动
（1）P，Q两点从出发点出发几秒时，四边形PBCQ面积为33cm²
（2）P，Q两点从出发点出发几秒时，P，Q间的距离是为10cm．
21. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点一个60°的角∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F没有与B，C，D重合，连接EF.
(1)求证：BE＝CF.
(2) 在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形 AECF的面积是否发生变化？如果没有变，求出其定值；如果变化，请说明理由．
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一．选一选：
1. 从﹣,0,,π,3.5这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】∵−、π是无理数，
∴从−、0、、π、3.5这五个数中,随机抽取一个,则抽到无理数的概率是.
故选B.
2. 袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，抽取的两个球数字之和大于6的有10种情况，
∴抽取的两个球数字之和大于6的概率是：．
故选C．
考点：1．列表法或树状图法；2．概率．
3. 如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线AC=（）．
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
【正确答案】D
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴AC=AB=3．
故选D．
4. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论没有正确的是（ ）
A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形
C. 当时，它矩形 D. 当时，它是正方形
【正确答案】D
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】解：A. 当AB＝BC时，它是菱形，正确，没有符合题意；
B. 当AC⊥BD时，它是菱形，正确，没有符合题意；
C. 当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确，没有符合题意；
D. 当AC＝BD时，它是矩形，原选项没有正确，符合题意．
故选：D．
本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，解题关键是熟记相关判定定理，准确进行判断．
5. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是（ ）
A. AF＝AE B. △ABE≌△AGF C. EF＝ D. AF＝EF
【正确答案】D
【详解】试题分析：∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEC，∵∠AEF=∠FEC，∴∠AFE=∠AEF，∴AF=AE，∴选项A正确；
∵ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠C=90°，∵AG=DC，∠G=∠C，∴∠B=∠G=90°，AB=AG，∵AE=AF，∴△ABE≌△AGF，∴选项B正确；
设BE=x，则CE=BC﹣BE=8﹣x，∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE=CE=8﹣x，在Rt△ABE中，，即，解得x=3，∴AE=8﹣3=5，由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=5，过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，∴EH=AB=4，AH=BE=3，∴FH=AF﹣AH=5﹣3=2，在Rt△EFH中，EF=，∴选项C正确；
由已知条件无法确定AF和EF的关系，故选D．
考点：翻折变换（折叠问题）．
6. 一元二次方程5x2－x＝－3，其中二次项系数、项系数、常数项分别是( )
A. 5，－x，3 B. 5，－1，－3 C. 5，－1，3 D. 5x2，－1，3
【正确答案】C
【详解】试题分析：由5x2－x＝－3得
5x2－x＋3＝0，
所以二次项系数、项系数、常数项分别是5、－1、3．
故选C．
7. 某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A. 289（1﹣x）2=256 B. 256（1﹣x）2=289
C. 289（1﹣2x）2=256 D. 256（1﹣2x）2=289
【正确答案】A
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．
【详解】根据题意可得两次降价后售价为289（1-x）2，
∴方程为289（1-x）2=256．
故选：A．
8. 若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则函数y＝(m＋1)x＋m－1图象没有第( )象限．
A. 四 B. 三 C. 二 D. 一
【正确答案】D
【详解】∵一元二次方程x2- 2x - m = 0无实数根，
∴△=4+4m<0，即m<-1，
∴函数的比例系数m+1<0，图像二四象限，
截距m-1<0，则图象与y轴交于负半轴，图像过第三象限
∴函数y =(m+1)x + m - 1的图像没有象限，
故选D．
9. 下列说确的是( )
A. 对应边都成比例的多边形相似 B. 对应角都相等的多边形相似
C. 边数相同正多边形相似 D. 矩形都相似
【正确答案】C
【分析】根据相似图形的定义，对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、对应边都成比例的多边形，属于形状没有确定的图形，故错误，没有符合题意；
B、对应角都相等的多边形，属于形状没有确定的图形，故错误，没有符合题意；
C、边数相同的正多边形，形状相同，但大小没有一定相同，故正确，符合题意；
D、矩形属于形状没有确定的图形，故错误，没有符合题意．
故选C．
本题考查相似变换的定义，解题的关键是掌握图形的形状相同，但大小没有一定相同的是相似形．
10. 若，则等于 ( )
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】先化简，得到关于m、n的关系，化为比例即可．
【详解】解：∵，
∴ ，
∴，
∴ ．
故选：D
本题考查了比例的化简，明确比例性质“两外项之积等于量内向之积是解题关键” ．
二．填 空 题
11. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__________．
【正确答案】12
【分析】根据对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积解答．
【详解】∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积=×6×8=24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积=×24=12．
故答案是：12．
本题考查了对称，菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
12. 如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是___．
【正确答案】
【分析】连接于相交于，根据已知和菱形的性质可分别求得，，的长，从而可发现规律根据规律没有难求得第个菱形的边长．
【详解】解：连接，
四边形是菱形，
．，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
同理可得，，
按此规律所作的第个菱形的边长为，
故．
此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及学生探索规律的能力，解题的关键掌握菱形的性质．
13. 若将方程x2－8x＝7化为(x－m)2＝n，则m＝________.
【正确答案】4
【详解】试题分析：配方得x2－8x＋16＝23，
即(x－4)2＝23，
∴m＝4．
故答案4．
点睛：用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2＋px＋q＝0型：步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2＋bx＋c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2＋px＋q＝0，然后配方．
14. 某市准备加大对雾霾的治理力度，2015年季度投入资金100万元，第二季度和第三季度共投入资金260万元，求这两个季度投入资金的平均增长率．设这两个季度投入资金的平均增长率为x，根据题意可列方程为______________________．
【正确答案】100(1+x)+100(1+x)2=260
【详解】解：设两个季度投入资金的平均增长率为x，则第二季度投入资金为100(1＋x)万元，第三季度投入的资金为100(1＋x)2万元，
根据第二季度和第三季度共投入资金260万元可列方程为100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260．
故答案是：100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260．
15. 若(y≠n)，则＝____．
【正确答案】
【详解】∵（y≠n），
∴ ，
∴＝ ，
故 .
三、解 答 题：
16. 用适当的方法解下列方程．
(1).x2－2x＝2x＋1；
(2).(x＋3)2＝(1－2x)2.
【正确答案】（1）x1＝2＋，x2＝2－（2）x1＝－，x2＝4
【详解】试题分析：（1）把含有未知数的项移至方程左边，合并同类项后把等号左边配成完全平方式，然后开方即可；
（2）把等号右边的项移至等号左边，然后利用平方差公式分解因式，利用因式分解法求解即可．
试题解析：
（1）(配方法)原方程可化为x2－4x＝1，
配方，得x2－4x＋4＝1＋4，(x－2)2＝5.
两边开平方，得x－2＝±，
所以x1＝2＋，x2＝2－；
（2）(因式分解法)移项，得(x＋3)2－(1－2x)2＝0，
因式分解，得(3x＋2)(－x＋4)＝0，
所以3x＋2＝0或－x＋4＝0，
解得x1＝，x2＝4．
点睛：此题主要考查一元二次方程的解法，主要有：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法等，要针对没有同的题型选用合适的方法．
17. 如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.
求证：△BCE≌△DCF；
【正确答案】证明见解析
【详解】试题分析：由正方形的性质得出BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°，由SAS证明△BCE≌△DCF．
试题解析：
证明：在正方形ABCD中
BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°，
在△BCE与△DCF中，
∴△BCE≌△DCF．
18. 小明有2件上衣，分别为红色和蓝色，有3条裤子，其中2条为蓝色、1条为棕色．小明任意拿出1件上衣和1条裤子穿上．请用画树状图或列表的方法列出所有可能出现的结果，并求小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率．
【正确答案】
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】画树状图得：
如图：共有6种可能出现的结果，
∵小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的有2种情况，
∴小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率为.
本题考查了列表法与树状图法求概率的知识．注意列表法与树状图法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的；树状图法适合两步或两步以上完成的；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
19. 某景区7月1日～7月7日一周天气预报如图，小丽打算选择这期间或两天去该景区旅游．求下列的概率：
(1)随机选择，恰好天气预报是晴；
(2)随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴．
【正确答案】（1）（2）
【详解】试题分析：（1）随机选择，共有7种结果，天气预报是晴的有4天，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先利用列举法可得：随机选择连续的两天等可能的结果有：晴晴，晴雨，雨阴，阴晴，晴晴，晴阴，天气预报都是晴的有2天，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
试题解析：
（1）随机选择，天气预报可能出现的结果有7种，即7月1日晴、7月2日晴、7月3日雨、7月4日阴、7月5日晴、7月6日晴、7月7日阴，并且它们出现的可能性相等．恰好天气预报是晴(记为A)的结果有4种，即7月1日晴、7月2日晴、7月5日晴、7月6日晴，所以P(A)＝；
（2）随机选择连续的两天，天气预报可能出现的结果有6种，即(7月1日晴，7月2日晴)、(7月2日晴，7月3日雨)、(7月3日雨，7月4日阴)、(7月4日阴，7月5日晴)、(7月5日晴，7月6日晴)、(7月6日晴，7月7日阴)，并且它们出现的可能性相等．恰好天气预报都是晴(记为B)的结果有2种，即(7月1日晴，7月2日晴)、(7月5日晴，7月6日晴)，所以P(B)＝＝．
点睛：此题考查了列举法求概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20. 已知：如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以3cm/S的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/S的速度向点D移动
（1）P，Q两点从出发点出发几秒时，四边形PBCQ面积为33cm²
（2）P，Q两点从出发点出发几秒时，P，Q间的距离是为10cm．
【正确答案】（1）5秒；（2）P，Q两点出发秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【分析】当运动时间为t秒时，PB=（16-3t）cm，CQ=2tcm．
（1）利用梯形的面积公式四边形PBCQ的面积为33cm2，即可得出关于t的一元方程，解之即可得出结论；
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，则PM=|16-5t|cm，QM=6cm，利用勾股定理PQ=10cm，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：当运动时间为t秒时，PB=（16-3t）cm，CQ=2tcm．
（1）依题意，得：×（16-3t+2t）×6=33，
解得：t=5．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示．
∵PM=PB-CQ=|16-5t|cm，QM=6cm，
∴PQ2=PM2+QM2，即102=（16-5t）2+62，
解得：t1=，t2=．
答：P，Q两点出发秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．
本题考查了一元方程应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据梯形的面积公式，找出关于t的一元方程；（2）利用勾股定理，找出关于t的一元二次方程．
21. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点的一个60°的角∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F没有与B，C，D重合，连接EF.
(1)求证：BE＝CF.
(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形 AECF的面积是否发生变化？如果没有变，求出其定值；如果变化，请说明理由．
【正确答案】(1)证明见解析(2) S四边形AECF＝4
【分析】（1）连接AC，根据∠BAD＝120°和菱形的性质可得∠ABE＝∠ACF＝60°，然后由∠1＋∠2＝60°，∠3＋∠2＝∠EAF＝60°得∠1＝∠3，再证得△ABC为等边三角形，得AC＝AB，进而证得△ABE≌△ACF，由全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE＝S△ACF，故根据S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC可知四边形AECF的面积没有变，做出BC边上的高，根据等边三角形的性质和勾股定理求出高，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积即为AECF的面积．
【详解】（1）证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD为菱形，
∠BAD＝120°，
∴∠ABE＝∠ACF＝60°，
∠1＋∠2＝60°，
∵∠3＋∠2＝∠EAF＝60°，
∴∠1＝∠3．
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB，
∴△ABE≌△ACF．
∴BE＝CF．
（2）解：四边形AECF的面积没有变．
由（1）知△ABE≌△ACF，
则S△ABE＝S△ACF，
故S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC．
如图，过A作AM⊥BC于点M，则BM＝MC＝2，
∴AM＝＝＝．
∴S△ABC＝BC·AM＝×4×＝．
故S四边形AECF＝．
本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质、三角形面积的计算以及勾股定理等知识，利用菱形的性质得出△ABE≌△ACF是解题的关键．
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