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2022-2023学年广东省清远市中考数学专项突破仿真模拟试题（3月4月）含解析
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这是一份2022-2023学年广东省清远市中考数学专项突破仿真模拟试题（3月4月）含解析，共53页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省清远市中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一项是正确的）
1. 以“和谐之旅”为主题火炬接力，传递总里程约为137 000千米，这个数据用科学记数法可表示为（ ）
A. 1.37×103千米 B. 1.37×104千米 C. 1.37×105千米 D. 1.37×106千米
2. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
3. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A. B. 且
C. 且 D.
4. 设a是9的平方根，B=（）2，则a与B的关系是（ ）
A. a=±B B. a=B C. a=﹣B D. 以上结论都没有对
5. 某超市购进了一批没有同价格的皮鞋，下表是该超市在近几年统计的平均数据，要使该超市皮鞋收入，该超市应多购哪种价位的皮鞋（ ）
皮鞋价（元）
160
140
120
100
百分率
60%
75%
83%
95%
A. 160元 B. 140元 C. 120元 D. 100元
6. 点P（x﹣1，x+1）没有可能在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7. 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（ ）
A. 6π B. 4π C. 8π D. 4
8. 对于二次函数，当时的函数值总是非负数，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D. 或
9. 如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）
A. S1＜S2＜S3 B. S2＜S1＜S3 C. S1＜S3＜S2 D. S3＜S2＜S1
10. 若，则x的取值范围（ ）
A. B. 或 C. 或 D. 以上答案都没有对
11. 小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r=5，AC=8，则co的值是( )
A. B. C. D.
二、填 空 题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=_____．
14. “红星”商场对商品进行清仓处理，全场商品一律八折，小亮在该商场购买了一双运动鞋，比按原价购买该鞋节省了16元，他购买该鞋实际用_____元．
15. 如图，依次以三角形、四边形、…、n边形的各顶点为圆心画半径为l的圆，且圆与圆之间两两没有相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为，四边形与各圆重叠部分面积之和记为，…．n边形与各圆重叠部分面积之和记为．则的值为_________．(结果保留π)
16. 如图，矩形ABCD的对角线BD坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为_____．
三、解 答 题（本题满分52分）（本题共7题，其中17题5分，18题6分，19题8分，20题6分，21题9分，22题9分，23题9分，共52分）
17. 计算：|﹣|+（π﹣2017）°﹣2sin30°+3﹣1．
18. (y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2＝(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2．
求值．
19. 已知矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=3．
操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．
探究：（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA1和△FDC全等吗？如果全等，请给出证明，如果没有全等，请说明理由；
（2）如图2，若点B与CD中点重合，请你判断△FCB1、△B1DG和△EA1G之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果和相应的相似比；
（3）如图2，请你探索，当点B落在CD边上何处，即B1C的长度为多少时，△FCB1与△B1DG全等．
20. 南岗区某中学王老师统计了本校九年级一班学生参加体育达标测试的报名情况，并把统计的数据绘制成了没有完整的条形统计图和扇形统计图．根据图中提供的数据回答下列问题：
（1）该学校九年级一班参加体育达标测试的学生有多少人？
（2）补全条形统计图的空缺部分；
（3）若该年级有1200名学生，估计该年级参加仰卧起坐达标测试有多少人？
21. 某商场试销一种成本为50元/件的T恤，规定试销期间单价没有低于成本单价，又获利没有得高于50%．经试销发现，量y(件)与单价x(元/件)符合函数关系，试销数据如下表：
售价(元/件)
…
55
60
70
…
销量(件)
…
75
70
60
…
(1)求函数y=kx+b的表达式；
(2)若该商场获得利润为ω元，试写出利润ω与单价x之间的关系式；单价定为多少时，商场可获得利润，利润是多少？
22. 已知，如图，点M在x轴上，以点M为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点，交x轴于C（x1，0）、D（x2，0）两点，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）=（x+2）2的两根．
（1）求点C、D及点M的坐标；
（2）若直线y=kx+b切⊙M于点A，交x轴于P，求PA长；
（3）⊙M上是否存在这样的点Q，使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点的坐标，并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式；若没有存在，请说明理由．
23. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为点Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）探索：线段BM上是否存在点P，使PMC为等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果没有存在，请说明理由．
2022-2023学年广东省清远市中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一项是正确的）
1. 以“和谐之旅”为主题火炬接力，传递总里程约为137 000千米，这个数据用科学记数法可表示为（ ）
A. 1.37×103千米 B. 1.37×104千米 C. 1.37×105千米 D. 1.37×106千米
【正确答案】C
【详解】137 000=1.37×105千米,故选C.
2. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
【正确答案】A
【分析】根据同底数幂相乘，底数没有变指数相加；幂的乘方，底数没有变指数相乘；同底数相除，底数没有变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、，正确；
B、应为，故本选项错误；
C、a与没有是同类项，没有能合并，故本选项错误
D、应为，故本选项错误．
故选A．
本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，没有是同类项的一定没有能合并．
3. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A. B. 且
C. 且 D.
【正确答案】C
【详解】,解得x≥﹣1且x≠ . 故选C.
4. 设a是9的平方根，B=（）2，则a与B的关系是（ ）
A. a=±B B. a=B C. a=﹣B D. 以上结论都没有对
【正确答案】A
【详解】由题意得a=,B=3, a=±B ,故选A.
5. 某超市购进了一批没有同价格的皮鞋，下表是该超市在近几年统计的平均数据，要使该超市皮鞋收入，该超市应多购哪种价位的皮鞋（ ）
皮鞋价（元）
160
140
120
100
百分率
60%
75%
83%
95%
A. 160元 B. 140元 C. 120元 D. 100元
【正确答案】B
【详解】本题考查的是统计的应用
此题的实质是求每种皮鞋的额，再比较即可．
设每种皮鞋a只．四种皮鞋的额分别为：
；
；
；
．
可见应多购140元的皮鞋．
故选B．
6. 点P（x﹣1，x+1）没有可能在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】D
【详解】本题可以转化为没有等式组的问题，看下列没有等式组哪个无解，
（1） x-1＞0, x+1＞0 ，解得x＞1，故x-1＞0，x+1＞0，点在象限；
（2） x-1＜0 ,x+1＜0 ，解得x＜-1，故x-1＜0，x+1＜0，点在第三象限；
（3） x-1＞0 ,x+1＜0 ，无解；
（4） x-1＜0 ,x+1＞0 ，解得-1＜x＜1，故x-1＜0，x+1＞0，点在第二象限．
故点P没有能第四象限，故选D．
7. 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（ ）
A. 6π B. 4π C. 8π D. 4
【正确答案】A
【分析】根据题意，可判断出该几何体为圆柱．且已知底面半径以及高，易求表面积．
【详解】解：根据题目的描述，可以判断出这个几何体应该是个圆柱，且它的底面圆的半径为1，高为2，
它的表面积=2π×2+π×12×2=6π，
故选：A．
8. 对于二次函数，当时的函数值总是非负数，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D. 或
【正确答案】A
【分析】要满足0＜x≤2时的函数值总是非负数，需要使得在这个范围内的函数值的最小值为非负数即可.需要根据对称轴与0＜x≤2的三种位置关系进行分类，分别找到最小值令其为非负数求出a的范围，将每种情况的范围合在一起即为最终的结果.
【详解】解：对称轴为：x=﹣=﹣，y=1﹣，
分三种情况：
①当对称轴x＜0时，即﹣＜0，m＞0，此时y随x的增大而增大，x=0时，y=1，所以0＜x≤2时都有y>1，所以符合题意.
②当0≤x＜2时，0≤﹣＜2，﹣4＜m≤0，此时函数最小值在顶点处取到，则只需当1﹣≥0，即﹣2≤m≤2，
∴当﹣2≤m≤0时，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，
③当对称轴﹣≥2时，即m≤﹣4， x=2时，y值最小．令y≥0，即4+2m+1≥0，
解得：m≥﹣，又∵m≤﹣4，此种情况m无解；
综上所述：若0＜x≤2时的函数值总是非负数，则m≥-2.
9. 如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）
A. S1＜S2＜S3 B. S2＜S1＜S3 C. S1＜S3＜S2 D. S3＜S2＜S1
【正确答案】B
【详解】解：作OD⊥BC交BC与点D，
∵∠COA=60°，
∴∠COB=120°，则∠COD=60°．
∴S扇形AOC==.
S扇形BOC=.
在三角形OCD中，∠OCD=30°，
∴OD=，CD=，BC=R，
∴S△OBC=，S弓形==，
,
∴S2＜S1＜S3．
故选B．
10. 若，则x的取值范围（ ）
A. B. 或 C. 或 D. 以上答案都没有对
【正确答案】C
【分析】在同一平面直角坐标系中作出反比例函数与、的图象，观察图象可知，反比例函数落在直线下方且在直线上方的部分所对应的x的取值，即为所求的x的取值范围．
【详解】作出函数与、的图象，
由图象可知交点为，
当或时，有．
故选C．
本题考查了反比例函数的性质：
反比例函数的图象是双曲线；
当，双曲线的两支分别位于、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
11. 小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题解析：∵如图所示的正三角形，
∴∠CAB=60°，
设三角形的边长是a，
∴AB=a，
∵⊙O是内切圆，
∴∠OAB=30°，∠OBA=90°，
∴BO=tan30°AB=a，
则正三角形的面积是a2，而圆的半径是a，面积是a2，
因此概率是a2÷a2=π．
故选C．
考点：几何概率．
12. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r=5，AC=8，则co的值是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°．
Rt△ACD中，AD=2r=10，AC=8．
根据勾股定理，得：
CD=．.
∴cosD=.
∵∠B=∠D，
∴co=cosD=,
故选B．
二、填 空 题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=_____．
【正确答案】（y﹣1）2（x﹣1）2．
【详解】解：令x+y=a，xy=b，
则（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）
=（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a）
=b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b
=（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1
=（b﹣a）2+2（b﹣a）+1
=（b﹣a+1）2；
即原式=（xy﹣x﹣y+1）2=[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2=[（y﹣1）（x﹣1）]2=（y﹣1）2（x﹣1）2．
故答案为（y﹣1）2（x﹣1）2．
点睛：因式分解的方法：（1）提取公因式法.ma+mb+mc=m(a+b+c).
（2）公式法:完全平方公式，平方差公式.
（3）十字相乘法
因式分解的时候，要注意整体换元法的灵活应用，训练将一个式子看做一个整体,利用上述方法因式分解的能力.
14. “红星”商场对商品进行清仓处理，全场商品一律八折，小亮在该商场购买了一双运动鞋，比按原价购买该鞋节省了16元，他购买该鞋实际用_____元．
【正确答案】64
【详解】解：设实际售价是x元,
则：0.8（x+16）=x,
解得：x=64，
故填64．
15. 如图，依次以三角形、四边形、…、n边形的各顶点为圆心画半径为l的圆，且圆与圆之间两两没有相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为，四边形与各圆重叠部分面积之和记为，…．n边形与各圆重叠部分面积之和记为．则的值为_________．(结果保留π)
【正确答案】44π
【详解】三角形与各圆重叠部分面积之和==；
四边形与各圆重叠部分面积之和==π；
…….所以
16. 如图，矩形ABCD的对角线BD坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为_____．
【正确答案】4
【详解】试题分析：设点C的坐标为（x，y），则B（－2，y）D（x，－2），设BD的函数解析式为y=mx，则y=－2m，x=－，∴k=xy=（－2m）·（－）=4．
考点：求反比例函数解析式．
三、解 答 题（本题满分52分）（本题共7题，其中17题5分，18题6分，19题8分，20题6分，21题9分，22题9分，23题9分，共52分）
17. 计算：|﹣|+（π﹣2017）°﹣2sin30°+3﹣1．
【正确答案】
【分析】化简值、0次幂和负指数幂，代入30°角的三角函数值，然后按照有理数的运算顺序和法则进行计算即可．
【详解】原式=+1﹣2×+=．
本题考查了实数的运算，用到的知识点主要有值、零指数幂和负指数幂，以及角的三角函数值，熟记相关法则和性质是解决此题的关键．
18. (y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2＝(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2．
求的值．
【正确答案】1
【分析】通过已知等式化简得到未知量的关系，代入目标式子求值．
【详解】∵（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
∴（y﹣z）2﹣（y+z﹣2x）2+（x﹣y）2﹣（x+y﹣2z）2+（z﹣x）2﹣（z+x﹣2y）2=0，
∴（y﹣z+y+z﹣2x）（y﹣z﹣y﹣z+2x）+（x﹣y+x+y﹣2z）（x﹣y﹣x﹣y+2z）+（z﹣x+z+x﹣2y）（z﹣x﹣z﹣x+2y）=0，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz=0，
∴（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2=0．
∵x，y，z均为实数，且（x﹣y）2≥0，（x﹣z）2≥0，（y﹣z）2≥0，
∴（x﹣y）2=0，（x﹣z）2=0，（y﹣z）2=0．
∴x=y=z．
∴．
本题考查了等式的化简、乘法公式的应用，有一定的难度，难点是恒等变形，灵活运用完全平方公式转化为三个非负数的和为零是关键．
19. 已知矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=3．
操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．
探究：（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA1和△FDC全等吗？如果全等，请给出证明，如果没有全等，请说明理由；
（2）如图2，若点B与CD的中点重合，请你判断△FCB1、△B1DG和△EA1G之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果和相应的相似比；
（3）如图2，请你探索，当点B落在CD边上何处，即B1C的长度为多少时，△FCB1与△B1DG全等．
【正确答案】（1）全等．（2）△FCB1与△B1DG相似，相似比为4：3．（3）当B1C=3﹣时，△FCB1与△B1DG全等．
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，由折叠的性质可得：∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90°，CD=A1D，然后利用同角的余角相等，可证得∠A1DE=∠CDF，则可利用ASA证得△EDA1和△FDC全等；
（2）易得△B1DG和△EA1G全等，△FCB1与△B1DG相似，然后设FC=x，由勾股定理可得方程x2+12=（3-x）2，解此方程即可求得答案；
（3）设B1C=a，则有FC=B1D=2-a，B1F=BF=1+a，在直角△FCB1中，可得（1+a）2=（2-a）2+a2，解此方程即可求得答案．
【详解】（1）全等．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，
由题意知：∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90°，CD=A1D，
∴∠A1=∠C=90°，∠CDF+∠EDF=90°，
∴∠A1DE=∠CDF，
在△EDA1和△FDC中，
,
∴△EDA1≌△FDC（ASA）；
（2）△B1DG和△EA1G全等，△FCB1与△B1DG相似，
设FC=x，
则B1F=BF=3-x，B1C=DC=1，
∴x2+12=（3-x）2，
∴x=，
∴△FCB1与△B1DG相似，相似比为4：3．
（3）△FCB1与△B1DG全等．
设B1C=a，则有FC=B1D=2-a，B1F=BF=1+a，
在直角△FCB1中，可得（1+a）2=（2-a）2+a2，
整理得a2-6a+3=0，
解得：a=3-（另一解舍去），
∴当B1C=3-时，△FCB1与△B1DG全等．
考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形思想与方程思想的应用．
20. 南岗区某中学的王老师统计了本校九年级一班学生参加体育达标测试的报名情况，并把统计的数据绘制成了没有完整的条形统计图和扇形统计图．根据图中提供的数据回答下列问题：
（1）该学校九年级一班参加体育达标测试的学生有多少人？
（2）补全条形统计图的空缺部分；
（3）若该年级有1200名学生，估计该年级参加仰卧起坐达标测试的有多少人？
【正确答案】（1）50人；（2）补图见解析；（3）480人.
【详解】试题分析：（1）根据坐位体前屈和仰卧起坐的总人数和比例得出学生人数；
（2）根据总人数求出立定跳远的人数，进而可补全统计图；
（3）根据仰卧起坐的达标百分比求出全年级达标人数.
试题解析：（1）（20+25）÷（1-10%）=50（人）
答：该学校九年一班参加体育达标测试的学生有50人．
（2）立定跳远的人数为50-25-20=5，补全统计图如下：
（3）1200×40%=480（人）
答：估计该年级参加仰卧起坐达标测试的约有480人．
考点：条形统计图和扇形统计图.
21. 某商场试销一种成本为50元/件的T恤，规定试销期间单价没有低于成本单价，又获利没有得高于50%．经试销发现，量y(件)与单价x(元/件)符合函数关系，试销数据如下表：
售价(元/件)
…
55
60
70
…
销量(件)
…
75
70
60
…
(1)求函数y=kx+b的表达式；
(2)若该商场获得利润为ω元，试写出利润ω与单价x之间的关系式；单价定为多少时，商场可获得利润，利润是多少？
【正确答案】（1）y=﹣x+130；（2）x=75时，w值为1375元．
【详解】试题分析：（1）可根据图表运用待定系数法来确定函数的关系式．
（2）因为商场获得的利润=单价×量，可据此列出w和x的关系式，然后根据函数的性质以及自变量的取值范围来确定所求的．
试题解析：（1）设y=kx+b，由题意：
解得
∴y=-x+130
（2）w=（x-50）（130-x）=-（x-90）2+1600
但是50≤x≤75，且在此范围内w随x增大而增大，
所以当x=75时，w
当x=75时，w值为1375元．
本题主要考查用待定系数法求函数关系式，并会用函数研究实际问题．注意自变量的取值范围没有能遗漏．
22. 已知，如图，点M在x轴上，以点M为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点，交x轴于C（x1，0）、D（x2，0）两点，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）=（x+2）2的两根．
（1）求点C、D及点M的坐标；
（2）若直线y=kx+b切⊙M于点A，交x轴于P，求PA的长；
（3）⊙M上是否存在这样的点Q，使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点的坐标，并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】(1) C（﹣1，0），D（4，0），（1.5，0）；(2);(3) 过A、C、Q三点的抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．
【详解】解：（1）x（2x+1）=（x+2）2整理得，x2﹣3x﹣4=0，
解得x1=﹣1，x2=4，
∴点C、D的坐标是C（﹣1，0），D（4，0），
=1.5，
∴点M的坐标是（1.5，0），
故答案为C（﹣1，0），D（4，0），（1.5，0）；
（2）如图，连接AM，则AM=2.5，
在Rt△AOM中，AO==2，
∴点A的坐标是（0，2），
∵PA与⊙M相切，
∴AM⊥PA，
∴∠MAO+∠PAO=90°，
又∵∠AMO+∠MAO，
∴∠AMO=∠PAO，
在△AOM与△POA中，，
∴△AOM∽△POA，
∴,
即,
解得PA=；
（3）存在．
如图，连接AC、AD，
∴∠CAD=90°，
在△ACO与△DCA中，，
∴△ACO∽△DCA，
∴存在点Q，与点D重合时，点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似，
此时，设过点A、C、Q的抛物线是y=ax2+bx+c，
则,
解得,
∴过A、C、Q三点的抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．
23. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为点Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）探索：线段BM上是否存在点P，使PMC为等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）；（2）S四边形ACPQ；（3）存，，，
【分析】（1）根据题意得出点B和点C的坐标，将两点坐标代入即可得出函数解析式；
（2）根据（1）中函数解析式得出点M的坐标，利用待定系数法求BM解析式，根据OQ＝m设出点P的坐标，从而得出PQ的长度，再根据得出S关于m的函数解析式；再根据点P在线段MB上得出m的取值范围；
（3）讨论①当时，②当时，和③当时实际情况，分别根据勾股定理列出方程，得出点P的坐标．
【详解】解：（1）∵，
∴，，
代入中，得，
解得，
∴该二次函数的解析式为；
（2），
∴，
解得
.
设直线解析式为，
则有解得
∴直线的解析式为.
∵轴，，
∴点的坐标为，
；
（3）线段上存在点，，，使为等腰三角形.理由如下：
设点的坐标为，由题意可得，，，
①当时，，
整理得，
解得，（舍去），经检验是方程的根
当，，
此时；
②当时，，
整理得，
∵△=40，
∴，
解得，（舍去），经检验是方程的根
此时；
③当时，，
整理得，
解得，经检验是方程的根
此时；
综上所述，线段上存在点，，，
使为等腰三角形．
本题考查二次函数与几何综合题型，利用待定系数法求函数解析式；求坐标系中四边形的面积，需分割三角形与梯形来解，注意动点所在的位置决定了自变量的取值范围；等腰三角形分类考虑，可以用勾股定理，构造方程是解题关键．
2022-2023学年广东省清远市中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选：（本大题共10个小题,每小题3分,共30分）
1. －5的倒数是
A. B. 5 C. － D. －5
2. （11·肇庆）如图1是一个几何体的实物图，则其主视图是( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. a2•a3＝a6 B. 2a2+a2＝3a4
C. a6÷a3＝a2 D. (ab2)3＝a3b6
4. 数据35,38,37,36,37,36,37,35的众数是（）
A. 35. B. 36 C. 37 D. 38
5. 如图，AB∥CD，∠A+∠E=75º，则∠C（ ）
A. 60 º B. 65 º C. 75 º D. 80 º
6. 若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠NCE=∠AOD，作图痕迹中，弧FG是( )
A. 以点C为圆心，OD为半径的弧
B. 以点C为圆心，DM为半径的弧
C. 以点E为圆心，OD为半径的弧
D. 以点E为圆心，DM为半径弧
8. 如图，在直角坐标系中，点A在函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y=（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（ ）
A. 2 B. C. 4 D. 4
9. 如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长等于（ ）
A. B. C. D.
10. 运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8.则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 若代数式有意义，则x的取值范围是________．
12. 同分母的分式相加减,分母________,把分子________,即: =________.
13. 在一个没有透明的口袋中装有5个红球和3个白球，他们除颜色外其他完全相同，任意摸出一个球是白球的概率为________．
14. 如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（没有重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是__________．
15. 如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，求切线长PQ的最小值.
16. 如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在 轴上，B在第二象限.△ABO沿 轴正方向作无滑动的翻滚，经次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________；翻滚2017次后AB中点M的路径长为________.
三、解 答 题（本题有8小题，共72分）
17. 计算：
18. 解没有等式组 ，并求它的整数解．
19. 如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D．连结OD，作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE=12，BE=9,
(1)求证：△COD∽△CBE；
(2)求半圆O的半径的长
20. 根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中产业，第二产业，第三产业所占比例如图2所示．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求2016年产业生产总值（到1亿元）
（2）2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几？（到1%）
（3）若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率（到1%）
21. 某楼盘一楼是车库（暂没有），二楼至二十三楼均为商品房（对外）.商品房售价如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元.已知商品房每套面积均为120平方米.开发商为购买者制定了两种购房：
一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30％），再办理分期付款（即贷款）.
二：购买者若付清所有房款，则享受8％的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a元）
（1）请写出每平方米售价y（元/米²）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式；
（2）小张已筹到120000元，若用一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢；
（3）有人建议老王使用二购买第十六层，但他认为此还没有如没有免收物业管理费而直接享受9％的优惠.你认为老王的说法一定正确吗？请用具体的数据阐明你的看法．
22. 如图，直线y=x+与x轴交于点A，与y轴交于点C，以AC为直径作⊙M，点D是劣弧AO上一动点（D点与A，C没有重合）．抛物线y=－x²+bx+c点A、C，与x轴交于另一点B，
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，是︱PA—PC︱的值；若存在，求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由．
（3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使FG=2，试探究当点D运动到何处时，直线GA与⊙M相切，并请说明理由．
23. 问题背景
如图1，在正方形ABCD内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点没有重合）
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．
24. 在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（1）如图1，当t=3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果没有变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
2022-2023学年广东省清远市中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选：（本大题共10个小题,每小题3分,共30分）
1. －5的倒数是
A. B. 5 C. － D. －5
【正确答案】C
【分析】若两个数乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【详解】解：-5的倒数是．
故选C．
2. （11·肇庆）如图1是一个几何体的实物图，则其主视图是( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【详解】解：从正面看可得到一个矩形和一个下底和矩形相邻的梯形的组合图，
故选C．
3. 下列运算正确的是( )
A. a2•a3＝a6 B. 2a2+a2＝3a4
C. a6÷a3＝a2 D. (ab2)3＝a3b6
【正确答案】D
【详解】【分析】根据同底数幂乘法、合并同类项、同底数幂除法、积的乘方的运算法则逐项进行计算即可得.
【详解】A. a2•a3=a5，故A选项错误；
B. 2a2+a2=3a2，故B选项错误；
C. a6÷a3=a3，故C选项错误；
D. （ab2）3=a3b6，故D选项正确，
故选D.
本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方等，熟练掌握各运算法则是解题的关键.
4. 数据35,38,37,36,37,36,37,35的众数是（）
A. 35. B. 36 C. 37 D. 38
【正确答案】C
【详解】众数是在一组数据中，出现次数至多的数据，这组数据中，出现次数至多的是37，故这组数据的众数为37．故选C．
5. 如图，AB∥CD，∠A+∠E=75º，则∠C为（ ）
A. 60 º B. 65 º C. 75 º D. 80 º
【正确答案】C
【详解】如图，
∵∠A+∠E=75 º，
∴根据三角形内角和等于1800，得∠AFE=105 º．
∵∠AFE与∠BFC是对顶角，∴∠AFE=∠BFC=105 º．
∵AB∥CD，
∴根据平行线的同旁内角互补的性质，得∠C=1800－∠BFC=75 º．
故选C．
6. 若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：令x+1=m，y﹣2=n，∴方程组可化为．∵方程组的解是，∴x+1=2，y﹣2=﹣1，解得：．故选A．
点睛：此类题目较复杂，解答此类题目时要注意运用整体思想，用换元法求解．
7. 如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠NCE=∠AOD，作图痕迹中，弧FG是( )
A. 以点C为圆心，OD为半径的弧
B. 以点C为圆心，DM为半径的弧
C. 以点E为圆心，OD为半径的弧
D. 以点E为圆心，DM为半径的弧
【正确答案】D
【分析】根据作一个角等于已知角的步骤即可得．
【详解】解：作图痕迹中，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧，
故选：D．
本题主要考查作图-尺规作图，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．
8. 如图，在直角坐标系中，点A在函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y=（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（ ）
A. 2 B. C. 4 D. 4
【正确答案】C
【分析】解：设，可求出，由于对角线垂直，计算对角线乘积的一半即可．
【详解】设A（a，），可求出D（2a，），
∵AB⊥CD，
∴S四边形ACBD=AB∙CD=×2a×=4，
故选：C．
本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是设出点A和点B的坐标．
9. 如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由矩形的性质可得AB=CD=4，BC=AD=6，AD∥BC，由平行线的性质可折叠的性质可得∠DAC=∠ACE，可得AF=CF，由勾股定理即可得求DF的长．
【详解】∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD=4，BC=AD=6，AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
根据折叠的性质得：∠ACB=∠ACE，
∴∠DAC=∠ACE，
∴AF=CF，
设DF=，则CF=AF=AD-DF=，
在Rt△CDF中，，
∴，
解得：，
即DF=，
故选：A．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理求DF的长是本题的关键．
10. 运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8.则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】【分析】作直径CG，连接OD、OE、OF、DG，则根据圆周角定理求得DG的长，证明DG=EF，则S扇形ODG=S扇形OEF，然后根据三角形的面积公式证明S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，则S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆，即可求解．
【详解】作直径CG，连接OD、OE、OF、DG．
∵CG是圆的直径，
∴∠CDG=90°，则DG==8，
又∵EF=8，
∴DG=EF，
∴，
∴S扇形ODG=S扇形OEF，
∵AB∥CD∥EF，
∴S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，
∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=π×52=，
故选A．
本题考查扇形面积的计算，圆周角定理．本题中找出两个阴影部分面积之间的联系是解题的关键．
二、填 空 题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 若代数式有意义，则x的取值范围是________．
【正确答案】
【分析】根据二次根式及分式成立的条件列没有等式求解．
【详解】解：因为有意义
所以
所以
故
本题考查二次根式和分式成立的条件，掌握基本概念是解题关键．
12. 同分母分式相加减,分母________,把分子________,即: =________.
【正确答案】 ①. 没有变， ②. 相加减， ③.
【详解】【分析】根据同分母的分式加减法法则进行填空即可得.
【详解】同分母的分式相加减，分母没有变，把分子相加减，
即: = ，
故答案为没有变，相加减，.
本题考查了同分母分式加减法法则，熟记法则内容是解题的关键.
13. 在一个没有透明的口袋中装有5个红球和3个白球，他们除颜色外其他完全相同，任意摸出一个球是白球的概率为________．
【正确答案】
【详解】解：∵在一个没有透明的口袋中装有5个红球和3个白球，
∴任意从口袋中摸出一个球来，P（摸到白球）= =.
14. 如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（没有重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是__________．
【正确答案】a+6．
【详解】解：拼成的长方形的面积=（a+3）2﹣32
=（a+3+3）（a+3﹣3）
=a（a+6），
∵拼成的长方形一边长为a，
∴另一边长是a+6．
故6．
15. 如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，求切线长PQ的最小值.
【正确答案】．
【分析】连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线时，PQ最小，根据全等三角形的性质得到AP＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】如图，作AP⊥直线，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，
∵A的坐标为（−1，0），
设直线与x轴，y轴分别交于C，B，
∴B（0，3），C（4，0），
∴OB＝3，AC＝5，
∴BC＝
∴AC＝BC，
在△APC与△BOC中，
，
∴△APC≌△BOC，
∴AP＝OB＝3，
∴PQ＝．
∵PQ2＝PA2−1，此时PA最小，所以此时切线长PQ也最小，最小值为.
【点晴】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
16. 如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在 轴上，B在第二象限.△ABO沿 轴正方向作无滑动的翻滚，经次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________；翻滚2017次后AB中点M的路径长为________.
【正确答案】 ①. （5， ）； ②. ()π
【详解】【分析】如图,作B3E⊥x轴于E，易知OE=5，B3E=，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M的运动路径为=，由2017÷3=672…1，可知翻滚2017次后AB中点M的路径长为672•+=．
【详解】如图,作B3E⊥x轴于E，易知OE=5，B3E=，
∴B3（5，），
观察图象可知三次一个循环，一个循环点M的运动路径为=，
由2017÷3=672…1，可知翻滚2017次后AB中点M的路径长为
672•+=，
故（5，），．
本题考查轨迹、规律题、弧长公式、等边三角形的性质等知识，解题的关键是从图形的翻滚中找到规律，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解 答 题（本题有8小题，共72分）
17. 计算：
【正确答案】-1- .
【详解】【分析】按顺序先分别进行二次根式的化简、值的化简、0次幂的计算、角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】原式=
=
=.
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握0次幂的运算法则、角的三角函数值是解本题的关键.
18. 解没有等式组 ，并求它的整数解．
【正确答案】1、2、3
【详解】【分析】先分别求出每一个没有等式的解集，然后确定出没有等式组的解集，确定出整数解即可.
【详解】解没有等式x+6≥4x﹣3，得：x≤3，
解没有等式 ，得：x＞，
则没有等式组的解集为 ＜x≤3，
则没有等式组的整数解为1、2、3 .
本题考查了解一元没有等式组，熟知没有等式组解集的确定方法“取大，小小取小，大小小大中间找，小小无处找”是解题的关键.
19. 如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D．连结OD，作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE=12，BE=9,
(1)求证：△COD∽△CBE；
(2)求半圆O的半径的长
【正确答案】（1）见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）证明DO||BE,则△COD∽△CBE.（2）利用（1）对应边成比例，求半径的长.
试题解析：
（1）解：∵CD切半圆于点D，OD为⊙O的半径，
∴CD⊥OD,
∴∠CDO=90°,
∵BE⊥CD于点E,
∴∠E=90°.
∵∠CDO=∠E=90°,∠C=∠C,
∴△COD∽△CBE.
（2）解：∵在Rt△BEC中，CE=12,BE=9,
∴CE=15,
∵△COD∽△CBE,
∴,
即,
∴r=.
20. 根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中产业，第二产业，第三产业所占比例如图2所示．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求2016年产业生产总值（到1亿元）
（2）2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几？（到1%）
（3）若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率（到1%）
【正确答案】（1）92亿元；（2）8；（3）10%．
【分析】（1）2016年产业生产总值=2016年国民生产总值×2016年产业国民生产总值所占百分率列式计算即可求解；
（2）先求出2016年比2015年的国民生产总值增加了多少，再除以2015年的国民生产总值即可求解；
（3）设2016年至2018年我市国民生产总值平均增长率为x，那么2017年我市国民生产总值为1300（1+x）亿元，2018年我市国民生产总值为1300（1+x）(1+x)亿元，然后根据2018年的国民生产总值要达到1573亿元即可列出方程，解方程求解即可.
【详解】（1）1300×7.1%≈92（亿元）．
答：2016年产业生产总值大约是92亿元；
（2）（1300﹣1204）÷1204×=96÷1204×≈8%．
答：2016年比2015年的国民生产总值大约增加了8%；
（3）设2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率为x，
依题意得1300（1+x）2=1573，
∴1+x=±1.21，
∴x=10%或x=﹣2.1（没有符合题意，故舍去）．
答：2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率约为10%．
略
21. 某楼盘一楼是车库（暂没有），二楼至二十三楼均为商品房（对外）.商品房售价如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元.已知商品房每套面积均为120平方米.开发商为购买者制定了两种购房：
一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30％），再办理分期付款（即贷款）.
二：购买者若付清所有房款，则享受8％的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a元）
（1）请写出每平方米售价y（元/米²）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式；
（2）小张已筹到120000元，若用一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢；
（3）有人建议老王使用二购买第十六层，但他认为此还没有如没有免收物业管理费而直接享受9％的优惠.你认为老王的说法一定正确吗？请用具体的数据阐明你的看法．
【正确答案】（1）y=；（2）2层到16楼层的商品房；（3）没有一定正确，理由见解析
【分析】（1）分类讨论：2≤x≤8，8＜x≤23，根据楼层的价格变化，可得函数解析式；
（2）分类讨论：2≤x≤8，8＜x≤23，根据首付款与筹备款的没有等式关系，可得答案；
（3）根据二的方法，可得房款的关系式，再根据没有免物业费直接享受9%的优惠，可得函数关系式，再根据没有等式的关系，可得答案．
【详解】解：（1）每平方米售价y（元/米2）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式为y=；
（2）由（2）得当2≤x≤8时，（20x+2840）×120×30%=36（20x+2840）=36（20×8+2840）=108000＜120000，
则2楼到8楼的楼层可任意选；
当8＜x≤23时，（40x+2680）×120×30%=36（40x+2680）≤120000，
x＜，x是正整数，
8＜x≤16，9层到6层任意楼层都可以购买，
综上所述，用一购房，他可以任意购买2层到16楼层的商品房；
（3）二y1=（40×16+2680）×120×（1-8%），
老王的想法y2=（40×16+2680）×120×（1-9%）+12×5a，
y1-y2=3984-60a，
当y1＞y2时，即y1-y2=3984-60a＞0，
0＜a＜66.4，想确，
当y1＜y2时，y1-y2=3984-60a＜0，
a＞66.4，想法没有正确，
因此，老王的说法没有一定正确．
本题考查的是用函数解决实际问题，读懂题目信息，找出数量关系表示出各楼层的单价以及是交房款的关系式是解题的关键．
22. 如图，直线y=x+与x轴交于点A，与y轴交于点C，以AC为直径作⊙M，点D是劣弧AO上一动点（D点与A，C没有重合）．抛物线y=－x²+bx+c点A、C，与x轴交于另一点B，
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，是︱PA—PC︱的值；若存在，求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由．
（3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使FG=2，试探究当点D运动到何处时，直线GA与⊙M相切，并请说明理由．
【正确答案】(1)y= ， B(1，0) ；(2) P(-1， 2)；理由见解析；(3)见解析．
【分析】（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出其对称轴和B点坐标；
（2）首先利用待定系数法求函数解析式进而得出，此时PA=PB，|PA-PC|的值，求出即可；
（3）当D运动到劣弧AO的中点时，直线AG与⊙M相切，利用已知得出△AFG为等边三角形，进而求出∠CAG=30°+60°=90°，即可得出答案．
【详解】解：（1）由y=x+， 得：A（-3，0），C（0，），
将其代入抛物线解析式得：，解得：，
∴y=，
∵对称轴是x=-1，
∴由对称性得B(1，0)；
（2）如图，延长BC与对称轴的交点就是点P，
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B(1，0)，C（0，）代入得：，解得：，
则直线BC解析式为：y=-x+，
当x=-1时，y=2，
∴P(-1， 2)；
（3）结论：当D运动到劣弧AO的中点时，直线AG与⊙M相切，理由如下：
∵在RT△AOC中，tan∠=，
∴∠=30°，∠ACO=60°，
∵点D是的中点，
∴，
∴∠ACD=∠DCO=30°，
∴OF=OCtan30°=1，∠CF O=60°，
∴△AFG中，AF=3-1=2，∠AFG=∠CFO=60°，
∵FG=2，
∴△AFG为等边三角形，
∴∠GAF=60°，
∴∠CAG=30°+60°=90°，
∴AC⊥AG，
∴AG为⊙M的切线．
本题考查了二次函数综合题，涉及到切线的判定以及等边三角形的判定与性质以及待定系数法求函数、二次函数解析式等知识，利用二次函数对称性得出|PA-PC|的值是解题关键．
23. 问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点没有重合）
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．
【正确答案】(1)见解析；（2）△DEF是正三角形；理由见解析；（3）c2=a2+ab+b2
【详解】试题分析：（1）由正三角形的性质得∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；、
（2）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA,证出∠FDE=∠DEF=∠EFD,即可得出结论；
（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG＝60°，在RtΔADG中，DG=b,AG=b, 在RtΔABG中，由勾股定理即可得出结论.
试题解析： （1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（ASA）；
（2）△DEF是正三角形；理由如下：
∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，
∴△DEF是正三角形；
（3）作AG⊥BD于G，如图所示：
∵△DEF是正三角形，
∴∠ADG=60°，
在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，
在Rt△ABG中，c2=（a+b）2+（b）2，
∴c2=a2+ab+b2．
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理.
24. 在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（1）如图1，当t=3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果没有变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
【正确答案】（1）3；（2）∠DEF的大小没有变，tan∠DEF=；（3）或．
【详解】（1）当t=3时，点E为AB的中点，
∵A（8，0），C（0，6），
∴OA=8，OC=6，
∵点D为OB的中点，
∴DE∥OA，DE=OA=4，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴DE⊥AB，
∴∠OAB=∠DEA=90°，
又∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴四边形DFAE是矩形，
∴DF=AE=3；
（2）∠DEF大小没有变；理由如下：
作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴四边形DMAN是矩形，
∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，
∴, ，
∵点D为OB的中点，
∴M、N分别是OA、AB的中点，
∴DM=AB=3，DN=OA=4，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDM=∠EDN，
又∵∠DMF=∠DNE=90°，
∴△DMF∽△DNE，
∴，
∵∠EDF=90°，
∴tan∠DEF=；
（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，
若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，
设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t，
由△DMF∽△DNE得：MF=（3﹣t），
∴AF=4+MF=﹣t+，
∵点G为EF的三等分点，
∴G，
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A（8，0），D（4，3）代入得： ，
解得： ，
∴直线AD的解析式为y=﹣x+6，
把G代入得：t=；
②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，
由△DMF∽△DNE得：MF=（t﹣3），
∴AF=4﹣MF=﹣t+，
∵点G为EF的三等分点，
∴G，
代入直线AD的解析式y=﹣x+6得：t=；
综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为或.
考点：四边形综合题.
2022-2023学年广东省清远市中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一项是正确的）
1. 以“和谐之旅”为主题火炬接力，传递总里程约为137 000千米，这个数据用科学记数法可表示为（ ）
A. 1.37×103千米 B. 1.37×104千米 C. 1.37×105千米 D. 1.37×106千米
2. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
3. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A. B. 且
C. 且 D.
4. 设a是9的平方根，B=（）2，则a与B的关系是（ ）
A. a=±B B. a=B C. a=﹣B D. 以上结论都没有对
5. 某超市购进了一批没有同价格的皮鞋，下表是该超市在近几年统计的平均数据，要使该超市皮鞋收入，该超市应多购哪种价位的皮鞋（ ）
皮鞋价（元）
160
140
120
100
百分率
60%
75%
83%
95%
A. 160元 B. 140元 C. 120元 D. 100元
6. 点P（x﹣1，x+1）没有可能在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7. 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（ ）
A. 6π B. 4π C. 8π D. 4
8. 对于二次函数，当时的函数值总是非负数，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D. 或
9. 如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）
A. S1＜S2＜S3 B. S2＜S1＜S3 C. S1＜S3＜S2 D. S3＜S2＜S1
10. 若，则x的取值范围（ ）
A. B. 或 C. 或 D. 以上答案都没有对
11. 小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r=5，AC=8，则co的值是( )
A. B. C. D.
二、填 空 题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=_____．
14. “红星”商场对商品进行清仓处理，全场商品一律八折，小亮在该商场购买了一双运动鞋，比按原价购买该鞋节省了16元，他购买该鞋实际用_____元．
15. 如图，依次以三角形、四边形、…、n边形的各顶点为圆心画半径为l的圆，且圆与圆之间两两没有相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为，四边形与各圆重叠部分面积之和记为，…．n边形与各圆重叠部分面积之和记为．则的值为_________．(结果保留π)
16. 如图，矩形ABCD的对角线BD坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为_____．
三、解 答 题（本题满分52分）（本题共7题，其中17题5分，18题6分，19题8分，20题6分，21题9分，22题9分，23题9分，共52分）
17. 计算：|﹣|+（π﹣2017）°﹣2sin30°+3﹣1．
18. (y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2＝(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2．
求值．
19. 已知矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=3．
操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．
探究：（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA1和△FDC全等吗？如果全等，请给出证明，如果没有全等，请说明理由；
（2）如图2，若点B与CD中点重合，请你判断△FCB1、△B1DG和△EA1G之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果和相应的相似比；
（3）如图2，请你探索，当点B落在CD边上何处，即B1C的长度为多少时，△FCB1与△B1DG全等．
20. 南岗区某中学王老师统计了本校九年级一班学生参加体育达标测试的报名情况，并把统计的数据绘制成了没有完整的条形统计图和扇形统计图．根据图中提供的数据回答下列问题：
（1）该学校九年级一班参加体育达标测试的学生有多少人？
（2）补全条形统计图的空缺部分；
（3）若该年级有1200名学生，估计该年级参加仰卧起坐达标测试有多少人？
21. 某商场试销一种成本为50元/件的T恤，规定试销期间单价没有低于成本单价，又获利没有得高于50%．经试销发现，量y(件)与单价x(元/件)符合函数关系，试销数据如下表：
售价(元/件)
…
55
60
70
…
销量(件)
…
75
70
60
…
(1)求函数y=kx+b的表达式；
(2)若该商场获得利润为ω元，试写出利润ω与单价x之间的关系式；单价定为多少时，商场可获得利润，利润是多少？
22. 已知，如图，点M在x轴上，以点M为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点，交x轴于C（x1，0）、D（x2，0）两点，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）=（x+2）2的两根．
（1）求点C、D及点M的坐标；
（2）若直线y=kx+b切⊙M于点A，交x轴于P，求PA长；
（3）⊙M上是否存在这样的点Q，使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点的坐标，并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式；若没有存在，请说明理由．
23. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为点Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）探索：线段BM上是否存在点P，使PMC为等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果没有存在，请说明理由．
2022-2023学年广东省清远市中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一项是正确的）
1. 以“和谐之旅”为主题火炬接力，传递总里程约为137 000千米，这个数据用科学记数法可表示为（ ）
A. 1.37×103千米 B. 1.37×104千米 C. 1.37×105千米 D. 1.37×106千米
【正确答案】C
【详解】137 000=1.37×105千米,故选C.
2. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
【正确答案】A
【分析】根据同底数幂相乘，底数没有变指数相加；幂的乘方，底数没有变指数相乘；同底数相除，底数没有变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、，正确；
B、应为，故本选项错误；
C、a与没有是同类项，没有能合并，故本选项错误
D、应为，故本选项错误．
故选A．
本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，没有是同类项的一定没有能合并．
3. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A. B. 且
C. 且 D.
【正确答案】C
【详解】,解得x≥﹣1且x≠ . 故选C.
4. 设a是9的平方根，B=（）2，则a与B的关系是（ ）
A. a=±B B. a=B C. a=﹣B D. 以上结论都没有对
【正确答案】A
【详解】由题意得a=,B=3, a=±B ,故选A.
5. 某超市购进了一批没有同价格的皮鞋，下表是该超市在近几年统计的平均数据，要使该超市皮鞋收入，该超市应多购哪种价位的皮鞋（ ）
皮鞋价（元）
160
140
120
100
百分率
60%
75%
83%
95%
A. 160元 B. 140元 C. 120元 D. 100元
【正确答案】B
【详解】本题考查的是统计的应用
此题的实质是求每种皮鞋的额，再比较即可．
设每种皮鞋a只．四种皮鞋的额分别为：
；
；
；
．
可见应多购140元的皮鞋．
故选B．
6. 点P（x﹣1，x+1）没有可能在（ ）
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】D
【详解】本题可以转化为没有等式组的问题，看下列没有等式组哪个无解，
（1） x-1＞0, x+1＞0 ，解得x＞1，故x-1＞0，x+1＞0，点在象限；
（2） x-1＜0 ,x+1＜0 ，解得x＜-1，故x-1＜0，x+1＜0，点在第三象限；
（3） x-1＞0 ,x+1＜0 ，无解；
（4） x-1＜0 ,x+1＞0 ，解得-1＜x＜1，故x-1＜0，x+1＞0，点在第二象限．
故点P没有能第四象限，故选D．
7. 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（ ）
A. 6π B. 4π C. 8π D. 4
【正确答案】A
【分析】根据题意，可判断出该几何体为圆柱．且已知底面半径以及高，易求表面积．
【详解】解：根据题目的描述，可以判断出这个几何体应该是个圆柱，且它的底面圆的半径为1，高为2，
它的表面积=2π×2+π×12×2=6π，
故选：A．
8. 对于二次函数，当时的函数值总是非负数，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D. 或
【正确答案】A
【分析】要满足0＜x≤2时的函数值总是非负数，需要使得在这个范围内的函数值的最小值为非负数即可.需要根据对称轴与0＜x≤2的三种位置关系进行分类，分别找到最小值令其为非负数求出a的范围，将每种情况的范围合在一起即为最终的结果.
【详解】解：对称轴为：x=﹣=﹣，y=1﹣，
分三种情况：
①当对称轴x＜0时，即﹣＜0，m＞0，此时y随x的增大而增大，x=0时，y=1，所以0＜x≤2时都有y>1，所以符合题意.
②当0≤x＜2时，0≤﹣＜2，﹣4＜m≤0，此时函数最小值在顶点处取到，则只需当1﹣≥0，即﹣2≤m≤2，
∴当﹣2≤m≤0时，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，
③当对称轴﹣≥2时，即m≤﹣4， x=2时，y值最小．令y≥0，即4+2m+1≥0，
解得：m≥﹣，又∵m≤﹣4，此种情况m无解；
综上所述：若0＜x≤2时的函数值总是非负数，则m≥-2.
9. 如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）
A. S1＜S2＜S3 B. S2＜S1＜S3 C. S1＜S3＜S2 D. S3＜S2＜S1
【正确答案】B
【详解】解：作OD⊥BC交BC与点D，
∵∠COA=60°，
∴∠COB=120°，则∠COD=60°．
∴S扇形AOC==.
S扇形BOC=.
在三角形OCD中，∠OCD=30°，
∴OD=，CD=，BC=R，
∴S△OBC=，S弓形==，
,
∴S2＜S1＜S3．
故选B．
10. 若，则x的取值范围（ ）
A. B. 或 C. 或 D. 以上答案都没有对
【正确答案】C
【分析】在同一平面直角坐标系中作出反比例函数与、的图象，观察图象可知，反比例函数落在直线下方且在直线上方的部分所对应的x的取值，即为所求的x的取值范围．
【详解】作出函数与、的图象，
由图象可知交点为，
当或时，有．
故选C．
本题考查了反比例函数的性质：
反比例函数的图象是双曲线；
当，双曲线的两支分别位于、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
11. 小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题解析：∵如图所示的正三角形，
∴∠CAB=60°，
设三角形的边长是a，
∴AB=a，
∵⊙O是内切圆，
∴∠OAB=30°，∠OBA=90°，
∴BO=tan30°AB=a，
则正三角形的面积是a2，而圆的半径是a，面积是a2，
因此概率是a2÷a2=π．
故选C．
考点：几何概率．
12. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r=5，AC=8，则co的值是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°．
Rt△ACD中，AD=2r=10，AC=8．
根据勾股定理，得：
CD=．.
∴cosD=.
∵∠B=∠D，
∴co=cosD=,
故选B．
二、填 空 题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=_____．
【正确答案】（y﹣1）2（x﹣1）2．
【详解】解：令x+y=a，xy=b，
则（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）
=（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a）
=b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b
=（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1
=（b﹣a）2+2（b﹣a）+1
=（b﹣a+1）2；
即原式=（xy﹣x﹣y+1）2=[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2=[（y﹣1）（x﹣1）]2=（y﹣1）2（x﹣1）2．
故答案为（y﹣1）2（x﹣1）2．
点睛：因式分解的方法：（1）提取公因式法.ma+mb+mc=m(a+b+c).
（2）公式法:完全平方公式，平方差公式.
（3）十字相乘法
因式分解的时候，要注意整体换元法的灵活应用，训练将一个式子看做一个整体,利用上述方法因式分解的能力.
14. “红星”商场对商品进行清仓处理，全场商品一律八折，小亮在该商场购买了一双运动鞋，比按原价购买该鞋节省了16元，他购买该鞋实际用_____元．
【正确答案】64
【详解】解：设实际售价是x元,
则：0.8（x+16）=x,
解得：x=64，
故填64．
15. 如图，依次以三角形、四边形、…、n边形的各顶点为圆心画半径为l的圆，且圆与圆之间两两没有相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为，四边形与各圆重叠部分面积之和记为，…．n边形与各圆重叠部分面积之和记为．则的值为_________．(结果保留π)
【正确答案】44π
【详解】三角形与各圆重叠部分面积之和==；
四边形与各圆重叠部分面积之和==π；
…….所以
16. 如图，矩形ABCD的对角线BD坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为_____．
【正确答案】4
【详解】试题分析：设点C的坐标为（x，y），则B（－2，y）D（x，－2），设BD的函数解析式为y=mx，则y=－2m，x=－，∴k=xy=（－2m）·（－）=4．
考点：求反比例函数解析式．
三、解 答 题（本题满分52分）（本题共7题，其中17题5分，18题6分，19题8分，20题6分，21题9分，22题9分，23题9分，共52分）
17. 计算：|﹣|+（π﹣2017）°﹣2sin30°+3﹣1．
【正确答案】
【分析】化简值、0次幂和负指数幂，代入30°角的三角函数值，然后按照有理数的运算顺序和法则进行计算即可．
【详解】原式=+1﹣2×+=．
本题考查了实数的运算，用到的知识点主要有值、零指数幂和负指数幂，以及角的三角函数值，熟记相关法则和性质是解决此题的关键．
18. (y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2＝(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2．
求的值．
【正确答案】1
【分析】通过已知等式化简得到未知量的关系，代入目标式子求值．
【详解】∵（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．
∴（y﹣z）2﹣（y+z﹣2x）2+（x﹣y）2﹣（x+y﹣2z）2+（z﹣x）2﹣（z+x﹣2y）2=0，
∴（y﹣z+y+z﹣2x）（y﹣z﹣y﹣z+2x）+（x﹣y+x+y﹣2z）（x﹣y﹣x﹣y+2z）+（z﹣x+z+x﹣2y）（z﹣x﹣z﹣x+2y）=0，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz=0，
∴（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2=0．
∵x，y，z均为实数，且（x﹣y）2≥0，（x﹣z）2≥0，（y﹣z）2≥0，
∴（x﹣y）2=0，（x﹣z）2=0，（y﹣z）2=0．
∴x=y=z．
∴．
本题考查了等式的化简、乘法公式的应用，有一定的难度，难点是恒等变形，灵活运用完全平方公式转化为三个非负数的和为零是关键．
19. 已知矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=3．
操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．
探究：（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA1和△FDC全等吗？如果全等，请给出证明，如果没有全等，请说明理由；
（2）如图2，若点B与CD的中点重合，请你判断△FCB1、△B1DG和△EA1G之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果和相应的相似比；
（3）如图2，请你探索，当点B落在CD边上何处，即B1C的长度为多少时，△FCB1与△B1DG全等．
【正确答案】（1）全等．（2）△FCB1与△B1DG相似，相似比为4：3．（3）当B1C=3﹣时，△FCB1与△B1DG全等．
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，由折叠的性质可得：∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90°，CD=A1D，然后利用同角的余角相等，可证得∠A1DE=∠CDF，则可利用ASA证得△EDA1和△FDC全等；
（2）易得△B1DG和△EA1G全等，△FCB1与△B1DG相似，然后设FC=x，由勾股定理可得方程x2+12=（3-x）2，解此方程即可求得答案；
（3）设B1C=a，则有FC=B1D=2-a，B1F=BF=1+a，在直角△FCB1中，可得（1+a）2=（2-a）2+a2，解此方程即可求得答案．
【详解】（1）全等．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，
由题意知：∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90°，CD=A1D，
∴∠A1=∠C=90°，∠CDF+∠EDF=90°，
∴∠A1DE=∠CDF，
在△EDA1和△FDC中，
,
∴△EDA1≌△FDC（ASA）；
（2）△B1DG和△EA1G全等，△FCB1与△B1DG相似，
设FC=x，
则B1F=BF=3-x，B1C=DC=1，
∴x2+12=（3-x）2，
∴x=，
∴△FCB1与△B1DG相似，相似比为4：3．
（3）△FCB1与△B1DG全等．
设B1C=a，则有FC=B1D=2-a，B1F=BF=1+a，
在直角△FCB1中，可得（1+a）2=（2-a）2+a2，
整理得a2-6a+3=0，
解得：a=3-（另一解舍去），
∴当B1C=3-时，△FCB1与△B1DG全等．
考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形思想与方程思想的应用．
20. 南岗区某中学的王老师统计了本校九年级一班学生参加体育达标测试的报名情况，并把统计的数据绘制成了没有完整的条形统计图和扇形统计图．根据图中提供的数据回答下列问题：
（1）该学校九年级一班参加体育达标测试的学生有多少人？
（2）补全条形统计图的空缺部分；
（3）若该年级有1200名学生，估计该年级参加仰卧起坐达标测试的有多少人？
【正确答案】（1）50人；（2）补图见解析；（3）480人.
【详解】试题分析：（1）根据坐位体前屈和仰卧起坐的总人数和比例得出学生人数；
（2）根据总人数求出立定跳远的人数，进而可补全统计图；
（3）根据仰卧起坐的达标百分比求出全年级达标人数.
试题解析：（1）（20+25）÷（1-10%）=50（人）
答：该学校九年一班参加体育达标测试的学生有50人．
（2）立定跳远的人数为50-25-20=5，补全统计图如下：
（3）1200×40%=480（人）
答：估计该年级参加仰卧起坐达标测试的约有480人．
考点：条形统计图和扇形统计图.
21. 某商场试销一种成本为50元/件的T恤，规定试销期间单价没有低于成本单价，又获利没有得高于50%．经试销发现，量y(件)与单价x(元/件)符合函数关系，试销数据如下表：
售价(元/件)
…
55
60
70
…
销量(件)
…
75
70
60
…
(1)求函数y=kx+b的表达式；
(2)若该商场获得利润为ω元，试写出利润ω与单价x之间的关系式；单价定为多少时，商场可获得利润，利润是多少？
【正确答案】（1）y=﹣x+130；（2）x=75时，w值为1375元．
【详解】试题分析：（1）可根据图表运用待定系数法来确定函数的关系式．
（2）因为商场获得的利润=单价×量，可据此列出w和x的关系式，然后根据函数的性质以及自变量的取值范围来确定所求的．
试题解析：（1）设y=kx+b，由题意：
解得
∴y=-x+130
（2）w=（x-50）（130-x）=-（x-90）2+1600
但是50≤x≤75，且在此范围内w随x增大而增大，
所以当x=75时，w
当x=75时，w值为1375元．
本题主要考查用待定系数法求函数关系式，并会用函数研究实际问题．注意自变量的取值范围没有能遗漏．
22. 已知，如图，点M在x轴上，以点M为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点，交x轴于C（x1，0）、D（x2，0）两点，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）=（x+2）2的两根．
（1）求点C、D及点M的坐标；
（2）若直线y=kx+b切⊙M于点A，交x轴于P，求PA的长；
（3）⊙M上是否存在这样的点Q，使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点的坐标，并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】(1) C（﹣1，0），D（4，0），（1.5，0）；(2);(3) 过A、C、Q三点的抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．
【详解】解：（1）x（2x+1）=（x+2）2整理得，x2﹣3x﹣4=0，
解得x1=﹣1，x2=4，
∴点C、D的坐标是C（﹣1，0），D（4，0），
=1.5，
∴点M的坐标是（1.5，0），
故答案为C（﹣1，0），D（4，0），（1.5，0）；
（2）如图，连接AM，则AM=2.5，
在Rt△AOM中，AO==2，
∴点A的坐标是（0，2），
∵PA与⊙M相切，
∴AM⊥PA，
∴∠MAO+∠PAO=90°，
又∵∠AMO+∠MAO，
∴∠AMO=∠PAO，
在△AOM与△POA中，，
∴△AOM∽△POA，
∴,
即,
解得PA=；
（3）存在．
如图，连接AC、AD，
∴∠CAD=90°，
在△ACO与△DCA中，，
∴△ACO∽△DCA，
∴存在点Q，与点D重合时，点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似，
此时，设过点A、C、Q的抛物线是y=ax2+bx+c，
则,
解得,
∴过A、C、Q三点的抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．
23. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为点Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）探索：线段BM上是否存在点P，使PMC为等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）；（2）S四边形ACPQ；（3）存，，，
【分析】（1）根据题意得出点B和点C的坐标，将两点坐标代入即可得出函数解析式；
（2）根据（1）中函数解析式得出点M的坐标，利用待定系数法求BM解析式，根据OQ＝m设出点P的坐标，从而得出PQ的长度，再根据得出S关于m的函数解析式；再根据点P在线段MB上得出m的取值范围；
（3）讨论①当时，②当时，和③当时实际情况，分别根据勾股定理列出方程，得出点P的坐标．
【详解】解：（1）∵，
∴，，
代入中，得，
解得，
∴该二次函数的解析式为；
（2），
∴，
解得
.
设直线解析式为，
则有解得
∴直线的解析式为.
∵轴，，
∴点的坐标为，
；
（3）线段上存在点，，，使为等腰三角形.理由如下：
设点的坐标为，由题意可得，，，
①当时，，
整理得，
解得，（舍去），经检验是方程的根
当，，
此时；
②当时，，
整理得，
∵△=40，
∴，
解得，（舍去），经检验是方程的根
此时；
③当时，，
整理得，
解得，经检验是方程的根
此时；
综上所述，线段上存在点，，，
使为等腰三角形．
本题考查二次函数与几何综合题型，利用待定系数法求函数解析式；求坐标系中四边形的面积，需分割三角形与梯形来解，注意动点所在的位置决定了自变量的取值范围；等腰三角形分类考虑，可以用勾股定理，构造方程是解题关键．
2022-2023学年广东省清远市中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选：（本大题共10个小题,每小题3分,共30分）
1. －5的倒数是
A. B. 5 C. － D. －5
2. （11·肇庆）如图1是一个几何体的实物图，则其主视图是( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. a2•a3＝a6 B. 2a2+a2＝3a4
C. a6÷a3＝a2 D. (ab2)3＝a3b6
4. 数据35,38,37,36,37,36,37,35的众数是（）
A. 35. B. 36 C. 37 D. 38
5. 如图，AB∥CD，∠A+∠E=75º，则∠C（ ）
A. 60 º B. 65 º C. 75 º D. 80 º
6. 若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠NCE=∠AOD，作图痕迹中，弧FG是( )
A. 以点C为圆心，OD为半径的弧
B. 以点C为圆心，DM为半径的弧
C. 以点E为圆心，OD为半径的弧
D. 以点E为圆心，DM为半径弧
8. 如图，在直角坐标系中，点A在函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y=（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（ ）
A. 2 B. C. 4 D. 4
9. 如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长等于（ ）
A. B. C. D.
10. 运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8.则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 若代数式有意义，则x的取值范围是________．
12. 同分母的分式相加减,分母________,把分子________,即: =________.
13. 在一个没有透明的口袋中装有5个红球和3个白球，他们除颜色外其他完全相同，任意摸出一个球是白球的概率为________．
14. 如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（没有重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是__________．
15. 如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，求切线长PQ的最小值.
16. 如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在 轴上，B在第二象限.△ABO沿 轴正方向作无滑动的翻滚，经次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________；翻滚2017次后AB中点M的路径长为________.
三、解 答 题（本题有8小题，共72分）
17. 计算：
18. 解没有等式组 ，并求它的整数解．
19. 如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D．连结OD，作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE=12，BE=9,
(1)求证：△COD∽△CBE；
(2)求半圆O的半径的长
20. 根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中产业，第二产业，第三产业所占比例如图2所示．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求2016年产业生产总值（到1亿元）
（2）2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几？（到1%）
（3）若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率（到1%）
21. 某楼盘一楼是车库（暂没有），二楼至二十三楼均为商品房（对外）.商品房售价如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元.已知商品房每套面积均为120平方米.开发商为购买者制定了两种购房：
一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30％），再办理分期付款（即贷款）.
二：购买者若付清所有房款，则享受8％的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a元）
（1）请写出每平方米售价y（元/米²）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式；
（2）小张已筹到120000元，若用一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢；
（3）有人建议老王使用二购买第十六层，但他认为此还没有如没有免收物业管理费而直接享受9％的优惠.你认为老王的说法一定正确吗？请用具体的数据阐明你的看法．
22. 如图，直线y=x+与x轴交于点A，与y轴交于点C，以AC为直径作⊙M，点D是劣弧AO上一动点（D点与A，C没有重合）．抛物线y=－x²+bx+c点A、C，与x轴交于另一点B，
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，是︱PA—PC︱的值；若存在，求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由．
（3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使FG=2，试探究当点D运动到何处时，直线GA与⊙M相切，并请说明理由．
23. 问题背景
如图1，在正方形ABCD内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点没有重合）
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．
24. 在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（1）如图1，当t=3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果没有变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
2022-2023学年广东省清远市中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选：（本大题共10个小题,每小题3分,共30分）
1. －5的倒数是
A. B. 5 C. － D. －5
【正确答案】C
【分析】若两个数乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【详解】解：-5的倒数是．
故选C．
2. （11·肇庆）如图1是一个几何体的实物图，则其主视图是( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【详解】解：从正面看可得到一个矩形和一个下底和矩形相邻的梯形的组合图，
故选C．
3. 下列运算正确的是( )
A. a2•a3＝a6 B. 2a2+a2＝3a4
C. a6÷a3＝a2 D. (ab2)3＝a3b6
【正确答案】D
【详解】【分析】根据同底数幂乘法、合并同类项、同底数幂除法、积的乘方的运算法则逐项进行计算即可得.
【详解】A. a2•a3=a5，故A选项错误；
B. 2a2+a2=3a2，故B选项错误；
C. a6÷a3=a3，故C选项错误；
D. （ab2）3=a3b6，故D选项正确，
故选D.
本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方等，熟练掌握各运算法则是解题的关键.
4. 数据35,38,37,36,37,36,37,35的众数是（）
A. 35. B. 36 C. 37 D. 38
【正确答案】C
【详解】众数是在一组数据中，出现次数至多的数据，这组数据中，出现次数至多的是37，故这组数据的众数为37．故选C．
5. 如图，AB∥CD，∠A+∠E=75º，则∠C为（ ）
A. 60 º B. 65 º C. 75 º D. 80 º
【正确答案】C
【详解】如图，
∵∠A+∠E=75 º，
∴根据三角形内角和等于1800，得∠AFE=105 º．
∵∠AFE与∠BFC是对顶角，∴∠AFE=∠BFC=105 º．
∵AB∥CD，
∴根据平行线的同旁内角互补的性质，得∠C=1800－∠BFC=75 º．
故选C．
6. 若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：令x+1=m，y﹣2=n，∴方程组可化为．∵方程组的解是，∴x+1=2，y﹣2=﹣1，解得：．故选A．
点睛：此类题目较复杂，解答此类题目时要注意运用整体思想，用换元法求解．
7. 如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠NCE=∠AOD，作图痕迹中，弧FG是( )
A. 以点C为圆心，OD为半径的弧
B. 以点C为圆心，DM为半径的弧
C. 以点E为圆心，OD为半径的弧
D. 以点E为圆心，DM为半径的弧
【正确答案】D
【分析】根据作一个角等于已知角的步骤即可得．
【详解】解：作图痕迹中，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧，
故选：D．
本题主要考查作图-尺规作图，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．
8. 如图，在直角坐标系中，点A在函数y=（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y=（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（ ）
A. 2 B. C. 4 D. 4
【正确答案】C
【分析】解：设，可求出，由于对角线垂直，计算对角线乘积的一半即可．
【详解】设A（a，），可求出D（2a，），
∵AB⊥CD，
∴S四边形ACBD=AB∙CD=×2a×=4，
故选：C．
本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是设出点A和点B的坐标．
9. 如图，矩形纸片中，，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，则的长等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由矩形的性质可得AB=CD=4，BC=AD=6，AD∥BC，由平行线的性质可折叠的性质可得∠DAC=∠ACE，可得AF=CF，由勾股定理即可得求DF的长．
【详解】∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD=4，BC=AD=6，AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
根据折叠的性质得：∠ACB=∠ACE，
∴∠DAC=∠ACE，
∴AF=CF，
设DF=，则CF=AF=AD-DF=，
在Rt△CDF中，，
∴，
解得：，
即DF=，
故选：A．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理求DF的长是本题的关键．
10. 运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8.则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】【分析】作直径CG，连接OD、OE、OF、DG，则根据圆周角定理求得DG的长，证明DG=EF，则S扇形ODG=S扇形OEF，然后根据三角形的面积公式证明S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，则S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆，即可求解．
【详解】作直径CG，连接OD、OE、OF、DG．
∵CG是圆的直径，
∴∠CDG=90°，则DG==8，
又∵EF=8，
∴DG=EF，
∴，
∴S扇形ODG=S扇形OEF，
∵AB∥CD∥EF，
∴S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，
∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=π×52=，
故选A．
本题考查扇形面积的计算，圆周角定理．本题中找出两个阴影部分面积之间的联系是解题的关键．
二、填 空 题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 若代数式有意义，则x的取值范围是________．
【正确答案】
【分析】根据二次根式及分式成立的条件列没有等式求解．
【详解】解：因为有意义
所以
所以
故
本题考查二次根式和分式成立的条件，掌握基本概念是解题关键．
12. 同分母分式相加减,分母________,把分子________,即: =________.
【正确答案】 ①. 没有变， ②. 相加减， ③.
【详解】【分析】根据同分母的分式加减法法则进行填空即可得.
【详解】同分母的分式相加减，分母没有变，把分子相加减，
即: = ，
故答案为没有变，相加减，.
本题考查了同分母分式加减法法则，熟记法则内容是解题的关键.
13. 在一个没有透明的口袋中装有5个红球和3个白球，他们除颜色外其他完全相同，任意摸出一个球是白球的概率为________．
【正确答案】
【详解】解：∵在一个没有透明的口袋中装有5个红球和3个白球，
∴任意从口袋中摸出一个球来，P（摸到白球）= =.
14. 如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（没有重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是__________．
【正确答案】a+6．
【详解】解：拼成的长方形的面积=（a+3）2﹣32
=（a+3+3）（a+3﹣3）
=a（a+6），
∵拼成的长方形一边长为a，
∴另一边长是a+6．
故6．
15. 如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，求切线长PQ的最小值.
【正确答案】．
【分析】连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线时，PQ最小，根据全等三角形的性质得到AP＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】如图，作AP⊥直线，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，
∵A的坐标为（−1，0），
设直线与x轴，y轴分别交于C，B，
∴B（0，3），C（4，0），
∴OB＝3，AC＝5，
∴BC＝
∴AC＝BC，
在△APC与△BOC中，
，
∴△APC≌△BOC，
∴AP＝OB＝3，
∴PQ＝．
∵PQ2＝PA2−1，此时PA最小，所以此时切线长PQ也最小，最小值为.
【点晴】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
16. 如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在 轴上，B在第二象限.△ABO沿 轴正方向作无滑动的翻滚，经次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________；翻滚2017次后AB中点M的路径长为________.
【正确答案】 ①. （5， ）； ②. ()π
【详解】【分析】如图,作B3E⊥x轴于E，易知OE=5，B3E=，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M的运动路径为=，由2017÷3=672…1，可知翻滚2017次后AB中点M的路径长为672•+=．
【详解】如图,作B3E⊥x轴于E，易知OE=5，B3E=，
∴B3（5，），
观察图象可知三次一个循环，一个循环点M的运动路径为=，
由2017÷3=672…1，可知翻滚2017次后AB中点M的路径长为
672•+=，
故（5，），．
本题考查轨迹、规律题、弧长公式、等边三角形的性质等知识，解题的关键是从图形的翻滚中找到规律，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解 答 题（本题有8小题，共72分）
17. 计算：
【正确答案】-1- .
【详解】【分析】按顺序先分别进行二次根式的化简、值的化简、0次幂的计算、角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】原式=
=
=.
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握0次幂的运算法则、角的三角函数值是解本题的关键.
18. 解没有等式组 ，并求它的整数解．
【正确答案】1、2、3
【详解】【分析】先分别求出每一个没有等式的解集，然后确定出没有等式组的解集，确定出整数解即可.
【详解】解没有等式x+6≥4x﹣3，得：x≤3，
解没有等式 ，得：x＞，
则没有等式组的解集为 ＜x≤3，
则没有等式组的整数解为1、2、3 .
本题考查了解一元没有等式组，熟知没有等式组解集的确定方法“取大，小小取小，大小小大中间找，小小无处找”是解题的关键.
19. 如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D．连结OD，作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE=12，BE=9,
(1)求证：△COD∽△CBE；
(2)求半圆O的半径的长
【正确答案】（1）见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）证明DO||BE,则△COD∽△CBE.（2）利用（1）对应边成比例，求半径的长.
试题解析：
（1）解：∵CD切半圆于点D，OD为⊙O的半径，
∴CD⊥OD,
∴∠CDO=90°,
∵BE⊥CD于点E,
∴∠E=90°.
∵∠CDO=∠E=90°,∠C=∠C,
∴△COD∽△CBE.
（2）解：∵在Rt△BEC中，CE=12,BE=9,
∴CE=15,
∵△COD∽△CBE,
∴,
即,
∴r=.
20. 根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中产业，第二产业，第三产业所占比例如图2所示．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求2016年产业生产总值（到1亿元）
（2）2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几？（到1%）
（3）若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率（到1%）
【正确答案】（1）92亿元；（2）8；（3）10%．
【分析】（1）2016年产业生产总值=2016年国民生产总值×2016年产业国民生产总值所占百分率列式计算即可求解；
（2）先求出2016年比2015年的国民生产总值增加了多少，再除以2015年的国民生产总值即可求解；
（3）设2016年至2018年我市国民生产总值平均增长率为x，那么2017年我市国民生产总值为1300（1+x）亿元，2018年我市国民生产总值为1300（1+x）(1+x)亿元，然后根据2018年的国民生产总值要达到1573亿元即可列出方程，解方程求解即可.
【详解】（1）1300×7.1%≈92（亿元）．
答：2016年产业生产总值大约是92亿元；
（2）（1300﹣1204）÷1204×=96÷1204×≈8%．
答：2016年比2015年的国民生产总值大约增加了8%；
（3）设2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率为x，
依题意得1300（1+x）2=1573，
∴1+x=±1.21，
∴x=10%或x=﹣2.1（没有符合题意，故舍去）．
答：2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率约为10%．
略
21. 某楼盘一楼是车库（暂没有），二楼至二十三楼均为商品房（对外）.商品房售价如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元.已知商品房每套面积均为120平方米.开发商为购买者制定了两种购房：
一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30％），再办理分期付款（即贷款）.
二：购买者若付清所有房款，则享受8％的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a元）
（1）请写出每平方米售价y（元/米²）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式；
（2）小张已筹到120000元，若用一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢；
（3）有人建议老王使用二购买第十六层，但他认为此还没有如没有免收物业管理费而直接享受9％的优惠.你认为老王的说法一定正确吗？请用具体的数据阐明你的看法．
【正确答案】（1）y=；（2）2层到16楼层的商品房；（3）没有一定正确，理由见解析
【分析】（1）分类讨论：2≤x≤8，8＜x≤23，根据楼层的价格变化，可得函数解析式；
（2）分类讨论：2≤x≤8，8＜x≤23，根据首付款与筹备款的没有等式关系，可得答案；
（3）根据二的方法，可得房款的关系式，再根据没有免物业费直接享受9%的优惠，可得函数关系式，再根据没有等式的关系，可得答案．
【详解】解：（1）每平方米售价y（元/米2）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式为y=；
（2）由（2）得当2≤x≤8时，（20x+2840）×120×30%=36（20x+2840）=36（20×8+2840）=108000＜120000，
则2楼到8楼的楼层可任意选；
当8＜x≤23时，（40x+2680）×120×30%=36（40x+2680）≤120000，
x＜，x是正整数，
8＜x≤16，9层到6层任意楼层都可以购买，
综上所述，用一购房，他可以任意购买2层到16楼层的商品房；
（3）二y1=（40×16+2680）×120×（1-8%），
老王的想法y2=（40×16+2680）×120×（1-9%）+12×5a，
y1-y2=3984-60a，
当y1＞y2时，即y1-y2=3984-60a＞0，
0＜a＜66.4，想确，
当y1＜y2时，y1-y2=3984-60a＜0，
a＞66.4，想法没有正确，
因此，老王的说法没有一定正确．
本题考查的是用函数解决实际问题，读懂题目信息，找出数量关系表示出各楼层的单价以及是交房款的关系式是解题的关键．
22. 如图，直线y=x+与x轴交于点A，与y轴交于点C，以AC为直径作⊙M，点D是劣弧AO上一动点（D点与A，C没有重合）．抛物线y=－x²+bx+c点A、C，与x轴交于另一点B，
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，是︱PA—PC︱的值；若存在，求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由．
（3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使FG=2，试探究当点D运动到何处时，直线GA与⊙M相切，并请说明理由．
【正确答案】(1)y= ， B(1，0) ；(2) P(-1， 2)；理由见解析；(3)见解析．
【分析】（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出其对称轴和B点坐标；
（2）首先利用待定系数法求函数解析式进而得出，此时PA=PB，|PA-PC|的值，求出即可；
（3）当D运动到劣弧AO的中点时，直线AG与⊙M相切，利用已知得出△AFG为等边三角形，进而求出∠CAG=30°+60°=90°，即可得出答案．
【详解】解：（1）由y=x+， 得：A（-3，0），C（0，），
将其代入抛物线解析式得：，解得：，
∴y=，
∵对称轴是x=-1，
∴由对称性得B(1，0)；
（2）如图，延长BC与对称轴的交点就是点P，
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B(1，0)，C（0，）代入得：，解得：，
则直线BC解析式为：y=-x+，
当x=-1时，y=2，
∴P(-1， 2)；
（3）结论：当D运动到劣弧AO的中点时，直线AG与⊙M相切，理由如下：
∵在RT△AOC中，tan∠=，
∴∠=30°，∠ACO=60°，
∵点D是的中点，
∴，
∴∠ACD=∠DCO=30°，
∴OF=OCtan30°=1，∠CF O=60°，
∴△AFG中，AF=3-1=2，∠AFG=∠CFO=60°，
∵FG=2，
∴△AFG为等边三角形，
∴∠GAF=60°，
∴∠CAG=30°+60°=90°，
∴AC⊥AG，
∴AG为⊙M的切线．
本题考查了二次函数综合题，涉及到切线的判定以及等边三角形的判定与性质以及待定系数法求函数、二次函数解析式等知识，利用二次函数对称性得出|PA-PC|的值是解题关键．
23. 问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点没有重合）
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．
【正确答案】(1)见解析；（2）△DEF是正三角形；理由见解析；（3）c2=a2+ab+b2
【详解】试题分析：（1）由正三角形的性质得∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；、
（2）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA,证出∠FDE=∠DEF=∠EFD,即可得出结论；
（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG＝60°，在RtΔADG中，DG=b,AG=b, 在RtΔABG中，由勾股定理即可得出结论.
试题解析： （1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（ASA）；
（2）△DEF是正三角形；理由如下：
∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，
∴△DEF是正三角形；
（3）作AG⊥BD于G，如图所示：
∵△DEF是正三角形，
∴∠ADG=60°，
在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，
在Rt△ABG中，c2=（a+b）2+（b）2，
∴c2=a2+ab+b2．
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理.
24. 在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（1）如图1，当t=3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果没有变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
【正确答案】（1）3；（2）∠DEF的大小没有变，tan∠DEF=；（3）或．
【详解】（1）当t=3时，点E为AB的中点，
∵A（8，0），C（0，6），
∴OA=8，OC=6，
∵点D为OB的中点，
∴DE∥OA，DE=OA=4，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴DE⊥AB，
∴∠OAB=∠DEA=90°，
又∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴四边形DFAE是矩形，
∴DF=AE=3；
（2）∠DEF大小没有变；理由如下：
作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴四边形DMAN是矩形，
∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，
∴, ，
∵点D为OB的中点，
∴M、N分别是OA、AB的中点，
∴DM=AB=3，DN=OA=4，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDM=∠EDN，
又∵∠DMF=∠DNE=90°，
∴△DMF∽△DNE，
∴，
∵∠EDF=90°，
∴tan∠DEF=；
（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，
若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，
设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t，
由△DMF∽△DNE得：MF=（3﹣t），
∴AF=4+MF=﹣t+，
∵点G为EF的三等分点，
∴G，
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A（8，0），D（4，3）代入得： ，
解得： ，
∴直线AD的解析式为y=﹣x+6，
把G代入得：t=；
②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，
由△DMF∽△DNE得：MF=（t﹣3），
∴AF=4﹣MF=﹣t+，
∵点G为EF的三等分点，
∴G，
代入直线AD的解析式y=﹣x+6得：t=；
综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为或.
考点：四边形综合题.
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