人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用同步测试题

课时跟踪检测 （十） 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例

层级(一)　“四基”落实练

1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为      (　　)

A．v1－v2　　　　　　　　 B．v1＋v2

C．|v1|－|v2|   D.

解析：选B　由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．故选B.

2．在△ABC中，若·＋2＝0，则△ABC是       (　　)

A．锐角三角形  B．钝角三角形

C．直角三角形  D．等腰直角三角形

解析：选C　因为·＋2＝0，所以·(＋)＝0，

所以·＝0，所以⊥，

所以∠BAC是直角，△ABC是直角三角形．

3.如图所示，力F作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与

水平面成30°角，当小车向前运动10 m时，力F做的功为    (　　)

A．100 J  B．50 J

C．50 J  D．200 J

解析：选C　设小车的位移为s，则|s|＝10 m，

W＝F·s＝|F||s|·cos 30°＝10×10×＝50(J)．

4．若O是△ABC所在平面上一点，满足||2＋||2＝||2＋||2，则点O      (　　)

A．在过点C且与AB垂直的直线上

B．在角A的平分线所在的直线上

C．在边AB的中线所在的直线上

D．以上都不对

解析：选A　设＝a，＝b，＝c，

则＝－ ＝c－b，＝－＝a－c.

又||2＋||2＝||2＋||2，

∴|a|2＋|c－b|2＝|b|2＋|a－c|2，

化简可得b·c＝a·c，即(b－a)·c＝0，

∴⊥，即AB⊥OC，故选A.

5．(多选)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的三个任意的非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于                                                                                                                (　　)

A．以a，b为邻边的平行四边形的面积

B．以b，c为邻边的平行四边形的面积

C．以a，b为两边的三角形面积的2倍

D．以b，c为两边的三角形面积

解析：选AC　设b与c的夹角为α，a与b的夹角为θ，则|b·c|＝|b|·|c||cos α|＝| b||a||cos(90°±θ)|＝|b||a|sin θ，故选A、C.

6．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为________．

解析：设所用时间长短为t，则＝tv，

即(3,6)＝t(1,2)，所以t＝3.

答案：3

7．如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos∠DOE的值为________．

解析：∵＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴||＝，||＝，·＝2＋2＝1，∴cos∠DOE＝＝.

答案：

8．已知在静水中船速为5 m/s，且知船速大于水速，河宽为20 m，船从A点垂直到达对岸的B点用的时间为5 s，试用向量法求水流的速度大小．

解：如图，设水流的速度为v水，船在静水中的速度为v0，船的实际

行驶速度为v，

则|v0|＝5，|v|＝＝4.

∵v⊥v水，∴|v水|＝＝3，

即水流的速度为3 m/s.

层级(二)　能力提升练

1．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的                                                         (　　)

A．重心、外心、垂心  B．重心、外心、内心

C．外心、重心、垂心  D．外心、重心、内心

解析：选C　由||＝||＝||，知点O为△ABC的外心．如图，D为BC的中点，因为＋＋＝0，所以＋＝－.由向量加法的平行四边形法则，知||＝2|ND―→|，故点N为△ABC的重心．因为·＝·，所以(－)·＝·＝0.同理·＝0，·＝0，所以点P为△ABC的垂心．

2．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝________.

解析：建立如图的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2，0)．设AD＝a，

则C(1, a)，＝(1, a)，＝(－1, a)．

因为AC⊥BC，所以⊥. 所以·＝－1＋a2＝0，所以a＝1(负值舍去)．

答案：1

3．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状一定是________．

解析：因为(＋－2)·(－)＝[(－)＋(－)]·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－||2＝0，所以||＝||，所以△ABC是等腰三角形．

答案：等腰三角形

4．已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．利用向量方法证明：AC⊥BD.

证明：因为＝＋，＝－，所以·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0.

所以⊥，即AC⊥BD.

5．已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g取10 m/s2)

解：如图所示，设木块的位移为s，则WF＝F·s＝|F||s|cos 30°＝

50×20×＝500(J)．将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1

的大小为|F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，因此Wf＝f·s＝|f||s|·cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．

即F和f所做的功分别为500 J和－22 J.

层级(三)　素养培优练

1.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°取0.6)，高为2 m的斜面上，质量为

5 kg 的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5 倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为_________J，重力所做的功为_________J(g取9.8 m/s2)．

解析：物体m的位移大小为|s|＝＝(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cos 90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J)．

答案：0　98

2.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC

上，且BD＝DC.求：

(1)AD的长；

(2)∠DAC的大小．

解：(1)设＝a，＝b，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.

∴||2＝2＝2＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3.

故AD＝.

(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量与的夹角．