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    2023高考数学二轮真题与模拟训练26讲 专题08 正弦定理和余弦定理解析
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    专题8 正弦定理和余弦定理第一部分 近3年高考真题一、选择题1.(2021·全国高考真题(文))在中,已知,,,则( )A.1 B. C. D.3【答案】D【解析】设,结合余弦定理:可得:,即:,解得:(舍去),故.故选:D.2.(2021·全国高考真题(理))已知是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且,则C的离心率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因为,由双曲线的定义可得,所以,;因为,由余弦定理可得,整理可得,所以,即.故选:A3.(2020·全国高考真题(文))在△ABC中,cosC=,AC=4,BC=3,则tanB=( )A. B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】设故选:C4.已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与C交于A,B两点.若,,则C的方程为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】法一:如图,由已知可设,则,由椭圆的定义有.在中,由余弦定理推论得.在中,由余弦定理得,解得.所求椭圆方程为,故选B.法二:由已知可设,则,由椭圆的定义有.在和中,由余弦定理得,又互补,,两式消去,得,解得.所求椭圆方程为,故选B.5.的内角的对边分别为,,,若的面积为,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知所以由余弦定理所以故选C.二、填空题6.(2020·江苏高考真题)在△ABC中,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是________.【答案】或0【解析】∵三点共线,∴可设,∵,∴,即,若且,则三点共线,∴,即,∵,∴,∵,,,∴,设,,则,.∴根据余弦定理可得,,∵,∴,解得,∴的长度为.当时, ,重合,此时的长度为,当时,,重合,此时,不合题意,舍去.故答案为:0或.7.的内角的对边分别为.若,则的面积为__________.【答案】【解析】由余弦定理得,所以,即解得(舍去)所以,8.在中,角所对的边分别为,,的平分线交于点D,且,则的最小值为________.【答案】9【解析】由题意可知,,由角平分线性质和三角形面积公式得,化简得,因此当且仅当时取等号,则的最小值为.9.△的内角的对边分别为,已知,,则△的面积为________.【答案】.【解析】因为,结合正弦定理可得,可得,因为,结合余弦定理,可得,所以为锐角,且,从而求得,所以的面积为,故答案是.三、解答题10.(2021·北京高考真题)已知在中,,.(1)求的大小;(2)在下列三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,并求出边上的中线的长度.①;②周长为;③面积为;【答案】(1);(2)答案不唯一,具体见解析.【解析】(1),则由正弦定理可得,,,,,,解得;(2)若选择①:由正弦定理结合(1)可得,与矛盾,故这样的不存在;若选择②:由(1)可得,设的外接圆半径为,则由正弦定理可得,,则周长,解得,则,由余弦定理可得边上的中线的长度为:;若选择③:由(1)可得,即,则,解得,则由余弦定理可得边上的中线的长度为:.11.(2021·全国高考真题)记是内角,,的对边分别为,,.已知,点在边上,.(1)证明:;(2)若,求.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)由题设,,由正弦定理知:,即,∴,又,∴,得证.(2)由题意知:,∴,同理,∵,∴,整理得,又,∴,整理得,解得或,由余弦定理知:,当时,不合题意;当时,;综上,.12.(2020·北京高考真题)在中,,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:(Ⅰ)a的值:(Ⅱ)和的面积.条件①:;条件②:.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.【答案】选择条件①(Ⅰ)8(Ⅱ), ;选择条件②(Ⅰ)6(Ⅱ), .【解析】选择条件①(Ⅰ)(Ⅱ)由正弦定理得:选择条件②(Ⅰ)由正弦定理得:(Ⅱ)13.(2020·江苏高考真题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求的值;(2)在边BC上取一点D,使得,求的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)由余弦定理得,所以.由正弦定理得.(2)由于,,所以.由于,所以,所以.所以.由于,所以.所以.14.(2020·全国高考真题(理))中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.(1)求A;(2)若BC=3,求周长的最大值.【答案】(1);(2).【解析】(1)由正弦定理可得:,,,.(2)由余弦定理得:,即.(当且仅当时取等号),,解得:(当且仅当时取等号),周长,周长的最大值为.15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=,cosB=,求c的值;(2)若,求的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)因为,由余弦定理,得,即.所以.(2)因为,由正弦定理,得,所以.从而,即,故.因为,所以,从而.因此.16.的内角的对边分别为,已知.(1)求;(2)若为锐角三角形,且,求面积的取值范围.【答案】(1) ;(2).【解析】(1)根据题意,由正弦定理得,因为,故,消去得.,因为故或者,而根据题意,故不成立,所以,又因为,代入得,所以.(2)因为是锐角三角形,由(1)知,得到,故,解得.又应用正弦定理,,由三角形面积公式有:.又因,故,故.故的取值范围是17.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设.(1)求A;(2)若,求sinC.【答案】(1);(2).【解析】(1)即:由正弦定理可得: (2),由正弦定理得:又,整理可得: 解得:或因为所以,故.(2)法二:,由正弦定理得:又,整理可得:,即 由,所以.18.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和的值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ),.【解析】(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理,可得,又由,得,即,可得.又因为,可得B=.(Ⅱ)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有,故b=.由,可得.因为a
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