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2023高考数学二轮真题与模拟训练26讲 专题20 曲线与方程解析
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专题20 曲线与方程第一部分 真题分类1．（2021·浙江高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线【答案】C【解析】由题意得，即，对其进行整理变形：，，，，所以或，其中为双曲线，为直线.故选：C.2．（2020·全国高考真题（文））在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线【答案】A【解析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：，设，可得：，从而：，结合题意可得：，整理可得：，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.故选：A.3．以为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，且满足，则点的轨迹是A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线【答案】A【解析】因为 同理：又因为，所以则，即 本题正确选项： 第二部分 模拟训练一、单选题1．在平面内，､是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（ ）A．椭圆 B．抛物线C．圆 D．直线【答案】C【解析】以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设，，，所以，，由得：，即，所以点C的轨迹为圆.故选：C.2．如图，正方体中，P为底面上的动点，于E，且则点P的轨迹是（ ）A．线段 B．圆 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分【答案】A【解析】连接，因为，且，所以，即，所以点E是体对角线上的定点，连接AE，则直线AE也是定直线．因为，所以动点P必定在线段AE的中垂面上，所以中垂面与底面的交线就是动点P的轨迹，所以动点P的轨迹是线段．故选：A3．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是（ ）A． x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0) B．x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0) D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)【答案】A【解析】设A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由,得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x＞0，b＝3y＞0.又点Q与点P关于y轴对称，则点Q(－x，y)，由，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a＝x，b＝3y代入ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．故选：A4．如图，正方体的棱长为3，点在棱上，且满足，动点在正方体表面上运动，且，则动点的轨迹的周长为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：由正方体的特点可知平面，在，上分别取点，，使得，，连接，，，则，，平面平面，平面，的轨迹为．正方体棱长为3，，，的周长为． 故选：．5．阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点与两定点，的距离之比为(，且)，则点的轨迹就是圆，事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立.已知点，点为圆：上的点，若存在轴上的定点和常数，对满足已知条件的点均有，则（ ）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】如下图所示，由于圆上的任意一点均有，所以A,B两点也满足该关系式. ，，，，，解得，故选：B.6．如图在长方体中，分别是棱的中点，是底面内一个动点，若平面，则面积最小值为 （ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图补全截面为截面，易知分别为对应边的中点.易知平面∥平面，∵直线∥平面， ∴则△,当最小时，△的面积最小作于点，且当与重合时，最短，此时△的面积最小， 由等面积法： 得 又⊥平面， ∴，△为直角三角形， 故故选：A． 二、填空题7．曲线C：，点P在曲线C上．给出下列三个结论：①曲线C关于y轴对称；②曲线C上的点的横坐标的取值范围是[﹣2，2]；③若A（﹣1，0），B（1，0），则存在点P，使△PAB的面积大于．其中，所有正确结论的序号是_____．【答案】①②【解析】解：①用﹣x代替x，有3成立，即①正确；②∵y2≥0，∴3，故（x2﹣1）2≤9，即﹣3≤x2﹣1≤3，即﹣2≤x2≤4，解得﹣2≤x≤2，即②正确；③，若存在点P，使△PAB的面积大于，则，即．∵3，∴y2≤2，故不存在点P符合题意，即③错误．故答案为：①②．8．已知正方体棱长为2，点是上底面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为，则此时点构成的图形面积为________.【答案】.【解析】如图所示，设三棱锥的外接球为球，分别取、的中点、，则点在线段上，由于正方体的棱长为2，则的外接圆的半径为，设球的半径为，则，解得.所以，，则而点在上底面所形成的轨迹是以为圆心的圆，由于，所以，因此，点所构成的图形的面积为.9．在平面直角坐标系中，已知点P分别到点的距离之和为3，记点P的轨迹为曲线W，关于曲线W有如下命题：①曲线W关于y轴对称②曲线W关于坐标原点对称③存在实数，对于曲线W上任意一点都有；④曲线W过坐标原点O；⑤点M是曲线W上的动点，则面积的最大值为.其中所有正确命题的序号是______.【答案】①③④【解析】解：设点，则点P的轨迹曲线W的方程为：，对于① ，将点带入得则① 曲线W关于y轴对称正确；对于② ，将点带入得则② 曲线W关于坐标原点对称错误；对于④ ，将点带入得成立，则④ 正确；对于③ ，， 则，， 则，故存在实数，对于曲线W上任意一点都有，③ 正确；对于⑤，，则点到直线的距离为,则，由③ 知，，等号取不到，则的面积取不到，⑤ 错误.故答案为：①③④.10．在平面直角坐标系中，动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，记点P的轨迹为曲线W.给出下列三个结论：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于直线对称；③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于.其中，所有正确结论的序号是_____.【答案】②③【解析】动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，，或，函数的图象如图所示曲线关于直线对称；曲线与轴非负半轴，轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；故答案为：②③
专题20 曲线与方程第一部分 真题分类1．（2021·浙江高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线【答案】C【解析】由题意得，即，对其进行整理变形：，，，，所以或，其中为双曲线，为直线.故选：C.2．（2020·全国高考真题（文））在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线【答案】A【解析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：，设，可得：，从而：，结合题意可得：，整理可得：，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.故选：A.3．以为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，且满足，则点的轨迹是A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线【答案】A【解析】因为 同理：又因为，所以则，即 本题正确选项： 第二部分 模拟训练一、单选题1．在平面内，､是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（ ）A．椭圆 B．抛物线C．圆 D．直线【答案】C【解析】以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设，，，所以，，由得：，即，所以点C的轨迹为圆.故选：C.2．如图，正方体中，P为底面上的动点，于E，且则点P的轨迹是（ ）A．线段 B．圆 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分【答案】A【解析】连接，因为，且，所以，即，所以点E是体对角线上的定点，连接AE，则直线AE也是定直线．因为，所以动点P必定在线段AE的中垂面上，所以中垂面与底面的交线就是动点P的轨迹，所以动点P的轨迹是线段．故选：A3．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是（ ）A． x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0) B．x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0) D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)【答案】A【解析】设A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由,得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x＞0，b＝3y＞0.又点Q与点P关于y轴对称，则点Q(－x，y)，由，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a＝x，b＝3y代入ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．故选：A4．如图，正方体的棱长为3，点在棱上，且满足，动点在正方体表面上运动，且，则动点的轨迹的周长为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：由正方体的特点可知平面，在，上分别取点，，使得，，连接，，，则，，平面平面，平面，的轨迹为．正方体棱长为3，，，的周长为． 故选：．5．阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点与两定点，的距离之比为(，且)，则点的轨迹就是圆，事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立.已知点，点为圆：上的点，若存在轴上的定点和常数，对满足已知条件的点均有，则（ ）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】如下图所示，由于圆上的任意一点均有，所以A,B两点也满足该关系式. ，，，，，解得，故选：B.6．如图在长方体中，分别是棱的中点，是底面内一个动点，若平面，则面积最小值为 （ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图补全截面为截面，易知分别为对应边的中点.易知平面∥平面，∵直线∥平面， ∴则△,当最小时，△的面积最小作于点，且当与重合时，最短，此时△的面积最小， 由等面积法： 得 又⊥平面， ∴，△为直角三角形， 故故选：A． 二、填空题7．曲线C：，点P在曲线C上．给出下列三个结论：①曲线C关于y轴对称；②曲线C上的点的横坐标的取值范围是[﹣2，2]；③若A（﹣1，0），B（1，0），则存在点P，使△PAB的面积大于．其中，所有正确结论的序号是_____．【答案】①②【解析】解：①用﹣x代替x，有3成立，即①正确；②∵y2≥0，∴3，故（x2﹣1）2≤9，即﹣3≤x2﹣1≤3，即﹣2≤x2≤4，解得﹣2≤x≤2，即②正确；③，若存在点P，使△PAB的面积大于，则，即．∵3，∴y2≤2，故不存在点P符合题意，即③错误．故答案为：①②．8．已知正方体棱长为2，点是上底面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为，则此时点构成的图形面积为________.【答案】.【解析】如图所示，设三棱锥的外接球为球，分别取、的中点、，则点在线段上，由于正方体的棱长为2，则的外接圆的半径为，设球的半径为，则，解得.所以，，则而点在上底面所形成的轨迹是以为圆心的圆，由于，所以，因此，点所构成的图形的面积为.9．在平面直角坐标系中，已知点P分别到点的距离之和为3，记点P的轨迹为曲线W，关于曲线W有如下命题：①曲线W关于y轴对称②曲线W关于坐标原点对称③存在实数，对于曲线W上任意一点都有；④曲线W过坐标原点O；⑤点M是曲线W上的动点，则面积的最大值为.其中所有正确命题的序号是______.【答案】①③④【解析】解：设点，则点P的轨迹曲线W的方程为：，对于① ，将点带入得则① 曲线W关于y轴对称正确；对于② ，将点带入得则② 曲线W关于坐标原点对称错误；对于④ ，将点带入得成立，则④ 正确；对于③ ，， 则，， 则，故存在实数，对于曲线W上任意一点都有，③ 正确；对于⑤，，则点到直线的距离为,则，由③ 知，，等号取不到，则的面积取不到，⑤ 错误.故答案为：①③④.10．在平面直角坐标系中，动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，记点P的轨迹为曲线W.给出下列三个结论：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于直线对称；③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于.其中，所有正确结论的序号是_____.【答案】②③【解析】动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，，或，函数的图象如图所示曲线关于直线对称；曲线与轴非负半轴，轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；故答案为：②③
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