2023高考数学二轮真题与模拟训练26讲 专题10 等差数列解析

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专题10 等差数列第一部分 真题部分一、选择题1．（2021·北京高考真题）和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知条件可得，则，因此，.故选：B.2．（2021·北京高考真题）数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为（ ）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，则，，，所以n的最大值为11.故选：C.3．（2020·浙江高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．【答案】D【解析】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；对于B，由题意可知，，，∴，，，．∴，．根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；对于C，，当时，，C正确；对于D，，，．当时，，∴即；当时，，∴即，所以，D不正确．故选：D.4．（2019·全国高考真题（理））记为等差数列的前n项和．已知，则A． B． C． D．【答案】A【解析】由题知，，解得，∴，故选A．二、填空题5．（2021·江苏高考真题）已知等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的值是___________.【答案】4【解析】因为为等比数列，且公比为，所以，且，.因为，，成等差数列，所以，有，，解得.故答案为：.6．（2020·海南高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．【答案】【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：.7．（2020·全国高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则__________．【答案】【解析】是等差数列，且，设等差数列的公差根据等差数列通项公式：可得即：整理可得：解得：根据等差数列前项和公式：可得：.故答案为：.8．（2019·江苏高考真题）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____.【答案】16.【解析】由题意可得：，解得：，则.9．（2019·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.【答案】4.【解析】因，所以，即，所以．三、解答题10．（2021·天津高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【解析】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以，所以，所以；设等比数列的公比为，所以，解得（负值舍去），所以；（II）（i）由题意，，所以，所以，且，所以数列是等比数列；（ii）由题意知，，所以，所以，设，则，两式相减得，所以，所以.11．（2021·全国高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【解析】(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.12．（2021·全国高考真题）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题设可得又，， 故，即，即所以为等差数列，故.（2）设的前项和为，则，因为，所以.13．（2021·全国高考真题（理））已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】答案见解析【解析】选①②作条件证明③：设，则，当时，；当时，；因为也是等差数列，所以，解得；所以，所以.选①③作条件证明②：因为，是等差数列，所以公差，所以，即，因为，所以是等差数列.选②③作条件证明①：设，则，当时，；当时，；因为，所以，解得或；当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；当时，，不合题意，舍去.综上可知为等差数列.14．（2021·全国高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,,当n=1时，,当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴.15．（2019·江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．①求数列{bn}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①bn=n；②5.【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.由，得，解得．因此数列为“M—数列”.（2）①因为，所以．由得，则.由，得，当时，由，得，整理得．所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{bn}的通项公式为bn=n.②由①知，bk=k，.因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.当k=1时，有q≥1；当k=2，3，…，m时，有．设f（x）=，则．令，得x=e.列表如下：因为，所以．取，当k=1，2，3，4，5时，，即，经检验知也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5．16．（2019·北京高考真题（文））设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，即，解得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,所以；当或者时，取到最小值.第二部分 模拟训练1．若数列为等差数列，且，，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】故选：C2．记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：由已知可得，由，所以数列为等差数列，首项为8，公差为-2，所以，当n=4或5时， 取得最大值为20，因为有且只有两个正整数n满足，所以满足条件的和，因为，所以实数k的取值范围是．故选：C．3．已知为等差数列的前项和，，，则下列数值中最大的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】设等差数列的公差为，，，，解得，，，，可得是单调递增数列，所以在，，，中，最大的为．故选：D.4．在正项等比数列中...满足=.则（ ）A．4 B．3 C．5 D．8【答案】A【解析】由题意得公比，首项，∴，由，可得，解得,故选：A.5．已知数列的前n项和为，且，若，则数列的前n项和______.【答案】【解析】，当时，，当时，，满足，，，当为偶数时，，当为奇数时，，.故答案为：6．数列的前项和为，，数列满足，则数列的前10项和为______．【答案】65【解析】由知：，则，得，∴，而，∴，故数列的前10项和为，故答案为：65.7．设公差不为的等差数列的前项和为.若数列满足：存在三个不同的正整数，使得成等比数列，也成等比数列，则的最小值为___________.【答案】【解析】设，，由题意成等比数列，，所以，也成等比数列，，所以，所以，所以，，所以，．，，设，由勾形函数性质知在上递减，在上递增，又，，，所以的最小值为45．即的最小值为45．故答案为：45．8．已知定义在上的函数满足.设在上的最大值记作，为数列的前项和，则的最大值为___________.【答案】【解析】由题意，函数，当时，，此时，此时函数在上的最大值为，所以，当时，，此时，此时，所以，此时函数在上的最大值为，所以， 当时，，此时函数的最大值为，所以，当时，，当时，，所以的最大值为.故答案为：.9．设等差数列的前n项和为，首项，且.数列的前n项和为，且满足.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1），；（2）.【解析】解：（1）设数列的公差为d，且，又，则，所以，则；由可得，两式相减得，，又，所以，故是首项为1，公比为3的等比数列，所以.（2）设，记的前n项和为.则，，两式相减得：，，所以.10．已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设等差数列的前项和为，且，令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2） ．【解析】（1）当时，，；当时，由，①得，②①②得，，，也符合，因此，数列的通项公式为；（2）由题意，设等差数列的公差为，则，，解得，，；由（1）知，，故．11．已知数列满足恒成立.（1）若且，当成等差数列时，求的值；（2）若且，当、时，求以及的通项公式；（3）若，，，，设是的前项之和，求的最大值.【答案】（1） ；（2），；（3）【解析】（1）若且，所以，即，当成等差数列时，，所以，解得： ；（2），令可得，即，令可得，即所以，因为，所以，解得，由可得，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，，， ，以上式子累乘得：，所以，（3）由可得，所以，因为，所以，即，所以， 因为，所以，所以，因为，所以即，，因为，，所以，因为，所以，所以，可得，所以，令，设，，对称轴为，是开口向上的抛物线，在单调递增，所以时取得最大值，故最大值为，所以最大值为.xe(e，+∞)+0–f（x）极大值