高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算课后作业题

课时跟踪检测 （四） 向量的数乘运算

层级(一)　“四基”落实练

1．(多选)下列各式计算正确的是          (　　)

A．(－7)×6a＝－42a

B．a－2b＋2(a＋b)＝3a

C．a＋b－(a＋b)＝0

D．(a－b)－3(a＋b)＝－2a－4b

解析：选ABD　根据向量数乘的运算律可验证A、B正确；C错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数；D正确，(a－b)－3(a＋b)＝a－b－3a－3b＝－2a－4b.

2．点C在直线AB上，且＝3，则等于            (　　)

A．－2 　　　　　　　　 B.

C．－    D．2

解析：选D　如图，＝3，所以＝2.

3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则

          (　　)

A．＝2     B．＝

C．＝3     D．2＝

解析：选B　因为D为BC的中点，所以＋＝2，所以2＋2＝0，所以＝－，所以＝.

4．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为                                                                                                                                (　　)

A．－1或3    B.

C．－1或4    D．3或4

解析：选A　因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.

5．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是 (　　)

A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e

B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0

C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)

D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b

解析：选AB　由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故A可以；λa－μb＝0，λa＝μb，又λ≠μ，故B可以；当x＝y＝0时，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故C不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D不可以．故选A、B.

6．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ＝________.

解析：因为A，B，C三点共线，所以存在实数k使＝k.因为＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，

所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]．因为a与b不共线，

所以解得λ＝2或λ＝－1.

答案：－1或2

7．已知点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________.

解析：因为C在线段AB上，且＝，所以与方向相同，与方向相反，且＝，＝，所以＝，＝－.

答案：　－

8．化简：

(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；

(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．

解：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.

(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b.

层级(二)　能力提升练

1.如图，在△ABC中，＝a，＝b， ＝3 ，＝ 2，则＝     (　　)

A．－a＋b   B.a－b

C.a＋b   D．－a＋b

解析：选D　由平面向量的三角形法则，

可知＝＋＝＋＝(－)－＝－＋＝－a＋b.故选D.

2．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.

解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，

所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒⇒k＝－4(因为方向相反，所以λ<0⇒k<0)．

答案：－4

3.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝    m＋n (m，n∈R)，则m－n＝________.

解析：由题意得＝3，则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，＝－＋，则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.

答案：－2

4．在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点．已知＝c， ＝d，试用c，d表示和.

解：如图，设＝a，＝b.∵M，N分别是DC，BC的中点，

∴＝b，

DM―→＝a.∵在△ADM和△ABN中，

①×2－②，得b＝(2c－d)，②×2－①，

得a＝(2d－c)．∴＝d－c，＝c－d.

5.如图所示，在△ABC中，D，F分别是边BC，AC的中点，且＝，

    ＝a，＝b.

(1)用a，b表示，， ，，；

(2)求证：B，E，F三点共线．

解：(1)如图，延长AD到G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC.则＝a＋b，

＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，

＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a＝(b－2a)．

(2)证明：由(1)知，＝，∴，共线．

又∵，有公共点B，∴B，E，F三点共线．

6．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.

(1)用e，f表示；

(2)求证：四边形ABCD为梯形．

解：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.

(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，

所以与方向相同，且的长度为的长度的2倍，

即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，

所以四边形ABCD是梯形．

层级(三)　素养培优练

1.

如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是_________．

解析：设＝k,0≤k≤1，则＝k(＋2)＝k[＋2(－)]＝2k－k.∵＝λ＋μ，且与不共线，∴∴t＝λ－μ＝3k.又0≤k≤1，∴当k＝1时，t取最大值3.故t＝λ－μ 的最大值是3.

答案：3

2.如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的    斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合，若＝x＋y，求x，y的值．

解：如图，先过B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，再过点A作AF⊥BE交BE于点F，由∠ACD＝45°，∠BCA＝90°，得∠BCE＝45°，则CE＝BE，

设CE＝BE＝mCD，则AF＝(m＋1)CD，BF＝(m－1)DA，AB＝2AD.

在Rt△AFB中，AF2＋BF2＝AB2，所以[(m＋1)CD]2＋[(m－1)DA]2＝(2   DA)2，解得m＝，故＝＋＋＝＋ ＋＝(1＋)＋，故x＝1＋，y＝.