2022-2023学年广东省广州市中考数学专项突破仿真模拟测试题（二模三模）含解析

这是一份2022-2023学年广东省广州市中考数学专项突破仿真模拟测试题（二模三模）含解析，共49页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省广州市中考数学专项突破仿真模拟测试题（二模）
一、选一选:本题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. -的相反数是（　　）
A 2016 B. ﹣2016 C. D. -
2. 下列各式化简后的结果为3 的是（　　）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 没有等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　)
A. B. C. D.
5. 下列判断错误的是（ ）
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 四个内角都相等的四边形是矩形
C. 四条边都相等的四边形是菱形
D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
6. 小军为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短跑决赛的8名男运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：66、68、67、68、67、69、68、71，这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A. 67、68 B. 67、67 C. 68、68 D. 68、67
7. 关于x的一元二次方程的两根为,那么下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
8. 将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和没有可能是（　　）
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
9. 关于抛物线，下列说法错误是（ ）
A. 开口向上 B. 与x轴有交点
C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x的增大而减小
10. 小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆的高度与拉绳的长度相等，小明先将拉到的位置，测得为水平线），测角仪的高度为米，则旗杆的高度为（ ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
二、填 空 题：本题共8小题，每小题4分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
11. 将正比例函数y＝2x的图象向左平移3个单位，所得的直线没有第____象限．
12. 甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为____．
13. 如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，若∠BCD = 28°，则∠A的度数为_________．
14. 某学习小组为了探究函数y＝x2﹣|x|的图象和性质，根据以往学习函数的，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m＝_____．
x
…
﹣2
﹣1.5
﹣1
﹣0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y
…
2
0.75
0
﹣0.25
0
﹣0.25
0
m
2
…

15. 我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标______．
16. 如图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为________．（结果保留π）

17. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P=40°，则∠ADC=_____________．

18. 小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，…，那么第9个图案的棋子数是___枚．

三、解 答 题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19. 计算：．
20. 先化简，再求值：，其中.
21. 如图，在中，于点，于点，连接，．求证：．

22. 在大课间中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）频数分布表中a = ，b= ，并将统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？
（3）已知组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？


23. 初一五班共有学生42人，其中男生人数比女生人数2倍少3人.
（1）该班男生和女生各有多少人？
（2）学校决定派该班30名学生勤工俭学，练习制作乐高零件，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数没有少于1460个，那么至少需要派多少名男学生？
24. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC面积．
某学习小组合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．



25. 如图，顶点为A（，1）的抛物线坐标原点O，与x轴交于点B．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；
（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

26. 如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD 的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）．
（1）计算矩形EFGH面积；
（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；
（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形，将矩形绕点按顺时针方向旋转，当落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形，设旋转角为，求的值．

2022-2023学年广东省广州市中考数学专项突破仿真模拟测试题（二模）
一、选一选:本题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. -的相反数是（　　）
A. 2016 B. ﹣2016 C. D. -
【正确答案】C

【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【详解】的相反数是-(=.
故答案是：C.
此题主要考查了相反数的定义，正确把握定义是解题关键．
2. 下列各式化简后的结果为3 的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】A、没有能化简；B、=2，故错误；C、=3，故正确；D、=6，故错误；
故选C．
点睛：本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】分析：直接利用合并同类项法则和整式的乘除运算法则分别化简求出答案．
详解：A、2x+y无法计算，故此选项错误；
B、x•2y2=2xy2，正确；
C、2x÷x2=，故此选项错误；
D、4x-5x=-x，故此选项错误；
故选B．
点睛：此题主要考查了合并同类项和整式的乘除运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
4. 没有等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　)
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】分别求出各没有等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
由①得，x＞-3，
由②得，x≤2，
故没有等式组的解集为：-3＜x≤2，
在数轴上表示为：
．
故选A．
点睛：本题考查的是解一元没有等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找没有到”的原则是解答本题的关键.
5. 下列判断错误的是（ ）
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 四个内角都相等的四边形是矩形
C. 四条边都相等的四边形是菱形
D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
【正确答案】D

【分析】分别利用平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，对选项逐一分析即可做出判断．
【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定，故本选项正确，没有符合题意；
B、∵四边形的内角和为360°，四边形的四个内角都相等，
∴四边形的每个内角都等于90°，则这个四边形有三个角是90°，
∴这个四边形是矩形，故四个内角都相等的四边形是矩形，本选项正确，没有符合题意；
C、四条边都相等的四边形是菱形，符合菱形的判定，故本选项正确，没有符合题意；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，没有一定是正方形，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，解题的关键是正确理解并掌握判定定理．
6. 小军为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短跑决赛的8名男运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：66、68、67、68、67、69、68、71，这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A. 67、68 B. 67、67 C. 68、68 D. 68、67
【正确答案】C

【分析】根据次数出现至多的数是众数，根据中位数的定义即可解决问题．
【详解】解：因为68出现了3次，出现次数至多，所以这组数据的众数是68．
将这组数据从小到大排列得到：66，67，67，68，68，68，69，71，所以这组数据的中位数为68．
故选C．
本题考查众数、中位数的定义，记住众数、中位数的定义是解决问题的关键，属于中考常考题型．
7. 关于x的一元二次方程的两根为,那么下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】由一元二次方程有两个没有相等的实数根，确定出根的判别式的符号即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=-1，
∴方程有两个没有相等的实数根
∴b2-4ac＞0，
故选A．
此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
8. 将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和没有可能是（　　）
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
【正确答案】D

【分析】根据题意列出可能情况，再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可.
【详解】解：①将矩形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和：180°+180°=360°；

②将矩形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°；
③将矩形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：180°+540°=720°，
④将矩形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，其内角和为：180°+540°=720°，
故选D.
9. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A. 开口向上 B. 与x轴有交点
C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x的增大而减小
【正确答案】D

【分析】先把抛物线化为顶点式，再根据抛物线的性质即可判断A、C、D三项，令y=0，解关于x的方程即可判断B项，进而可得答案.
【详解】解：；
A、∵a=1>0，∴抛物线的开口向上，说确，所以本选项没有符合题意；
B、令y=0，则，该方程有两个相等的实数根，所以抛物线与x轴有交点，说确，所以本选项没有符合题意；
C、抛物线对称轴是直线，说确，所以本选项没有符合题意；
D、当时，y随x的增大而减小，说法错误，应该是当时，y随x的增大而增大，所以本选项符合题意.
故选：D.
本题考查了二次函数的性质和抛物线与x轴的交点问题，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题关键.
10. 小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆的高度与拉绳的长度相等，小明先将拉到的位置，测得为水平线），测角仪的高度为米，则旗杆的高度为（ ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【正确答案】C

【分析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据，列出方程即可解决问题．
【详解】解：设PA=PB=PB′=x，
在RT△PCB′中，
∴
∴，
∴（1-）x=1，
∴x=．
故选C．
本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．
二、填 空 题：本题共8小题，每小题4分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
11. 将正比例函数y＝2x的图象向左平移3个单位，所得的直线没有第____象限．
【正确答案】四

【详解】根据上加下减自变量，得： ，过一、二、三象限. 即所得的直线没有第四象限．
故答案：四.
12. 甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为____．
【正确答案】

【分析】列举出所有情况，看甲没排在中间的情况占所有情况的多少即为所求的概率．
【详解】解：甲、乙、丙三个同学排成一排拍照有以下可能：
甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部6种情况，
有4种甲没在中间，
所以甲没排在中间的概率是．
故．
本题考查列举法求概率，正确理解题意列举出所有情况是解题关键．
13. 如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，若∠BCD = 28°，则∠A的度数为_________．
【正确答案】124°

【详解】试题分析：根据平行线的性质得到∠ABC=∠BCD=28°，根据角平分线的定义得到∠ACB=∠BCD=28°，根据三角形的内角和即可得到∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=124°，
故答案为124°．
考点：平行线的性质
14. 某学习小组为了探究函数y＝x2﹣|x|的图象和性质，根据以往学习函数的，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m＝_____．
x
…
﹣2
﹣1.5
﹣1
﹣0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y
…
2
0.75
0
﹣0.25
0
﹣0.25
0
m
2
…

【正确答案】0.75

【详解】当x＞0时，函数=，当x=1.5时，y==0.75，则m=0.75．故答案为0.75．
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及值，解题的关键是找出当x＞0时，函数的关系式．本题属于基础题，难度没有大，解决该题型题目时，根据值的性质找出当x＞0时y关于x的函数关系式是关键．
15. 我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标______．
【正确答案】（答案没有）如（1，-3）等

【详解】解：根据整点的定义可得x、y均为整数，即x是3的约数，
当x=3时，y=-1
3、-1均为整数，故图象上的整点为（3，-1），
故（答案没有）如（1，-3）等
16. 如图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为________．（结果保留π）

【正确答案】24π

【详解】解：由图可知，圆柱体的底面直径为4，高为6，所以，侧面积=4π×6=24π．故答案为24π．
点睛：本题考查了立体图形的三视图和学生的空间想象能力，圆柱体的侧面积公式，根据主视图判断出圆柱体的底面直径与高是解题的关键．
17. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若∠P=40°，则∠ADC=_____________．

【正确答案】115°

【分析】根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，，连接点C和圆心O，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得的度数，本题得以解决．
【详解】解：连接OC，如图所示，

由题意可得， ，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴，
∴，
故115°．
本题考查切线的性质、圆内接四边形对角互补，解题的关键是连接圆心和切点，构造直角三角形，求出四边形的一个角，找出所求问题需要的条件．
18. 小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，…，那么第9个图案的棋子数是___枚．

【正确答案】13

【详解】设第n个图形有an个旗子，
观察，发现规律：a1=1，a2=1+2=3，a3=3+1=4，a4=4+2=6，a5=6+1=7，…，
a2n+1=3n+1，a2n+2=3（n+1）（n为自然数），
当n=4时，a9=3×4+1=13，
故答案为13．
三、解 答 题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19. 计算：．
【正确答案】

【详解】分析：原式利用乘方的意义，值的代数意义，零指数幂法则计算即可得到结果．
详解：原式===．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 先化简，再求值：，其中.
【正确答案】，4.

【分析】先括号内通分，然后计算除法，代入化简即可．
【详解】原式= .
当时，原式=4.
此题考查分式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.
21. 如图，在中，于点，于点，连接，．求证：．

【正确答案】见解析

【分析】先依据ASA判定△ADE≌△CBF，即可得出AE=CF，AE∥CF，进而判定四边形AECF是平行四边形，即可得到AF=CE．
【详解】证明：∵AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
又∵平行四边形ABCD中，AD=BC，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF，∠AED=∠CFB，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE．
本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
22. 在大课间中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）频数分布表中a = ，b= ，并将统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？
（3）已知组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？


【正确答案】（1）a=0.3，b=4；（2）99人；（3）

【详解】分析：（1）由统计图易得a与b的值，继而将统计图补充完整；
（2）利用用样本估计总体的知识求解即可求得答案；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
详解：（1）a=1-0.15-0.35-0.20=0.3；
∵总人数为：3÷0.15=20（人），
∴b=20×0.20=4（人）；
故答案为0.3，4；
补全统计图得：

（2）估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有：180×（0.35+0.20）=99（人）；
（3）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有3种情况，
∴所选两人正好都是甲班学生的概率是：．
点睛：此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 初一五班共有学生42人，其中男生人数比女生人数的2倍少3人.
（1）该班男生和女生各有多少人？
（2）学校决定派该班30名学生勤工俭学，练习制作乐高零件，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个，为保证他们每天加工的零件总数没有少于1460个，那么至少需要派多少名男学生？
【正确答案】（1）女生15人，男生27人；（2）至少派22人

【分析】（1）设该班男生有x人，女生有y人，根据男女生人数的关系以及全班共有42人，可得出关于x、y的二元方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设派m名男学生，则派的女生为（30-m）名，根据“每天加工零件数=男生每天加工数量×男生人数+女生每天加工数量×女生人数”，即可得出关于m的一元没有等式，解没有等式即可得出结论．
【详解】（1）设该班男生有x人，女生有y人，
依题意得：，
解得：．
∴该班男生有27人，女生有15人．
（2）设派m名男学生，则派的女生为（30-m）名，
依题意得：50m+45（30-m）≥1460，即5m+1350≥1460，
解得：m≥22，
答：至少需要派22名男学生.
本题考查了一元没有等式的应用以及二元方程组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出二元方程组；（2）根据数量关系列出关于m的一元没有等式．本题属于基础题，难度没有大，解决该题型题目时，根据数量关系列出没有等式（方程或方程组）是关键．
24. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．




【正确答案】84.

【详解】解：作AD⊥BC于D，


如图所示：设BD = x，则．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：，
∴ ，
解之得：．
∴．
∴ ．
25. 如图，顶点为A（，1）的抛物线坐标原点O，与x轴交于点B．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；
（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

【正确答案】（1）y=﹣x2+x；（2）证明见解析；（3）P（﹣，0）．

【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出直线OA对应的函数的表达式为y=x．再求出直线BD的表达式为y=x﹣2．求出交点坐标C，D即可；
（3）先判断出C'D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小．作辅助线判断出△C'PO∽△C'DQ即可．
【详解】解：（1）∵抛物线顶点为A（，1），设抛物线解析式为y=a（x﹣）2+1，将原点坐标（0，0）在抛物线上，∴0=a（）2+1
∴a=﹣，
∴抛物线的表达式为：y=﹣x2+x．
（2）令y=0，得 0=﹣x2+x，
∴x=0（舍），或x=2
∴B点坐标为：（2，0），
设直线OA的表达式为y=kx．∵A（，1）在直线OA上，
∴k=1，∴k=，
∴直线OA对应的函数的表达式为y=x．
∵BD∥AO，设直线BD对应的函数的表达式为y=x+b．∵B（2，0）在直线BD上，∴0=×2+b，∴b=﹣2，
∴直线BD的表达式为y=x﹣2．

由
得交点D的坐标为（﹣，﹣3），
令x=0得，y=﹣2，∴C点的坐标为（0，﹣2），
由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD，OB=2=OD．
在△OAB与△OCD中，，
∴△OAB≌△OCD．
（3）点C关于x轴的对称点C'的坐标为（0，2），∴C'D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小．
过点D作DQ⊥y，垂足为Q，∴PO∥DQ，∴△C'PO∽△C'DQ，
∴，∴，∴PO=，
∴点P坐标为（﹣，0）．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和全等，解答本题的关键是确定函数解析式．
26. 如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD 的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）．
（1）计算矩形EFGH的面积；
（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；
（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形，将矩形绕点按顺时针方向旋转，当落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形，设旋转角为，求的值．

【正确答案】（1）；（2）矩形移动的距离为时，矩形与△CBD重叠部分的面积是；（3）

【详解】分析：（1）根据已知，由直角三角形的性质可知AB=2，从而求得AD，CD，利用中位线的性质可得EF，DF，利用三角函数可得GF，由矩形的面积公式可得结果；
（2）首先利用分类讨论的思想，分析当矩形与△CBD重叠部分为三角形时（0＜x≤），利用三角函数和三角形的面积公式可得结果；当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时（＜x≤），列出方程解得x；
（3）作H2Q⊥AB于Q，设DQ=m，则H2Q＝m，又DG1＝，H2G1＝，利用勾股定理可得m，在Rt△QH2G1中，利用三角函数解得cosα．
详解：（1）如图①，

在中，
∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2
又∵D是AB的中点，∴AD=1，．
又∵EF是的中位线，∴，
在中，AD=CD, ∠A=60°,
∴∠ADC=60°．
在中,60°，
∴矩形EFGH的面积．
（2）如图②，设矩形移动的距离为则，

当矩形与△CBD重叠部分为三角形时，
则，
， ∴．（舍去）．
当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时，则，
重叠部分的面积S=, ∴．
即矩形移动的距离为时，矩形与△CBD重叠部分的面积是．
（3）如图③，作于．

设，则，又，．
Rt△H2QG1中， ，
解之得（负的舍去）．
∴．
点睛：本题主要考查了直角三角形的性质，中位线的性质和三角函数定义等，利用分类讨论的思想，构建直角三角形是解答此题的关键．









2022-2023学年广东省广州市中考数学专项突破仿真模拟测试题（三模）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1. 的倒数是（ ）
A. -2 B. 2 C. D.
2. 下列图形中，没有是轴对称图形是（　　）
A. B. C. D.
3. 中共同志在报告中指出：“国内生产总值从54 万亿元增长到80万亿元．”将近似数54万亿用科学记数法表示为（　　）
A. 54×1012 B. 5.4×1013 C. 0.54×1014 D. 5×1013
4. 在1，2，3，4四个数中，随机抽取两个没有同的数，其乘积大于4的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列计算正确的是
A. B. C. D.
6. 函数y=ax+b与反比例函数，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中图象可以是（　　）
A. B. C. D.
7. 将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图没有可能是（　　）
A. B. C. D.
8. 如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2的度数为（　　）

A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
9. 没有等式组的解集用数轴表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
10. 函数y=的自变量x的取值范围是（　　）
A. x≥-1 B. x≥-1且x≠2 C. x≠±2 D. x＞-1且x≠2
11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于CP+EP最小值的是（　　）


A. AC B. AD C. BE D. BC
12. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题（本大题共4小题，每小题3分，共12分。没有要求写出解答过程，请把答案直接填在答题卷相应位置上）
13. 的平方根是_____，的立方根是_____．
14. 分解因式a3﹣a的结果是_____．
15. 如图，在扇形中，是的中点，，与交于点，以为圆心，的长为半径作交于点．若，，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留）

16. 一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3∥…，则正方形A2018B2018C2018D2018的边长是_____．

三、解 答 题（本大题共8小题，共72分。请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 先化简，再求值：，其中．
18. 如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点．

（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若∠BAC=∠C，求证：四边形DBEA矩形．
19. （2010河南18题）“校园手机”现象越来越受到社会关注．“五一”期间，小记者刘凯随机了城区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：

（1）求这次的家长人数，并补全图①；
（2）求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数；
（3）从这次接受的学生中，随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的学生的概率是多少？
20. 如图所示，函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．
（1）分别求出函数与反比例函数的表达式；
（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．

21. 宜万铁路线上，一列列和谐号动车象一条条巨龙穿梭于恩施崇山峻岭，大多地段桥梁与隧道交替相连如图，勘测队员在山顶P处测得山脚下隧道入口A点处俯角为60°，隧道出口B点处的俯角为30°，一列动车以180km/h的速度自西向东行驶，当车头抵达入口A点处时，车尾C点处的俯角是45°，整个车身全部进入隧洞恰好用了4s钟时间，求车身完全在隧道中运行的时间（结果到1秒，参考数据：≈1.414，≈1.732 ）．

22. 为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元.
（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？
（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付资金没有超过11800万元，地方财政投入资金没有少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校改扩建资金分别为每所300万元和500万元，请问共有哪几种改扩建？
23. 如图，在等腰△ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E，垂足为点F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径R=5，tanC=，求EF的长．

24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在线段OC上（没有与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的值；
（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若没有存在，请说明理由．












2022-2023学年广东省广州市中考数学专项突破仿真模拟测试题（三模）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）
1. 的倒数是（ ）
A. -2 B. 2 C. D.
【正确答案】A

【分析】根据倒数的概念求解即可．
【详解】根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-的倒数为-2．
故选：A．

2. 下列图形中，没有是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论．
【详解】根据轴对称图形的概念，可知：选项A中的图形没有是轴对称图形．
故选A．
此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．
3. 中共同志在报告中指出：“国内生产总值从54 万亿元增长到80万亿元．”将近似数54万亿用科学记数法表示为（　　）
A 54×1012 B. 5.4×1013 C. 0.54×1014 D. 5×1013
【正确答案】B

【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于54万亿有14位，所以可以确定n=14﹣1=13．
详解：54万亿=54 000 000 000 000=5.4×1013．
故选B．
点睛：本题考查了科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
4. 在1，2，3，4四个数中，随机抽取两个没有同的数，其乘积大于4的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其乘积大于4的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，任取两个没有同的数，其乘积大于4的有6种情况，
∴从1、2、3、4中任取两个没有同的数，其乘积大于4的概率是：．
故．
故选：A．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的，树状图法适合两步或两步以上完成的．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5. 下列计算正确的是
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、原式没有能合并，没有符合题意；
B、原式＝m2+6m+9，没有符合题意；
C、原式＝x3y6，没有符合题意；
D、原式＝a5，符合题意，
故选：D．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6. 函数y=ax+b与反比例函数，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】根据函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a-b确定符号，确定双曲线的位置．
【详解】A. 由函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab<0，
∴a−b>0，
∴反比例函数y= 的图象过一、三象限，
所以此选项没有正确；
B. 由函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴正半轴，则b>0，
满足ab<0，
∴a−b<0，
∴反比例函数y=的图象过二、四象限，
所以此选项没有正确；
C. 由函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab<0，
∴a−b>0，
∴反比例函数y=的图象过一、三象限，
所以此选项正确；
D. 由函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab>0，与已知相矛盾
所以此选项没有正确；
故选C.
此题考查反比例函数的图象，函数的图象，解题关键在于确定a、b的大小
7. 将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图没有可能是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】根据三视图的确定方法，判断出钢管无论如何放置，三视图始终是下图中的其中一个，即可．
【详解】解：一根圆柱形的空心钢管任意放置，
没有管钢管怎么放置，它的三视图始终是 ， ， ，主视图是它们中一个，
主视图没有可能是 ．
故选：A．
本题是简单几何体的三视图，考查的是三视图的确定方法，解题的关键是物体的放置没有同，主视图，俯视图，左视图，虽然没有同，但它们始终就图中的其中一个．
8. 如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2的度数为（　　）

A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
【正确答案】A

【详解】解：如图，∵∠1=30°，∠BAC=90°，
∴∠3=60°.
又∵DE∥FG，
∴∠2=∠3=60°.
故选A．


9. 没有等式组的解集用数轴表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【正确答案】B

【详解】分析：首先解每个没有等式，然后把每个解集在数轴上表示出来．
详解：，
解①得：x≥﹣1，
解②得：x＜2．
则表示为：
．
故选B．
点睛：本题考查了没有等式组的解法．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
10. 函数y=的自变量x的取值范围是（　　）
A. x≥-1 B. x≥-1且x≠2 C. x≠±2 D. x＞-1且x≠2
【正确答案】B

【分析】本题有二次根式和分式，则要使式子有意义，则必须满足二次根式的被开方数为非负数，分式的分母没有为零.
【详解】解：由题意得：x+10且0，
解得：x-1且x2.
故选：B
11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于CP+EP最小值的是（　　）


A. AC B. AD C. BE D. BC
【正确答案】C

【分析】如图连接PB，只要证明PB=PC，即可推出PC+PE=PB+PE，由PE+PB≥BE，可得P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度．
【详解】解：如图，连接PB，


∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PC+PE=PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，
故选C．
本题考查轴对称—最短路线问题，等腰三角形性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
12. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】D

【分析】根据二次函数的性质逐一进行分析即可
【详解】①4a-2b+c＜0；当x=-2时，y=ax2+bx+c，y=4a-2b+c，由-2＜x1＜-1，可得y＜0，故①正确；
②2a-b＜0；已知x=- ＞-1，且a＜0，所以2a-b＜0，故②正确；
③已知抛物线（-1，2），即a-b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜（2），
由①知：4a-2b+c＜0（3）；联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a-c＜-4；
∵c＜2，则有a＜-1，所以③正确
④由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac-b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确，
故选D．
本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．
二、填 空 题（本大题共4小题，每小题3分，共12分。没有要求写出解答过程，请把答案直接填在答题卷相应位置上）
13. 的平方根是_____，的立方根是_____．
【正确答案】 ①. ②. ﹣

【详解】分析：先求出=2，再根据平方根的定义解答；
根据立方根的定义解答．
详解：∵=2，∴的平方根是±；
∵（﹣）3=﹣，∴﹣的立方根是﹣．
故答案为±；﹣．
点睛：本题考查了立方根的定义，平方根的定义，算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
14. 分解因式a3﹣a的结果是_____．
【正确答案】a（a+1）（a﹣1）．

【分析】先提取公因式a后再利用平方差公式因式分解即可.
【详解】解：a3－a
=a(
=2(a+1)(a-1).
故答案为2(a+1)(a-1).
本题考查了提公因式法和运用公式法因式分解的综合运用，分解因式时，要分解到每一个因式都没有能够在分解即可.
15. 如图，在扇形中，是的中点，，与交于点，以为圆心，的长为半径作交于点．若，，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留）

【正确答案】

【详解】如解图，连接OD，交于点M，∵，C是OA的中点，，∴，∴，，，∴，
∴．

16. 一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3∥…，则正方形A2018B2018C2018D2018的边长是_____．

【正确答案】（）2017

【详解】分析：利用正方形的性质锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．
详解：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，∴D1E1=C1D1sin30°=，则B2C2=，同理可得：B3C3==（ ）2，故正方形AnCnDn的边长是：（ ）n﹣1，则正方形A2018B2018C2018D2018的边长为：（ ）2017．
故答案为（ ）2017．
点睛：本题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题的关键．
三、解 答 题（本大题共8小题，共72分。请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 先化简，再求值：，其中．
【正确答案】1

【详解】分析：将括号内部分通分后相减，再将除法转化为乘法后代入求值．
解：原式=．
当时，原式=．
18. 如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点．

（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若∠BAC=∠C，求证：四边形DBEA矩形．
【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．

【详解】分析：（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．
（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．
详解：（1）∵E是AC中点，∴EC=AC．
∵DB=AC，∴DB=EC．
又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形，∴BC=DE．
（2）连接AD、BE．
∵DB∥AE，DB=AE，
∴四边形DBEA是平行四边形．
∵∠BAC=∠C，∴BA=BC．
∵BC=DE，∴AB=DE，∴▭DBEA是矩形．

点睛：本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
19. （2010河南18题）“校园手机”现象越来越受到社会的关注．“五一”期间，小记者刘凯随机了城区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：

（1）求这次的家长人数，并补全图①；
（2）求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数；
（3）从这次接受的学生中，随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的学生的概率是多少？
【正确答案】（1）见解析；（2）36°；（3）

【详解】解：(1)这次的家长人数为： (人)；
补全条形统计图如解图所示：
学生及家长对中学生带手机的态度统计图

[解法提示]持“”态度的家长人数为： (人)．
(2)表示家长“赞成”的圆心角的度数为：；
(3)恰好是“无所谓”态度的学生的概率是：．
中考试题中的核心素养
20. 如图所示，函数y=kx+b与反比例函数y=图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．
（1）分别求出函数与反比例函数的表达式；
（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．

【正确答案】（1）反比例函数解析式为y=，函数解析式为y=x+2；（2）△ACB的面积为6．

【分析】（1）将点A坐标代入y=可得反比例函数解析式，据此求得点B坐标，根据A、B两点坐标可得直线解析式；
（2）根据点B坐标可得底边BC=2，由A、B两点的横坐标可得BC边上的高，据此可得．
【详解】解：（1）将点A（2，4）代入y=，得：m=8，则反比例函数解析式为y=，
当x=﹣4时，y=﹣2，则点B（﹣4，﹣2），
将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入y=kx+b，得：，
解得：，则函数解析式为y=x+2；
（2）由题意知BC=2，则△ACB的面积=×2×6=6．
本题主要考查函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积求法是解题的关键．
21. 宜万铁路线上，一列列和谐号动车象一条条巨龙穿梭于恩施崇山峻岭，大多地段桥梁与隧道交替相连如图，勘测队员在山顶P处测得山脚下隧道入口A点处的俯角为60°，隧道出口B点处的俯角为30°，一列动车以180km/h的速度自西向东行驶，当车头抵达入口A点处时，车尾C点处的俯角是45°，整个车身全部进入隧洞恰好用了4s钟时间，求车身完全在隧道中运行的时间（结果到1秒，参考数据：≈1.414，≈1.732 ）．

【正确答案】车身完全在隧道中运行的时间为18s．

【详解】分析：如图作PH⊥CB于H．设PH=CH=x，由180km/h==50m/s，推出AC=50×4=200，AH=x﹣200．在Rt△APH中，由∠APH=30°，可得PH=AH，由此构建方程求出x，再求出AB即可解决问题．
详解：如图作PH⊥CB于H．

∵∠C=45°，PH⊥BC，∴PH=CH，设PH=CH=x．
∵180km/h==50m/s，∴AC=50×4=200，AH=x﹣200．
在Rt△APH中，∵∠APH=30°，∴PH=AH，∴x=（x﹣200），
解得：x=300+100．
∵AB=2AP，AP=2AH，∴AB=4AH=400+400≈1092.4，≈18s．
答：车身完全在隧道中运行的时间为18s．
点睛：本题考查了直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
22. 为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元.
（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？
（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付资金没有超过11800万元，地方财政投入资金没有少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校改扩建资金分别为每所300万元和500万元，请问共有哪几种改扩建？
【正确答案】（1）1200万元、1800万元；（2）共有3种：一：改扩建A类学校3所，B类学校7所；二：改扩建A类学校4所，B类学校6所；三：改扩建A类学校5所，B类学校5所．

【分析】（1）可根据“改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元”，列出方程组求出答案；
（2）要根据“国家财政拨付资金没有超过11800万元；地方财政投入资金没有少于4000万元”来列出没有等式组，判断出没有同的改造．
【详解】（1）设改扩建一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万元
由题意得，
解得，
答：改扩建一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为1200万元和1800万元．
（2）设今年改扩建A类学校a所，则改扩建B类学校（10﹣a）所，
由题意得：，
解得，
∴3≤a≤5，
∵a取整数，
∴a=3，4，5．
即共有3种：
一：改扩建A类学校3所，B类学校7所；
二：改扩建A类学校4所，B类学校6所；
三：改扩建A类学校5所，B类学校5所．
23. 如图，在等腰△ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E，垂足为点F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径R=5，tanC=，求EF的长．

【正确答案】（1）证明见解析（2）

【分析】（1）连接圆心和切点，利用平行，DE⊥AB可证得∠ODF=90°；
（2）过D作DH⊥BC于H，设BD=k，CD=2k，求得BD、CD的长，根据三角形的面积公式得到DH的长，由勾股定理得到OH的长，根据射影定理得到OD2=OH•OE，求得OE的长，从而得到BE的长，根据相似三角形的性质得到BF=2，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）证明：如图，连接OD，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠90°，
∴BD⊥AC．
∵AB=BC，
∴AD=DC．
∵OA=OB，
∴OD∥BA，
∵DE⊥BA，
∴DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）过D作DH⊥BC于H
∵⊙O的半径R=5，tanC=，
∴BC=10，设BD=k，CD=2k，
∴BC=k=10，
∴k=2，
∴BD=2，CD=4，
∴DH==4，
∴OH==3，
∵DE⊥OD，DH⊥OE，
∴OD2=OH•OE，
∴OE=，
∴BE=，
∵DE⊥AB，
∴BF∥OD，
∴△BFE∽△ODE，
∴，
即，
∴BF=2，
∴EF==．

本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质以及解直角三角形．当题中已有垂直时，证直线为圆的切线，通常选用平行来进行证明；而求相关角的余弦值，应根据所给条件进行适当转移，注意利用直角三角形面积的没有同方式求解．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在线段OC上（没有与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的值；
（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若没有存在，请说明理由．

【正确答案】（1）；（2）；（3）详见解析.

【详解】试题分析：（1）把B（4，0），点D（3，）代入即可得出抛物线的解析式；
（2）先用含t的代数式表示P、M坐标，再根据三角形的面积公式求出△PCM的面积与t的函数关系式，然后运用配方法可求出△PCM面积的值；
（3）若四边形DCMN为平行四边形，则有MN=DC，故可得出关于t的二元方程，解方程即可得到结论．
试题解析：（1）把点B（4，0），点D（3，），代入中得，，解得：，∴抛物线的表达式为；
（2）设直线AD的解析式为y=kx+b，∵A（0，1），D（3，），∴，∴，∴直线AD的解析式为，设P（t，0），∴M（t，），∴PM=，∵CD⊥x轴，∴PC=3﹣t，∴S△PCM=PC•PM=（3﹣t）（），∴S△PCM==，∴△PCM面积的值是；
（3）∵OP=t，∴点M，N的横坐标为t，设M（t，），N（t， ），∴MN==，CD=，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形，∴MN=CD，即=，∵△=﹣39，∴方程=无实数根，∴没有存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形．
（3）∵OP=t，∴点M，N的横坐标为t，设M（t，），N（t，），∴MN==，CD=；
①如图1，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形，∴MN=CD，即=，∵△=﹣39，∴方程=无实数根，∴没有存在t；
②如图2，如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形，∴MN=CD，即=，∴t=（负值舍去），∴当t=时，以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形．