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2023高考数学二轮真题与模拟训练26讲 专题18 直线与方程解析
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专题18 直线与方程第一部分 真题分类1．（2020·浙江高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，由，解得，即．故选：D.2．（2020·全国高考真题（文））点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】由知直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为.故选：B.3．（2021·全国高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．【答案】【解析】由题意，，则，所以点和点，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案为：4．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.【答案】4.【解析】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.由，得，，即切点，则切点Q到直线的距离为，故答案为．5．（2021·江苏高考真题）已知函数是定义在上的偶函数，当时，(，且).又直线恒过定点A，且点A在函数的图像上.(1) 求实数的值；(2) 求的值；(3) 求函数的解析式.【答案】(1) ；(2) ；(3) .【解析】(1) 由直线过定点可得：，由，解得，所以直线过定点.又因为时，，所以，有，.(2) ，因为为偶函数，所以，所以. (3) 由(1)知，当时，.当时，，，又为偶函数，所以，综上可知，.6．（2019·江苏高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+（百米）.【解析】解法一：（1）过A作，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.因为PB⊥AB，所以.所以.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知，从而，所以∠BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设为l上一点，且，由（1）知，，此时；当∠OBP>90°时，在中，.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为.因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为，直线PB的方程为.所以P（−13，9），.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），所以线段AD：.在线段AD上取点M（3，），因为，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设为l上一点，且，由（1）知，，此时；当∠OBP>90°时，在中，.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当P（−13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）.第二部分 模拟训练一、单选题1．已知双曲线与函数的图象交于点，若函数的图象在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设的坐标为，由左焦点，所以函数的导数，则在处的切线斜率，即，得，则，设右焦点为，则，即，，∴双曲线的离心率.故选：D2．直线和双曲线的渐近线相交于，两点，则线段的长度为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】双曲线的渐近线为，设与相交于A点，与相较于B点，由解得，由解得，所以，故选：A.3．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】联立，解得，即交点为，又所求直线与直线垂直，则所求直线斜率为2，则所求直线方程为，即.故选：C.4．若圆与圆关于直线对称，则两圆的公切线有（ ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】B【解析】圆的圆心为，半径为2，设圆心关于直线的对称点为，则由，求得，故，可得圆的方程为，由于圆心距，满足：，故两圆相交，故而可得两圆公切线的条数为2条，故选：B.5．已知函数，若且，则的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，求导，令，得当时，，单调递减；当时，，单调递增；如下图所示：设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，，由图形可知，当直线与曲线相切时，取最大值，令，得，切点坐标为，此时，，，故选：B.6．直线被圆所截得的弦长为，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即，该圆圆心为，半径为直线截圆所得的弦长为，则圆心到直线的距离为，解得故选：A 二、填空题7．若直线的法向量与直线的方向向量垂直，则实数___________.【答案】【解析】直线方程即为，其法向量为，直线的方向向量为，由题意，解得．故答案为：．8．已知双曲线的左右焦点分别为、，直线与的左、右支分别交于点、（、均在轴上方）．若直线、的斜率均为，且四边形的面积为，则=___________．【答案】【解析】按题意作出图如下：由双曲线方程可得：，，因为直线、的斜率均为，所以直线∥，在三角形中，设，则，设的倾斜角为，则由余弦定理得，解得，同理可得：，所以四边形的面积，解得或者（舍去），故.故答案为：9．已知曲线，则曲线上的点到直线的最短距离是________.【答案】【解析】∵，∴，设与曲线相切，且与直线平行的直线为，切点．则，解得，故切点为．曲线上的点到直线的最短距离．故答案为：．10．若圆以椭圆的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆的方程为__________．【答案】【解析】由椭圆方程可知则所以椭圆右焦点为长半轴为.根据题意可知，为圆心，为圆的半径.则圆的方程为.故答案为：.
专题18 直线与方程第一部分 真题分类1．（2020·浙江高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，由，解得，即．故选：D.2．（2020·全国高考真题（文））点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】由知直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为.故选：B.3．（2021·全国高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．【答案】【解析】由题意，，则，所以点和点，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案为：4．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.【答案】4.【解析】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.由，得，，即切点，则切点Q到直线的距离为，故答案为．5．（2021·江苏高考真题）已知函数是定义在上的偶函数，当时，(，且).又直线恒过定点A，且点A在函数的图像上.(1) 求实数的值；(2) 求的值；(3) 求函数的解析式.【答案】(1) ；(2) ；(3) .【解析】(1) 由直线过定点可得：，由，解得，所以直线过定点.又因为时，，所以，有，.(2) ，因为为偶函数，所以，所以. (3) 由(1)知，当时，.当时，，，又为偶函数，所以，综上可知，.6．（2019·江苏高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+（百米）.【解析】解法一：（1）过A作，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.因为PB⊥AB，所以.所以.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知，从而，所以∠BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设为l上一点，且，由（1）知，，此时；当∠OBP>90°时，在中，.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为.因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为，直线PB的方程为.所以P（−13，9），.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），所以线段AD：.在线段AD上取点M（3，），因为，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设为l上一点，且，由（1）知，，此时；当∠OBP>90°时，在中，.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当P（−13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）.第二部分 模拟训练一、单选题1．已知双曲线与函数的图象交于点，若函数的图象在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设的坐标为，由左焦点，所以函数的导数，则在处的切线斜率，即，得，则，设右焦点为，则，即，，∴双曲线的离心率.故选：D2．直线和双曲线的渐近线相交于，两点，则线段的长度为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】双曲线的渐近线为，设与相交于A点，与相较于B点，由解得，由解得，所以，故选：A.3．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】联立，解得，即交点为，又所求直线与直线垂直，则所求直线斜率为2，则所求直线方程为，即.故选：C.4．若圆与圆关于直线对称，则两圆的公切线有（ ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】B【解析】圆的圆心为，半径为2，设圆心关于直线的对称点为，则由，求得，故，可得圆的方程为，由于圆心距，满足：，故两圆相交，故而可得两圆公切线的条数为2条，故选：B.5．已知函数，若且，则的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，求导，令，得当时，，单调递减；当时，，单调递增；如下图所示：设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，，由图形可知，当直线与曲线相切时，取最大值，令，得，切点坐标为，此时，，，故选：B.6．直线被圆所截得的弦长为，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即，该圆圆心为，半径为直线截圆所得的弦长为，则圆心到直线的距离为，解得故选：A 二、填空题7．若直线的法向量与直线的方向向量垂直，则实数___________.【答案】【解析】直线方程即为，其法向量为，直线的方向向量为，由题意，解得．故答案为：．8．已知双曲线的左右焦点分别为、，直线与的左、右支分别交于点、（、均在轴上方）．若直线、的斜率均为，且四边形的面积为，则=___________．【答案】【解析】按题意作出图如下：由双曲线方程可得：，，因为直线、的斜率均为，所以直线∥，在三角形中，设，则，设的倾斜角为，则由余弦定理得，解得，同理可得：，所以四边形的面积，解得或者（舍去），故.故答案为：9．已知曲线，则曲线上的点到直线的最短距离是________.【答案】【解析】∵，∴，设与曲线相切，且与直线平行的直线为，切点．则，解得，故切点为．曲线上的点到直线的最短距离．故答案为：．10．若圆以椭圆的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆的方程为__________．【答案】【解析】由椭圆方程可知则所以椭圆右焦点为长半轴为.根据题意可知，为圆心，为圆的半径.则圆的方程为.故答案为：.
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