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2022-2023学年广东省汕尾市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析
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这是一份2022-2023学年广东省汕尾市中考数学专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析，共52页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省汕尾市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总84.5亿元，其中84.5亿元用科学记数法表示为（）
A. 0.845×1010元 B. 84.5×108元 C. 8.45×109元 D. 8.45×1010元
3. 64的立方根是（ ）
A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8
4. 下列计算正确的是（ ）
A. 2x2•2xy＝4x3y4 B. 3x2y﹣5xy2＝﹣2x2y
C. x﹣1÷x﹣2＝x﹣1 D. （﹣3a﹣2）（﹣3a+2）＝9a2﹣4
5. 如图，一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（ ）
A B. C. D. 7
7. 在同一平面坐标系内，若直线y＝3x－1与直线y＝x－k的交点在第四象限的角平分线上，则k的值为( )
A. k＝－ B. k＝ C. k＝ D. k＝1
8. 若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（ ）
A ﹣1 B. 0 C. 2 D. 3
9. 如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙0切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为 （ ）
A 2π B. 4π C. D. 4
10. 如图，直线的解析式为，它与轴和轴分别相交于两点，平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动.它与轴和轴分别相交于两点，运动时间为秒（），以为斜边作等腰直角三角形（两点分别在两侧），若和的重合部分的面积为，则与之间的函数关系的图角大致是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 分解因式：x3﹣4x2﹣12x=_____．
12. 风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，若选出一人担任班长，则组长是男生的概率为___．
13. 如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15º,PC∥OA,PD⊥OA于D,PC＝10,则PD＝_________.
14. 如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论有_____．（填序号）
三、解 答 题（共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. 先化简，再求值：，其中．
四、解 答 题（共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在中，，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若AB＝2BC，∠F＝36°．求∠B的度数．
18. 已知关于x的没有等式．
（1）当m＝1时，求该没有等式的非负整数解；
（2）m取何值时，该没有等式有解，并求出其解集．
五、解 答 题（共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 在数学兴趣小组中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转，直到指针指向某一份内为止）．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
（2）分别求出李燕和刘凯获胜的概率．
20. 童星玩具厂工人工作时间为：每月22天，每天8小时．工资待遇为：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资500元，按月结算．该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A种产品可得报酬1.50元，每生产一件B种产品可得报酬2.80元．该厂工人可以选择A、B两种产品中的一种或两种进行生产．工人小李生产1件A产品和1件B产品需35分钟；生产3件A产品和2件B产品需85分钟．
（1）小李生产1件A产品需要 分钟，生产1件B产品需要 分钟．
（2）求小李每月的工资收入范围．
六、解 答 题（共2小题，每小题12分，满分24分）
21. 某校为了进一步改进本校七年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣，校教务处在七年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷．我们从所的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答（喜欢程度分为：“A﹣非常喜欢”、“B﹣比较喜欢”、“C﹣没有太喜欢”、“D﹣很没有喜欢”，针对这个题目，问卷时要求每位被的学生必须从中选一项且只能选一项）结果进行了统计，现将统计结果绘制成如下两幅没有完整的统计图．
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全上面条形统计图和扇形统计图；
（2）所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是 ；
（3）若该校七年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“没有太喜欢”的有多少人？
22. 关于三角函数有如下的公式：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②
tan（α+β）=③
利用这些公式可将某些没有是角的三角函数转化为角的三角函数来求值，如：
tan105°=tan（45°+60°）==﹣（2+）．
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．
七、解 答 题（共1小题，满分14分）
23. 如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，原点O的直线交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：
（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值．
（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论．
（3）①设点P的坐标为（1,b）,试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围．②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标．
2022-2023学年广东省汕尾市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】A、没有是轴对称图形，故此选项没有合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、没有是轴对称图形，故此选项没有合题意；
D、没有是轴对称图形，故此选项没有合题意；
故选B．
本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．
2. 宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总84.5亿元，其中84.5亿元用科学记数法表示为（）
A. 0.845×1010元 B. 84.5×108元 C. 8.45×109元 D. 8.45×1010元
【正确答案】C
【分析】科学记数法是指：a×，且，n为原数的整数位数减一．
【详解】84.5亿=8450 000 000=8.45×109，
故选：C．
点题】本题考查了科学记数法．
3. 64的立方根是（ ）
A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8
【正确答案】A
【详解】试题分析：∵43=64，∴64的立方根是4，
故选A
考点：立方根．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. 2x2•2xy＝4x3y4 B. 3x2y﹣5xy2＝﹣2x2y
C. x﹣1÷x﹣2＝x﹣1 D. （﹣3a﹣2）（﹣3a+2）＝9a2﹣4
【正确答案】D
【详解】A选项：2x2·2xy＝4x3y，故是错误的；
B选项：3x2y和5xy2没有是同类项，没有可直接相加减，故是错误的；
C.选项：x－1÷x－2＝x ，故是错误的；
D选项：(－3a－2)(－3a＋2)＝9a2－4，计算正确，故是正确的.
故选D.
5. 如图，一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】俯视图是从上向下看得到的视图，选项即可作出判断.
【详解】所给图形的俯视图如图所示：
，
故选D.
本题考查了俯视图，明确俯视图是从物体上面看得到的图形是解题的关键.
6. 如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（ ）
A. B. C. D. 7
【正确答案】B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=DF=AB，EF=BC， 然后代入数据算即可得解．
【详解】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，
∴DE= DF= AB，
∵AB= AC，AF⊥BC，
∴点F是BC的中点，∠AFB = 90°，
∴BF= FC= 3，
∵BE⊥AC，
∴EF=BC = 3，
∴△DEF的周长DE+DF+EF=AB+3=7，
∴AB=4，
在Rt△ABF中，由勾股定理知，
AF=
故选：B．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．
7. 在同一平面坐标系内，若直线y＝3x－1与直线y＝x－k交点在第四象限的角平分线上，则k的值为( )
A. k＝－ B. k＝ C. k＝ D. k＝1
【正确答案】C
【详解】解关于x，y的方程组 解得
∵交点在第四象限，
∴x+y=0即
解得k=.
故选C.
函数的解析式就是二元方程，因而把方程组的解中的x的值作为横坐标，以y的值为纵坐标得到的点，就是函数的图象的交点坐标．
8. 若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（ ）
A. ﹣1 B. 0 C. 2 D. 3
【正确答案】D
【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，
∴x12﹣2x1﹣1=0， x1+x2=2，x1•x2=﹣1，
∴x12﹣x1+x2
=x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2
=1+x1+x2
=1+2
=3
故选D
9. 如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙0切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为 （ ）
A. 2π B. 4π C. D. 4
【正确答案】C
【详解】当滚动到⊙O′与CA也相切时，切点为D，连接O′C，O′B，O′D，OO′，
∵O′D⊥AC，∴O′D=O′B．∵O′C平分∠ACB，∴∠O′CB=∠ACB=×60°=30°．
∵O′C=2O′B=2×2=4，∴BC=．故选C．
10. 如图，直线解析式为，它与轴和轴分别相交于两点，平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动.它与轴和轴分别相交于两点，运动时间为秒（），以为斜边作等腰直角三角形（两点分别在两侧），若和的重合部分的面积为，则与之间的函数关系的图角大致是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：分别求出0＜t≤2和2＜t≤4时，S与t的函数关系式即可爬判断．
当0＜t≤2时，S=t2，
当2＜t≤4时，S=t2﹣（2t﹣4）2=﹣t2+8t﹣8，
观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C．
故答案为C．
考点：动点问题的函数图象；分类讨论.
二、填 空 题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 分解因式：x3﹣4x2﹣12x=_____．
【正确答案】x（x＋2）（x－6）．
【分析】因式分解的步骤：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要彻底．首先提取公因式x，然后利用十字相乘法求解，
【详解】解:x3﹣4x2﹣12x=x（x2﹣4x﹣12）=x（x+2）（x﹣6）．
本题考查因式分解-十字相乘法；因式分解-提公因式法，掌握因式分解的技巧正确计算是本题的解题关键.
12. 风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，若选出一人担任班长，则组长是男生的概率为___．
【正确答案】
【详解】
13. 如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15º,PC∥OA,PD⊥OA于D,PC＝10,则PD＝_________.
【正确答案】5
【详解】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠AOP=2×15°=30°，
∵PC∥OA，
∴∠PCE=∠AOB=30°，
∴PE=PC=×10=5，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE=5．
故5．
14. 如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论有_____．（填序号）
【正确答案】①②③
【分析】（1）由已知条件易得∠A=∠BDF=60°，BD=AB=AD，AE=DF，即可证得△AED≌△DFB，从而说明结论①正确；（2）由已知条件可证点B、C、D、G四点共圆，从而可得∠CDN=∠CBM，如图，过点C作CM⊥BF于点M，过点C作CN⊥ED于点N，CB=CD即可证得△CBM≌△CDN，由此可得S四边形BCDG=S四边形CMGN=2S△CGN，在Rt△CGN中，由∠CGN=∠DBC=60°，∠CNG=90°可得GN=CG，CN=CG，由此即可求得S△CGN=CG2，从而可得结论②是正确的；（3）过点F作FK∥AB交DE于点K，由此可得△DFK∽△DAE，△GFK∽△GBE，AF=2DF和相似三角形的性质即可证得结论④成立.
【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，BD=AB，
∴AB=BD=BC=DC=DA，
∴△ABD和△CBD都是等边三角形，
∴∠A=∠BDF=60°，
又∵AE=DF，
∴△AED≌△DFB，即结论①正确；
（2）∵△AED≌△DFB，△ABD和△DBC是等边三角形，
∴∠ADE=∠DBF，∠DBC=∠CDB=∠BDA=60°，
∴∠GBC+∠CDG=∠DBF+∠DBC+∠CDB+∠GDB=∠DBC+∠CDB+∠GDB+∠ADE=∠DBC+∠CDB+∠BDA=180°，
∴点B、C、D、G四点共圆，
∴∠CDN=∠CBM，
如下图，过点C作CM⊥BF于点M，过点C作CN⊥ED于点N，
∴∠CDN=∠CBM=90°，
又∵CB=CD，
∴△CBM≌△CDN，
∴S四边形BCDG=S四边形CMGN=2S△CGN，
∵在Rt△CGN中，∠CGN=∠DBC=60°，∠CNG=90°
∴GN=CG，CN=CG，
∴S△CGN=CG2，
∴S四边形BCDG=2S△CGN，=CG2，即结论②是正确的；
（3）如下图，过点F作FK∥AB交DE于点K，
∴△DFK∽△DAE，△GFK∽△GBE，
∴，，
∵AF=2DF，
∴，
∵AB=AD，AE=DF，AF=2DF，
∴BE=2AE，
∴，
∴BG=6FG，即结论③成立.
综上所述，本题中正确的结论是：
故答案为①②③
点睛：本题是一道涉及菱形、相似三角形、全等三角形和含30°角的直角三角形等多种几何图形的判定与性质的题，题目难度较大，熟悉所涉及图形的性质和判定方法，作出如图所示的辅助线是正确解答本题的关键.
三、解 答 题（共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【正确答案】
【分析】针对负整数指数幂，角的三角函数值，零指数幂，二次根式化简，值5个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：原式=．
16. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】，
【分析】将括号内的部分通分，再将除法转化为乘法，然后代入求值.
【详解】解：原式=
当时，原式.
四、解 答 题（共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在中，，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若AB＝2BC，∠F＝36°．求∠B的度数．
【正确答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出ADBC，AD＝BC，证出∠D＝∠ECF，由ASA即可证出△ADE≌△FCE；
（2）证出AB＝FB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，AD＝BC，
∴∠D＝∠ECF，
在△ADE和△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）解：∵△ADE≌△FCE，
∴AD＝FC，
∵AD＝BC，AB＝2BC，
∴AB＝FB，
∴∠BAF＝∠F＝36°，
∴∠B＝180°2×36°＝108°．
此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
18. 已知关于x的没有等式．
（1）当m＝1时，求该没有等式的非负整数解；
（2）m取何值时，该没有等式有解，并求出其解集．
【正确答案】（1）0，1；（2）当m≠-1时，没有等式有解；当m> -1时，原没有等式的解集为x<2；当m< -1时，原没有等式的解集为x>2.
【分析】（1）把m=1代入没有等式，求出解集即可；
（2）没有等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出m的范围，进而求出解集即可．
【详解】（1）当m＝1时，
所以非负整数解为0，1
（2），
，
，
当m≠-1时，没有等式有解；
当m> -1时，原没有等式的解集为x<2；
当m< -1时，原没有等式的解集为x>2.
此题考查了没有等式的解集，熟练掌握没有等式的基本性质是解本题的关键．
五、解 答 题（共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 在数学兴趣小组中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转，直到指针指向某一份内为止）．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
（2）分别求出李燕和刘凯获胜的概率．
【正确答案】(1) 两数和共有12种等可能结果；(2) 李燕获胜的概率为；刘凯获胜的概率为．
【分析】(1)根据题意列表，把每一种情况列举.
(2)按照（1）中的表格数据，两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的情况有6种，和大于12的情况有3种,可计算二人获胜概率.
【详解】（1）根据题意列表如下：
6
7
8
9
3
9
10
11
12
4
10
11
12
13
5
11
12
13
14
可见，两数和共有12种等可能结果；
（2）由（1）可知，两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的情况有6种，和大于12的情况有3种，
∴小明获胜的概率, ，
小红获胜的概率为.
20. 童星玩具厂工人的工作时间为：每月22天，每天8小时．工资待遇为：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资500元，按月结算．该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A种产品可得报酬1.50元，每生产一件B种产品可得报酬2.80元．该厂工人可以选择A、B两种产品中的一种或两种进行生产．工人小李生产1件A产品和1件B产品需35分钟；生产3件A产品和2件B产品需85分钟．
（1）小李生产1件A产品需要 分钟，生产1件B产品需要 分钟．
（2）求小李每月的工资收入范围．
【正确答案】(1) ;(2) 没有低于1556元而没有高于1978.4元.
【详解】分析：
（1）设小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品分别需要x分钟和y分钟，根据题意列出方程组，解方程组即可求得所求答案；
（2）设小李每个月生产A种产品a件，工资收入为w元，根据题意列出w和a之间的函数关系式，将所列函数关系式化简后即可由w随a变化而变化的趋势题中已知量求得所求答案了.
解：（1）设小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品分别需要x分钟和y分钟，根据题意，得
，解得： ，
答：小李生产1件A种产品需15分子，生产1件B种产品，需20分钟；
（2）设小李每个月生产A种产品a件，工资收入为w元，根据题意可得：w=500+1.5a+2.8（22×8×60﹣15a）÷20，
整理得w=﹣0.6a+1978.4，
∴w随a的增大而减小，
当小李该月只生产A种产品时，其工资收入，收入为：
w=-0.6 (22×8×60÷15) +1978.4=1556（元）；
当小李该月只生产B中产品时，其工资收入，为：
w=-0.6×0+1978.4=1978.4（元）；
故小李每月的工资数目没有低于1556元而没有高于1978.4元．
点睛：（1）读懂题意，弄清题中的等量关系，设出未知数，列出方程组是解答第1小题的关键；（2）列出工资收入与生产A种产品数量间的函数关系式，是解答第2小题的关键.
六、解 答 题（共2小题，每小题12分，满分24分）
21. 某校为了进一步改进本校七年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣，校教务处在七年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷．我们从所的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答（喜欢程度分为：“A﹣非常喜欢”、“B﹣比较喜欢”、“C﹣没有太喜欢”、“D﹣很没有喜欢”，针对这个题目，问卷时要求每位被的学生必须从中选一项且只能选一项）结果进行了统计，现将统计结果绘制成如下两幅没有完整的统计图．
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（2）所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是 ；
（3）若该校七年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“没有太喜欢”的有多少人？
【正确答案】（1）补图见解析；（2）比较喜欢；（3）240人
【详解】试题分析：（1）根据条形统计图与扇形统计图可以得到的学生数，从而可以的选B的学生数和选B和选D的学生所占的百分比，从而可以将统计图补充完整；
（2）根据（1）中补全的条形统计图可以得到众数；
（3）根据（1）中补全的扇形统计图可以得到该年级学生中对数学学习“没有太喜欢”的人数．
解：（1）由题意可得，
的学生有：30÷25%=120（人），
选B的学生有：120﹣18﹣30﹣6=66（人），
B所占的百分比是：66÷120×=55%，
D所占的百分比是：6÷120×=5%，
故补全的条形统计图与扇形统计图如图所示，
（2）由（1）中补全的条形统计图可知，
所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是：比较喜欢，
故答案为比较喜欢；
（3）由（1）中补全的扇形统计图可得，
该年级学生中对数学学习“没有太喜欢”的有：960×25%=240（人），
即该年级学生中对数学学习“没有太喜欢”的有240人．
22. 关于三角函数有如下的公式：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②
tan（α+β）=③
利用这些公式可将某些没有是角的三角函数转化为角的三角函数来求值，如：
tan105°=tan（45°+60°）==﹣（2+）．
根据上面知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．
【正确答案】建筑物CD的高为84米．
【详解】分析：
如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意易得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，∠ADE=60°，这样在Rt△ABC和在Rt△ADE中，题中所给关系式分别求出AB和AE的长，即可由CD=BE=AB-AE求得结果了.
详解：
如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，CD=BE，∠ADE=60°，
∴在Rt△ABC和Rt△ADE
AB=BC•tan75°=42tan75°=，
AE=，
∴CD=AB﹣AE=（米）.
答：建筑物CD的高为84米.
睛：读懂题意，把已知量和未知量转化到Rt△ABC和Rt△ADE中，这样利用直角三角形中边角间的关系题目中所给的“两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.
七、解 答 题（共1小题，满分14分）
23. 如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，原点O的直线交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：
（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值．
（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论．
（3）①设点P的坐标为（1,b）,试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围．②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标．
【正确答案】(1) t= ；(2)见解析；(3) P（1.1）, P（1，1－）
【详解】分析：
（1）由已知条件易得OA=OB=1，AB=，由△AOC和△BCP全等可得BC=OA=1，从而可得t=AC=AB-BC=；
（2）过点C作x轴的平行线交OA于点M，交PB于点N，由题意易得OM=BN=CN，∠OMC=∠CNP=90°，∠COM=∠PCN，由此可得△OMC≌△CNP，从而可得OC=PC；
（3）①由△OMC≌△CNP，可得PN=MC=AM，AM=sin45°AC=，由此可得BN=OM=1-AM=，从而可得PB=b=BN-PN=，即b=，由点C在象限可得t的取值范围是：；②根据点C只能在象限，题意分PC=PB和PB=BC两种情况讨论计算即可.
详解：
（1）∵OA=OB=1，∠AOB=90°，
∴AB=，
∵△AOC和△BCP全等，
∴BC=OA=1，
∴AC=AB-BC=，即；
（2）过点C作x轴的平行线交OA于点M，交PB于点N，
∴∠CMO=∠OCP=∠C=90°，
∴四边形OBNM是矩形，∠MOC+∠MCO=90°，∠MCO+∠NCP=90°，
∴BN=OM，∠MOC=∠NCP，
∵OA=OB=1,
∴∠BAO=∠ABO=∠ABN=45°，
∴△BCN是等腰直角三角形，
∴OM=BN=CN，
∴△MOC≌△NCP，
∴OC=PC；
（3）① ∵OA=OB=1,∠AOB=90°，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
又∵∠AMC=90°，
∴AM=MC=AC·sin45°=，
∴OM=OA-AM=，
∵由（2）可知：BN=OM，
∴=,
∵△AOC和△BCP全等，
∴PN=CM=AM=，
∴PB=BN-PN=，即b=，
∵点C在象限，
∴；
②当t=0时，△PBC是等腰直角三角形，当此时点C与点A重合，没有在象限，没有符合题中要求，故此种情况没有成立；
当PB=BC时，由（2）可知，解得t=1或t=-1（舍去），
∴当t=1时，△PBC是等腰三角形，此时点P的坐标为；
综上所述，当△PBC为等腰三角形时，点P坐标为.
点睛：这是一道涉及多种几何图形与函数综合的数学问题，难度中等，熟悉相关图形的性质，并作出如图所示的辅助线是解答本题的关键.
2022-2023学年广东省汕尾市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 二次函数的最小值是 （ ）
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
2. 已知⊙O的直径为5，若PO=5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点P在⊙O内 B. 点P在⊙O上 C. 点P在⊙O外 D. 无法判断
3. 已知一个扇形的半径为R，圆心角为n°，当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时，则这个扇形的圆心角n的度数是（ ）
A. 180° B. 120° C. 90° D. 60°
4. 如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=，则的值为（ ）
A. 135° B. 100° C. 110° D. 120°
5. 如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 小刚用一张半径为24cm扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略没有计)，如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（ ）
A. 120πcm2 B. 240πcm2 C. 260πcm2 D. 480πcm2
7. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列结论：
（1）c＜0；
（2）b＞0；
（3）4a+2b+c＞0；
（4）（a+c）2＜b2．
其中没有正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，射线PD与⊙O相交于C，D两点，点E是CD中点，若∠APB=40°，则∠AEP的度数是（ ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
9. 利用平方根去根号可以构造一个整系数方程．例如：x=+1时，移项得x﹣1=，两边平方得（x﹣1）2=（）2，所以x2﹣2x+1=2，即x2﹣2x﹣1=0．仿照上述构造方法，当x=时，可以构造出一个整系数方程是（ ）
A. 4x2+4x+5=0 B. 4x2+4x﹣5=0 C. x2+x+1=0 D. x2+x﹣1=0
10. 如图，AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E． 连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4 其中正确的是（ ）
A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 比较三角函数值的大小：sin30°_____tan30°（填入“＞”或“＜”）．
12. 有9张相同的片，每张片上分别写有1-9的自然数，从中任取张卡片，则抽到卡片上的数字是3的整数倍的概率为___.
13. 如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x三个正方形，则x的值为_____．
14. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为_____cm．
15. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C为直角，AC＝5，BC＝12，在Rt△ABC内从左往右叠放边长为1的正方形小纸片，层小纸片的一条边都在AB上，依次这样往上叠放上去，则至多能叠放_____个．
16. 如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AB=4．动点P从A点出发，以每秒π个单位的速度在⊙O上按顺时针方向运动一周．设动点P的运动时间为t秒，点C是圆周上一点，且∠AOC=40°，当t=_____秒时，点P与点C对称，且对称在直径AB上．
三、解 答 题（本大题共8小题，共计80分）
17. 计算：（1）（﹣1）2+tan45°﹣；（2）已知，求的值．
18. 动手画一画，请把如图补成以A为对称对称图形．
19. （2011四川泸州，23，6分）甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为3，8，9．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．
（1）求取出3个小球的标号全是奇数的概率是多少？
（2）以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度，求这些线段能构成三角形的概率．
20. 如图，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，几秒△PQC和△ABC相似？
21. 如图，阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1m长的影子如图所示，已知窗框的影子DE到窗下墙脚的距离CE＝3.9m，窗口底边离地面的距离BC＝1.2m，试求窗口的高度．（即AB的值）
22. 在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．
（1）如图1，AC∶AB=1∶2，EF⊥CB，求证∶EF=CD．
（2）如图2，AC∶AB=1∶，EF⊥CE，求EF∶EG的值．
23. 阅读理解：
如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E没有与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．
24. 已知x轴上有点A（1，0），点B在y轴上，点C（m，0）为x轴上一动点且m＜﹣1，连接AB，BC，tan∠ABO=，以线段BC为直径作⊙M交直线AB于点D，过点B作直线l∥AC，过A，B，C三点的抛物线为y=ax2+bx+c，直线l与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F．
（1）求B点坐标；
（2）用含m的式子表示抛物线的对称轴；
（3）线段EF的长是否为定值？如果是，求出EF的长；如果没有是，说明理由．
（4）是否存在点C（m，0），使得BD=AB？若存在，求出此时m的值；若没有存在，说明理由．
2022-2023学年广东省汕尾市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 二次函数的最小值是 （ ）
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
【正确答案】B
【详解】试题分析：对于二次函数的顶点式y=a+k而言，函数的最小值为k.
考点：二次函数的性质.
2. 已知⊙O的直径为5，若PO=5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点P在⊙O内 B. 点P在⊙O上 C. 点P在⊙O外 D. 无法判断
【正确答案】C
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】解：
∵d＝5＞2.5，
点P在⊙O外，
故选C．
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
3. 已知一个扇形的半径为R，圆心角为n°，当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时，则这个扇形的圆心角n的度数是（ ）
A. 180° B. 120° C. 90° D. 60°
【正确答案】C
【详解】解：由可得：．
故选．
4. 如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=，则的值为（ ）
A. 135° B. 100° C. 110° D. 120°
【正确答案】D
【详解】∵∠ACB=
∴优弧所对的圆心角为2
∴2+=360°
∴=120°．
故选D．
5. 如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先利用勾股定理得出DC，AC、AD的长，根据勾股定理的逆定理可得∠CDA=90°，再利用锐角三角函数关系求出答案．
【详解】解：如图所示，取格点D，连接DC，
由网格可得出DC＝，AC＝，AD=，
∵，
∴，
则：∠CDA＝90°，
故sinA＝．
故选：B．
本题考查了网格中解直角三角形、勾股定理及其逆定理、锐角的三角函数，根据网格特点构造直角三角形是关键．
6. 小刚用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略没有计)，如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（ ）
A. 120πcm2 B. 240πcm2 C. 260πcm2 D. 480πcm2
【正确答案】B
【详解】试题分析：从图中可以看出小帽的底面圆周长就扇形的弧长，根据此求出扇形的面积．
解：根据圆的周长公式得：
圆的底面周长=20π．
圆的底面周长即是扇形的弧长，
∴扇形面积==240πcm2．
故选B．
考点：扇形面积的计算．
7. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列结论：
（1）c＜0；
（2）b＞0；
（3）4a+2b+c＞0；
（4）（a+c）2＜b2．
其中没有正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】抛物线的开口向上，则a＞0；
对称轴为x=﹣=1，即b=﹣2a，故b＜0，故（2）错误；
抛物线交y轴于负半轴，则c＜0，故（1）正确；
把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＜0，故（3）错误；
把x=1代入y=ax2+bx+c得：y=a+b+c＜0，把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c＜0，
则（a+b+c）（a﹣b+c）＞0，故（4）错误；
没有正确的是（2）（3）（4）；
故选C．
8. 如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，射线PD与⊙O相交于C，D两点，点E是CD中点，若∠APB=40°，则∠AEP的度数是（ ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
【正确答案】D
【详解】连接OP，OA，OE，如图
∵点E是CD中点，
∴OE⊥DC，
∴∠PEO=90°，
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，
∴OA⊥PA，∠APO=∠BPO=∠APB=20°
∴∠PAO=90°，
∴∠POA=70°，
∴A、O、E、P四点在以OP为直径的圆上，
∴∠AEP=∠AOP=70°，
故选D．
本题考查了切线的性质，垂径定理，四点共圆的判定以及圆周角定理，作出辅助线构建直角三角形以及证得A、O、E、P四点共圆本题是关键．
9. 利用平方根去根号可以构造一个整系数方程．例如：x=+1时，移项得x﹣1=，两边平方得（x﹣1）2=（）2，所以x2﹣2x+1=2，即x2﹣2x﹣1=0．仿照上述构造方法，当x=时，可以构造出一个整系数方程是（ ）
A. 4x2+4x+5=0 B. 4x2+4x﹣5=0 C. x2+x+1=0 D. x2+x﹣1=0
【正确答案】B
【详解】由题意可得：x=，
可变形为：2x=﹣1，
则（2x+1）=，
故（2x+1）2=6，
则可以构造出一个整系数方程是：4x2+4x﹣5=0．
故选B．
10. 如图，AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E． 连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4 其中正确的是（ ）
A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④
【正确答案】A
【分析】①利用垂径定理可知，然后得到∠ADF＝∠AED，公共角可证明△ADF∽△AED；②CF＝2，且，可求得DF＝6，且CG＝DG，可求得FG＝2；③在Rt△AGF中可求得AG，在Rt△AGD中可求得tan∠ADG＝，由∠E＝∠ADG，可得tan∠E；④可先求得△ADF与△AED的相似比，再求S△ADF，进而求出S△ADE，然后由S△DEF＝S△AED－S△ADF得出结果.
【详解】解：①∵AB为直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠ADF＝∠AED，且∠FAD＝∠DAE，
∴△ADF∽△AED，故①正确；
②∵AB为直径，AB⊥CD，
∴CG＝DG，
∵，且CF＝2，
∴FD＝6，
∴CD＝8，
∴CG＝4，
∴FG＝CG−CF＝4−2＝2，故②正确；
③在Rt△AGF中，AF＝3，FG＝2，
∴AG＝，
∴tan∠ADG＝，
∵∠E＝∠ADG，
∴tan∠E＝，故③错误；
④在Rt△ADG中，AG＝，DG＝4，
∴AD＝，
∴，
∴，
∵，
∴S△AED＝，
∴S△DEF＝S△AED－S△ADF＝－＝，故④错误；
故选A．
本题主要考查垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质及三角函数的定义，由垂径定理得到G是CD的中点是解题的关键，判断③时注意利用等角的三角函数值也相等，在判断④时求出相似比是解题的关键．本题所考查知识点较多，综合性较强，解题时注意知识的灵活运用．
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 比较三角函数值的大小：sin30°_____tan30°（填入“＞”或“＜”）．
【正确答案】<
【详解】sin30°=，tan30°=，
＜，
即sin30°＜tan30°，
故答案为＜．
12. 有9张相同的片，每张片上分别写有1-9的自然数，从中任取张卡片，则抽到卡片上的数字是3的整数倍的概率为___.
【正确答案】
【分析】首先判断1-9的自然数中是3的整数倍的数有3个，分别是3，6，9，然后再根据概率公式，即可求出概率为.
【详解】解：1-9的自然数中是3的整数倍的数有3个，分别是3，6，9，
根据概率的定义公式，可得
m=3，n=9
∴概率
此题主要考查概率的定义公式，理解其内涵，即可得解.
13. 如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为_____．
【正确答案】7
【详解】如图，易得△DEF∽△IGH，所以，即，解得x1＝7，x2＝0（舍去）．
14. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为_____cm．
【正确答案】5-5
【分析】利用黄金分割的定义计算出AP即可．
【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP＝ AB＝×10＝5﹣5（cm），
故答案为5﹣5
本题考查黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
15. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C为直角，AC＝5，BC＝12，在Rt△ABC内从左往右叠放边长为1的正方形小纸片，层小纸片的一条边都在AB上，依次这样往上叠放上去，则至多能叠放_____个．
【正确答案】22个
【详解】由勾股定理得：AB=．
由三角形的面积计算公式可知：△ABC的高=．
如图所示：根据题意有：△CAB∽△CEF,
∴,
∴EF=
∴层可放置10个小正方形纸片．
同法可得总共能放4层，依次可放置10、7、4、1个小正方形纸片，
∴至多能叠放10+7+4+1=22（个）,
故答案为22个．
16. 如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AB=4．动点P从A点出发，以每秒π个单位的速度在⊙O上按顺时针方向运动一周．设动点P的运动时间为t秒，点C是圆周上一点，且∠AOC=40°，当t=_____秒时，点P与点C对称，且对称在直径AB上．
【正确答案】或或或．
【详解】解：如图,
，
当∠AOP1=40°时，P1与C1对称， =4π×=，t=÷π=；
当∠AOP2=140°时，P2与C1对称， =4π×=π，t=÷π=；
当∠AOP3=220°时，P3与C2对称， =4π×=，t=÷π=；
当∠AOP4=320°时，P4与C1对称， =4π×=π，t=÷π=；
故答案为或或或．
点睛：本题考查了对称的性质，弧长公式及分类讨论的数学思想，利用对称得出P点的位置是解题关键，要分类讨论，以防遗漏；
三、解 答 题（本大题共8小题，共计80分）
17. 计算：（1）（﹣1）2+tan45°﹣；（2）已知，求的值．
【正确答案】（1）0；（2）
【详解】试题分析：（1）项负数的偶次方是正数；第二项根据45°角的正切值等于1，第三项根据算术平方根的意义化简；
（2）把变形可得,把代入化简，约去y即可.
解：（1）（﹣1）2+tan45°﹣，
=1+1﹣2，
=0，
（2）∵=，
∴，
∴==．
18. 动手画一画，请把如图补成以A为对称的对称图形．
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：根据成对称图形的对应点到对称的距离相等，分别画出点E、B、C、D关于点A成对称的点E′、B′、C′、D′，进而可画出所求的图形.
解：如图所示
19. （2011四川泸州，23，6分）甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为3，8，9．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．
（1）求取出的3个小球的标号全是奇数的概率是多少？
（2）以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度，求这些线段能构成三角形的概率．
【正确答案】解：（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意画出树状图，根据树状图进行解答概率；（2）用列举法求概率．
【详解】解：（1）画树状图得
∴一共有12种等可能的结果，取出的3个小球的标号全是奇数的有2种情况，
∴取出的3个小球的标号全是奇数的概率是：P(全是奇数)=
（2）∵这些线段能构成三角形的有2、4、3，7、4、8，7、4、9，7、5、3，7、5、8，7、5、9
共6种情况，
∴这些线段能构成三角形的概率为P(能构成三角形)=
本题考查概率的计算，难度没有大．
20. 如图，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，几秒△PQC和△ABC相似？
【正确答案】4或
【分析】本题中，可设x秒△PQC和△ABC相似，先求出CP=8-x，CQ=2x，再利用相似三角形性质对应边成比例列式求解即可得到答案，因为对应边没有明确，答案要分两种情况①当CP与CA是对应边时，②当CP与BC是对应边时.
【详解】解：设x秒，两三角形相似，则CP=AC-AP=8-x，CQ=2x，①当CP与CA是对应边时， ，即 ，解得x=4秒；
②当CP与BC是对应边时， ，即 ，解得x= 秒；
故4或 秒，两个三角形相似．
本题主要考查了利用相似三角形的性质对应边成比例求解，但发现对应边没有明确，需要分两种情况解决是本题的关键.
21. 如图，阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1m长的影子如图所示，已知窗框的影子DE到窗下墙脚的距离CE＝3.9m，窗口底边离地面的距离BC＝1.2m，试求窗口的高度．（即AB的值）
【正确答案】窗口高度为1.4m
【分析】根据题意知AE∥BD，可得∠AEC=∠BDC；从而得到△AEC∽△BDC，根据比例关系，计算可得AB的数值，即窗口的高度．
【详解】解：由于阳光是平行光线，即AE∥BD，
所以∠AEC=∠BDC.
又因为∠C公共角，
所以△AEC∽△BDC，从而有.
又AC=AB+BC，DC=EC－ED，EC=3.9，ED=2.1，BC=1.2，
于是有，
解得 AB=1.4(m)．
答：窗口的高度为1.4m．.
本题考查了相似三角形的性质应用，解题关键是证明两个三角形相似，利用比例式求解．
22. 在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．
（1）如图1，AC∶AB=1∶2，EF⊥CB，求证∶EF=CD．
（2）如图2，AC∶AB=1∶，EF⊥CE，求EF∶EG的值．
【正确答案】（1）见解析；（2）1∶
【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC∶AB=1∶2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD．
（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF∶EG=EQ∶EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF∶EG的值．
【详解】解∶（1）证明∶如图1，
在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，
∴∠CAD=∠B=90°－∠ACB．
∵AC∶AB=1∶2，
∴AB=2AC．
∵点E为AB的中点，
∴AB=2BE．
∴AC=BE．
在△ACD与△BEF中，
，
∴△ACD≌△BEF（AAS）．
∴CD=EF，即EF=CD．
（2）如图2，
作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，
∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，
∴四边形EQDH是矩形．
∴∠QEH=90°．
∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG．，
又∵∠EQF=∠EHG=90°，
∴△EFQ∽△EGH．
∴EF∶EG=EQ∶EH．
∵AC∶AB=1∶，∠CAB=90°，
∴∠B=30°．
在△BEQ中，∵∠BQE=90°，
∴．∴EQ=BE．
在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，
∴．∴EH=AE．
∵点E为AB的中点，∴BE=AE，
∴EF∶EG=EQ∶EH=BE∶AE=1∶．
23. 阅读理解：
如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E没有与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．
【正确答案】解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由如下：
∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°．
∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°．
∴∠ADE=∠BEC．
∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC．
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．
（2）作图如下：
（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM．∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．
由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD．
∴∠BCE=∠BCD=30°．∴BE=CE=AB．
在Rt△BCE中，，
∴，∴．
【详解】试题分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．
（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．
（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．
24. 已知x轴上有点A（1，0），点B在y轴上，点C（m，0）为x轴上一动点且m＜﹣1，连接AB，BC，tan∠ABO=，以线段BC为直径作⊙M交直线AB于点D，过点B作直线l∥AC，过A，B，C三点的抛物线为y=ax2+bx+c，直线l与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F．
（1）求B点坐标；
（2）用含m的式子表示抛物线的对称轴；
（3）线段EF的长是否为定值？如果是，求出EF的长；如果没有是，说明理由．
（4）是否存在点C（m，0），使得BD=AB？若存在，求出此时m的值；若没有存在，说明理由．
【正确答案】（1）B的坐标为（0，2）；（2）x=；（3）见解析；（4）﹣ 或﹣
【详解】试题分析：（1）根据正切函数的定义及点A的坐标求解；
（2）因为点C、A、B在抛物线上，故代入其坐标列方程组求解即可；
（3）由二次函数的图像的对称性表示出EB的长，由圆的对称性表示出FB的长，根据EF=FB﹣EB求出EF的长，判断是否为定值即可；
（4）连接CD. ①当D在线段AB上时，因为BC为圆的直径，所以∠BDC=90°，若BD=AB，可证明CA=CB，由此可求得m的值；②当交点D在AB的延长线上时，由△AOB∽△ADC列方程求解.
解：（1）∵tan∠ABO=，且A（1，0），
∴OB=2，即：点B的坐标为（0，2）．
（2）点C（m，0），A（1，0），B（0，2）在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴
解之得：b=﹣，a=，
∴x=﹣=．
即：抛物线的对称轴为x=
（3）∵EB=﹣（1+m），FB=﹣m，EF=FB﹣EB=1，
∴线段EF的长是定值．
（4）①当D在线段AB上时，如下图所示：连接CD
∵BC是⊙M的直径，
∴∠CDB=90°，
∵若BD=AB，即BD=DA
则易证CB=CA
∴=1﹣m
解之得m=﹣，
即：存在一点C（﹣，0），使得BD=AB．
②如图2中，当交点D在AB的延长线上时，
∵△AOB∽△ADC，
∴=，
∴=，
解得m=﹣，
∴存一点C（﹣，0），使得BD=AB．
综上所述，满足条件的m的值为﹣或﹣．
点睛：本题考查了二次函数的图像与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的就判定，相似三角形的判定与性质及分类讨论的数学思想，解题的关键是函数图象上的点与其解析式的关系以及圆的基本知识点和综合分析问题的能力．
2022-2023学年广东省汕尾市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总84.5亿元，其中84.5亿元用科学记数法表示为（）
A. 0.845×1010元 B. 84.5×108元 C. 8.45×109元 D. 8.45×1010元
3. 64的立方根是（ ）
A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8
4. 下列计算正确的是（ ）
A. 2x2•2xy＝4x3y4 B. 3x2y﹣5xy2＝﹣2x2y
C. x﹣1÷x﹣2＝x﹣1 D. （﹣3a﹣2）（﹣3a+2）＝9a2﹣4
5. 如图，一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（ ）
A B. C. D. 7
7. 在同一平面坐标系内，若直线y＝3x－1与直线y＝x－k的交点在第四象限的角平分线上，则k的值为( )
A. k＝－ B. k＝ C. k＝ D. k＝1
8. 若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（ ）
A ﹣1 B. 0 C. 2 D. 3
9. 如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙0切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为 （ ）
A 2π B. 4π C. D. 4
10. 如图，直线的解析式为，它与轴和轴分别相交于两点，平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动.它与轴和轴分别相交于两点，运动时间为秒（），以为斜边作等腰直角三角形（两点分别在两侧），若和的重合部分的面积为，则与之间的函数关系的图角大致是（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 分解因式：x3﹣4x2﹣12x=_____．
12. 风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，若选出一人担任班长，则组长是男生的概率为___．
13. 如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15º,PC∥OA,PD⊥OA于D,PC＝10,则PD＝_________.
14. 如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论有_____．（填序号）
三、解 答 题（共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. 先化简，再求值：，其中．
四、解 答 题（共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在中，，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若AB＝2BC，∠F＝36°．求∠B的度数．
18. 已知关于x的没有等式．
（1）当m＝1时，求该没有等式的非负整数解；
（2）m取何值时，该没有等式有解，并求出其解集．
五、解 答 题（共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 在数学兴趣小组中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转，直到指针指向某一份内为止）．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
（2）分别求出李燕和刘凯获胜的概率．
20. 童星玩具厂工人工作时间为：每月22天，每天8小时．工资待遇为：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资500元，按月结算．该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A种产品可得报酬1.50元，每生产一件B种产品可得报酬2.80元．该厂工人可以选择A、B两种产品中的一种或两种进行生产．工人小李生产1件A产品和1件B产品需35分钟；生产3件A产品和2件B产品需85分钟．
（1）小李生产1件A产品需要 分钟，生产1件B产品需要 分钟．
（2）求小李每月的工资收入范围．
六、解 答 题（共2小题，每小题12分，满分24分）
21. 某校为了进一步改进本校七年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣，校教务处在七年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷．我们从所的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答（喜欢程度分为：“A﹣非常喜欢”、“B﹣比较喜欢”、“C﹣没有太喜欢”、“D﹣很没有喜欢”，针对这个题目，问卷时要求每位被的学生必须从中选一项且只能选一项）结果进行了统计，现将统计结果绘制成如下两幅没有完整的统计图．
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全上面条形统计图和扇形统计图；
（2）所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是 ；
（3）若该校七年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“没有太喜欢”的有多少人？
22. 关于三角函数有如下的公式：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②
tan（α+β）=③
利用这些公式可将某些没有是角的三角函数转化为角的三角函数来求值，如：
tan105°=tan（45°+60°）==﹣（2+）．
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．
七、解 答 题（共1小题，满分14分）
23. 如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，原点O的直线交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：
（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值．
（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论．
（3）①设点P的坐标为（1,b）,试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围．②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标．
2022-2023学年广东省汕尾市中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一、选一选（共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】A、没有是轴对称图形，故此选项没有合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、没有是轴对称图形，故此选项没有合题意；
D、没有是轴对称图形，故此选项没有合题意；
故选B．
本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．
2. 宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总84.5亿元，其中84.5亿元用科学记数法表示为（）
A. 0.845×1010元 B. 84.5×108元 C. 8.45×109元 D. 8.45×1010元
【正确答案】C
【分析】科学记数法是指：a×，且，n为原数的整数位数减一．
【详解】84.5亿=8450 000 000=8.45×109，
故选：C．
点题】本题考查了科学记数法．
3. 64的立方根是（ ）
A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8
【正确答案】A
【详解】试题分析：∵43=64，∴64的立方根是4，
故选A
考点：立方根．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. 2x2•2xy＝4x3y4 B. 3x2y﹣5xy2＝﹣2x2y
C. x﹣1÷x﹣2＝x﹣1 D. （﹣3a﹣2）（﹣3a+2）＝9a2﹣4
【正确答案】D
【详解】A选项：2x2·2xy＝4x3y，故是错误的；
B选项：3x2y和5xy2没有是同类项，没有可直接相加减，故是错误的；
C.选项：x－1÷x－2＝x ，故是错误的；
D选项：(－3a－2)(－3a＋2)＝9a2－4，计算正确，故是正确的.
故选D.
5. 如图，一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】俯视图是从上向下看得到的视图，选项即可作出判断.
【详解】所给图形的俯视图如图所示：
，
故选D.
本题考查了俯视图，明确俯视图是从物体上面看得到的图形是解题的关键.
6. 如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（ ）
A. B. C. D. 7
【正确答案】B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=DF=AB，EF=BC， 然后代入数据算即可得解．
【详解】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，
∴DE= DF= AB，
∵AB= AC，AF⊥BC，
∴点F是BC的中点，∠AFB = 90°，
∴BF= FC= 3，
∵BE⊥AC，
∴EF=BC = 3，
∴△DEF的周长DE+DF+EF=AB+3=7，
∴AB=4，
在Rt△ABF中，由勾股定理知，
AF=
故选：B．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．
7. 在同一平面坐标系内，若直线y＝3x－1与直线y＝x－k交点在第四象限的角平分线上，则k的值为( )
A. k＝－ B. k＝ C. k＝ D. k＝1
【正确答案】C
【详解】解关于x，y的方程组 解得
∵交点在第四象限，
∴x+y=0即
解得k=.
故选C.
函数的解析式就是二元方程，因而把方程组的解中的x的值作为横坐标，以y的值为纵坐标得到的点，就是函数的图象的交点坐标．
8. 若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（ ）
A. ﹣1 B. 0 C. 2 D. 3
【正确答案】D
【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，
∴x12﹣2x1﹣1=0， x1+x2=2，x1•x2=﹣1，
∴x12﹣x1+x2
=x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2
=1+x1+x2
=1+2
=3
故选D
9. 如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙0切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为 （ ）
A. 2π B. 4π C. D. 4
【正确答案】C
【详解】当滚动到⊙O′与CA也相切时，切点为D，连接O′C，O′B，O′D，OO′，
∵O′D⊥AC，∴O′D=O′B．∵O′C平分∠ACB，∴∠O′CB=∠ACB=×60°=30°．
∵O′C=2O′B=2×2=4，∴BC=．故选C．
10. 如图，直线解析式为，它与轴和轴分别相交于两点，平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动.它与轴和轴分别相交于两点，运动时间为秒（），以为斜边作等腰直角三角形（两点分别在两侧），若和的重合部分的面积为，则与之间的函数关系的图角大致是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】试题分析：分别求出0＜t≤2和2＜t≤4时，S与t的函数关系式即可爬判断．
当0＜t≤2时，S=t2，
当2＜t≤4时，S=t2﹣（2t﹣4）2=﹣t2+8t﹣8，
观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C．
故答案为C．
考点：动点问题的函数图象；分类讨论.
二、填 空 题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 分解因式：x3﹣4x2﹣12x=_____．
【正确答案】x（x＋2）（x－6）．
【分析】因式分解的步骤：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要彻底．首先提取公因式x，然后利用十字相乘法求解，
【详解】解:x3﹣4x2﹣12x=x（x2﹣4x﹣12）=x（x+2）（x﹣6）．
本题考查因式分解-十字相乘法；因式分解-提公因式法，掌握因式分解的技巧正确计算是本题的解题关键.
12. 风华中学七年级（2）班的“精英小组”有男生4人，女生3人，若选出一人担任班长，则组长是男生的概率为___．
【正确答案】
【详解】
13. 如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15º,PC∥OA,PD⊥OA于D,PC＝10,则PD＝_________.
【正确答案】5
【详解】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠AOP=2×15°=30°，
∵PC∥OA，
∴∠PCE=∠AOB=30°，
∴PE=PC=×10=5，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE=5．
故5．
14. 如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论有_____．（填序号）
【正确答案】①②③
【分析】（1）由已知条件易得∠A=∠BDF=60°，BD=AB=AD，AE=DF，即可证得△AED≌△DFB，从而说明结论①正确；（2）由已知条件可证点B、C、D、G四点共圆，从而可得∠CDN=∠CBM，如图，过点C作CM⊥BF于点M，过点C作CN⊥ED于点N，CB=CD即可证得△CBM≌△CDN，由此可得S四边形BCDG=S四边形CMGN=2S△CGN，在Rt△CGN中，由∠CGN=∠DBC=60°，∠CNG=90°可得GN=CG，CN=CG，由此即可求得S△CGN=CG2，从而可得结论②是正确的；（3）过点F作FK∥AB交DE于点K，由此可得△DFK∽△DAE，△GFK∽△GBE，AF=2DF和相似三角形的性质即可证得结论④成立.
【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，BD=AB，
∴AB=BD=BC=DC=DA，
∴△ABD和△CBD都是等边三角形，
∴∠A=∠BDF=60°，
又∵AE=DF，
∴△AED≌△DFB，即结论①正确；
（2）∵△AED≌△DFB，△ABD和△DBC是等边三角形，
∴∠ADE=∠DBF，∠DBC=∠CDB=∠BDA=60°，
∴∠GBC+∠CDG=∠DBF+∠DBC+∠CDB+∠GDB=∠DBC+∠CDB+∠GDB+∠ADE=∠DBC+∠CDB+∠BDA=180°，
∴点B、C、D、G四点共圆，
∴∠CDN=∠CBM，
如下图，过点C作CM⊥BF于点M，过点C作CN⊥ED于点N，
∴∠CDN=∠CBM=90°，
又∵CB=CD，
∴△CBM≌△CDN，
∴S四边形BCDG=S四边形CMGN=2S△CGN，
∵在Rt△CGN中，∠CGN=∠DBC=60°，∠CNG=90°
∴GN=CG，CN=CG，
∴S△CGN=CG2，
∴S四边形BCDG=2S△CGN，=CG2，即结论②是正确的；
（3）如下图，过点F作FK∥AB交DE于点K，
∴△DFK∽△DAE，△GFK∽△GBE，
∴，，
∵AF=2DF，
∴，
∵AB=AD，AE=DF，AF=2DF，
∴BE=2AE，
∴，
∴BG=6FG，即结论③成立.
综上所述，本题中正确的结论是：
故答案为①②③
点睛：本题是一道涉及菱形、相似三角形、全等三角形和含30°角的直角三角形等多种几何图形的判定与性质的题，题目难度较大，熟悉所涉及图形的性质和判定方法，作出如图所示的辅助线是正确解答本题的关键.
三、解 答 题（共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【正确答案】
【分析】针对负整数指数幂，角的三角函数值，零指数幂，二次根式化简，值5个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：原式=．
16. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】，
【分析】将括号内的部分通分，再将除法转化为乘法，然后代入求值.
【详解】解：原式=
当时，原式.
四、解 答 题（共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在中，，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若AB＝2BC，∠F＝36°．求∠B的度数．
【正确答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出ADBC，AD＝BC，证出∠D＝∠ECF，由ASA即可证出△ADE≌△FCE；
（2）证出AB＝FB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，AD＝BC，
∴∠D＝∠ECF，
在△ADE和△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）解：∵△ADE≌△FCE，
∴AD＝FC，
∵AD＝BC，AB＝2BC，
∴AB＝FB，
∴∠BAF＝∠F＝36°，
∴∠B＝180°2×36°＝108°．
此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
18. 已知关于x的没有等式．
（1）当m＝1时，求该没有等式的非负整数解；
（2）m取何值时，该没有等式有解，并求出其解集．
【正确答案】（1）0，1；（2）当m≠-1时，没有等式有解；当m> -1时，原没有等式的解集为x<2；当m< -1时，原没有等式的解集为x>2.
【分析】（1）把m=1代入没有等式，求出解集即可；
（2）没有等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出m的范围，进而求出解集即可．
【详解】（1）当m＝1时，
所以非负整数解为0，1
（2），
，
，
当m≠-1时，没有等式有解；
当m> -1时，原没有等式的解集为x<2；
当m< -1时，原没有等式的解集为x>2.
此题考查了没有等式的解集，熟练掌握没有等式的基本性质是解本题的关键．
五、解 答 题（共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 在数学兴趣小组中，李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则刘凯获胜（若指针停在等分线上，重转，直到指针指向某一份内为止）．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
（2）分别求出李燕和刘凯获胜的概率．
【正确答案】(1) 两数和共有12种等可能结果；(2) 李燕获胜的概率为；刘凯获胜的概率为．
【分析】(1)根据题意列表，把每一种情况列举.
(2)按照（1）中的表格数据，两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的情况有6种，和大于12的情况有3种,可计算二人获胜概率.
【详解】（1）根据题意列表如下：
6
7
8
9
3
9
10
11
12
4
10
11
12
13
5
11
12
13
14
可见，两数和共有12种等可能结果；
（2）由（1）可知，两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的情况有6种，和大于12的情况有3种，
∴小明获胜的概率, ，
小红获胜的概率为.
20. 童星玩具厂工人的工作时间为：每月22天，每天8小时．工资待遇为：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资500元，按月结算．该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A种产品可得报酬1.50元，每生产一件B种产品可得报酬2.80元．该厂工人可以选择A、B两种产品中的一种或两种进行生产．工人小李生产1件A产品和1件B产品需35分钟；生产3件A产品和2件B产品需85分钟．
（1）小李生产1件A产品需要 分钟，生产1件B产品需要 分钟．
（2）求小李每月的工资收入范围．
【正确答案】(1) ;(2) 没有低于1556元而没有高于1978.4元.
【详解】分析：
（1）设小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品分别需要x分钟和y分钟，根据题意列出方程组，解方程组即可求得所求答案；
（2）设小李每个月生产A种产品a件，工资收入为w元，根据题意列出w和a之间的函数关系式，将所列函数关系式化简后即可由w随a变化而变化的趋势题中已知量求得所求答案了.
解：（1）设小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品分别需要x分钟和y分钟，根据题意，得
，解得： ，
答：小李生产1件A种产品需15分子，生产1件B种产品，需20分钟；
（2）设小李每个月生产A种产品a件，工资收入为w元，根据题意可得：w=500+1.5a+2.8（22×8×60﹣15a）÷20，
整理得w=﹣0.6a+1978.4，
∴w随a的增大而减小，
当小李该月只生产A种产品时，其工资收入，收入为：
w=-0.6 (22×8×60÷15) +1978.4=1556（元）；
当小李该月只生产B中产品时，其工资收入，为：
w=-0.6×0+1978.4=1978.4（元）；
故小李每月的工资数目没有低于1556元而没有高于1978.4元．
点睛：（1）读懂题意，弄清题中的等量关系，设出未知数，列出方程组是解答第1小题的关键；（2）列出工资收入与生产A种产品数量间的函数关系式，是解答第2小题的关键.
六、解 答 题（共2小题，每小题12分，满分24分）
21. 某校为了进一步改进本校七年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣，校教务处在七年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷．我们从所的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答（喜欢程度分为：“A﹣非常喜欢”、“B﹣比较喜欢”、“C﹣没有太喜欢”、“D﹣很没有喜欢”，针对这个题目，问卷时要求每位被的学生必须从中选一项且只能选一项）结果进行了统计，现将统计结果绘制成如下两幅没有完整的统计图．
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（2）所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是 ；
（3）若该校七年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“没有太喜欢”的有多少人？
【正确答案】（1）补图见解析；（2）比较喜欢；（3）240人
【详解】试题分析：（1）根据条形统计图与扇形统计图可以得到的学生数，从而可以的选B的学生数和选B和选D的学生所占的百分比，从而可以将统计图补充完整；
（2）根据（1）中补全的条形统计图可以得到众数；
（3）根据（1）中补全的扇形统计图可以得到该年级学生中对数学学习“没有太喜欢”的人数．
解：（1）由题意可得，
的学生有：30÷25%=120（人），
选B的学生有：120﹣18﹣30﹣6=66（人），
B所占的百分比是：66÷120×=55%，
D所占的百分比是：6÷120×=5%，
故补全的条形统计图与扇形统计图如图所示，
（2）由（1）中补全的条形统计图可知，
所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是：比较喜欢，
故答案为比较喜欢；
（3）由（1）中补全的扇形统计图可得，
该年级学生中对数学学习“没有太喜欢”的有：960×25%=240（人），
即该年级学生中对数学学习“没有太喜欢”的有240人．
22. 关于三角函数有如下的公式：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②
tan（α+β）=③
利用这些公式可将某些没有是角的三角函数转化为角的三角函数来求值，如：
tan105°=tan（45°+60°）==﹣（2+）．
根据上面知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．
【正确答案】建筑物CD的高为84米．
【详解】分析：
如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意易得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，∠ADE=60°，这样在Rt△ABC和在Rt△ADE中，题中所给关系式分别求出AB和AE的长，即可由CD=BE=AB-AE求得结果了.
详解：
如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，CD=BE，∠ADE=60°，
∴在Rt△ABC和Rt△ADE
AB=BC•tan75°=42tan75°=，
AE=，
∴CD=AB﹣AE=（米）.
答：建筑物CD的高为84米.
睛：读懂题意，把已知量和未知量转化到Rt△ABC和Rt△ADE中，这样利用直角三角形中边角间的关系题目中所给的“两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.
七、解 答 题（共1小题，满分14分）
23. 如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，原点O的直线交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：
（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值．
（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论．
（3）①设点P的坐标为（1,b）,试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围．②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标．
【正确答案】(1) t= ；(2)见解析；(3) P（1.1）, P（1，1－）
【详解】分析：
（1）由已知条件易得OA=OB=1，AB=，由△AOC和△BCP全等可得BC=OA=1，从而可得t=AC=AB-BC=；
（2）过点C作x轴的平行线交OA于点M，交PB于点N，由题意易得OM=BN=CN，∠OMC=∠CNP=90°，∠COM=∠PCN，由此可得△OMC≌△CNP，从而可得OC=PC；
（3）①由△OMC≌△CNP，可得PN=MC=AM，AM=sin45°AC=，由此可得BN=OM=1-AM=，从而可得PB=b=BN-PN=，即b=，由点C在象限可得t的取值范围是：；②根据点C只能在象限，题意分PC=PB和PB=BC两种情况讨论计算即可.
详解：
（1）∵OA=OB=1，∠AOB=90°，
∴AB=，
∵△AOC和△BCP全等，
∴BC=OA=1，
∴AC=AB-BC=，即；
（2）过点C作x轴的平行线交OA于点M，交PB于点N，
∴∠CMO=∠OCP=∠C=90°，
∴四边形OBNM是矩形，∠MOC+∠MCO=90°，∠MCO+∠NCP=90°，
∴BN=OM，∠MOC=∠NCP，
∵OA=OB=1,
∴∠BAO=∠ABO=∠ABN=45°，
∴△BCN是等腰直角三角形，
∴OM=BN=CN，
∴△MOC≌△NCP，
∴OC=PC；
（3）① ∵OA=OB=1,∠AOB=90°，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
又∵∠AMC=90°，
∴AM=MC=AC·sin45°=，
∴OM=OA-AM=，
∵由（2）可知：BN=OM，
∴=,
∵△AOC和△BCP全等，
∴PN=CM=AM=，
∴PB=BN-PN=，即b=，
∵点C在象限，
∴；
②当t=0时，△PBC是等腰直角三角形，当此时点C与点A重合，没有在象限，没有符合题中要求，故此种情况没有成立；
当PB=BC时，由（2）可知，解得t=1或t=-1（舍去），
∴当t=1时，△PBC是等腰三角形，此时点P的坐标为；
综上所述，当△PBC为等腰三角形时，点P坐标为.
点睛：这是一道涉及多种几何图形与函数综合的数学问题，难度中等，熟悉相关图形的性质，并作出如图所示的辅助线是解答本题的关键.
2022-2023学年广东省汕尾市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 二次函数的最小值是 （ ）
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
2. 已知⊙O的直径为5，若PO=5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点P在⊙O内 B. 点P在⊙O上 C. 点P在⊙O外 D. 无法判断
3. 已知一个扇形的半径为R，圆心角为n°，当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时，则这个扇形的圆心角n的度数是（ ）
A. 180° B. 120° C. 90° D. 60°
4. 如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=，则的值为（ ）
A. 135° B. 100° C. 110° D. 120°
5. 如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 小刚用一张半径为24cm扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略没有计)，如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（ ）
A. 120πcm2 B. 240πcm2 C. 260πcm2 D. 480πcm2
7. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列结论：
（1）c＜0；
（2）b＞0；
（3）4a+2b+c＞0；
（4）（a+c）2＜b2．
其中没有正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，射线PD与⊙O相交于C，D两点，点E是CD中点，若∠APB=40°，则∠AEP的度数是（ ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
9. 利用平方根去根号可以构造一个整系数方程．例如：x=+1时，移项得x﹣1=，两边平方得（x﹣1）2=（）2，所以x2﹣2x+1=2，即x2﹣2x﹣1=0．仿照上述构造方法，当x=时，可以构造出一个整系数方程是（ ）
A. 4x2+4x+5=0 B. 4x2+4x﹣5=0 C. x2+x+1=0 D. x2+x﹣1=0
10. 如图，AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E． 连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4 其中正确的是（ ）
A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 比较三角函数值的大小：sin30°_____tan30°（填入“＞”或“＜”）．
12. 有9张相同的片，每张片上分别写有1-9的自然数，从中任取张卡片，则抽到卡片上的数字是3的整数倍的概率为___.
13. 如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x三个正方形，则x的值为_____．
14. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为_____cm．
15. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C为直角，AC＝5，BC＝12，在Rt△ABC内从左往右叠放边长为1的正方形小纸片，层小纸片的一条边都在AB上，依次这样往上叠放上去，则至多能叠放_____个．
16. 如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AB=4．动点P从A点出发，以每秒π个单位的速度在⊙O上按顺时针方向运动一周．设动点P的运动时间为t秒，点C是圆周上一点，且∠AOC=40°，当t=_____秒时，点P与点C对称，且对称在直径AB上．
三、解 答 题（本大题共8小题，共计80分）
17. 计算：（1）（﹣1）2+tan45°﹣；（2）已知，求的值．
18. 动手画一画，请把如图补成以A为对称对称图形．
19. （2011四川泸州，23，6分）甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为3，8，9．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．
（1）求取出3个小球的标号全是奇数的概率是多少？
（2）以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度，求这些线段能构成三角形的概率．
20. 如图，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，几秒△PQC和△ABC相似？
21. 如图，阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1m长的影子如图所示，已知窗框的影子DE到窗下墙脚的距离CE＝3.9m，窗口底边离地面的距离BC＝1.2m，试求窗口的高度．（即AB的值）
22. 在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．
（1）如图1，AC∶AB=1∶2，EF⊥CB，求证∶EF=CD．
（2）如图2，AC∶AB=1∶，EF⊥CE，求EF∶EG的值．
23. 阅读理解：
如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E没有与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．
24. 已知x轴上有点A（1，0），点B在y轴上，点C（m，0）为x轴上一动点且m＜﹣1，连接AB，BC，tan∠ABO=，以线段BC为直径作⊙M交直线AB于点D，过点B作直线l∥AC，过A，B，C三点的抛物线为y=ax2+bx+c，直线l与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F．
（1）求B点坐标；
（2）用含m的式子表示抛物线的对称轴；
（3）线段EF的长是否为定值？如果是，求出EF的长；如果没有是，说明理由．
（4）是否存在点C（m，0），使得BD=AB？若存在，求出此时m的值；若没有存在，说明理由．
2022-2023学年广东省汕尾市中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 二次函数的最小值是 （ ）
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
【正确答案】B
【详解】试题分析：对于二次函数的顶点式y=a+k而言，函数的最小值为k.
考点：二次函数的性质.
2. 已知⊙O的直径为5，若PO=5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点P在⊙O内 B. 点P在⊙O上 C. 点P在⊙O外 D. 无法判断
【正确答案】C
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】解：
∵d＝5＞2.5，
点P在⊙O外，
故选C．
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
3. 已知一个扇形的半径为R，圆心角为n°，当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时，则这个扇形的圆心角n的度数是（ ）
A. 180° B. 120° C. 90° D. 60°
【正确答案】C
【详解】解：由可得：．
故选．
4. 如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=，则的值为（ ）
A. 135° B. 100° C. 110° D. 120°
【正确答案】D
【详解】∵∠ACB=
∴优弧所对的圆心角为2
∴2+=360°
∴=120°．
故选D．
5. 如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先利用勾股定理得出DC，AC、AD的长，根据勾股定理的逆定理可得∠CDA=90°，再利用锐角三角函数关系求出答案．
【详解】解：如图所示，取格点D，连接DC，
由网格可得出DC＝，AC＝，AD=，
∵，
∴，
则：∠CDA＝90°，
故sinA＝．
故选：B．
本题考查了网格中解直角三角形、勾股定理及其逆定理、锐角的三角函数，根据网格特点构造直角三角形是关键．
6. 小刚用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略没有计)，如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（ ）
A. 120πcm2 B. 240πcm2 C. 260πcm2 D. 480πcm2
【正确答案】B
【详解】试题分析：从图中可以看出小帽的底面圆周长就扇形的弧长，根据此求出扇形的面积．
解：根据圆的周长公式得：
圆的底面周长=20π．
圆的底面周长即是扇形的弧长，
∴扇形面积==240πcm2．
故选B．
考点：扇形面积的计算．
7. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列结论：
（1）c＜0；
（2）b＞0；
（3）4a+2b+c＞0；
（4）（a+c）2＜b2．
其中没有正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】抛物线的开口向上，则a＞0；
对称轴为x=﹣=1，即b=﹣2a，故b＜0，故（2）错误；
抛物线交y轴于负半轴，则c＜0，故（1）正确；
把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＜0，故（3）错误；
把x=1代入y=ax2+bx+c得：y=a+b+c＜0，把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c＜0，
则（a+b+c）（a﹣b+c）＞0，故（4）错误；
没有正确的是（2）（3）（4）；
故选C．
8. 如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，射线PD与⊙O相交于C，D两点，点E是CD中点，若∠APB=40°，则∠AEP的度数是（ ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
【正确答案】D
【详解】连接OP，OA，OE，如图
∵点E是CD中点，
∴OE⊥DC，
∴∠PEO=90°，
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，
∴OA⊥PA，∠APO=∠BPO=∠APB=20°
∴∠PAO=90°，
∴∠POA=70°，
∴A、O、E、P四点在以OP为直径的圆上，
∴∠AEP=∠AOP=70°，
故选D．
本题考查了切线的性质，垂径定理，四点共圆的判定以及圆周角定理，作出辅助线构建直角三角形以及证得A、O、E、P四点共圆本题是关键．
9. 利用平方根去根号可以构造一个整系数方程．例如：x=+1时，移项得x﹣1=，两边平方得（x﹣1）2=（）2，所以x2﹣2x+1=2，即x2﹣2x﹣1=0．仿照上述构造方法，当x=时，可以构造出一个整系数方程是（ ）
A. 4x2+4x+5=0 B. 4x2+4x﹣5=0 C. x2+x+1=0 D. x2+x﹣1=0
【正确答案】B
【详解】由题意可得：x=，
可变形为：2x=﹣1，
则（2x+1）=，
故（2x+1）2=6，
则可以构造出一个整系数方程是：4x2+4x﹣5=0．
故选B．
10. 如图，AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E． 连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4 其中正确的是（ ）
A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④
【正确答案】A
【分析】①利用垂径定理可知，然后得到∠ADF＝∠AED，公共角可证明△ADF∽△AED；②CF＝2，且，可求得DF＝6，且CG＝DG，可求得FG＝2；③在Rt△AGF中可求得AG，在Rt△AGD中可求得tan∠ADG＝，由∠E＝∠ADG，可得tan∠E；④可先求得△ADF与△AED的相似比，再求S△ADF，进而求出S△ADE，然后由S△DEF＝S△AED－S△ADF得出结果.
【详解】解：①∵AB为直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠ADF＝∠AED，且∠FAD＝∠DAE，
∴△ADF∽△AED，故①正确；
②∵AB为直径，AB⊥CD，
∴CG＝DG，
∵，且CF＝2，
∴FD＝6，
∴CD＝8，
∴CG＝4，
∴FG＝CG−CF＝4−2＝2，故②正确；
③在Rt△AGF中，AF＝3，FG＝2，
∴AG＝，
∴tan∠ADG＝，
∵∠E＝∠ADG，
∴tan∠E＝，故③错误；
④在Rt△ADG中，AG＝，DG＝4，
∴AD＝，
∴，
∴，
∵，
∴S△AED＝，
∴S△DEF＝S△AED－S△ADF＝－＝，故④错误；
故选A．
本题主要考查垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质及三角函数的定义，由垂径定理得到G是CD的中点是解题的关键，判断③时注意利用等角的三角函数值也相等，在判断④时求出相似比是解题的关键．本题所考查知识点较多，综合性较强，解题时注意知识的灵活运用．
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 比较三角函数值的大小：sin30°_____tan30°（填入“＞”或“＜”）．
【正确答案】<
【详解】sin30°=，tan30°=，
＜，
即sin30°＜tan30°，
故答案为＜．
12. 有9张相同的片，每张片上分别写有1-9的自然数，从中任取张卡片，则抽到卡片上的数字是3的整数倍的概率为___.
【正确答案】
【分析】首先判断1-9的自然数中是3的整数倍的数有3个，分别是3，6，9，然后再根据概率公式，即可求出概率为.
【详解】解：1-9的自然数中是3的整数倍的数有3个，分别是3，6，9，
根据概率的定义公式，可得
m=3，n=9
∴概率
此题主要考查概率的定义公式，理解其内涵，即可得解.
13. 如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为_____．
【正确答案】7
【详解】如图，易得△DEF∽△IGH，所以，即，解得x1＝7，x2＝0（舍去）．
14. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为_____cm．
【正确答案】5-5
【分析】利用黄金分割的定义计算出AP即可．
【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP＝ AB＝×10＝5﹣5（cm），
故答案为5﹣5
本题考查黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
15. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C为直角，AC＝5，BC＝12，在Rt△ABC内从左往右叠放边长为1的正方形小纸片，层小纸片的一条边都在AB上，依次这样往上叠放上去，则至多能叠放_____个．
【正确答案】22个
【详解】由勾股定理得：AB=．
由三角形的面积计算公式可知：△ABC的高=．
如图所示：根据题意有：△CAB∽△CEF,
∴,
∴EF=
∴层可放置10个小正方形纸片．
同法可得总共能放4层，依次可放置10、7、4、1个小正方形纸片，
∴至多能叠放10+7+4+1=22（个）,
故答案为22个．
16. 如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AB=4．动点P从A点出发，以每秒π个单位的速度在⊙O上按顺时针方向运动一周．设动点P的运动时间为t秒，点C是圆周上一点，且∠AOC=40°，当t=_____秒时，点P与点C对称，且对称在直径AB上．
【正确答案】或或或．
【详解】解：如图,
，
当∠AOP1=40°时，P1与C1对称， =4π×=，t=÷π=；
当∠AOP2=140°时，P2与C1对称， =4π×=π，t=÷π=；
当∠AOP3=220°时，P3与C2对称， =4π×=，t=÷π=；
当∠AOP4=320°时，P4与C1对称， =4π×=π，t=÷π=；
故答案为或或或．
点睛：本题考查了对称的性质，弧长公式及分类讨论的数学思想，利用对称得出P点的位置是解题关键，要分类讨论，以防遗漏；
三、解 答 题（本大题共8小题，共计80分）
17. 计算：（1）（﹣1）2+tan45°﹣；（2）已知，求的值．
【正确答案】（1）0；（2）
【详解】试题分析：（1）项负数的偶次方是正数；第二项根据45°角的正切值等于1，第三项根据算术平方根的意义化简；
（2）把变形可得,把代入化简，约去y即可.
解：（1）（﹣1）2+tan45°﹣，
=1+1﹣2，
=0，
（2）∵=，
∴，
∴==．
18. 动手画一画，请把如图补成以A为对称的对称图形．
【正确答案】见解析
【详解】试题分析：根据成对称图形的对应点到对称的距离相等，分别画出点E、B、C、D关于点A成对称的点E′、B′、C′、D′，进而可画出所求的图形.
解：如图所示
19. （2011四川泸州，23，6分）甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2和7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4和5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为3，8，9．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．
（1）求取出的3个小球的标号全是奇数的概率是多少？
（2）以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度，求这些线段能构成三角形的概率．
【正确答案】解：（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意画出树状图，根据树状图进行解答概率；（2）用列举法求概率．
【详解】解：（1）画树状图得
∴一共有12种等可能的结果，取出的3个小球的标号全是奇数的有2种情况，
∴取出的3个小球的标号全是奇数的概率是：P(全是奇数)=
（2）∵这些线段能构成三角形的有2、4、3，7、4、8，7、4、9，7、5、3，7、5、8，7、5、9
共6种情况，
∴这些线段能构成三角形的概率为P(能构成三角形)=
本题考查概率的计算，难度没有大．
20. 如图，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，几秒△PQC和△ABC相似？
【正确答案】4或
【分析】本题中，可设x秒△PQC和△ABC相似，先求出CP=8-x，CQ=2x，再利用相似三角形性质对应边成比例列式求解即可得到答案，因为对应边没有明确，答案要分两种情况①当CP与CA是对应边时，②当CP与BC是对应边时.
【详解】解：设x秒，两三角形相似，则CP=AC-AP=8-x，CQ=2x，①当CP与CA是对应边时， ，即 ，解得x=4秒；
②当CP与BC是对应边时， ，即 ，解得x= 秒；
故4或 秒，两个三角形相似．
本题主要考查了利用相似三角形的性质对应边成比例求解，但发现对应边没有明确，需要分两种情况解决是本题的关键.
21. 如图，阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1m长的影子如图所示，已知窗框的影子DE到窗下墙脚的距离CE＝3.9m，窗口底边离地面的距离BC＝1.2m，试求窗口的高度．（即AB的值）
【正确答案】窗口高度为1.4m
【分析】根据题意知AE∥BD，可得∠AEC=∠BDC；从而得到△AEC∽△BDC，根据比例关系，计算可得AB的数值，即窗口的高度．
【详解】解：由于阳光是平行光线，即AE∥BD，
所以∠AEC=∠BDC.
又因为∠C公共角，
所以△AEC∽△BDC，从而有.
又AC=AB+BC，DC=EC－ED，EC=3.9，ED=2.1，BC=1.2，
于是有，
解得 AB=1.4(m)．
答：窗口的高度为1.4m．.
本题考查了相似三角形的性质应用，解题关键是证明两个三角形相似，利用比例式求解．
22. 在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．
（1）如图1，AC∶AB=1∶2，EF⊥CB，求证∶EF=CD．
（2）如图2，AC∶AB=1∶，EF⊥CE，求EF∶EG的值．
【正确答案】（1）见解析；（2）1∶
【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC∶AB=1∶2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD．
（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF∶EG=EQ∶EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF∶EG的值．
【详解】解∶（1）证明∶如图1，
在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，
∴∠CAD=∠B=90°－∠ACB．
∵AC∶AB=1∶2，
∴AB=2AC．
∵点E为AB的中点，
∴AB=2BE．
∴AC=BE．
在△ACD与△BEF中，
，
∴△ACD≌△BEF（AAS）．
∴CD=EF，即EF=CD．
（2）如图2，
作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，
∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，
∴四边形EQDH是矩形．
∴∠QEH=90°．
∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG．，
又∵∠EQF=∠EHG=90°，
∴△EFQ∽△EGH．
∴EF∶EG=EQ∶EH．
∵AC∶AB=1∶，∠CAB=90°，
∴∠B=30°．
在△BEQ中，∵∠BQE=90°，
∴．∴EQ=BE．
在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，
∴．∴EH=AE．
∵点E为AB的中点，∴BE=AE，
∴EF∶EG=EQ∶EH=BE∶AE=1∶．
23. 阅读理解：
如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E没有与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．
【正确答案】解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由如下：
∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°．
∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°．
∴∠ADE=∠BEC．
∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC．
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．
（2）作图如下：
（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM．∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．
由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD．
∴∠BCE=∠BCD=30°．∴BE=CE=AB．
在Rt△BCE中，，
∴，∴．
【详解】试题分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．
（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．
（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．
24. 已知x轴上有点A（1，0），点B在y轴上，点C（m，0）为x轴上一动点且m＜﹣1，连接AB，BC，tan∠ABO=，以线段BC为直径作⊙M交直线AB于点D，过点B作直线l∥AC，过A，B，C三点的抛物线为y=ax2+bx+c，直线l与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F．
（1）求B点坐标；
（2）用含m的式子表示抛物线的对称轴；
（3）线段EF的长是否为定值？如果是，求出EF的长；如果没有是，说明理由．
（4）是否存在点C（m，0），使得BD=AB？若存在，求出此时m的值；若没有存在，说明理由．
【正确答案】（1）B的坐标为（0，2）；（2）x=；（3）见解析；（4）﹣ 或﹣
【详解】试题分析：（1）根据正切函数的定义及点A的坐标求解；
（2）因为点C、A、B在抛物线上，故代入其坐标列方程组求解即可；
（3）由二次函数的图像的对称性表示出EB的长，由圆的对称性表示出FB的长，根据EF=FB﹣EB求出EF的长，判断是否为定值即可；
（4）连接CD. ①当D在线段AB上时，因为BC为圆的直径，所以∠BDC=90°，若BD=AB，可证明CA=CB，由此可求得m的值；②当交点D在AB的延长线上时，由△AOB∽△ADC列方程求解.
解：（1）∵tan∠ABO=，且A（1，0），
∴OB=2，即：点B的坐标为（0，2）．
（2）点C（m，0），A（1，0），B（0，2）在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴
解之得：b=﹣，a=，
∴x=﹣=．
即：抛物线的对称轴为x=
（3）∵EB=﹣（1+m），FB=﹣m，EF=FB﹣EB=1，
∴线段EF的长是定值．
（4）①当D在线段AB上时，如下图所示：连接CD
∵BC是⊙M的直径，
∴∠CDB=90°，
∵若BD=AB，即BD=DA
则易证CB=CA
∴=1﹣m
解之得m=﹣，
即：存在一点C（﹣，0），使得BD=AB．
②如图2中，当交点D在AB的延长线上时，
∵△AOB∽△ADC，
∴=，
∴=，
解得m=﹣，
∴存一点C（﹣，0），使得BD=AB．
综上所述，满足条件的m的值为﹣或﹣．
点睛：本题考查了二次函数的图像与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的就判定，相似三角形的判定与性质及分类讨论的数学思想，解题的关键是函数图象上的点与其解析式的关系以及圆的基本知识点和综合分析问题的能力．
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