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2022-2023学年广东省汕尾市中考数学专项突破仿真模拟试题（3月4月）含解析
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这是一份2022-2023学年广东省汕尾市中考数学专项突破仿真模拟试题（3月4月）含解析，共62页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，计算题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省汕尾市中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本大题共12小题，共36.0分）
1. 下列各数中比小的数是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图的几何体是由六个完全相同的正方体组成的，这个几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
3. 一粒米的质量是千克，将用科学记数法表示为
A. B. C. D.
4. 下列图形中既是对称图形又是轴对称图形的是
A. B. C. D.
5. 下列各式计算正确的是
A. B. C. D.
6. 如图，内接于，连接OA，OB，若，则的度数是
A. B. C. D.
7. 没有等式的正整数解的个数是为
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 如图，平行四边形ABCD中，AE平分，，，则CE等于
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
9. 某校新生进行军训打靶演练，分小组进行，某小组五名同学的成绩分别是：9、5、8、7、6环，则该组数据的平均数与中位数分别是
A. 6，7 B. 6，8 C. 7，7 D. 7，8
10. 如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（ ）
A. 2m B. 2m C. m D. m
11. 如图，半径为4的与含有角的直角三角板ABC的边AC切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与相切时，该直角三角板平移的距离为
A 2 B. C. 4 D.
12. 如图，已知直线与与双曲线交于A、B两点，连接OA，若，则k值为
A. B. C. D.
二、填 空 题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，3，4，5，则这组数据的众数是______．
14. 如图，已知，，垂足为E，若，则的度数为______．
15. 分解因式：______．
16. 如图，在菱形ABCD中，，，则菱形ABCD的周长等于______．
17. 如图，下列图形均是由完全相同的点按照一定的规律组成的，第1个图形一共有3个点，第2个图形一共有8个点，第3个图形一共有15个点，，按此规律排列下去，第100个图形中点的个数是______．
18. 如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中点，将沿AE折叠，使点B落在点H处，延长EH交CD于点F，过E作的平分线交CD于点G，则的面积为______．
三、计算题（本大题共4小题，共32.0分）
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）请画出将△ABC向下平移3个单位得到的；
（2）请画出以点O为旋转，将△ABC逆时针旋转90°得到的；
（3）请直接写出、的距离．
21. 如图，在中，，点C为AB的中点，，以点O为圆心，6为半径的圆点C，分别交OA、OB于点E、F．
求证：AB为的切线；
求图中阴影部分的面积注：结果保留，，，
22. 荔枝是广西盛产的一种水果，六月份是荔枝传统旺季去年六月份某水果公司为拓展渠道，在实体店的基础上中途增设了网店，公司总量吨与时间天关系如图所示：
请直接写出去年六月份网店每天量，并求出AB的解析式没有写取值范围；
公司预计，今年六月份实体店的量与去年相同，网店的量将有所增加，预计今年网店每天的量比去年增加，公司六月份的总量是去年的倍，求m的值．
四、解 答 题（本大题共4小题，共34.0分）
23. 计算：．
24. 某校英语社团举行了“单词听写大赛”，每位参赛选手共听写单词100个现从参加比赛男女选手中分别随机抽取部分学生进行，对答对的情况进行分组如下：组：，B组：，C组：，D组：，E组：并绘制了如下没有完整的统计图：
请根据以上信息解答下列问题：
本次共抽取了多少名学生，并将条形统计图补充完整；
求出A组所对的扇形圆心角的度数；
若从D、E两组中分别抽取一位学生进行采访，请用画树状图或列表法求出恰好抽到两位女学生的概率．
25. 如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边DE上，AB、CD交于点F，连接BD．
求证：≌；
求证：；
若，AF：：3，求线段AB的长．
26. 如图1，抛物线，两点，抛物线与x轴的另一交点为A，连接AC、BC．
求抛物线的解析式及点A的坐标；
若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存一点E，使得是以BD为斜边的直角三角形？若存在，求出点E的坐标，若没有存在，说明理由；
如图2，P为抛物线在象限内一动点，过P作于Q，当PQ的长度时，在线段BC上找一点M使的值最小，求的最小值．
2022-2023学年广东省汕尾市中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本大题共12小题，共36.0分）
1. 下列各数中比小的数是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，值大的反而小，可得比-2小的数是-3．
【详解】∵|-3|=3，|-1|=1，
又0＜1＜2＜3，
∴-3＜-2，
所以，所给出的四个数中比-2小的数是-3，
故选：A
本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，值大的反而小．
2. 如图的几何体是由六个完全相同的正方体组成的，这个几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：这个几何体的主视图有两层，从左起上一层有两列，下一层有三列
所以其主视图为
故选A．
3. 一粒米的质量是千克，将用科学记数法表示为
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选B．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
4. 下列图形中既是对称图形又是轴对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形两部分折叠后可重合，对称图形是要寻找对称，旋转180度后与自身重合．
【详解】解：A、是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；
B、是轴对称图形，也是对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；
D、没有是轴对称图形，是对称图形，没有符合题意．
故选B．
本题考查的是对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，对称图形是要寻找对称，旋转180度后与自身重合．
5. 下列各式计算正确的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂的除法法则：底数没有变，指数相减；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数没有变分别进行计算即可．
【详解】解：A、和没有是同类项，没有能合并，故原题计算错误；
B、，故原题计算错误；
C、，故原题计算错误；
D、，故原题计算正确；
故选D．
此题主要考查了同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方，关键是掌握各计算法则．
6. 如图，内接于，连接OA，OB，若，则的度数是
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由圆周角定理得出，然后由，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，可求得的度数．
【详解】解：，
，
，
．
故选B．
此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质此题难度没有大，注意掌握数形思想的应用．
7. 没有等式的正整数解的个数是为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【分析】首先利用没有等式的基本性质解没有等式，再从没有等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
【详解】解：没有等式的解集是，
故没有等式的正整数解为1，2，一共2个．
故选B．
本题考查了一元没有等式的整数解，正确解没有等式，求出解集是解答本题的关键解没有等式应根据没有等式的基本性质
8. 如图，平行四边形ABCD中，AE平分，，，则CE等于
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【正确答案】D
【分析】根据平行四边形的性质得出，，，推出，再根据角平分线性质得出，推出，即可求出CE；
【详解】解：四边形ABCD平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
．
故选D．
本题考查了平行四边形性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
9. 某校新生进行军训打靶演练，分小组进行，某小组五名同学的成绩分别是：9、5、8、7、6环，则该组数据的平均数与中位数分别是
A. 6，7 B. 6，8 C. 7，7 D. 7，8
【正确答案】C
【分析】根据平均数和中位数的概念求解．
【详解】解：这组数据按照平均数为：，
从小到大的顺序排列为：5，6，7，8，9，中位数为7．
故选C．
本题考查了中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
10. 如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（ ）
A. 2m B. 2m C. m D. m
【正确答案】A
【详解】建立如图所示直角坐标系：
可设这条抛物线为y=ax2，把点（2，–2）代入，得–2=a×22，解得：a=–，
∴y=–x2，当y=–3时，–x2=–3．解得：x=±，∴水面下降1m，水面宽度为2m．故选A．
11. 如图，半径为4的与含有角的直角三角板ABC的边AC切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与相切时，该直角三角板平移的距离为
A. 2 B. C. 4 D.
【正确答案】D
【分析】根据题意画出平移后的图形，如图所示，设平移后的与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，过O作，根据垂径定理得到E为AD的中点，由平移前AC与圆O相切，切点为A点，根据切线的性质得到OA与AC垂直，可得为直角，由与为圆O的两条切线，根据切线长定理得到，再根据，根据有一个角为的等腰三角形为等边三角形可得出三角形为等边三角形，平移的距离，且，由求出为，在直角三角形AOE中，由锐角三角函数定义求出AE的长，由可求出AD的长，即为平移的距离．
【详解】解：根据题意画出平移后的图形，如图所示：
设平移后的与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，
过O作，可得E为AD的中点，
平移前圆O与AC相切于A点，
，即，
平移前圆O与AC相切于A点，平移后圆O与相切于D点，
即与为圆O的两条切线，
，又，
为等边三角形，
，，
，
在中，，，
，
，
，
则该直角三角板平移的距离为．
故选D．
本题考查了切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，垂径定理，以及平移的性质，根据题意画出相应的图形，并作出适当的辅助线是解题的关键．
12. 如图，已知直线与与双曲线交于A、B两点，连接OA，若，则k的值为
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】依据直线解析式，运用勾股定理即可得到CD的长，依据面积法即可得到AO的长，再根据勾股定理可得AD的长，利用面积法即可得到AE的长，依据勾股定理可得OE的长，由点A的坐标即可得到k的值．
【详解】解：如图，
过A作于E，
直线解析式为，
，，
，，
中，，
，
，
，
，
，
，
中，，
，
代入双曲线，可得，
故选B．
本题主要考查了反比例函数与函数交点问题，解决问题的关键是勾股定理以及面积法的运用求反比例函数与函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
二、填 空 题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，3，4，5，则这组数据的众数是______．
【正确答案】3
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以没有止一个．
【详解】解：数据3出现了2次最多为众数，
故这组数据的众数是3．
故答案为3．
考查了确定一组数据的中位数和众数的能力求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
14. 如图，已知，，垂足为E，若，则的度数为______．
【正确答案】40°
【分析】由平行线的性质，求出的度数，再由ED与AE垂直，得到三角形CED为直角三角形，根据直角三角形的两锐角互余，即可求出的度数．
【详解】解：，且，
，
，
，
在中，．
故答案为
此题考查了平行线的性质，以及垂直的定义平行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
15. 分解因式：______．
【正确答案】
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式，
故答案为
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16. 如图，在菱形ABCD中，，，则菱形ABCD的周长等于______．
【正确答案】16
【分析】根据菱形的性质可得：，然后根据，可得三角形ABO为含的直角三角形，继而可得出边长以及周长．
【详解】解：连接AC交BD于点O．
四边形ABCD为菱形，
，
，
三角形ABO为含的直角三角形，
，
，
，
菱形ABCD的周长，
故答案为16．
本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
17. 如图，下列图形均是由完全相同的点按照一定的规律组成的，第1个图形一共有3个点，第2个图形一共有8个点，第3个图形一共有15个点，，按此规律排列下去，第100个图形中点的个数是______．
【正确答案】10200
【分析】根据每个图增加点数依次是一个奇数，则第100个图增加了201个点
【详解】解：分析规律如下图
图1 3 1个奇数
图2 2个奇数
图3 3个奇数
图100 共100个奇数
则
故答案为10200
本题为图形变化规律探究题，考查了整式运算的相关知识．
18. 如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中点，将沿AE折叠，使点B落在点H处，延长EH交CD于点F，过E作的平分线交CD于点G，则的面积为______．
【正确答案】
【分析】如图作于M，连接想办法求出FG即可解决问题；
【详解】解：如图作于M，连接AF．
四边形ABCD正方形，
，，
，，
≌，
，设，
在中，，，，
，
，
，，
平分，，，
，设，
在中，则有，
，
，
，
本题考查翻折变换、角平分线的性质定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解
题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用此时构建方程解决问题，属于中考填 空 题中的压轴题．
三、计算题（本大题共4小题，共32.0分）
19. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【详解】解:原式
，
当时，
原式．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
20. 如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）请画出将△ABC向下平移3个单位得到的；
（2）请画出以点O为旋转，将△ABC逆时针旋转90°得到的；
（3）请直接写出、的距离．
【正确答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）．
【分析】（1）画出△ABC向下平移3个单位的三角形，如图所示；
（2）画出△ABC逆时针旋转90°得到三角形，如图所示；
（3）在网格中，利用勾股定理求出所求即可．
【详解】解：（1）如图所示，即所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）根据题意得：、的距离为．
考查了作图—旋转变换，平移变换，熟练掌握旋转与平移规律是解本题的关键．
21. 如图，在中，，点C为AB的中点，，以点O为圆心，6为半径的圆点C，分别交OA、OB于点E、F．
求证：AB为的切线；
求图中阴影部分的面积注：结果保留，，，
【正确答案】（1）见解析；（2）
【分析】连接OC，如图，利用等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定定理得到结论；
利用等腰三角形的性质得，再根据正切定义求出，则，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算即可．
【详解】解:证明：连接OC，如图，
，点C为AB的中点，
，
为切线；
解：，
，
在中，，
，
，
图中阴影部分的面积
本题考查了切线的判定与性质：半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于切点的半径判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了等腰三角形的性质和扇形面积公式．
22. 荔枝是广西盛产的一种水果，六月份是荔枝传统旺季去年六月份某水果公司为拓展渠道，在实体店的基础上中途增设了网店，公司总量吨与时间天关系如图所示：
请直接写出去年六月份网店每天的量，并求出AB的解析式没有写取值范围；
公司预计，今年六月份实体店的量与去年相同，网店的量将有所增加，预计今年网店每天的量比去年增加，公司六月份的总量是去年的倍，求m的值．
【正确答案】（1）；（2）m的值是20．
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得去年六月份网店每天的量，并求出AB的解析式；
根据题意和函数图象中的数据可以列出关于m的方程，从而可以求得m的值．
【详解】解:由题意可得，
实体店每天的量为：吨，
网店每天的量为：吨，
设AB的函数解析式为，
，得，
即AB的函数解析式为；
由题意可得，
实体店每天的量为：吨，
网店每天的量为：吨，
去年六月份的总产量为：吨，
则，
解得，，
即m的值是20．
本题考查函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的性质解答．
四、解 答 题（本大题共4小题，共34.0分）
23. 计算：．
【正确答案】．
【分析】直接利用值的性质以及角的三角函数值和零指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解:原式
．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
24. 某校英语社团举行了“单词听写大赛”，每位参赛选手共听写单词100个现从参加比赛的男女选手中分别随机抽取部分学生进行，对答对的情况进行分组如下：组：，B组：，C组：，D组：，E组：并绘制了如下没有完整的统计图：
请根据以上信息解答下列问题：
本次共抽取了多少名学生，并将条形统计图补充完整；
求出A组所对的扇形圆心角的度数；
若从D、E两组中分别抽取一位学生进行采访，请用画树状图或列表法求出恰好抽到两位女学生的概率．
【正确答案】（1）20人，条形统计图补充见解析；（2）36°；（3）.
【分析】由C组所占的百分比及C组有6人即可求得总人数，然后求得B组的女生数及E组的男生数，从而补全直方图；
用乘A组人数所占比例可得；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所抽的两位学生恰好是两位女生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解:本次的学生总人数为人，
则B项目中女生人数为，E组男生有人，
补全图形如下：
组所对的扇形圆心角的度数为；
画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好抽到两位女学生的有2种结果，
所以恰好抽到两位女学生的概率为．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及直方图的知识注意概率所求情况数与总情况数之比．
25. 如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边DE上，AB、CD交于点F，连接BD．
求证：≌；
求证：；
若，AF：：3，求线段AB的长．
【正确答案】（1）（2）见解析；（3）．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，利用SAS定理证明；
根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算，即可证明；
证明∽，根据相似三角形的性质、的结论计算即可．
【详解】解:证明：和都是等腰直角三角形，
，
，
在和中，
，
≌；
证明：≌，
，，
，
，
在等腰直角中，，
；
，，
∽，
，
设，则，
，
由得，，
解得，，
则．
本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
26. 如图1，抛物线，两点，抛物线与x轴的另一交点为A，连接AC、BC．
求抛物线的解析式及点A的坐标；
若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存一点E，使得是以BD为斜边的直角三角形？若存在，求出点E的坐标，若没有存在，说明理由；
如图2，P为抛物线在象限内一动点，过P作于Q，当PQ的长度时，在线段BC上找一点M使的值最小，求的最小值．
【正确答案】(1)；存在，或；的最小值是．
【分析】利用待定系数法求抛物线的解析式，令解方程可得A的坐标；
根据，构建辅助圆，与y轴有两个交点为点E，根据勾股定理列方程可得点E的坐标；
先作直线；，保证直线l与抛物线有一个公共点，即，可得P的坐标，过P作轴，BC于M，此时的值最小，根据三角函数求确定其最小值是PN的长即可．
【详解】解:把，代入抛物线中得：
，解得：，
抛物线的解析式为：，
当时，，
解得：，，
；
存在，如图1，
，，
，
设，
，
，
即，
，
，，
或；
，，
易得BC的解析式为：，
如图2，作直线，
设直线l的解析式为：，
当直线l与抛物线有一个公共点时，这个公共点为P，此时PQ的长，
则，
，
，
，
，
解得：，
，
过P作轴于N，交BC于M，
，
，
，
即的最小值是．
本题考查了待定系数法求函数和二次函数的解析式、用垂线段最短确定线段和的最值问题、解一元二次方程、勾股定理的运用、锐角三角函数的运用，解题的难点在第三问，突破口是确定的值最小时M的位置．
2022-2023学年广东省汕尾市中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的.每小题3分，共24分）
1. －5的相反数是( )
A. B. C. 5 D. -5
2. 下列四个几何体的俯视图中与众没有同的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( ).
A. B. C. D.
4. 没有等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列为没有可能的是( )．
A. 某射击运动员射击，命中靶心
B. 掷骰子，向上的一面是5点
C. 找到一个三角形，其内角和为360°
D. 城市某一有交通信号灯的路口，遇到红灯
6. 如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C（ ）
A. 20° B. 35° C. 45° D. 70°
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∠A′B′C′可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 3 D. 3
8. 在矩形ABCD中，AD = 2AB = 4，E为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC（或它们的延长线）于点M、N，设∠AEM = α（0°＜α ＜ 90°），给出四个结论：
①AM ＝CN ②∠AME ＝∠BNE ③BN－AM ＝2 ④ .
上述结论中正确的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
9. 2016年9月26日，我国自主设计建造的世界球面射电望远镜落成启用．该望远 镜理论上能接收到13 700 000 000光年以外的电磁信号．数据13 700 000 000光年用科学记数法表示为____光年．
10. 分解因式：2x2﹣8=_______
11. 在函数中，自变量的取值范围是__________．
12. 用彩色和单色的两种地砖铺地，彩色地砖14元/块，单色地砖12元/块，若单色地砖的数量比彩色地砖的数量的2倍少15块，买两种地砖共用了1340元，设购买彩色地砖x块，单色地砖y块，则根据题意可列方程组为_______________.
13. 如图，对平行四边形ABCD对角线交点O直线分别交AB的延长线于点E，交CD的延长线于点F，若AB=4，AE=6，则DF的长等于__．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为________________________ .
15. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数y=的图象点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于_____________.
16. 如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为_______.
三、解 答 题（每小题8分，共16分）
17. 计算：．
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A(1,-4) ，B(3，-3) ，C(1，-1).（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）
（1）将△ABC向左平移3个单位，再向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所的路径长.
19. 如图，有6个质地和大小均相同的球，每个球只标有一个数字，将标有3,4,5的三个球放入甲箱中，标有4,5,6的三个球放入乙箱中．
(1)小宇从甲箱中随机模出一个球，求“摸出标有数字是3球”的概率；
(2)小宇从甲箱中、小静从乙箱中各自随机摸出一个球，若小宇所摸球上的数字比小静所摸球上的数字大1，则称小宇“略胜一筹”．请你用列表法(或画树状图)求小宇“略胜一筹”的概率．
20. 某文具店老板次用1000元购进一批文具，很快完毕，第二次购进时发现每件文具的进价比次上涨了2.5元，老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是次购进数量的2倍，同样很快完毕，已知两批文具的售价均为每件15元.
（1）第二次购进了多少件文具？
（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
21. 某中学开展“阳光体育一小时”，根据学校实际情况，决定开设A：踢毽子；B：篮球；C：跳绳；D：乒乓球四种运动项目.为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取了一部分学生进行，并将结果绘制成如下两个统计图.请图中的信息解答下列问题：
（1）本次共了多少名学生？
（2）请将两个统计图补充完整.
（3）若该中学有1200名学生，喜欢篮球运动项目的学生约有多少名？
22. 如图，的直径，为圆周上一点，，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为，与交于点．
（1）求的度数；
（2）求证：四边形是菱形．
23. 一船以每小时36海里的速度向正北航行到A处， 发现它的东向有灯塔B，船继续向北航行2小时到达C处，发现灯塔B在它的北偏东75°方向，求此时船与灯塔的距离．（结果保留根号）
24. 某商场新进一批商品，每个成本价25元，一段时间发现量y（个）与单价x（元/个）之间成函数关系，如下表：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该商品的单价在45元～80元之间浮动，
①单价定为多少元时，利润？此时量为多少？
②商场想要在这段时间内获得4550元的利润，单价应定为多少元？
25. 有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD＝4cm，∠ADB＝30°．
（1）试探究线段BD与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）把△BCD与△MEF剪去，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，边AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求β的度数．
（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，点A（10，0）和点B（2，2），在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ=2OP，当P、Q重合时同时停止运动，过点Q作x轴垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD=MQ，以QD为对角线作正方形QCDE（正方形QCDE随点Q运动）．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）设正方形QCDE的面积为S，P点坐标（m，0）求S与m之间的函数关系式；
（3）过点P作x轴垂线，交抛物线于点N，延长PN到点G，使NG=PN，以PG为对角线作正方形PFGH（正方形PFGH随点P运动），当点P运动到点（2，0）时，如图2，正方形PFGH的边GF和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上．
①则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是多少？
②若点P继续向点A运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P的坐标，没有必说明理由．
2022-2023学年广东省汕尾市中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的.每小题3分，共24分）
1. －5的相反数是( )
A B. C. 5 D. -5
【正确答案】C
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【详解】-5的相反数是5．
故选C．
本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号没有同的两个数互为相反数是关键．
2. 下列四个几何体的俯视图中与众没有同的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：根据从上边看得到的图形是俯视图，可得
A的俯视图是列两个小正方形，第二列一个小正方形，
B的俯视图是列是两个小正方形，第二列是两个小正方形，
C的俯视图是列两个小正方形，第二列一个小正方形，
D的俯视图是列两个小正方形，第二列一个小正方形，
故选B．
本题考查简单组合体的三视图．
3. 下列计算正确的是( ).
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：
根据整式的相关运算法则进行计算判断即可.
详解：
A选项中，因，所以A中计算错误；
B选项中，因为，所以B中计算错误；
C选项中，因为，所以C中计算错误；
D选项中，因为，所以D中计算正确.
故选D.
点睛：熟练掌握各选项中所涉及的整式运算的运算法则，是正确解答本题的关键.
4. 没有等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先求出两个没有等式解集，再求其公共解．
【详解】解：由x≤1得：x≤2．由2-x＜3得：x＞-1．所以没有等式组的解集为-1＜x≤2．
故选C．
此题主要考查没有等式组的解法及在数轴上表示没有等式组的解集．没有等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个没有等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与没有等式的个数一样，那么这段就是没有等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5. 下列为没有可能的是( )．
A. 某射击运动员射击，命中靶心
B. 掷骰子，向上的一面是5点
C. 找到一个三角形，其内角和为360°
D. 城市某一有交通信号灯的路口，遇到红灯
【正确答案】C
【详解】解：A、B、D都是有可能发生的，但是C是没有可能的，因为三角形内角和都是180°．
故选∶C．
本题主要考查学生对可能和没有可能的理解，同时考查学生对代数几何知识点的熟记程度．
6. 如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为（ ）
A. 20° B. 35° C. 45° D. 70°
【正确答案】B
【详解】解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=35°，∵CD∥OB，∴∠BOC=∠C=35°，
故选B．
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∠A′B′C′可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 3 D. 3
【正确答案】B
【详解】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠CAB=30°，故AB=4，
∵△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，
∴AB=A′B′=4，AC=A′C，
∴∠CAA′=∠A′=30°，
∴∠ACB′=∠B′AC=30°，
∴AB′=B′C=2，
∴AA′=2+4=6．
故选B．
考点：1、旋转的性质；2、直角三角形的性质
8. 在矩形ABCD中，AD = 2AB = 4，E为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC（或它们的延长线）于点M、N，设∠AEM = α（0°＜α ＜ 90°），给出四个结论：
①AM ＝CN ②∠AME ＝∠BNE ③BN－AM ＝2 ④ .
上述结论中正确的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【详解】试题解析：①如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，作EF⊥BC于点F，则有AB=AE=EF=FC，∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，∴∠AEM=∠FEN，在Rt△AME和Rt△FNE中，∵∠AEM=∠FEN，AE=EF，∠MAE=∠NFE，∴Rt△AME≌Rt△FNE，∴AM=FN，∴MB=CN．
∵AM没有一定等于CN，∴AM没有一定等于CN，∴①错误，②由①有Rt△AME≌Rt△FNE，∴∠AME=∠BNE，∴②正确，③由①得，BM=CN，∵AD=2AB=4，∴BC=4，AB=2
∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，∴③正确，④如图，
由①得，CN=CF﹣FN=2﹣AM，AE=AD=2，AM=FN
∵tanα=，∴AM=AEtanα
∵cosα==，∴ ，∴=1+=1+=1+，∴=2（1+）
∴S△EMN=S四边形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN
=（AE+BN）×AB﹣AE×AM﹣BN×BM
=（AE+BC﹣CN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣CN）×CN
=（AE+BC﹣CF+FN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣2+AM）（2﹣AM）
=AE+BC﹣CF+AM﹣AE×AM﹣（2+AM）（2﹣AM）
=AE+AM﹣AE×AM+
=AE+AEtanα﹣tanα+
=2+2tanα﹣2tanα+2
=2（1+）
=，∴④正确．
故选C．
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
9. 2016年9月26日，我国自主设计建造的世界球面射电望远镜落成启用．该望远 镜理论上能接收到13 700 000 000光年以外的电磁信号．数据13 700 000 000光年用科学记数法表示为____光年．
【正确答案】1.37×1010.
【详解】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值大于1时，n是正数；当原数的值小于1时，n是负数．
13 700 000 000=1.37×1010，
故答案为1.37×1010．
考点：科学记数法—表示较大的数.
10. 分解因式：2x2﹣8=_______
【正确答案】2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
11. 在函数中，自变量的取值范围是__________．
【正确答案】且
【详解】试题解析：根据题意可得：，
解得：且．
故答案为且．
点睛：分式有意义的条件：分母没有为零.
二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零.
12. 用彩色和单色的两种地砖铺地，彩色地砖14元/块，单色地砖12元/块，若单色地砖的数量比彩色地砖的数量的2倍少15块，买两种地砖共用了1340元，设购买彩色地砖x块，单色地砖y块，则根据题意可列方程组为_______________.
【正确答案】
【详解】分析：
根据题中所给的两个等量关系：（1）单色地砖的数量=2×彩色地砖的数量-15；（2）购买单色地砖的总费用+购买彩色地砖的总费用=1340，再题目中的已知数据列出方程组即可.
详解：
设购买彩色地砖x块，单色地砖y块，则根据题意可列方程组：
.
故答案为.
点睛：读懂题意，找到两个等量关系：“（1）单色地砖的数量=2×彩色地砖的数量-15；（2）购买单色地砖的总费用+购买彩色地砖的总费用=1340”是解答本题的关键.
13. 如图，对平行四边形ABCD对角线交点O的直线分别交AB的延长线于点E，交CD的延长线于点F，若AB=4，AE=6，则DF的长等于__．
【正确答案】2
【详解】试题解析：连接AC,如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4,AB∥CD，AO=CO，
∴∠F=∠E，
在△COF和△AOE中,
∴△COF≌△AOE(AAS)，
∴DF=CF−CD=6−4=2；
故答案为2.
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为________________________ .
【正确答案】
【分析】阴影部分的面积等于整体图形的面积减去空白部分的面积，旋转的性质和扇形的面积求解.
【详解】Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，由勾股定理得AB＝5.
根据旋转的性质可知，∠BAD＝30°，AD＝AB＝5，△ABC≌△ADE.
因为S阴影＝S△ABC＋S扇形OBD－S△ADE，
所以S阴影＝S扇形OBD＝.
本题主要考查了扇形的面积，若阴影部分的面积是一个规则的图形或是几个规则图形的和与差，则可用面积公式直接求解，若阴影部分没有是规则图形，也没有是几个规则图形的和与差，则需要将原图形中的相关部分通过平移，旋转，翻折等方式转化为规则图形后再求.
15. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数y=的图象点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于_____________.
【正确答案】﹣24
【分析】如下图，过点C作CF⊥AO于点F，过点D作DE∥OA交CO于点E，设CF=4x，由tan∠AOC=可得OF=3x，由此可得OC=5x，从而可得OA=5x，由已知条件易证S菱形ABCO=2S△COD=40=OA·CF=20x2，从而可得x=，由此可得点C的坐标为，这样由点C在反比例函数的图象上即可得到k=-24.
【详解】如下图，过点C作CF⊥AO于点F，过点D作DE∥OA交CO于点E，设CF=4x，
∵四边形ABCO是菱形，
∴AB//CO，AO//BC，
∵DE//AO，
∴四边形AOED和四边形DECB都是平行四边形，
∴S△AOD=S△DOE，S△BCD=S△CDE，
∴S菱形ABCD=2S△DOE+2S△CDE=2S△COD=40，
∵tan∠AOC=，CF=4x，
∴OF=3x，
∴在Rt△COF中，由勾股定理可得OC=5x，
∴OA==OC=5x，
∴S菱形ABCO=AO·CF=5x·4x=20x2=40，解得：x=，
∴OF=，CF=，
∴点C的坐标为，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k=.
故-24.
本题的解题要点有两点：（1）作出如图所示的辅助线，设CF=4x，已知条件把OF和OA用含x的式子表达出来；（2）由四边形AOCB是菱形，点D在AB上，S△COD=20得到S菱形ABCO=2S△COD=40.
16. 如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为_______.
【正确答案】
【详解】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，
，
∴△BAD ≌△CAD′(SAS)，
∴BD=CD′，
∠DAD′=90°，
由勾股定理得DD′=，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=
∴BD=CD′=，
故．
三、解 答 题（每小题8分，共16分）
17. 计算：．
【正确答案】．
【详解】分析：
代入30°角的正切函数值，“零指数幂的意义”、“负整数指数幂的意义”和“二次根式的性质”进行计算即可.
详解：
原式=
=.
点睛：熟记“角的三角函数值”和“零指数幂的意义：”及“负整数指数幂的意义：（为正整数）”是正确解答本题的关键.
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A(1,-4) ，B(3，-3) ，C(1，-1).（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）
（1）将△ABC向左平移3个单位，再向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所的路径长.
【正确答案】(1)见解析；（2）
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C，△ABC绕点C顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再先求得AC的长，再根据弧长公式列式计算即可．
【详解】(1)如图所示：A(1,-4) ，B(3，-3) ，C(1，-1) 向左平移3个单位，再向上平移5个单位的坐标分别为A1(-2,1)、B1（0，2）、C1（－2，4）.
(2)如图所示：AC＝4－1＝3，.
考查作图-旋转变换，轨迹，作图-平移变换，解题的关键是：平移，旋转后对应点的坐标表示出来，及弧长公式的正确运用．
19. 如图，有6个质地和大小均相同的球，每个球只标有一个数字，将标有3,4,5的三个球放入甲箱中，标有4,5,6的三个球放入乙箱中．
(1)小宇从甲箱中随机模出一个球，求“摸出标有数字是3的球”的概率；
(2)小宇从甲箱中、小静从乙箱中各自随机摸出一个球，若小宇所摸球上的数字比小静所摸球上的数字大1，则称小宇“略胜一筹”．请你用列表法(或画树状图)求小宇“略胜一筹”的概率．
【正确答案】（1）；（2）P(小宇“略胜一筹”)＝.
【详解】分析：
（1）由题意可知，小宇从甲箱中任意摸出一个球，共有3种等可能结果出现，其中结果为3只有1种，由此可得小宇从甲箱中任取一个球，刚好摸到“标有数字3”的概率为；
（2）根据题意通过列表的方式列举出小宇和小静摸球的所有等可能结果，然后根据表中结果进行解答即可.
详解：
(1)P(摸出标有数字是3的球)＝.
(2)小宇和小静摸球的所有结果如下表所示：
小静
小宇
4
5
6
3
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,4)
(55)
(5,6)
从上表可知，一共有九种可能，其中小宇所摸球的数字比小静的大1的有一种，因此
P(小宇“略胜一筹”)＝.
点睛：能正确通过列表的方式列举出小宇在甲箱中任摸一个球和小静在乙箱中任摸一个球的所有等可能结果，是正确解答本题第2小题的关键.
20. 某文具店老板次用1000元购进一批文具，很快完毕，第二次购进时发现每件文具的进价比次上涨了2.5元，老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是次购进数量的2倍，同样很快完毕，已知两批文具的售价均为每件15元.
（1）第二次购进了多少件文具？
（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
【正确答案】（1）第二次购进了200件文具.
（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利1000元
【详解】本题中两个等量关系：（1）次的进价+2.5=第二次的进价，（2）第二次的数量=2×次的数量.利用（2）设出未知数，并且用未知数表示出另一个的数量，然后利用（1）列方程.两批文件的总售价－1000－2500=总利润.
21. 某中学开展“阳光体育一小时”，根据学校实际情况，决定开设A：踢毽子；B：篮球；C：跳绳；D：乒乓球四种运动项目.为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取了一部分学生进行，并将结果绘制成如下两个统计图.请图中的信息解答下列问题：
（1）本次共了多少名学生？
（2）请将两个统计图补充完整.
（3）若该中学有1200名学生，喜欢篮球运动项目的学生约有多少名？
【正确答案】（1）本次共200名学生；（2）补全图形见解析；（3）该学校喜欢乒乓球体育项目的学生约有180人.
【分析】（1）条形统计图和扇形统计图，利用A组频数80除以A组频率40%，即可得到该校本次了多少名学生；
（2）利用（1）中所求人数，减去A、B、D组的频数即可的C组的频数；B组频数除以总人数即可得到B组频率；
（3）用1200乘以抽查的人中喜欢篮球运动项目的人数所占的百分比即可．
【详解】解：（1）80÷40%=200（人）
∴本次共200名学生
（2）200−80−30−50=40(人)，
30÷200×=15%，
补全如下图：
（3）1200×15%=180（人）
∴该学校喜欢乒乓球体育项目的学生约有180人．
22. 如图，的直径，为圆周上一点，，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为，与交于点．
（1）求的度数；
（2）求证：四边形是菱形．
【正确答案】（1）30° （2）证明见详解
【分析】（1）由直径AB的长，求出半径OA及OC的长，再由AC的长，得到三边相等，可得此三角形为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，再根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可得出∠AEC的度数；
（2）由直线l与⊙O相切，根据切线的性质得到OC与直线l垂直，又BD与直线l垂直，根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行得到，根据两直线平行同位角相等，可得出，再由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠AED为直角，用求出，可得出一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行，可得出，根据两组对边平行的四边形为平行四边形可证明四边形OBEC为平行四边形，再由，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出OBEC为菱形．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴△OAC为等边三角形，
∴，
∵圆周角∠AEC与圆心角∠AOC都对弧，
∴；
【小问2详解】
证明：∵直线l切⊙O于C，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵AB为⊙O直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形OBEC为平行四边形，
又∵，
∴四边形OBEC为菱形．
本题主要考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、圆周角定理、平行线的判定与性质、平行四边形及菱形的判定等知识，是一道综合性较强的试题，做题时应图形，弄清题中的条件，找出已知与未知间的联系来解决问题．
23. 一船以每小时36海里的速度向正北航行到A处， 发现它的东向有灯塔B，船继续向北航行2小时到达C处，发现灯塔B在它的北偏东75°方向，求此时船与灯塔的距离．（结果保留根号）
【正确答案】此时船与灯塔的距离为72海里．
【详解】分析：
如下图，过点C作CD⊥AB于点D，由题意易得AC=72，再Rt△ACD中已知条件可解得CD=，再在Rt△CDB中由已知条件求得∠B=30°，即可解得BC=.
详解：
过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，AC=36×2=72 ，∠A=45°，
∴sinA=，
∴CD=AC·sinA=72×，
在Rt△BCD中，∠B=∠PCB- ∠A=75°-45°=30°，
∴BC=2·CD=2×3672（海里） ，
∴此时船与灯塔的距离为72海里.
点睛：读懂题意，得到∠A=45°，AC=72，∠PCB=75°，并由此得到∠B=30°，再作出如图所示的辅助线，把问题转化成在Rt△ACD和△CBD中求CD和BC的长，是解答本题的关键.
24. 某商场新进一批商品，每个成本价25元，一段时间发现量y（个）与单价x（元/个）之间成函数关系，如下表：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该商品的单价在45元～80元之间浮动，
①单价定为多少元时，利润？此时量为多少？
②商场想要在这段时间内获得4550元的利润，单价应定为多少元？
【正确答案】（1）y=-2x+250；（2）①75，100；②单价应定在60元．
【分析】（1）设出函数解析式，把两组值分别代入计算可得的值；
①利润=量单价，得到二次函数解析式，求得相应的最值即可；②把代入①得到的解析式，求得合适的解即可．
【详解】（1）设由题意得：，解得，
（2）①设该商品的利润为元，，∴当时，，此时销量为（个）；
②，解得
考点：1、函数的应用；2、一元二次方程的应用．
25. 有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD＝4cm，∠ADB＝30°．
（1）试探究线段BD与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）把△BCD与△MEF剪去，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，边AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求β的度数．
（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离．
【正确答案】（1）BD＝MF，BD⊥MF；（2）β的度数为60°或15°；（3）平移的距离是（3﹣）cm．
【分析】（1）由旋转的性质得到BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，进而可得∠DNM的大小．
（2）分两种情形讨论①当AK=FK时，②当AF=FK时，根据旋转的性质得出结论．
（3）求平移的距离是A2A的长度．在矩形PNA2A中，A2A=PN，只要求出PN的长度就行．用△DPN∽△DAB得出对应线段成比例，即可得到A2A的大小．
【详解】（1）结论：BD=MF，BD⊥MF．理由：
如图1，延长FM交BD于点N．
由题意得：△BAD≌△MAF，∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．
又∵∠DMN=∠AMF，∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，∴∠DNM=90°，∴BD⊥MF．
（2）如图2．
①当AK=FK时，∠KAF=∠F=30°，则∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°，即β=60°；
②当AF=FK时，∠FAK（180°﹣∠F）=75°，∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°，即β=15°；
综上所述：β的度数为60°或15°；
（3）如图3．
由题意得矩形PNA2A．设A2A=x，则PN=x．在Rt△A2M2F2中，∵F2M2=FM=4，∠F=∠ADB=30°，∴A2M2=2，A2F2=2，∴AF2=2x．
∵∠PAF2=90°，∠PF2A=30°，∴AP=AF2•tan30°=2x，∴PD=AD﹣AP=22x．
∵NP∥AB，∴∠DNP=∠B．
∵∠D=∠D，∴△DPN∽△DAB，∴，∴，解得：x=，即A2A=，∴平移的距离是（）cm．
本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质的运用运用．在利用相似三角形的性质时注意使用相等线段的代换以及注意分类思想的运用．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，点A（10，0）和点B（2，2），在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ=2OP，当P、Q重合时同时停止运动，过点Q作x轴的垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD=MQ，以QD为对角线作正方形QCDE（正方形QCDE随点Q运动）．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）设正方形QCDE的面积为S，P点坐标（m，0）求S与m之间的函数关系式；
（3）过点P作x轴的垂线，交抛物线于点N，延长PN到点G，使NG=PN，以PG为对角线作正方形PFGH（正方形PFGH随点P运动），当点P运动到点（2，0）时，如图2，正方形PFGH的边GF和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上．
①则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是多少？
②若点P继续向点A运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P的坐标，没有必说明理由．
【正确答案】（1）抛物线解析式为；（2）；（3）①5；② P1（2.5，0），P2（9-，0），P3（，0）．
【详解】分析：
（1）由抛物线过原点和点A（10，0）设其解析式为，代入点B的坐标（2，2）解得a的值即可得到抛物线的解析式；
（2）由已知条件求出直线AB的解析式，由点P的坐标为（m，0）已知条件可得OQ=10-2m，由此即可用含m的式子表达出DQ的长度，这样由四边形ACDE是正方形即可由S=DQ2求出S与m之间的函数关系式了；
（3）①将x=2代入抛物线解析式得y=2，可知点N的坐标为（2，2），点G的坐标为（2，4），当GF和EQ落在同一条直线上时，△FGQ为等腰直角三角形，则PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，将x=6代入直线AB解析式可求得得点M的坐标为（6，1），即QM=1，由旋转法可知，每一个阴影部分面积等所在正方形面积的一半，由此可求两个阴影部分面积和；②分为PF、DE在同一直线上；PF、CQ在同一直线上；GF、CD在同一直线上三种情况分析计算求出相应的P点的坐标即可.
详解：
（1）∵抛物线过O（0，0），A（10，0），
∴设抛物线解析式为，
将B（2，2）代入，得，解得，
∴抛物线解析式为，
即 ：；
（2）设直线AB的解析式为：，将A（10，0），B（2，2）代入，得，解得，
∴，
∵P（m，0），
∴OP=m，AQ=2m，OQ=10-2m，
∴当x=10-2m时，QM=，
∴QD=m，
∵四边形QCDE是正方形，
∴；
（3）① ∵点P的坐标为（2，0），
∴将x=2代入抛物线解析式：可得点N的坐标为（2，2），
由正方形的性质可得点G的坐标为：（2，4），
∴PG=4，
又∵当GF和EQ落在同一条直线上时，△PGQ为等腰直角三角形，
∴PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，代入直线AB解析式 可得点M的坐标为：（6，1），即QM=1，QD=2，
∴阴影部分面积和=×（PG2+QD2）=5；
②若点P继续向点A运动，则当两个正方形分别有边落在同一条直线上时，点P的坐标如下：
P1（2.5，0），P2（，0），P3（9-，0）．
点睛：本题考查的是二次函数、函数和正方形的性质的综合应用，能熟练“用待定系数法求函数解析式、熟悉正方形、二次函数和函数的相关性质”是正确解答本题的关键.
2022-2023学年广东省汕尾市中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本大题共12小题，共36.0分）
1. 下列各数中比小的数是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图的几何体是由六个完全相同的正方体组成的，这个几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
3. 一粒米的质量是千克，将用科学记数法表示为
A. B. C. D.
4. 下列图形中既是对称图形又是轴对称图形的是
A. B. C. D.
5. 下列各式计算正确的是
A. B. C. D.
6. 如图，内接于，连接OA，OB，若，则的度数是
A. B. C. D.
7. 没有等式的正整数解的个数是为
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 如图，平行四边形ABCD中，AE平分，，，则CE等于
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
9. 某校新生进行军训打靶演练，分小组进行，某小组五名同学的成绩分别是：9、5、8、7、6环，则该组数据的平均数与中位数分别是
A. 6，7 B. 6，8 C. 7，7 D. 7，8
10. 如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（ ）
A. 2m B. 2m C. m D. m
11. 如图，半径为4的与含有角的直角三角板ABC的边AC切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与相切时，该直角三角板平移的距离为
A 2 B. C. 4 D.
12. 如图，已知直线与与双曲线交于A、B两点，连接OA，若，则k值为
A. B. C. D.
二、填 空 题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，3，4，5，则这组数据的众数是______．
14. 如图，已知，，垂足为E，若，则的度数为______．
15. 分解因式：______．
16. 如图，在菱形ABCD中，，，则菱形ABCD的周长等于______．
17. 如图，下列图形均是由完全相同的点按照一定的规律组成的，第1个图形一共有3个点，第2个图形一共有8个点，第3个图形一共有15个点，，按此规律排列下去，第100个图形中点的个数是______．
18. 如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中点，将沿AE折叠，使点B落在点H处，延长EH交CD于点F，过E作的平分线交CD于点G，则的面积为______．
三、计算题（本大题共4小题，共32.0分）
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）请画出将△ABC向下平移3个单位得到的；
（2）请画出以点O为旋转，将△ABC逆时针旋转90°得到的；
（3）请直接写出、的距离．
21. 如图，在中，，点C为AB的中点，，以点O为圆心，6为半径的圆点C，分别交OA、OB于点E、F．
求证：AB为的切线；
求图中阴影部分的面积注：结果保留，，，
22. 荔枝是广西盛产的一种水果，六月份是荔枝传统旺季去年六月份某水果公司为拓展渠道，在实体店的基础上中途增设了网店，公司总量吨与时间天关系如图所示：
请直接写出去年六月份网店每天量，并求出AB的解析式没有写取值范围；
公司预计，今年六月份实体店的量与去年相同，网店的量将有所增加，预计今年网店每天的量比去年增加，公司六月份的总量是去年的倍，求m的值．
四、解 答 题（本大题共4小题，共34.0分）
23. 计算：．
24. 某校英语社团举行了“单词听写大赛”，每位参赛选手共听写单词100个现从参加比赛男女选手中分别随机抽取部分学生进行，对答对的情况进行分组如下：组：，B组：，C组：，D组：，E组：并绘制了如下没有完整的统计图：
请根据以上信息解答下列问题：
本次共抽取了多少名学生，并将条形统计图补充完整；
求出A组所对的扇形圆心角的度数；
若从D、E两组中分别抽取一位学生进行采访，请用画树状图或列表法求出恰好抽到两位女学生的概率．
25. 如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边DE上，AB、CD交于点F，连接BD．
求证：≌；
求证：；
若，AF：：3，求线段AB的长．
26. 如图1，抛物线，两点，抛物线与x轴的另一交点为A，连接AC、BC．
求抛物线的解析式及点A的坐标；
若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存一点E，使得是以BD为斜边的直角三角形？若存在，求出点E的坐标，若没有存在，说明理由；
如图2，P为抛物线在象限内一动点，过P作于Q，当PQ的长度时，在线段BC上找一点M使的值最小，求的最小值．
2022-2023学年广东省汕尾市中考数学专项突破仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（本大题共12小题，共36.0分）
1. 下列各数中比小的数是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，值大的反而小，可得比-2小的数是-3．
【详解】∵|-3|=3，|-1|=1，
又0＜1＜2＜3，
∴-3＜-2，
所以，所给出的四个数中比-2小的数是-3，
故选：A
本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，值大的反而小．
2. 如图的几何体是由六个完全相同的正方体组成的，这个几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解：这个几何体的主视图有两层，从左起上一层有两列，下一层有三列
所以其主视图为
故选A．
3. 一粒米的质量是千克，将用科学记数法表示为
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选B．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
4. 下列图形中既是对称图形又是轴对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形两部分折叠后可重合，对称图形是要寻找对称，旋转180度后与自身重合．
【详解】解：A、是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；
B、是轴对称图形，也是对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；
D、没有是轴对称图形，是对称图形，没有符合题意．
故选B．
本题考查的是对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，对称图形是要寻找对称，旋转180度后与自身重合．
5. 下列各式计算正确的是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂的除法法则：底数没有变，指数相减；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数没有变分别进行计算即可．
【详解】解：A、和没有是同类项，没有能合并，故原题计算错误；
B、，故原题计算错误；
C、，故原题计算错误；
D、，故原题计算正确；
故选D．
此题主要考查了同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方，关键是掌握各计算法则．
6. 如图，内接于，连接OA，OB，若，则的度数是
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由圆周角定理得出，然后由，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，可求得的度数．
【详解】解：，
，
，
．
故选B．
此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质此题难度没有大，注意掌握数形思想的应用．
7. 没有等式的正整数解的个数是为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B
【分析】首先利用没有等式的基本性质解没有等式，再从没有等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
【详解】解：没有等式的解集是，
故没有等式的正整数解为1，2，一共2个．
故选B．
本题考查了一元没有等式的整数解，正确解没有等式，求出解集是解答本题的关键解没有等式应根据没有等式的基本性质
8. 如图，平行四边形ABCD中，AE平分，，，则CE等于
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【正确答案】D
【分析】根据平行四边形的性质得出，，，推出，再根据角平分线性质得出，推出，即可求出CE；
【详解】解：四边形ABCD平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
．
故选D．
本题考查了平行四边形性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
9. 某校新生进行军训打靶演练，分小组进行，某小组五名同学的成绩分别是：9、5、8、7、6环，则该组数据的平均数与中位数分别是
A. 6，7 B. 6，8 C. 7，7 D. 7，8
【正确答案】C
【分析】根据平均数和中位数的概念求解．
【详解】解：这组数据按照平均数为：，
从小到大的顺序排列为：5，6，7，8，9，中位数为7．
故选C．
本题考查了中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
10. 如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（ ）
A. 2m B. 2m C. m D. m
【正确答案】A
【详解】建立如图所示直角坐标系：
可设这条抛物线为y=ax2，把点（2，–2）代入，得–2=a×22，解得：a=–，
∴y=–x2，当y=–3时，–x2=–3．解得：x=±，∴水面下降1m，水面宽度为2m．故选A．
11. 如图，半径为4的与含有角的直角三角板ABC的边AC切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与相切时，该直角三角板平移的距离为
A. 2 B. C. 4 D.
【正确答案】D
【分析】根据题意画出平移后的图形，如图所示，设平移后的与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，过O作，根据垂径定理得到E为AD的中点，由平移前AC与圆O相切，切点为A点，根据切线的性质得到OA与AC垂直，可得为直角，由与为圆O的两条切线，根据切线长定理得到，再根据，根据有一个角为的等腰三角形为等边三角形可得出三角形为等边三角形，平移的距离，且，由求出为，在直角三角形AOE中，由锐角三角函数定义求出AE的长，由可求出AD的长，即为平移的距离．
【详解】解：根据题意画出平移后的图形，如图所示：
设平移后的与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，
过O作，可得E为AD的中点，
平移前圆O与AC相切于A点，
，即，
平移前圆O与AC相切于A点，平移后圆O与相切于D点，
即与为圆O的两条切线，
，又，
为等边三角形，
，，
，
在中，，，
，
，
，
则该直角三角板平移的距离为．
故选D．
本题考查了切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，垂径定理，以及平移的性质，根据题意画出相应的图形，并作出适当的辅助线是解题的关键．
12. 如图，已知直线与与双曲线交于A、B两点，连接OA，若，则k的值为
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】依据直线解析式，运用勾股定理即可得到CD的长，依据面积法即可得到AO的长，再根据勾股定理可得AD的长，利用面积法即可得到AE的长，依据勾股定理可得OE的长，由点A的坐标即可得到k的值．
【详解】解：如图，
过A作于E，
直线解析式为，
，，
，，
中，，
，
，
，
，
，
，
中，，
，
代入双曲线，可得，
故选B．
本题主要考查了反比例函数与函数交点问题，解决问题的关键是勾股定理以及面积法的运用求反比例函数与函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
二、填 空 题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，3，4，5，则这组数据的众数是______．
【正确答案】3
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以没有止一个．
【详解】解：数据3出现了2次最多为众数，
故这组数据的众数是3．
故答案为3．
考查了确定一组数据的中位数和众数的能力求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
14. 如图，已知，，垂足为E，若，则的度数为______．
【正确答案】40°
【分析】由平行线的性质，求出的度数，再由ED与AE垂直，得到三角形CED为直角三角形，根据直角三角形的两锐角互余，即可求出的度数．
【详解】解：，且，
，
，
，
在中，．
故答案为
此题考查了平行线的性质，以及垂直的定义平行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
15. 分解因式：______．
【正确答案】
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式，
故答案为
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16. 如图，在菱形ABCD中，，，则菱形ABCD的周长等于______．
【正确答案】16
【分析】根据菱形的性质可得：，然后根据，可得三角形ABO为含的直角三角形，继而可得出边长以及周长．
【详解】解：连接AC交BD于点O．
四边形ABCD为菱形，
，
，
三角形ABO为含的直角三角形，
，
，
，
菱形ABCD的周长，
故答案为16．
本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
17. 如图，下列图形均是由完全相同的点按照一定的规律组成的，第1个图形一共有3个点，第2个图形一共有8个点，第3个图形一共有15个点，，按此规律排列下去，第100个图形中点的个数是______．
【正确答案】10200
【分析】根据每个图增加点数依次是一个奇数，则第100个图增加了201个点
【详解】解：分析规律如下图
图1 3 1个奇数
图2 2个奇数
图3 3个奇数
图100 共100个奇数
则
故答案为10200
本题为图形变化规律探究题，考查了整式运算的相关知识．
18. 如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中点，将沿AE折叠，使点B落在点H处，延长EH交CD于点F，过E作的平分线交CD于点G，则的面积为______．
【正确答案】
【分析】如图作于M，连接想办法求出FG即可解决问题；
【详解】解：如图作于M，连接AF．
四边形ABCD正方形，
，，
，，
≌，
，设，
在中，，，，
，
，
，，
平分，，，
，设，
在中，则有，
，
，
，
本题考查翻折变换、角平分线的性质定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解
题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用此时构建方程解决问题，属于中考填 空 题中的压轴题．
三、计算题（本大题共4小题，共32.0分）
19. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【详解】解:原式
，
当时，
原式．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
20. 如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）请画出将△ABC向下平移3个单位得到的；
（2）请画出以点O为旋转，将△ABC逆时针旋转90°得到的；
（3）请直接写出、的距离．
【正确答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）．
【分析】（1）画出△ABC向下平移3个单位的三角形，如图所示；
（2）画出△ABC逆时针旋转90°得到三角形，如图所示；
（3）在网格中，利用勾股定理求出所求即可．
【详解】解：（1）如图所示，即所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）根据题意得：、的距离为．
考查了作图—旋转变换，平移变换，熟练掌握旋转与平移规律是解本题的关键．
21. 如图，在中，，点C为AB的中点，，以点O为圆心，6为半径的圆点C，分别交OA、OB于点E、F．
求证：AB为的切线；
求图中阴影部分的面积注：结果保留，，，
【正确答案】（1）见解析；（2）
【分析】连接OC，如图，利用等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定定理得到结论；
利用等腰三角形的性质得，再根据正切定义求出，则，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算即可．
【详解】解:证明：连接OC，如图，
，点C为AB的中点，
，
为切线；
解：，
，
在中，，
，
，
图中阴影部分的面积
本题考查了切线的判定与性质：半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于切点的半径判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了等腰三角形的性质和扇形面积公式．
22. 荔枝是广西盛产的一种水果，六月份是荔枝传统旺季去年六月份某水果公司为拓展渠道，在实体店的基础上中途增设了网店，公司总量吨与时间天关系如图所示：
请直接写出去年六月份网店每天的量，并求出AB的解析式没有写取值范围；
公司预计，今年六月份实体店的量与去年相同，网店的量将有所增加，预计今年网店每天的量比去年增加，公司六月份的总量是去年的倍，求m的值．
【正确答案】（1）；（2）m的值是20．
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得去年六月份网店每天的量，并求出AB的解析式；
根据题意和函数图象中的数据可以列出关于m的方程，从而可以求得m的值．
【详解】解:由题意可得，
实体店每天的量为：吨，
网店每天的量为：吨，
设AB的函数解析式为，
，得，
即AB的函数解析式为；
由题意可得，
实体店每天的量为：吨，
网店每天的量为：吨，
去年六月份的总产量为：吨，
则，
解得，，
即m的值是20．
本题考查函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的性质解答．
四、解 答 题（本大题共4小题，共34.0分）
23. 计算：．
【正确答案】．
【分析】直接利用值的性质以及角的三角函数值和零指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解:原式
．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
24. 某校英语社团举行了“单词听写大赛”，每位参赛选手共听写单词100个现从参加比赛的男女选手中分别随机抽取部分学生进行，对答对的情况进行分组如下：组：，B组：，C组：，D组：，E组：并绘制了如下没有完整的统计图：
请根据以上信息解答下列问题：
本次共抽取了多少名学生，并将条形统计图补充完整；
求出A组所对的扇形圆心角的度数；
若从D、E两组中分别抽取一位学生进行采访，请用画树状图或列表法求出恰好抽到两位女学生的概率．
【正确答案】（1）20人，条形统计图补充见解析；（2）36°；（3）.
【分析】由C组所占的百分比及C组有6人即可求得总人数，然后求得B组的女生数及E组的男生数，从而补全直方图；
用乘A组人数所占比例可得；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所抽的两位学生恰好是两位女生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解:本次的学生总人数为人，
则B项目中女生人数为，E组男生有人，
补全图形如下：
组所对的扇形圆心角的度数为；
画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好抽到两位女学生的有2种结果，
所以恰好抽到两位女学生的概率为．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及直方图的知识注意概率所求情况数与总情况数之比．
25. 如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边DE上，AB、CD交于点F，连接BD．
求证：≌；
求证：；
若，AF：：3，求线段AB的长．
【正确答案】（1）（2）见解析；（3）．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，利用SAS定理证明；
根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算，即可证明；
证明∽，根据相似三角形的性质、的结论计算即可．
【详解】解:证明：和都是等腰直角三角形，
，
，
在和中，
，
≌；
证明：≌，
，，
，
，
在等腰直角中，，
；
，，
∽，
，
设，则，
，
由得，，
解得，，
则．
本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
26. 如图1，抛物线，两点，抛物线与x轴的另一交点为A，连接AC、BC．
求抛物线的解析式及点A的坐标；
若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存一点E，使得是以BD为斜边的直角三角形？若存在，求出点E的坐标，若没有存在，说明理由；
如图2，P为抛物线在象限内一动点，过P作于Q，当PQ的长度时，在线段BC上找一点M使的值最小，求的最小值．
【正确答案】(1)；存在，或；的最小值是．
【分析】利用待定系数法求抛物线的解析式，令解方程可得A的坐标；
根据，构建辅助圆，与y轴有两个交点为点E，根据勾股定理列方程可得点E的坐标；
先作直线；，保证直线l与抛物线有一个公共点，即，可得P的坐标，过P作轴，BC于M，此时的值最小，根据三角函数求确定其最小值是PN的长即可．
【详解】解:把，代入抛物线中得：
，解得：，
抛物线的解析式为：，
当时，，
解得：，，
；
存在，如图1，
，，
，
设，
，
，
即，
，
，，
或；
，，
易得BC的解析式为：，
如图2，作直线，
设直线l的解析式为：，
当直线l与抛物线有一个公共点时，这个公共点为P，此时PQ的长，
则，
，
，
，
，
解得：，
，
过P作轴于N，交BC于M，
，
，
，
即的最小值是．
本题考查了待定系数法求函数和二次函数的解析式、用垂线段最短确定线段和的最值问题、解一元二次方程、勾股定理的运用、锐角三角函数的运用，解题的难点在第三问，突破口是确定的值最小时M的位置．
2022-2023学年广东省汕尾市中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的.每小题3分，共24分）
1. －5的相反数是( )
A. B. C. 5 D. -5
2. 下列四个几何体的俯视图中与众没有同的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( ).
A. B. C. D.
4. 没有等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列为没有可能的是( )．
A. 某射击运动员射击，命中靶心
B. 掷骰子，向上的一面是5点
C. 找到一个三角形，其内角和为360°
D. 城市某一有交通信号灯的路口，遇到红灯
6. 如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C（ ）
A. 20° B. 35° C. 45° D. 70°
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∠A′B′C′可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 3 D. 3
8. 在矩形ABCD中，AD = 2AB = 4，E为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC（或它们的延长线）于点M、N，设∠AEM = α（0°＜α ＜ 90°），给出四个结论：
①AM ＝CN ②∠AME ＝∠BNE ③BN－AM ＝2 ④ .
上述结论中正确的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
9. 2016年9月26日，我国自主设计建造的世界球面射电望远镜落成启用．该望远 镜理论上能接收到13 700 000 000光年以外的电磁信号．数据13 700 000 000光年用科学记数法表示为____光年．
10. 分解因式：2x2﹣8=_______
11. 在函数中，自变量的取值范围是__________．
12. 用彩色和单色的两种地砖铺地，彩色地砖14元/块，单色地砖12元/块，若单色地砖的数量比彩色地砖的数量的2倍少15块，买两种地砖共用了1340元，设购买彩色地砖x块，单色地砖y块，则根据题意可列方程组为_______________.
13. 如图，对平行四边形ABCD对角线交点O直线分别交AB的延长线于点E，交CD的延长线于点F，若AB=4，AE=6，则DF的长等于__．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为________________________ .
15. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数y=的图象点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于_____________.
16. 如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为_______.
三、解 答 题（每小题8分，共16分）
17. 计算：．
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A(1,-4) ，B(3，-3) ，C(1，-1).（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）
（1）将△ABC向左平移3个单位，再向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所的路径长.
19. 如图，有6个质地和大小均相同的球，每个球只标有一个数字，将标有3,4,5的三个球放入甲箱中，标有4,5,6的三个球放入乙箱中．
(1)小宇从甲箱中随机模出一个球，求“摸出标有数字是3球”的概率；
(2)小宇从甲箱中、小静从乙箱中各自随机摸出一个球，若小宇所摸球上的数字比小静所摸球上的数字大1，则称小宇“略胜一筹”．请你用列表法(或画树状图)求小宇“略胜一筹”的概率．
20. 某文具店老板次用1000元购进一批文具，很快完毕，第二次购进时发现每件文具的进价比次上涨了2.5元，老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是次购进数量的2倍，同样很快完毕，已知两批文具的售价均为每件15元.
（1）第二次购进了多少件文具？
（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
21. 某中学开展“阳光体育一小时”，根据学校实际情况，决定开设A：踢毽子；B：篮球；C：跳绳；D：乒乓球四种运动项目.为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取了一部分学生进行，并将结果绘制成如下两个统计图.请图中的信息解答下列问题：
（1）本次共了多少名学生？
（2）请将两个统计图补充完整.
（3）若该中学有1200名学生，喜欢篮球运动项目的学生约有多少名？
22. 如图，的直径，为圆周上一点，，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为，与交于点．
（1）求的度数；
（2）求证：四边形是菱形．
23. 一船以每小时36海里的速度向正北航行到A处， 发现它的东向有灯塔B，船继续向北航行2小时到达C处，发现灯塔B在它的北偏东75°方向，求此时船与灯塔的距离．（结果保留根号）
24. 某商场新进一批商品，每个成本价25元，一段时间发现量y（个）与单价x（元/个）之间成函数关系，如下表：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该商品的单价在45元～80元之间浮动，
①单价定为多少元时，利润？此时量为多少？
②商场想要在这段时间内获得4550元的利润，单价应定为多少元？
25. 有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD＝4cm，∠ADB＝30°．
（1）试探究线段BD与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）把△BCD与△MEF剪去，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，边AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求β的度数．
（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，点A（10，0）和点B（2，2），在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ=2OP，当P、Q重合时同时停止运动，过点Q作x轴垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD=MQ，以QD为对角线作正方形QCDE（正方形QCDE随点Q运动）．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）设正方形QCDE的面积为S，P点坐标（m，0）求S与m之间的函数关系式；
（3）过点P作x轴垂线，交抛物线于点N，延长PN到点G，使NG=PN，以PG为对角线作正方形PFGH（正方形PFGH随点P运动），当点P运动到点（2，0）时，如图2，正方形PFGH的边GF和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上．
①则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是多少？
②若点P继续向点A运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P的坐标，没有必说明理由．
2022-2023学年广东省汕尾市中考数学专项突破仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的.每小题3分，共24分）
1. －5的相反数是( )
A B. C. 5 D. -5
【正确答案】C
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【详解】-5的相反数是5．
故选C．
本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号没有同的两个数互为相反数是关键．
2. 下列四个几何体的俯视图中与众没有同的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】解：根据从上边看得到的图形是俯视图，可得
A的俯视图是列两个小正方形，第二列一个小正方形，
B的俯视图是列是两个小正方形，第二列是两个小正方形，
C的俯视图是列两个小正方形，第二列一个小正方形，
D的俯视图是列两个小正方形，第二列一个小正方形，
故选B．
本题考查简单组合体的三视图．
3. 下列计算正确的是( ).
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：
根据整式的相关运算法则进行计算判断即可.
详解：
A选项中，因，所以A中计算错误；
B选项中，因为，所以B中计算错误；
C选项中，因为，所以C中计算错误；
D选项中，因为，所以D中计算正确.
故选D.
点睛：熟练掌握各选项中所涉及的整式运算的运算法则，是正确解答本题的关键.
4. 没有等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先求出两个没有等式解集，再求其公共解．
【详解】解：由x≤1得：x≤2．由2-x＜3得：x＞-1．所以没有等式组的解集为-1＜x≤2．
故选C．
此题主要考查没有等式组的解法及在数轴上表示没有等式组的解集．没有等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个没有等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与没有等式的个数一样，那么这段就是没有等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5. 下列为没有可能的是( )．
A. 某射击运动员射击，命中靶心
B. 掷骰子，向上的一面是5点
C. 找到一个三角形，其内角和为360°
D. 城市某一有交通信号灯的路口，遇到红灯
【正确答案】C
【详解】解：A、B、D都是有可能发生的，但是C是没有可能的，因为三角形内角和都是180°．
故选∶C．
本题主要考查学生对可能和没有可能的理解，同时考查学生对代数几何知识点的熟记程度．
6. 如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为（ ）
A. 20° B. 35° C. 45° D. 70°
【正确答案】B
【详解】解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=35°，∵CD∥OB，∴∠BOC=∠C=35°，
故选B．
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∠A′B′C′可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 3 D. 3
【正确答案】B
【详解】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠CAB=30°，故AB=4，
∵△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，
∴AB=A′B′=4，AC=A′C，
∴∠CAA′=∠A′=30°，
∴∠ACB′=∠B′AC=30°，
∴AB′=B′C=2，
∴AA′=2+4=6．
故选B．
考点：1、旋转的性质；2、直角三角形的性质
8. 在矩形ABCD中，AD = 2AB = 4，E为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC（或它们的延长线）于点M、N，设∠AEM = α（0°＜α ＜ 90°），给出四个结论：
①AM ＝CN ②∠AME ＝∠BNE ③BN－AM ＝2 ④ .
上述结论中正确的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【详解】试题解析：①如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，作EF⊥BC于点F，则有AB=AE=EF=FC，∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，∴∠AEM=∠FEN，在Rt△AME和Rt△FNE中，∵∠AEM=∠FEN，AE=EF，∠MAE=∠NFE，∴Rt△AME≌Rt△FNE，∴AM=FN，∴MB=CN．
∵AM没有一定等于CN，∴AM没有一定等于CN，∴①错误，②由①有Rt△AME≌Rt△FNE，∴∠AME=∠BNE，∴②正确，③由①得，BM=CN，∵AD=2AB=4，∴BC=4，AB=2
∴BN﹣AM=BC﹣CN﹣AM=BC﹣BM﹣AM=BC﹣（BM+AM）=BC﹣AB=4﹣2=2，∴③正确，④如图，
由①得，CN=CF﹣FN=2﹣AM，AE=AD=2，AM=FN
∵tanα=，∴AM=AEtanα
∵cosα==，∴ ，∴=1+=1+=1+，∴=2（1+）
∴S△EMN=S四边形ABNE﹣S△AME﹣S△MBN
=（AE+BN）×AB﹣AE×AM﹣BN×BM
=（AE+BC﹣CN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣CN）×CN
=（AE+BC﹣CF+FN）×2﹣AE×AM﹣（BC﹣2+AM）（2﹣AM）
=AE+BC﹣CF+AM﹣AE×AM﹣（2+AM）（2﹣AM）
=AE+AM﹣AE×AM+
=AE+AEtanα﹣tanα+
=2+2tanα﹣2tanα+2
=2（1+）
=，∴④正确．
故选C．
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
9. 2016年9月26日，我国自主设计建造的世界球面射电望远镜落成启用．该望远 镜理论上能接收到13 700 000 000光年以外的电磁信号．数据13 700 000 000光年用科学记数法表示为____光年．
【正确答案】1.37×1010.
【详解】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值大于1时，n是正数；当原数的值小于1时，n是负数．
13 700 000 000=1.37×1010，
故答案为1.37×1010．
考点：科学记数法—表示较大的数.
10. 分解因式：2x2﹣8=_______
【正确答案】2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
11. 在函数中，自变量的取值范围是__________．
【正确答案】且
【详解】试题解析：根据题意可得：，
解得：且．
故答案为且．
点睛：分式有意义的条件：分母没有为零.
二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零.
12. 用彩色和单色的两种地砖铺地，彩色地砖14元/块，单色地砖12元/块，若单色地砖的数量比彩色地砖的数量的2倍少15块，买两种地砖共用了1340元，设购买彩色地砖x块，单色地砖y块，则根据题意可列方程组为_______________.
【正确答案】
【详解】分析：
根据题中所给的两个等量关系：（1）单色地砖的数量=2×彩色地砖的数量-15；（2）购买单色地砖的总费用+购买彩色地砖的总费用=1340，再题目中的已知数据列出方程组即可.
详解：
设购买彩色地砖x块，单色地砖y块，则根据题意可列方程组：
.
故答案为.
点睛：读懂题意，找到两个等量关系：“（1）单色地砖的数量=2×彩色地砖的数量-15；（2）购买单色地砖的总费用+购买彩色地砖的总费用=1340”是解答本题的关键.
13. 如图，对平行四边形ABCD对角线交点O的直线分别交AB的延长线于点E，交CD的延长线于点F，若AB=4，AE=6，则DF的长等于__．
【正确答案】2
【详解】试题解析：连接AC,如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4,AB∥CD，AO=CO，
∴∠F=∠E，
在△COF和△AOE中,
∴△COF≌△AOE(AAS)，
∴DF=CF−CD=6−4=2；
故答案为2.
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为________________________ .
【正确答案】
【分析】阴影部分的面积等于整体图形的面积减去空白部分的面积，旋转的性质和扇形的面积求解.
【详解】Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，由勾股定理得AB＝5.
根据旋转的性质可知，∠BAD＝30°，AD＝AB＝5，△ABC≌△ADE.
因为S阴影＝S△ABC＋S扇形OBD－S△ADE，
所以S阴影＝S扇形OBD＝.
本题主要考查了扇形的面积，若阴影部分的面积是一个规则的图形或是几个规则图形的和与差，则可用面积公式直接求解，若阴影部分没有是规则图形，也没有是几个规则图形的和与差，则需要将原图形中的相关部分通过平移，旋转，翻折等方式转化为规则图形后再求.
15. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数y=的图象点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于_____________.
【正确答案】﹣24
【分析】如下图，过点C作CF⊥AO于点F，过点D作DE∥OA交CO于点E，设CF=4x，由tan∠AOC=可得OF=3x，由此可得OC=5x，从而可得OA=5x，由已知条件易证S菱形ABCO=2S△COD=40=OA·CF=20x2，从而可得x=，由此可得点C的坐标为，这样由点C在反比例函数的图象上即可得到k=-24.
【详解】如下图，过点C作CF⊥AO于点F，过点D作DE∥OA交CO于点E，设CF=4x，
∵四边形ABCO是菱形，
∴AB//CO，AO//BC，
∵DE//AO，
∴四边形AOED和四边形DECB都是平行四边形，
∴S△AOD=S△DOE，S△BCD=S△CDE，
∴S菱形ABCD=2S△DOE+2S△CDE=2S△COD=40，
∵tan∠AOC=，CF=4x，
∴OF=3x，
∴在Rt△COF中，由勾股定理可得OC=5x，
∴OA==OC=5x，
∴S菱形ABCO=AO·CF=5x·4x=20x2=40，解得：x=，
∴OF=，CF=，
∴点C的坐标为，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k=.
故-24.
本题的解题要点有两点：（1）作出如图所示的辅助线，设CF=4x，已知条件把OF和OA用含x的式子表达出来；（2）由四边形AOCB是菱形，点D在AB上，S△COD=20得到S菱形ABCO=2S△COD=40.
16. 如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为_______.
【正确答案】
【详解】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，
，
∴△BAD ≌△CAD′(SAS)，
∴BD=CD′，
∠DAD′=90°，
由勾股定理得DD′=，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=
∴BD=CD′=，
故．
三、解 答 题（每小题8分，共16分）
17. 计算：．
【正确答案】．
【详解】分析：
代入30°角的正切函数值，“零指数幂的意义”、“负整数指数幂的意义”和“二次根式的性质”进行计算即可.
详解：
原式=
=.
点睛：熟记“角的三角函数值”和“零指数幂的意义：”及“负整数指数幂的意义：（为正整数）”是正确解答本题的关键.
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A(1,-4) ，B(3，-3) ，C(1，-1).（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形）
（1）将△ABC向左平移3个单位，再向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所的路径长.
【正确答案】(1)见解析；（2）
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C，△ABC绕点C顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再先求得AC的长，再根据弧长公式列式计算即可．
【详解】(1)如图所示：A(1,-4) ，B(3，-3) ，C(1，-1) 向左平移3个单位，再向上平移5个单位的坐标分别为A1(-2,1)、B1（0，2）、C1（－2，4）.
(2)如图所示：AC＝4－1＝3，.
考查作图-旋转变换，轨迹，作图-平移变换，解题的关键是：平移，旋转后对应点的坐标表示出来，及弧长公式的正确运用．
19. 如图，有6个质地和大小均相同的球，每个球只标有一个数字，将标有3,4,5的三个球放入甲箱中，标有4,5,6的三个球放入乙箱中．
(1)小宇从甲箱中随机模出一个球，求“摸出标有数字是3的球”的概率；
(2)小宇从甲箱中、小静从乙箱中各自随机摸出一个球，若小宇所摸球上的数字比小静所摸球上的数字大1，则称小宇“略胜一筹”．请你用列表法(或画树状图)求小宇“略胜一筹”的概率．
【正确答案】（1）；（2）P(小宇“略胜一筹”)＝.
【详解】分析：
（1）由题意可知，小宇从甲箱中任意摸出一个球，共有3种等可能结果出现，其中结果为3只有1种，由此可得小宇从甲箱中任取一个球，刚好摸到“标有数字3”的概率为；
（2）根据题意通过列表的方式列举出小宇和小静摸球的所有等可能结果，然后根据表中结果进行解答即可.
详解：
(1)P(摸出标有数字是3的球)＝.
(2)小宇和小静摸球的所有结果如下表所示：
小静
小宇
4
5
6
3
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,4)
(55)
(5,6)
从上表可知，一共有九种可能，其中小宇所摸球的数字比小静的大1的有一种，因此
P(小宇“略胜一筹”)＝.
点睛：能正确通过列表的方式列举出小宇在甲箱中任摸一个球和小静在乙箱中任摸一个球的所有等可能结果，是正确解答本题第2小题的关键.
20. 某文具店老板次用1000元购进一批文具，很快完毕，第二次购进时发现每件文具的进价比次上涨了2.5元，老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是次购进数量的2倍，同样很快完毕，已知两批文具的售价均为每件15元.
（1）第二次购进了多少件文具？
（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
【正确答案】（1）第二次购进了200件文具.
（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利1000元
【详解】本题中两个等量关系：（1）次的进价+2.5=第二次的进价，（2）第二次的数量=2×次的数量.利用（2）设出未知数，并且用未知数表示出另一个的数量，然后利用（1）列方程.两批文件的总售价－1000－2500=总利润.
21. 某中学开展“阳光体育一小时”，根据学校实际情况，决定开设A：踢毽子；B：篮球；C：跳绳；D：乒乓球四种运动项目.为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取了一部分学生进行，并将结果绘制成如下两个统计图.请图中的信息解答下列问题：
（1）本次共了多少名学生？
（2）请将两个统计图补充完整.
（3）若该中学有1200名学生，喜欢篮球运动项目的学生约有多少名？
【正确答案】（1）本次共200名学生；（2）补全图形见解析；（3）该学校喜欢乒乓球体育项目的学生约有180人.
【分析】（1）条形统计图和扇形统计图，利用A组频数80除以A组频率40%，即可得到该校本次了多少名学生；
（2）利用（1）中所求人数，减去A、B、D组的频数即可的C组的频数；B组频数除以总人数即可得到B组频率；
（3）用1200乘以抽查的人中喜欢篮球运动项目的人数所占的百分比即可．
【详解】解：（1）80÷40%=200（人）
∴本次共200名学生
（2）200−80−30−50=40(人)，
30÷200×=15%，
补全如下图：
（3）1200×15%=180（人）
∴该学校喜欢乒乓球体育项目的学生约有180人．
22. 如图，的直径，为圆周上一点，，过点作的切线，过点作的垂线，垂足为，与交于点．
（1）求的度数；
（2）求证：四边形是菱形．
【正确答案】（1）30° （2）证明见详解
【分析】（1）由直径AB的长，求出半径OA及OC的长，再由AC的长，得到三边相等，可得此三角形为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，再根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可得出∠AEC的度数；
（2）由直线l与⊙O相切，根据切线的性质得到OC与直线l垂直，又BD与直线l垂直，根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行得到，根据两直线平行同位角相等，可得出，再由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠AED为直角，用求出，可得出一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行，可得出，根据两组对边平行的四边形为平行四边形可证明四边形OBEC为平行四边形，再由，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出OBEC为菱形．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴△OAC为等边三角形，
∴，
∵圆周角∠AEC与圆心角∠AOC都对弧，
∴；
【小问2详解】
证明：∵直线l切⊙O于C，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵AB为⊙O直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形OBEC为平行四边形，
又∵，
∴四边形OBEC为菱形．
本题主要考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、圆周角定理、平行线的判定与性质、平行四边形及菱形的判定等知识，是一道综合性较强的试题，做题时应图形，弄清题中的条件，找出已知与未知间的联系来解决问题．
23. 一船以每小时36海里的速度向正北航行到A处， 发现它的东向有灯塔B，船继续向北航行2小时到达C处，发现灯塔B在它的北偏东75°方向，求此时船与灯塔的距离．（结果保留根号）
【正确答案】此时船与灯塔的距离为72海里．
【详解】分析：
如下图，过点C作CD⊥AB于点D，由题意易得AC=72，再Rt△ACD中已知条件可解得CD=，再在Rt△CDB中由已知条件求得∠B=30°，即可解得BC=.
详解：
过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，AC=36×2=72 ，∠A=45°，
∴sinA=，
∴CD=AC·sinA=72×，
在Rt△BCD中，∠B=∠PCB- ∠A=75°-45°=30°，
∴BC=2·CD=2×3672（海里） ，
∴此时船与灯塔的距离为72海里.
点睛：读懂题意，得到∠A=45°，AC=72，∠PCB=75°，并由此得到∠B=30°，再作出如图所示的辅助线，把问题转化成在Rt△ACD和△CBD中求CD和BC的长，是解答本题的关键.
24. 某商场新进一批商品，每个成本价25元，一段时间发现量y（个）与单价x（元/个）之间成函数关系，如下表：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该商品的单价在45元～80元之间浮动，
①单价定为多少元时，利润？此时量为多少？
②商场想要在这段时间内获得4550元的利润，单价应定为多少元？
【正确答案】（1）y=-2x+250；（2）①75，100；②单价应定在60元．
【分析】（1）设出函数解析式，把两组值分别代入计算可得的值；
①利润=量单价，得到二次函数解析式，求得相应的最值即可；②把代入①得到的解析式，求得合适的解即可．
【详解】（1）设由题意得：，解得，
（2）①设该商品的利润为元，，∴当时，，此时销量为（个）；
②，解得
考点：1、函数的应用；2、一元二次方程的应用．
25. 有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD＝4cm，∠ADB＝30°．
（1）试探究线段BD与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）把△BCD与△MEF剪去，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，边AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求β的度数．
（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离．
【正确答案】（1）BD＝MF，BD⊥MF；（2）β的度数为60°或15°；（3）平移的距离是（3﹣）cm．
【分析】（1）由旋转的性质得到BD=MF，△BAD≌△MAF，推出BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，进而可得∠DNM的大小．
（2）分两种情形讨论①当AK=FK时，②当AF=FK时，根据旋转的性质得出结论．
（3）求平移的距离是A2A的长度．在矩形PNA2A中，A2A=PN，只要求出PN的长度就行．用△DPN∽△DAB得出对应线段成比例，即可得到A2A的大小．
【详解】（1）结论：BD=MF，BD⊥MF．理由：
如图1，延长FM交BD于点N．
由题意得：△BAD≌△MAF，∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．
又∵∠DMN=∠AMF，∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，∴∠DNM=90°，∴BD⊥MF．
（2）如图2．
①当AK=FK时，∠KAF=∠F=30°，则∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°，即β=60°；
②当AF=FK时，∠FAK（180°﹣∠F）=75°，∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°，即β=15°；
综上所述：β的度数为60°或15°；
（3）如图3．
由题意得矩形PNA2A．设A2A=x，则PN=x．在Rt△A2M2F2中，∵F2M2=FM=4，∠F=∠ADB=30°，∴A2M2=2，A2F2=2，∴AF2=2x．
∵∠PAF2=90°，∠PF2A=30°，∴AP=AF2•tan30°=2x，∴PD=AD﹣AP=22x．
∵NP∥AB，∴∠DNP=∠B．
∵∠D=∠D，∴△DPN∽△DAB，∴，∴，解得：x=，即A2A=，∴平移的距离是（）cm．
本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质的运用运用．在利用相似三角形的性质时注意使用相等线段的代换以及注意分类思想的运用．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，点A（10，0）和点B（2，2），在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ=2OP，当P、Q重合时同时停止运动，过点Q作x轴的垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD=MQ，以QD为对角线作正方形QCDE（正方形QCDE随点Q运动）．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）设正方形QCDE的面积为S，P点坐标（m，0）求S与m之间的函数关系式；
（3）过点P作x轴的垂线，交抛物线于点N，延长PN到点G，使NG=PN，以PG为对角线作正方形PFGH（正方形PFGH随点P运动），当点P运动到点（2，0）时，如图2，正方形PFGH的边GF和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上．
①则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是多少？
②若点P继续向点A运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P的坐标，没有必说明理由．
【正确答案】（1）抛物线解析式为；（2）；（3）①5；② P1（2.5，0），P2（9-，0），P3（，0）．
【详解】分析：
（1）由抛物线过原点和点A（10，0）设其解析式为，代入点B的坐标（2，2）解得a的值即可得到抛物线的解析式；
（2）由已知条件求出直线AB的解析式，由点P的坐标为（m，0）已知条件可得OQ=10-2m，由此即可用含m的式子表达出DQ的长度，这样由四边形ACDE是正方形即可由S=DQ2求出S与m之间的函数关系式了；
（3）①将x=2代入抛物线解析式得y=2，可知点N的坐标为（2，2），点G的坐标为（2，4），当GF和EQ落在同一条直线上时，△FGQ为等腰直角三角形，则PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，将x=6代入直线AB解析式可求得得点M的坐标为（6，1），即QM=1，由旋转法可知，每一个阴影部分面积等所在正方形面积的一半，由此可求两个阴影部分面积和；②分为PF、DE在同一直线上；PF、CQ在同一直线上；GF、CD在同一直线上三种情况分析计算求出相应的P点的坐标即可.
详解：
（1）∵抛物线过O（0，0），A（10，0），
∴设抛物线解析式为，
将B（2，2）代入，得，解得，
∴抛物线解析式为，
即 ：；
（2）设直线AB的解析式为：，将A（10，0），B（2，2）代入，得，解得，
∴，
∵P（m，0），
∴OP=m，AQ=2m，OQ=10-2m，
∴当x=10-2m时，QM=，
∴QD=m，
∵四边形QCDE是正方形，
∴；
（3）① ∵点P的坐标为（2，0），
∴将x=2代入抛物线解析式：可得点N的坐标为（2，2），
由正方形的性质可得点G的坐标为：（2，4），
∴PG=4，
又∵当GF和EQ落在同一条直线上时，△PGQ为等腰直角三角形，
∴PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，代入直线AB解析式 可得点M的坐标为：（6，1），即QM=1，QD=2，
∴阴影部分面积和=×（PG2+QD2）=5；
②若点P继续向点A运动，则当两个正方形分别有边落在同一条直线上时，点P的坐标如下：
P1（2.5，0），P2（，0），P3（9-，0）．
点睛：本题考查的是二次函数、函数和正方形的性质的综合应用，能熟练“用待定系数法求函数解析式、熟悉正方形、二次函数和函数的相关性质”是正确解答本题的关键.
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