2023高考数学二轮真题与模拟训练26讲 专题22 双曲线解析

专题22 双曲线

第一部分 真题分类

1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】双曲线的渐近线为，易知与直线平行，

所以.

故选：D.

2．（2021·天津高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【解析】设双曲线与抛物线的公共焦点为，

则抛物线的准线为，

令，则，解得，所以,

又因为双曲线的渐近线方程为，所以，

所以，即，所以，

所以双曲线的离心率.

故选：A.

3．（2021·北京高考真题）双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，则，，则双曲线的方程为，

将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，

因此，双曲线的方程为.

故选：A.

4．（2021·全国高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，由双曲线的定义可得，

所以，；

因为,由余弦定理可得，

整理可得，所以，即.

故选：A

5．（2020·天津高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，

又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．

故选：．

6．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线（a＞0）的离心率是 则a=

A． B．4 C．2 D．

【答案】D

【解析】 ∵双曲线的离心率 ， ，

∴ ，

解得 ，

故选D.

7．（2019·天津高考真题（文））已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】抛物线的准线的方程为，

双曲线的渐近线方程为，

则有

∴，，，

∴．

故选D．

8．（2019·全国高考真题（文））设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为

A． B．

C．2 D．

【答案】A

【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，

又，为以为直径的圆的半径，

为圆心．

，又点在圆上，

，即．

，故选A．

9．（2020·北京高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．

【答案】       

【解析】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，

双曲线的渐近线方程为，即，

所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为.

故答案为：；.

10．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．

【答案】4

【解析】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.

故答案为：4.

11．（2021·全国高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】因为，

所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，

设轨迹的方程为，则，可得，，

所以，轨迹的方程为；

（2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，

不妨直线的方程为，即，

联立，消去并整理可得，

设点、，则且.

由韦达定理可得，，

所以，，

设直线的斜率为，同理可得，

因为，即，整理可得，

即，显然，故.

因此，直线与直线的斜率之和为.

第二部分 模拟训练

一、单选题

1．已知双曲线：（，）的离心率为3，双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵，∴，设双曲线的焦点，其中

双曲线：的渐近线方程为：，即

所以焦点到渐近线的距离为，所以，

故双曲线的方程为：

故选：C.

2．若双曲线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为双曲线的渐近线方程为，

双曲线的渐近线方程为，

为使双曲线与双曲线有公共点，

只需，则离心率为.

故选：D.

3．已知平行于轴的一条直线与双曲线相交于，两点，，（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图，由题可知，是等边三角形，

，，

将点P代入双曲线可得，可得，

离心率.

故选：D.

4．已知点，．设点满足，且，，则的最大值为（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】C

【解析】解：因为，所以点在以，为焦点，实轴长为6，焦距为10的双曲线的右支上，则双曲线的方程为．

由题意知在圆上，在圆上，

如图所示，，，

则．

当是延长线与圆的交点，是与圆的交点时取等号．

故选：C．

5．设为坐标原点，直线与双曲线：的两条渐近线分别交于､两点，若的面积为，则的焦距的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意知：双曲线的渐近线方程为，

因为D，E分别为直线与双曲线C的渐近线的交点，

所以不妨设，，故，

又由，即，，

当且仅当等号成立，所以.

故选：B.

6．已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于A、B两点，若是等腰三角形，且，则的周长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由双曲线可得．

设，．则，，所以，．

因为是等腰三角形，且，

所以，即，所以，

所以，，

在中，由余弦定理得，

即，

所以，解得，

的周长

．

故选：A．

二、填空题

7．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为___________.

【答案】

【解析】如下图所示：

直线与双曲线的渐近线平行，

且点在直线上，由于圆与双曲线的右支没有公共点，

则直线与直线间的距离大于或等于，

即，，又，.

因此，该双曲线离心率的取值范围是.

故答案为：.

8．已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为__________．

【答案】

【解析】因为双曲线的离心率为，

所以，

解得，

所以双曲线C的渐近线方程为，

故答案为：

9．点是椭圆与双曲线的一个交点，点是椭圆的两个焦点，则的值为___________.

【答案】

【解析】对于椭圆：焦点在轴上，；

对于双曲线：焦点在轴上，；

则椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，

设，不妨设，

利用椭圆与双曲线的定义，

得到，

则，

所以，

则的值为；

故答案为：.

三、解答题

10．已知实数满足，方程表示双曲线.

（1）若，命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】解：（1）当，命题，解得：；

（2）∵，命题，

命题方程表示双曲线，则，即，

因为是的充分不必要条件，则是的真子集，

∴，等号不同时成立，解 得，

∴实数的取值范围为.

11．记到点与直线：的“有向距离”．

（1）分别求点与到直线：的“有向距离”，由此说明直线与两点、的位置关系．

（2）求证：到两条相交定直线（，不同时为零）的“有向距离”之积等于非零常数的动点的轨迹为双曲线．

（3）利用上述（2）结论证明：曲线为双曲线，并求其虚轴长．

【答案】（1）两点“有向距离”分别为，；说明两点、分别在直线的两侧，且点距离直线较远；（2）证明见解析；（3）证明见解析，虚轴长为．

【解析】（1）由，．

说明两点、分别在直线的两侧，且点距离直线较远

（2）证明：设两条相交的直线方程为（，不同时为零），动点，则有向距离之积为

即

即形式．显然所求动点的轨迹为双曲线．

反之，可以证明：双曲线上任意一点到两条渐近线的“有向距离”之积为常数．

证明：设双曲线方程上任意一点为，它到双曲线的两条渐近线的有向距离之积为

（3）因为方程可以变为，

所以方程表示为到轴和直线的有向距离之积为的轨迹，

因此曲线为双曲线，且该双曲线的两条渐近线为轴和直线．

因为方程可以变为，所以方程表示的曲线在第一、三象限内，双曲线实轴所在的直线为两条渐近线所夹角的平分线，于是双曲线的实轴所在的直线的方向向量为，斜率为，因此双曲线实轴所在的直线为．

联立方程

求得解得双曲线的顶点为，

因此．

故双曲线的实轴长为．

设过点作实轴的垂直线交轴为，则直线的方程为．

令，得．

因此，．

故双曲线的虚轴长为．