2023高考数学二轮真题与模拟训练26讲专题11 等比数列解析

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专题11 等比数列第一部分真题部分一、选择题1．（2021·浙江高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（）A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线【答案】C【解析】由题意得，即，对其进行整理变形：，，，，所以或，其中为双曲线，为直线.故选：C.2．（2021·全国高考真题）设正整数，其中，记．则（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A选项，，，所以，，A选项正确；对于B选项，取，，，而，则，即，B选项错误；对于C选项，，所以，，，所以，，因此，，C选项正确；对于D选项，，故，D选项正确.故选：ACD.3．（2020·全国高考真题（文））设是等比数列，且，，则（）A．12 B．24 C．30 D．32【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则，，因此，.故选：D.4．（2020·全国高考真题（理））数列中，，，若，则（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，，则，解得.故选：C.5．（2019·全国高考真题（理））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C．二、填空题6．（2021·江苏高考真题）已知等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的值是___________.【答案】4【解析】因为为等比数列，且公比为，所以，且，.因为，，成等差数列，所以，有，，解得.故答案为：.7．（2019·全国高考真题（理））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．【答案】.【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以．8．（2020·江苏高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．【答案】【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.等差数列的前项和公式为，等比数列的前项和公式为，依题意，即，通过对比系数可知，故.故答案为：三、解答题9．（2021·天津高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【解析】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以，所以，所以；设等比数列的公比为，所以，解得（负值舍去），所以；（II）（i）由题意，，所以，所以，且，所以数列是等比数列；（ii）由题意知，，所以，所以，设，则，两式相减得，所以，所以.10．（2021·浙江高考真题）已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，，，当时，由①，得②，①②得，又是首项为，公比为的等比数列，；（2）由，得，所以，，两式相减得，所以，由得恒成立，即恒成立，时不等式恒成立；时，，得；时，，得；所以.11．（2021·全国高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）证明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.12．（2021·江苏高考真题）已知数列满足，且.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】（1）由，得，∴，又，∴是首项为3，公比为3的等比数列. （2），∴.（3）.13．（2020·山东高考真题）已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，所以，所以数列的通项公式为.（2）由于，所以对应的区间为：，则；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个.所以.14．（2020·全国高考真题（文））设等比数列{an}满足，．（1）求{an}的通项公式；（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，有，解得，所以；（2）令，所以，根据，可得，整理得，因为，所以，15．（2020·全国高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．【答案】（1），，，证明见解析；（2）.【解析】（1）由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，证明如下：当时，成立；假设时，成立.那么时，也成立.则对任意的，都有成立；（2）由（1）可知，，①，②由①②得：，即.16．（2020·全国高考真题（理））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设的前项和为，，，①，②①②得，，.17．（2019·上海高考真题）已知等差数列的公差，数列满足，集合.（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值.【答案】（1）；（2）或；（3）【解析】（1），，，，，，由周期性可知，以为周期进行循环（2），，恰好有两个元素或即或或（3）由恰好有个元素可知：当时，，集合，符合题意；当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，如图取时，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故又，故当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，,不符合条件；当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，不是整数，故不符合条件；当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有或若，即，不是整数，若，即，不是整数，故不符合条件；综上：18．（2020·天津高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.由，，可得d=1.从而的通项公式为.由，又q≠0，可得，解得q=2，从而的通项公式为.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，故，，从而，所以.(Ⅲ)当n为奇数时，，当n为偶数时，，对任意的正整数n，有，和 ①由①得 ②由①②得，由于，从而得：.因此，.所以，数列的前2n项和为.第二部分模拟训练1．已知函数，给出三个条件：①；②；③.从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前项和（）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知函数，定义域为.若选①，则，，不是常数，则不是等比数列；若选②，则，，不是常数，则不是等比数列；若选③，则，，是常数，则是以为首项，以3为公比的等比数列，则.故选：D.2．若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，若数列为“梦想数列”，则，可得，所以，“梦想数列”是公比为的等比数列，若正项数列为“梦想数列”，则，所以，，即正项数列是公比为的等比数列，因为，因此，.故选：D.3．已知是定义在上的奇函数，且，.数列满足，其中是数列的前项和，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由数列满足，当，，即所以数列是首项，公比的等比数列，，由知函数对称轴为，又是奇函数，所以函数周期为..故选：D.4．已知数列的前项和为且满足，下列命题中错误的是（）A．是等差数列 B． C． D．是等比数列【答案】C【解析】时，因为，所以，所以，所以是等差数列，A正确；，，公差，所以，所以，B正确；不适合，C错误；，数列是等比数列，D正确．故选：C．5．数列中，，若，则_______________．【答案】3【解析】因为，所以，所以，是等比数列，公比为2．所以．因为，所以．故答案为：3．6．在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在，使得，则的最小值为__________.【答案】【解析】依题意，依题意存在，使得，即，即，所以，所以.当且仅当时等号成立.所以的最小值为.故答案为：7．定义函数，则函数在区间内的所有的零点之和为_______.【答案】【解析】当1≤x时，f（x）＝12x﹣12，所以，此时当x时，g（x）max＝0；当x≤2时，f（x）＝24﹣12x，所以＜0；由此可得1≤x≤2时，g（x）max＝0．下面考虑2n﹣1