2022-2023学年广东省东莞市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析

这是一份2022-2023学年广东省东莞市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析，共49页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省东莞市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模）
一、选一选（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 的倒数是（ ）
A B. C. D.
2. 如下图所示的一个几何体，它的主视图是（　　）

A. B. C. D.
3. 2017年按照济南市政府“拆违拆临，建绿透绿”决策部署，济南市各个部门通力协作，年内共拆除违法建设约32900000平方米，拆违拆临工作取得重大历史性突破，数字32900000用科学记数法表示为（　　）
A. 329×105 B. 3.29×105 C. 3.29×106 D. 3.29×107
4. 下列计算正确的是(　　)
A. a2•a3＝a6 B. (a2)3＝a6 C. a2+a2＝a3 D. a6÷a2＝a3
5. 下列所示的图形中既是轴对称图形又是对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
6. 如果一组数据2，4，x，3，5的众数是4，那么该组数据的平均数是（　　）
A. 5.2 B. 4.6 C. 4 D. 3.6
7. 一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（ ）
A m＞1 B. m=1 C. m＜1 D. m≤1
8. 已知A、B两地之间铁路长450千米，动车比火车每小时多行驶50千米，从A市到B市乘动车比乘火车少用40分钟，设动车速度为每小时x千米，则可列方程为（　　）
A. B.
C. D.
9. 如图是一副三角尺ABC和与DEF拼成的图案，若将三角尺DEF绕点M按顺时针方向旋转，则边DE与边AB次平行时，旋转角的度数是（　　）

A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
10. 如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的公共点为B，下列说法错误的是（ ）

A. 圆形铁片的半径是4cm B. 四边形AOBC为正方形
C. 弧AB的长度为4πcm D. 扇形OAB的面积是4πcm2
11. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM＝x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（　　）

A. B.
C. D.
12. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（　　）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填 空 题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13. 因式分解：__________．
14. 若x，y满足方程组则的值为______.
15. 已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，且P′在直线y=kx+3上，把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为_________________．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF=_______cm．

17. 已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1、B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OB1，OA1所在直线为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在y轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点A2018的坐标为_____

18. （2015孝感，第16题，3分）如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：
①∠ABN=60°；②AM=1；③QN=；④△BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H是BN中点，则PN+PH的最小值是．其中正确结论的序号是__________．

三、解 答 题:（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
20. 先化简，再求值：，其中a＝2．
21. 如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG=DC，CE=CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP．
求证：FP=EP．

22. “中国梦”关系每个人的幸福生活，为展现巴中人追梦的风采，我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均没有完整，请你根据统计图解答下列问题．

（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率．
23. 今年3月12日植树节期间，学校预购进A、B两种树苗，若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元，若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元．
（1）求购进A、B两种树苗的单价；
（2）若该单位准备用没有多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵？
24. 如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，然后沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1：，（斜坡的铅直高度与水平宽度的比），测量AB＝10米，AE＝15米，
（1）求点B到地面的距离；
（2）求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略没有计，结果保留根号）

25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数y=（x＞0）的图象点A，动直线x=t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．
（1）求k的值；
（2）当t=4时，求△BMN面积；
（3）若MA⊥AB，求t的值．

26. (2014四川资阳)如图①，已知直线l1∥l2，线段AB在直线l1上，BC垂直于l1交l2于点C，且AB＝BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l2，l1于点D，E(点A，E位于点B的两侧，满足BP＝BE，连接AP，CE．
(1)求证：△ABP≌△CBE．
(2)连接AD、BD，BD与AP相交于点F，如图②．
①当时，求证：AP⊥BD；
②当(n＞1)时，设△PAD的面积为S1，△PCE的面积为S2，求的值．

27. 如图，已知直线AB点（0，4），与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是．
(1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．
(2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若没有存在请说明理由．
(3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度？值是多少？































2022-2023学年广东省东莞市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模）
一、选一选（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
【详解】解：∵，
∴的倒数是.
故选C
2. 如下图所示的一个几何体，它的主视图是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】解：它的主视图是一个矩形，中间有一条竖线．故选B．
3. 2017年按照济南市政府“拆违拆临，建绿透绿”决策部署，济南市各个部门通力协作，年内共拆除违法建设约32900000平方米，拆违拆临工作取得重大历史性突破，数字32900000用科学记数法表示为（　　）
A. 329×105 B. 3.29×105 C. 3.29×106 D. 3.29×107
【正确答案】D

【详解】解：32900000=3.29×107．故选D．
4. 下列计算正确的是(　　)
A. a2•a3＝a6 B. (a2)3＝a6 C. a2+a2＝a3 D. a6÷a2＝a3
【正确答案】B

【详解】试题解析：A.故错误.
B.正确.
C.没有是同类项，没有能合并，故错误.
D.
故选B.
点睛：同底数幂相乘，底数没有变,指数相加.
同底数幂相除，底数没有变,指数相减.
5. 下列所示的图形中既是轴对称图形又是对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】解：A、是轴对称图形，没有是对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是对称图形，故此选项正确；
C、没有是轴对称图形，是对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，没有是对称图形，故此选项错误．
故选B．
6. 如果一组数据2，4，x，3，5的众数是4，那么该组数据的平均数是（　　）
A 5.2 B. 4.6 C. 4 D. 3.6
【正确答案】D

【详解】试题分析：众数是出现次数至多的数，所以可判定x为4，然后计算平均数：（2+4+4+3+5）÷5=3．6，故选D．
考点：数据的分析．
7. 一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（ ）
A m＞1 B. m=1 C. m＜1 D. m≤1
【正确答案】D

【分析】根据根的判别式即可求解．
【详解】依题意可得（-2）2-4m≥0
解得m≤1
故选D．
此题主要考查一元二次方程根的情况求解，解题的关键是熟知根的判别式．
8. 已知A、B两地之间铁路长为450千米，动车比火车每小时多行驶50千米，从A市到B市乘动车比乘火车少用40分钟，设动车速度为每小时x千米，则可列方程为（　　）
A. B.
C. D.
【正确答案】D

【详解】解：设动车速度为每小时x千米，则可列方程为：﹣=．故选D．
9. 如图是一副三角尺ABC和与DEF拼成的图案，若将三角尺DEF绕点M按顺时针方向旋转，则边DE与边AB次平行时，旋转角的度数是（　　）

A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°
【正确答案】C

【分析】根据旋转的性质和平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：过M作MH∥AB交BC于H．
∵AB⊥BC，
∴MH⊥BC，
∴△BMH是等腰直角三角形，
∴∠BMH=45°，
∴若将三角尺DEF绕点M按顺时针方向旋转，则边DE与边AB次平行时，旋转角的度数是45°．
故选C．

本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记相关性质并判断出等腰直角三角形是解题的关键．
10. 如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的公共点为B，下列说法错误的是（ ）

A. 圆形铁片的半径是4cm B. 四边形AOBC为正方形
C. 弧AB的长度为4πcm D. 扇形OAB的面积是4πcm2
【正确答案】C

【详解】解：由题意得：BC，AC分别是⊙O的切线，B，A为切点，
∴OA⊥CA，OB⊥BC，
又∵∠C=90°，OA=OB，
∴四边形AOBC是正方形，
∴OA=AC=4，故A，B正确；
∴的长度为：=2π，故C错误；
S扇形OAB==4π，故D正确．
故选C．
本题考查切线的性质；正方形的判定与性质；弧长的计算；扇形面积的计算．

11. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM＝x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（　　）

A. B.
C. D.
【正确答案】D

【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，
①当BM≤4时，
∵点P′与点P关于BD对称，
∴P′P⊥BD，
∴P′P∥AC，
∴△P′BP∽△CBA，
∴，即，
∴PP′=，
∵OM=4-x，
∴△OPP′的面积y=PP′•OM=×；
∴y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，0）；
②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同，过（4，0）和（8，0）；
综上所述：y与x之间的函数图象大致为
．
故选D．
本题考查了动点问题函数图象、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算以及二次函数的运用；熟练掌握菱形的性质，根据题意得出二次函数解析式是解决问题的关键．
12. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（　　）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】B

【详解】解：∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；
∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，
∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，∴②错误；
∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∵b=2a，
∴3b，2c＜0，∴③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴y=a﹣b+c的值，
即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，
∴am2+bm+b＜a，
即m（am+b）+b＜a，∴④正确；
即正确的有3个，
故选B．
考点：二次函数图象与系数的关系
二、填 空 题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13. 因式分解：__________．
【正确答案】

【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】解：原式，
故．
本题考查提公因式和完全平方公式因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键．
14. 若x，y满足方程组则的值为______.
【正确答案】

【分析】方程组中第二个方程整理后求出x+y的值，原式利用平方差公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
由②得，
因为，
所以.
故答案为
此题考查了二元方程组的解，以及平方差公式，将原式进行适当的变形是解本题的关键．
15. 已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，且P′在直线y=kx+3上，把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为_________________．
【正确答案】y=﹣5x+5．

【分析】由对称得到P′（1，﹣2），再代入解析式得到k的值，再根据平移得到新解析式.
【详解】∵点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，
∴P′（1，﹣2），
∵P′在直线y=kx+3上，
∴﹣2=k+3，解得：k=﹣5，
则y=﹣5x+3，
∴把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为：y=﹣5x+5．
故答案为y=﹣5x+5．
考点：函数图象与几何变换．
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF=_______cm．

【正确答案】5

【详解】∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，
∴CD=AB，
∴AB=2CD=2×5=10cm，
又∵EF是△ABC的中位线，
∴EF=×10=5cm．
故答案5．
本题主要考查了三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线，熟知三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
17. 已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1、B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OB1，OA1所在直线为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在y轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点A2018的坐标为_____

【正确答案】（32017，0）

【详解】解：∵菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，∴OA1=A1B1sin30°=2×=1，OB1=A1B1cos30°=2×=，∴A1（1，0）．
∵B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，∴OA2===3，∴A2（3，0）．
同理可得A3（9，0）…
∴A2018（32017，0）．
故答案为（32017，0）．
点睛：本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应角相等是解答此题的关键．
18. （2015孝感，第16题，3分）如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：
①∠ABN=60°；②AM=1；③QN=；④△BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH的最小值是．其中正确结论的序号是__________．

【正确答案】①④⑤．

【详解】解：如图1，连接AN，
∵EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
根据折叠的性质，可得：AB=BN，
∴AN=AB=BN，
∴△ABN为等边三角形，
∴∠ABN=60°，
∠PBN=60°÷2=30°，即结论①正确；

∵∠ABN=60°，∠ABM=∠M，
∴∠ABM=∠M=60°÷2=30°，
∴AM=AB•tan30°==，即结论②没有正确；
∵EF∥BC，QN是△MBG的中位线，
∴QN=BG，
∵BG=BM=AB÷cos∠ABM==，
∴QN==，即结论③没有正确；
∵∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，
∴∠BMG=∠BNM﹣∠MBN=90°﹣30°=60°，
∴∠MBG=∠ABG﹣∠ABM=90°﹣30°=60°，
∴∠BGM=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，
∴△BMG为等边三角形，即结论④正确；
∵△BMG是等边三角形，点N是MG的中点，
∴BN⊥MG，
∴BN=BG•sin60°==2，P与Q重合时，PN+PH的值最小，
∵P是BM的中点，H是BN的中点，
∴PH∥MG，
∵MG⊥BN，
∴PH⊥BN，
又∵PE⊥AB，
∴PH=PE，
∴PN+PH=PN+PE=EN，
∵EN===，
∴PN+PH=，
∴PN+PH的最小值是，即结论⑤正确．
故答案为①④⑤．
三、解 答 题:（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
【正确答案】2

【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】原式=3－－１＋
=2．
20. 先化简，再求值：，其中a＝2．
【正确答案】3

【详解】分析：首先通过通分对括号内的运算进行计算，然后再进行除法运算，再把x的值代入求值即可.
详解：原式
当a=2时，原式.
点睛：此题主要考查了分式的化简求值，关键是利用分式的混合运算的法则和顺序，通分、约分的性质化为最简分式，再代入求值.
21. 如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG=DC，CE=CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP．
求证：FP=EP．

【正确答案】证明见解析

【分析】根据平行四边形的性质推出∠DGC=∠GCB，根据等腰三角形性质求出∠DGC=∠DCG，推出∠DCG=∠GCB，根据等角的补角相等求出∠DCP=∠FCP，根据SAS证出△PCF≌△PCE即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DGC=∠GCB，
∵DG=DC，
∴∠DGC=∠DCG．
∴∠DCG=∠GCB．
∵∠DCG+∠DCP=180°，∠GCB+∠FCP=180°，
∴∠DCP=∠FCP．
∵在△PCF和△PCE中，CE=CF，∠FCP=∠ECP，CP=CP，
∴△PCF≌△PCE（SAS）．
∴PF=PE．
22. “中国梦”关系每个人的幸福生活，为展现巴中人追梦的风采，我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均没有完整，请你根据统计图解答下列问题．

（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率．
【正确答案】（1）20，72，40；（2）作图见试题解析；（3）．

【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，根据D级的人数求得D等级扇形圆心角的度数和m的值；
（2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）根据题意得：3÷15%=20（人），
表示“D等级”的扇形的圆心角为×360°=72°；
C级所占的百分比为×=40%，故m=40，
故答案为20，72，40．
（2）故等级B人数为20﹣（3+8+4）=5（人），
补全统计图，如图所示；

（3）列表如下：

所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，则P（恰好是一名男生和一名女生）==．
考点：1．列表法与树状图法；2．扇形统计图；3．条形统计图．

23. 今年3月12日植树节期间，学校预购进A、B两种树苗，若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元，若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元．
（1）求购进A、B两种树苗的单价；
（2）若该单位准备用没有多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵？
【正确答案】（1）购进A种树苗的单价为200元/棵，购进B种树苗的单价为300元/棵；（2）A种树苗至少需购进10棵

【分析】（1）设购进A种树苗的单价为x元/棵，购进B种树苗的单价为y元/棵，根据“若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元，若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元”，即可得出关于x、y的二元方程组，解之即可得出结论；
（2）设需购进A种树苗a棵，则购进B种树苗（30﹣a）棵，根据总价＝单价×购买数量购买两种树苗的总费用没有多于8000元，即可得出关于a的一元没有等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：（1）设购进A种树苗的单价为x元/棵，购进B种树苗的单价为y元/棵，
根据题意得：，
解得：．
答：购进A种树苗的单价为200元/棵，购进B种树苗的单价为300元/棵．
（2）设需购进A种树苗a棵，则购进B种树苗（30﹣a）棵，
根据题意得：200a＋300（30﹣a）≤8000，
解得：a≥10．
∴A种树苗至少需购进10棵．
本题考查二元方程组、一元没有等式的应用，找准题目中的数量关系是关键．
24. 如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，然后沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1：，（斜坡的铅直高度与水平宽度的比），测量AB＝10米，AE＝15米，
（1）求点B到地面的距离；
（2）求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略没有计，结果保留根号）

【正确答案】（1）5；（2）宣传牌CD高（20﹣10）m．

【详解】试题分析：（1）在Rt△ABH中，由tan∠BAH==i==．得到∠BAH=30°，于是得到结果BH=ABsin∠BAH=10sin30°=10×=5；
（2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=10．cos30°=5．在Rt△ADE中，tan∠DAE=，即tan60°=，得到DE=15，如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，求出BF=AH+AE=5+15，于是得到DF=DE﹣EF=DE﹣BH=15﹣5．在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣45°=45°，求得∠C=∠CBF=45°，得出CF=BF=5+15，即可求得结果．
试题解析：解：（1）在Rt△ABH中，∵tan∠BAH==i==，∴∠BAH=30°，∴BH=ABsin∠BAH=10sin30°=10×=5．
答：点B距水平面AE的高度BH是5米；
（2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=10．cos30°=5．在Rt△ADE中，tan∠DAE=，即tan60°=，∴DE=15，如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，∴BF=AH+AE=5+15，DF=DE﹣EF=DE﹣BH=15﹣5．在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣45°=45°，∴∠C=∠CBF=45°，∴CF=BF=5+15，∴CD=CF﹣DF=5+15﹣（15﹣5）=20﹣10（米）．答：广告牌CD的高度约为（20﹣10）米．

25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数y=（x＞0）的图象点A，动直线x=t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．
（1）求k的值；
（2）当t=4时，求△BMN面积；
（3）若MA⊥AB，求t的值．

【正确答案】（1）k=8；（2）6；（3）t=．

【分析】（1）把点A坐标代入y=（x＞0），即可求出k的值；
（2）先求出直线AB的解析式，当t=4时，M（4，2），N（4，﹣1），则MN=3，从而得出△BMN的面积S；
（3）求出直线AM的解析式，由反比例函数解析式和直线AM的解析式组成方程组，解方程组求出M的坐标，即可得出结果．
【详解】（1）把点A（8，1）代入反比例函数y=（x＞0），得：k=1×8=8，
∴k=8；
（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b，根据题意得：
，
解得：k=，b=﹣3，
∴直线AB的解析式为：y=x﹣3；
当t=4时，M（4，2），N（4，﹣1），则MN=3，
∴△BMN的面积S=6；
（3）∵MA⊥AB，
∴设直线MA的解析式为：y=﹣2x+c，
把点A（8，1）代入得：c=17，
∴直线AM的解析式为：y=﹣2x+17，
解方程组：，
得： 或 （舍去），
∴M的坐标为（，16），
∴t=．
本题是反比例函数综合题目．本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要确定函数的解析式，由反比例函数解析式和直线AM的解析式组成方程组，解方程组才能得出结果．
26. (2014四川资阳)如图①，已知直线l1∥l2，线段AB在直线l1上，BC垂直于l1交l2于点C，且AB＝BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l2，l1于点D，E(点A，E位于点B的两侧，满足BP＝BE，连接AP，CE．
(1)求证：△ABP≌△CBE．
(2)连接AD、BD，BD与AP相交于点F，如图②．
①当时，求证：AP⊥BD；
②当(n＞1)时，设△PAD的面积为S1，△PCE的面积为S2，求的值．

【正确答案】见解析

【详解】(1)证明：BC⊥直线l1，
∴∠ABP＝∠CBE．
在△ABP和△CBE中，

(2)①证明：如图，延长AP交CE于点H．
∵△ABP≌△CBE，
∴∠PAB＝∠ECB，
∴∠PAB＋∠AEH＝∠ECB＋∠AEH＝90°，
∴∠AHE＝90°，
∴AP⊥CE．
∵，即P为BC的中点，直线l1∥直线l2，
∴△CPD∽△BPE，
∴，
∴DP＝EP．
∴四边形BDCE是平行四边形，∴CE∥BD．
∵AP⊥CE，∴AP⊥BD．
②解：∵，∴BC＝P，
∴CP＝(n－1)BP．
∵CD∥BE，
∴△CPD∽△BPE，
∴．
令S△BPE＝S，则S2＝(n－1)S，
S△PAB＝S△BCE＝nS，S△PAE＝(n＋1)S．
∵，
∴S1＝(n＋1)(n－1)S，
∴．

27. 如图，已知直线AB点（0，4），与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是．
(1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．
(2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若没有存在请说明理由．
(3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度？值是多少？

【正确答案】（1）直线y=x+4，点B的坐标为（8，16）；（2）点C的坐标为（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的值是18．

【分析】（1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标；
（2）分若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2；若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2；若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2三种情况求得m的值，从而确定点C的坐标；
（3）设M（a，a2），得MN=a2+1，然后根据点P与点M纵坐标相同得到x=，从而得到MN+3PM=﹣a2+3a+9，确定二次函数的最值即可．
【详解】（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为-2，
,A点的坐标为（-2，1），
设直线的函数关系式为y=kx+b，
将（0，4），（-2，1）代入得
解得
∴y＝x＋4
∵直线与抛物线相交，

解得：x=-2或x=8，
当x=8时，y=16，
∴点B的坐标为（8，16）；
（2）存在．
∵由A(－2，1)，B(8，16)可求得AB2＝=325
.设点C(m，0)，
同理可得AC2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5，
BC2＝(m－8)2＋162＝m2－16m＋320，
①若∠BAC＝90°，则AB2＋AC2＝BC2，即325＋m2＋4m＋5＝m2－16m＋320，解得m＝－；
②若∠ACB＝90°，则AB2＝AC2＋BC2，即325＝m2＋4m＋5＋m2－16m＋320，解得m＝0或m＝6；
③若∠ABC＝90°，则AB2＋BC2＝AC2，即m2＋4m＋5＝m2－16m＋320＋325，解得m＝32，
∴点C的坐标为(－，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0)　
（3）设M(a，a2)，
则MN＝，
又∵点P与点M纵坐标相同，
∴x＋4＝a2，
∴x= ，
∴点P的横坐标为，
∴MP＝a－，
∴MN＋3PM＝a2＋1＋3(a－)＝－a2＋3a＋9＝－ (a－6)2＋18，
∵－2≤6≤8，
∴当a＝6时，取值18，
∴当M的横坐标为6时，MN＋3PM的长度的值是18






2022-2023学年广东省东莞市中考数学专项突破仿真模拟试题（二模）
一、选一选（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. 2的相反数是（ ）
A. 2 B. －2 C. D.
2. 下列几何体中，俯视图为四边形的是
A B. C. D.
3. 一组数据2，6，2，5，4，则这组数据中位数是( )
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
4. 如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（ ）

A. 75° B. 55° C. 40° D. 35°
5. 如图所示，a与b的大小关系是（　　）

A. a＜b B. a＞b C. a=b D. b=2a
6. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是　　
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7. 正八边形的每个内角为（　　）
A. 120º B. 135º C. 140º D. 144º
8. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，那么的值是（ ）

A. B. C. D.
9. 已知方程x﹣2y+3=8，则整式x﹣2y的值为（   ）
A. 5  B. 10 C. 12   D. 15
10. 如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（　　）


A. B.
C D.
二、填 空 题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11. 正五边形的外角和等于 _______◦．
12. 如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是___________.

13. 分式方程=解是__________．
14. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.
15. 观察下列一组数：，，，，，，根据该组数排列规律，可推出第个数是__________．
16. 如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若，则图中阴影部分面积是 ____________.

三、解 答 题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17. 解方程.
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，已知△ABC中，D为AB的中点．
(1)请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE(保留作图痕迹，没有要求写作法)；

(2)在(1)条件下，若DE＝4，求BC的长．
四、解 答 题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20. 如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路. 现新修一条路AC到公路l. 小明测量出∠ACD=30º，∠ABD=45º，BC=50m. 请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（到0.1m；参考数据：）

21. 某商场的一款空调机每台的标价是1635元，在促销中，按标价的八折，仍可盈利9%.
（1）求这款空调每台的进价：（利润率=利润∶进价=（售价-进价）：进价）
（2）在这次促销中，商场了这款空调机100台，问盈利多少元？
22. 某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次的重要性，校学生会在某天午餐后，随机了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的没有完整的统计图．

(1)这次被的同学共有 名；
(2)把条形统计图补充完整；
(3)校学生会通过数据分析，估计这次被的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
五、解 答 题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23. 如图，在直角坐标系中，直线y=kx+1（k≠0）与双曲线y=（x＞0）相交于P（1，m）．
（1）求k的值；
（2）若点Q与点P关于y=x成轴对称，则点Q的坐标为Q（　 　）；
（3）若过P、Q两点的抛物线与y轴的交点为N（0，），求该抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴方程．

24. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.

（1）求证：∠BCA=∠BAD；
（2）求DE的长；
（3）求证:BE是⊙O的切线．
25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．

（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B没有重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．



2022-2023学年广东省东莞市中考数学专项突破仿真模拟试题（二模）
一、选一选（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. 2的相反数是（ ）
A. 2 B. －2 C. D.
【正确答案】B

【详解】2的相反数是-2.
故选：B.
2. 下列几何体中，俯视图为四边形的是
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】试题分析：找到从上面看所得到的图形即可：从上面看易得A、B、C、D的俯视图分别为五边形、三角形、圆、四边形．故选D．
3. 一组数据2，6，2，5，4，则这组数据的中位数是( )
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】B

【详解】试题分析：将一组数据从小到大排列，处于最中间的数字就是中位数.本题有5个数字，则排在第三个的就是中位数.由小到大排列，得：2，2，4，5，6，所以，中位数为4
考点：中位数的确定.

4. 如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（ ）

A. 75° B. 55° C. 40° D. 35°
【正确答案】C

【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠4=75°，然后根据三角形的外角等于没有相邻两内角的和，可知∠4=∠2+∠3，据此求解即可得．
【详解】解：标定角度如图所示：

∵，
∴∠1=∠4=75°，
∵∠4=∠2+∠3，
∴∠3=75°-35°=40°．
故选C．
题目主要考查平行线的性质，三角形的外角性质，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键．

5. 如图所示，a与b的大小关系是（　　）

A. a＜b B. a＞b C. a=b D. b=2a
【正确答案】A

【详解】根据数轴得到a<0，b>0，
∴b>a，
故选A

6. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是　　
A. 象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【正确答案】C

【分析】根据点在各象限的坐标特点即可解答．
【详解】解：，点的横坐标-2＜0，纵坐标-3＜0，
∴这个点在第三象限．
故选C．
解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的坐标的符号：象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．

7. 正八边形的每个内角为（　　）
A. 120º B. 135º C. 140º D. 144º
【正确答案】B

【详解】根据正八边形的内角公式得出：[（n-2）×180]÷n=[（8-2）×180]÷8=135°．
故选B．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，那么的值是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】过A作AB⊥x轴于点B，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OA，再根据正弦的定义即可求解.
【详解】如图，过A作AB⊥x轴于点B，

∵A的坐标为(4,3)
∴OB=4，AB=3，
在Rt△AOB中，
∴
故选：D．
本题考查求正弦值，利用坐标求出直角三角形的边长是解题的关键．

9. 已知方程x﹣2y+3=8，则整式x﹣2y的值为（   ）
A. 5  B. 10 C. 12   D. 15
【正确答案】A

【详解】试题解析：由x−2y+3=8得：x−2y=8−3=5，
故选A.

10. 如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（　　）


A. B.
C. D.
【正确答案】C

【分析】分P在AB、BC、CD、AD上四种情况，表示出y与x的函数解析式，确定出大致图象即可．
【详解】设正方形的边长为a，
当P在AB边上运动时，y＝ax；
当P在BC边上运动时，y＝a（2a−x）＝−ax＋a2；
当P在CD边上运动时，y＝a（x−2a）＝ax−a2；
当P在AD边上运动时，y＝a（4a−x）＝−ax＋2a2，
故选：C．
此题考查了动点问题的函数图象，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．

二、填 空 题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11. 正五边形的外角和等于 _______◦．
【正确答案】360

【详解】试题分析：任何n边形的外角和都等于360度.
考点：多边形的外角和.

12. 如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是___________.

【正确答案】6

【分析】由菱形的性质可得AB=BC，再由∠ABC=60°得△ABC为等边三角形即可求得答案．
【详解】根据菱形的性质可得AB=BC=6，
∵∠ABC=60°，
则△ABC为等边三角形，
则AC=AB=6，
故6．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．

13. 分式方程=的解是__________．
【正确答案】x=2

【详解】试题分析：先去分母，将分式方程转化为一个整式方程．然后解这个整式方程．方程两边同乘以（x＋1）x，约去分母，得3x=2（x+1）,去括号，移项，合并同类项，得x=2．
考点：分式方程的解法．

14. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.
【正确答案】4∶9

【详解】试题解析：∵两个相似三角形周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
考点：相似三角形的性质．

15. 观察下列一组数：，，，，，，根据该组数的排列规律，可推出第个数是__________．
【正确答案】

【详解】试题分析：分母的规律为2n+1，分子的规律为n，所以，它的规律为：，将n＝10代入可得.
考点：规律题.

16. 如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若，则图中阴影部分面积是 ____________.

【正确答案】4

【详解】解：是中线，
同理可得：
，
由中线性质，可得AG=2GD，则
，
∴阴影部分的面积为4；
故4.

三、解 答 题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17. 解方程.
【正确答案】，

【详解】试题分析：首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解结果求出方程的解.
试题解析：∴或∴，
考点：解一元二次方程.

18. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】，

【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简，然后代x的值，进行二次根式化简．
【详解】解：原式=



当时，原式=
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．

19. 如图，已知△ABC中，D为AB的中点．
(1)请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE(保留作图痕迹，没有要求写作法)；

(2)在(1)条件下，若DE＝4，求BC的长．
【正确答案】（1）见解析；（2）8

【分析】（1）作AC的垂直平分线即可得到AC的中点E，然后连接DE即可；
（2）利用三角形中位线性质求解．
【详解】（1）如图，DE为所作；

（2）∵D点为AB的中点，E点为AC的中点，
∴△ABC中位线定理，
∴BC=2DE=8．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．

四、解 答 题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20. 如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路. 现新修一条路AC到公路l. 小明测量出∠ACD=30º，∠ABD=45º，BC=50m. 请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（到0.1m；参考数据：）

【正确答案】68.3m

【分析】
【详解】解：设BD长为x，如下图：

在三角形ADC中，tan30°=；得
21. 某商场的一款空调机每台的标价是1635元，在促销中，按标价的八折，仍可盈利9%.
（1）求这款空调每台进价：（利润率=利润∶进价=（售价-进价）：进价）
（2）这次促销中，商场了这款空调机100台，问盈利多少元？
【正确答案】（1）这款空调每台的进价为1200元；（2）商场这款空调机100台的盈利为10800元．

【分析】（1）由“利润率=利润：进价=（售价-进价）：进价”这一隐藏的等量关系列出方程即可；
（2）用量乘以每台的利润即可．
【详解】解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：
=9%，
解得：x=1200，
经检验：x=1200是原方程的解．
答：这款空调每台的进价为1200元；
（2）商场这款空调机100台的盈利为：100×1200×9%=10800元．

22. 某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次的重要性，校学生会在某天午餐后，随机了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的没有完整的统计图．

(1)这次被的同学共有 名；
(2)把条形统计图补充完整；
(3)校学生会通过数据分析，估计这次被的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
【正确答案】（1）1000；
（2）图形见解析；
（3）该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．

【分析】（1）用没有剩的人数除以其所占的百分比即可；
（2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可；
（3）根据这次被的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐，再根据全校的总人数是18000人，列式计算即可．
【详解】解：（1）这次被的同学共有400÷40%=1000（名）
故1000
（2）剩少量的人数是：1000-400-250-150=200（名），

（3）
答：该校1800名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐.

五、解 答 题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23. 如图，在直角坐标系中，直线y=kx+1（k≠0）与双曲线y=（x＞0）相交于P（1，m）．
（1）求k的值；
（2）若点Q与点P关于y=x成轴对称，则点Q的坐标为Q（　 　）；
（3）若过P、Q两点的抛物线与y轴的交点为N（0，），求该抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴方程．

【正确答案】（1）k=1；（2）（2，1）；（3）抛物线解析式为：y=﹣x2+x+，对称轴方程为x=．

【详解】试题分析：（1）直接将点代入反比例函数解析式得出的值，进而把点代入函数解析式得出答案；
（2）利用全等三角形的判定和性质得出 即可得出点坐标；
（3）直接利用待定系数法求出二次函数解析式进而得出答案．
试题解析: (1)把P(1,m)代入 得m=2，
∴P(1,2)
把(1,2)代入y=kx+1，得k=1；
(2)如图所示：过点P作PA⊥y轴于点A，过点Q作QB⊥x轴于点B，

∵点Q与点P关于y=x成轴对称，OP=OQ，

∴∠AOP=∠BOQ，
在△APO和△BQO中，


∴AO=OB=2，AP=QB=1，
∴Q点的坐标为：(2,1).
故答案为(2,1)；
(3)设抛物线的解析式为 得：
解得
故抛物线解析式为：
则对称轴方程为

24. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.

（1）求证：∠BCA=∠BAD；
（2）求DE的长；
（3）求证:BE是⊙O的切线．
【正确答案】解：（1）证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD．
∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），
∴∠BCA=∠BAD．
（2）∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，∴．
∵BD="BA" =12，BC=5，∴根据勾股定理得：AC=13．
∴，解得：．
（3）证明：连接OB，OD，

在△ABO和△DBO中，∵，
∴△ABO≌△DBO（SSS）．
∴∠DBO=∠ABO．
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC．∴OB∥ED．
∵BE⊥ED，∴EB⊥BO．∴OB⊥BE．
∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线．

【详解】试题分析：（1）根据BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由圆周角定理∠BCA=∠BDA即可得出结论．
（2）判断△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度．
（3）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断OB⊥DE，可得出结论．
25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．

（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B没有重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
【正确答案】（1）AB=9，OC="9" （2）s=m2（0＜m＜9）（3）

【详解】解：（1）在中，
令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；
令y=0，即，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）．
∴AB=9，OC=9．
（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，即：．
∴s=m2（0＜m＜9）．
（3）∵S△AEC=AE•OC=m，S△AED=s=m2，
∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED
=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+．
∴△CDE的面积为，
此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=．
又，
过E作EF⊥BC于F，
则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：，即：．
∴．
∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2=．
（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长．
（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B没有重合，可确定m的取值范围．
（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的面积以及此时m的值．
②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解．