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2022-2023学年广东省广州市中考数学专项提升仿真模拟测试题（一模二模）含解析
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这是一份2022-2023学年广东省广州市中考数学专项提升仿真模拟测试题（一模二模）含解析，共58页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市中考数学专项提升仿真模拟测试题（一模）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．﹣6的相反数是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．
2．某4S店今年1～5月新能源汽车的销量（辆数）分别如下：25，33，36，31，40，这组数据的平均数是（ ）
A．34 B．33 C．32.5 D．31
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（a3）2＝a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．x6÷x3＝x2
4．2022年2月第24届冬季在我国北京成功举办，以下是参选的会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列说法错误的是（ ）
A．打开电视机，台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机
B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用抽样
C．一组数据的方差越小，它的波动越小
D．样本中个体的数目称为样本容量
6．如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（ ）
A．跟 B．党 C．走 D．听
7．如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
9．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC某些变换得到的，则正确的变换是（ ）
A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位
D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位
10．如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（ ）
A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22
11．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④没有等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填 空 题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5分）函数的自变量x的取值范围是 ．
14．（5分）如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于 ．
15．（5分）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 ．
16．（5分）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝ ．
三、解 答 题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
17．（8分）（1）计算：+|（﹣）﹣1|﹣2cos45°；
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝﹣，b＝+4．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
19．（9分）为让同学们了解新冠的危害及预防措施，某中学举行了“新冠预防”知识竞赛．数学课外小组将八（1）班参加本校知识竞赛的40名同学的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，为75分）分成五组进行统计，并绘制了下列没有完整的统计图表：
分数段
频数
频率
74.5﹣79.5
2
0.05
79.5﹣84.5
8
n
84.5﹣89.5
12
0.3
89.5﹣94.5
m
0.35
94.5﹣99.5
4
0.1
（1）表中m＝ ，n＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）本次知识竞赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定2名学生参加颁奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
20．（9分）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．
（1）求河的宽度；
（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）
21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
四、填 空 题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）
22．（6分）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ ．
23．（6分）如图，已知函数y＝kx+b的图象点P（2，3），与反比例函数y＝的图象在象限交于点Q（m，n）．若函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是 ．
24．（6分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且+＝x12+2x2﹣1，则k的值为 ．
25．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 ．
五、解 答 题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．）
26．（12分）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践开展劳动实践．在此次中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次劳动实践的租金总费用没有超过3000元．
（1）参加此次劳动实践的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车？
（3）学校租车总费用至少是多少元？
27．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．
（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
（2）若＝2，求的值；
（3）若MN∥BE，求的值．
28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的值及此时点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．
2022-2023学年广东省广州市中考数学专项提升仿真模拟测试题
（一模）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．﹣6的相反数是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．
【分析】根据相反数的定义，即可解答．
解：﹣6的相反数是6，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．
2．某4S店今年1～5月新能源汽车的销量（辆数）分别如下：25，33，36，31，40，这组数据的平均数是（ ）
A．34 B．33 C．32.5 D．31
【分析】根据算术平均数的计算方法进行计算即可．
解：这组数据的平均数为：＝33（辆），
故选：B．
【点评】本题考查实数平均数，掌握算术平均数的计算方法是正确计算的关键．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（a3）2＝a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．x6÷x3＝x2
【分析】根据合并同类项的法则，幂的乘方的运算法则以及同底数幂除法的运算法则计算并作出判断即可．
解：A．a2和a3没有是同类项，没有能合并，故没有符合题意；
B．（a3）2＝a6，故符合题意；
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故没有符合题意；
D．x6÷x3＝x6﹣3＝x3，故没有符合题意．
故选：B．
【点评】本题综合考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键，属于基础题型．
4．2022年2月第24届冬季在我国北京成功举办，以下是参选的会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义解答即可．
解：根据轴对称图形和对称图形的定义可知，C选项既是轴对称图形，又是对称图形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和对称图形，熟练掌握它们的定义是解答本题的关键．
5．下列说法错误的是（ ）
A．打开电视机，台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机
B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用抽样
C．一组数据的方差越小，它的波动越小
D．样本中个体的数目称为样本容量
【分析】根据随机的定义，抽样和全面的特点，方差的特点，样本容量的定义解答即可．
解：A．打开电视机，台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机，故A选项没有符合题意；
B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用全面，故B选项符合题意；
C．一组数据的方差越小，它的波动越小，故C选项没有符合题意；
D．样本中个体的数目称为样本容量，故D选项没有符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了随机，抽样和全面，方差的，样本容量，熟练掌握相关的定义和特点是解答本题的关键．
6．如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（ ）
A．跟 B．党 C．走 D．听
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“话”与“走”是对面，
故C．
【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．
7．如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】由平行四边形的得CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，再证∠CBM＝∠CMB，则MC＝BC＝8，即可得出结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，
∴∠ABM＝∠CMB，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠CBM＝∠CMB，
∴MC＝BC＝8，
∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明MC＝BC是解题的关键．
8．如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
【分析】依据点在数轴上的位置，没有等式的性质，值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
解：由题意得：a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴1﹣2a＞1﹣2b，
∴A选项的结论成立；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴B选项的结论没有成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴|a|＜|b|，
∴a+b＞0，
∴C选项的结论没有成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴|a|＜|b|，
∴|a|﹣|b|＜0，
∴D选项的结论没有成立．
故选：A．
【点评】本题主要考查了没有等式的性质，值的意义，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取值范围是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC某些变换得到的，则正确的变换是（ ）
A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位
D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位
【分析】观察图形可以看出，Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE，应先旋转然后平移即可．
解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．
故选：D．
【点评】本题考查的是坐标与图形变化，旋转和平移的知识，掌握旋转和平移的概念和性质是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（ ）
A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22
【分析】设点P（a，b），则Q（a，），依据已知条件利用待定系数法解答即可．
解：设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝﹣，
∴PQ＝PM+MQ＝b﹣．
∵点P在反比例函数y＝的图象上，
∴ab＝8．
∵S△POQ＝15，
∴PQ•OM＝15，
∴×a（b﹣）＝15．
∴ab﹣k＝30．
∴8﹣k＝30，
解得：k＝﹣22．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
11．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
【分析】连接OB、OC，根据正六边形的性质求出∠BOC，根据等边三角形的判定定理得到△BOC为等边三角形，根据垂径定理求出BM，根据勾股定理求出OM，根据弧长公式求出的长．
解：连接OB、OC，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠BOC＝＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴BC＝OB＝6，
∵OM⊥BC，
∴BM＝BC＝3，
∴OM＝＝＝3，
的长为：＝2π，
故选：D．
【点评】本题考查的是正多边形和圆、弧长的计算，正确求出正六边形的角是解题的关键．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④没有等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】利用二次函数的图象和性质依次判断即可．
解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正确．
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②错误．
∵抛物线对称轴x＝﹣＞1，a＞0，
∴b＜﹣2a，
∵a+b+c＜0，
∴a﹣2a+c＜0，
∴2a﹣c＞a＞0，
∴③正确．
如图：
设y1＝ax2+bx+c，y2＝﹣x+c，
由图值，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，
故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
二、填 空 题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5分）函数的自变量x的取值范围是 x≥3 ．
【分析】根据被开方数非负列式求解即可．
解：根据题意得，x﹣3≥0，
解得x≥3．
故x≥3．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母没有能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14．（5分）如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于 100° ．
【分析】根据圆周角定理解答即可．
解：由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC＝50°，
∴∠AOC＝100°，
故100°．
【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
15．（5分）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 ．
【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．
解：由题意得：
＝1，
解得：x＝．
经检验，x＝是原方程的根，
∴x＝．
故．
【点评】本题主要考查了解分式方程，本题是新定义型题目，准确理解新规定并熟练应用是解题的关键．
16．（5分）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝ 48 ．
【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．
解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：
S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，
且：a2+b2＝EF2＝16，
∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16
＝2×16+16
＝48．
故48．
【点评】本题考查勾股定理的应用，应用勾股定理和乘法公式表示三个正方形的面积是求解本题的关键．
三、解 答 题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
17．（8分）（1）计算：+|（﹣）﹣1|﹣2cos45°；
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝﹣，b＝+4．
【分析】（1）直接利用角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案；
（2）先根据分式的运算法则化简分式，再代入求值．
解：（1）原式＝×2+2﹣2×
＝+2﹣
＝2．
（2）原式＝[+]•
＝•
＝．
当a＝﹣，b＝+4时，原式＝．
【点评】本题考查了二次根式的运算，角的函数值，负指数次幂的运算，以及分式的化简求值，正确熟练的运算是解题的关键．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠CDB，利用SAS定理证明△ABE≌△CDF；
（2）根据全等三角形的性质得到AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，根据平行线的判定定理证明AE∥CF，再根据平行四边形的判定定理证明结论．
证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
19．（9分）为让同学们了解新冠的危害及预防措施，某中学举行了“新冠预防”知识竞赛．数学课外小组将八（1）班参加本校知识竞赛的40名同学的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，为75分）分成五组进行统计，并绘制了下列没有完整的统计图表：
分数段
频数
频率
74.5﹣79.5
2
0.05
79.5﹣84.5
8
n
84.5﹣89.5
12
0.3
89.5﹣94.5
m
0.35
94.5﹣99.5
4
0.1
（1）表中m＝ 14 ，n＝ 0.2 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）本次知识竞赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定2名学生参加颁奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）由样本容量乘以频率得出m的值，再由频率的定义求出n的值即可；
（2）由（1）的结果，补全频数分布直方图即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可．
解：（1）m＝40×35%＝14，n＝8÷40＝0.2，
故14，0.2；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）∵成绩在94.5分以上的选手有4人，男生和女生各占一半，
∴2名是男生，2名是女生，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
∴确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为＝．
【点评】此题考查了树状图法求概率、频数分布表和频数分布直方图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（9分）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．
（1）求河的宽度；
（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）
【分析】（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，则DE＝（x+60）米，先利用平角定义求出∠ACE＝45°，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答；
（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，先利用平角定义求出∠BCF＝60°，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，进行计算即可解答．
解：（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，
设CE＝x米，
∵CD＝60米，
∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，
∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，
在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x＝30+30，
经检验：x＝30+30是原方程的根，
∴AE＝（30+30）米，
∴河的宽度为（30+30）米；
（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，
则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，
在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米，
∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米），
∴古树A、B之间的距离为20米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，证明△AOF≌△COF（SAS），由全等三角形的判定与性质得出∠OAF＝∠OCF＝90°，由切线的判定可得出结论；
（2）由直角三角形的性质求出∠AOF＝30°，可得出AE＝OA＝3，则可求出答案；
（3）证明△AOC是等边三角形，求出∠AOC＝60°，OC＝6，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案．
解：（1）直线AF与⊙O相切．
理由如下：连接OC，
∵PC为圆O切线，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠AOF＝∠COF，
∵在△AOF和△COF中，
，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OAF＝∠OCF＝90°，
∴AF⊥OA，
又∵OA为圆O的半径，
∴AF为圆O的切线；
（2）∵△AOF≌△COF，
∴∠AOF＝∠COF，
∵OA＝OC，
∴E为AC中点，
即AE＝CE＝AC，OE⊥AC，
∵∠OAF＝90°，OA＝6，AF＝2，
∴tan∠AOF＝，
∴∠AOF＝30°，
∴AE＝OA＝3，
∴AC＝2AE＝6；
（3）∵AC＝OA＝6，OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，OC＝6，
∵∠OCP＝90°，
∴CP＝OC＝6，
∴S△OCP＝OC•CP＝＝18，S扇形AOC＝＝6π，
∴阴影部分的面积为S△OCP﹣S扇形AOC＝18﹣6π．
【点评】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积求法，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
四、填 空 题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）
22．（6分）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ （a2+1）（a+2）（a﹣2） ．
【分析】先利用十字相乘法因式分解，在利用平方差公式进行因式分解．
解：a4﹣3a2﹣4
＝（a2+1）（a2﹣4）
＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
故（a2+1）（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解题的关键．
23．（6分）如图，已知函数y＝kx+b的图象点P（2，3），与反比例函数y＝的图象在象限交于点Q（m，n）．若函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是 ＜m＜2 ．
【分析】过点P分别作x轴，y轴的平行线，与双曲线分别交于点A，B，利用解析式分别求得A，B坐标，依据题意确定点Q的移动范围，从而得出结论．
解：过点P作PA∥x轴，交双曲线与点A，过点P作PB∥y轴，交双曲线与点B，如图，
∵P（2，3），反比例函数y＝，
∴A（，3），B（2，1）．
∵函数y的值随x值的增大而增大，
∴点Q（m，n）在A，B之间，
∴＜m＜2．
故＜m＜2．
【点评】本题主要考查了反比例函数与函数图象的交点问题，待定系数法，反比例函数的性质，函数的性质，函数图象上点的坐标的特征，确定点Q的移动范围是解题的关键．
24．（6分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且+＝x12+2x2﹣1，则k的值为 2 ．
【分析】根据x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，可得x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，把+＝x12+2x2﹣1变形再整体代入可得＝4﹣k，解出k的值，并检验即可得k＝2．
解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵+＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，没有符合题意；
∴k＝2，
故2．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，从而根据已知得到关于k的方程，注意要由求得的k值检验原方程是否有实数根．
25．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 10 ．
【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，则四边形EFGC是平行四边形，得CE＝FG，则AF+CE＝AF+FG，可知当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，利用勾股定理求出AG的长即可．
解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，
∵EF∥CG，EF＝CG，
∴四边形EFGC是平行四边形，
∴CE＝FG，
∴AF+CE＝AF+FG，
∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，
由勾股定理得，AG＝＝＝10，
∴AF+CE的最小值为10，
故10．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线将AF+CE的最小值转化为AG的长是解题的关键．
五、解 答 题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．）
26．（12分）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践开展劳动实践．在此次中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次劳动实践的租金总费用没有超过3000元．
（1）参加此次劳动实践的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车？
（3）学校租车总费用至少是多少元？
【分析】（1）设参加此次劳动实践的老师有x人，可得：30x+7＝31x﹣1，即可解得参加此次劳动实践的老师有8人，参加此次劳动实践的学生有247人；
（2）根据每位老师负责一辆车的组织工作，知一共租8辆车，设租甲型客车m辆，可得：，解得m的范围，解得一共有3种租车：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）设学校租车总费用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，由函数性质得学校租车总费用至少是2800元．
解：（1）设参加此次劳动实践的老师有x人，参加此次劳动实践的学生有（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践的老师有8人，参加此次劳动实践的学生有247人；
（2）师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得：，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用至少是2800元．
【点评】本题考查一元方程，一元没有等式组及函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，没有等式和函数关系式．
27．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．
（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
（2）若＝2，求的值；
（3）若MN∥BE，求的值．
【分析】（1）根据矩形的性质，利用AAS证明△BMF≌△ECF，得BM＝CE，再利用点E为CD的中点，即可证明结论；
（2）利用△BMF∽△ECF，得，从而求出BM的长，再利用△ANM∽△BMC，得，求出AN的长，可得答案；
（3）首先利用同角的余角相等得∠CBF＝∠CMB，则tan∠CBF＝tan∠CMB，得，可得BM的长，由（2）同理可得答案．
（1）证明：∵F为BE的中点，
∴BF＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠BMF＝∠ECF，
∵∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF≌△ECF（AAS），
∴BM＝CE，
∵点E为CD的中点，
∴CE＝DE，
∴BM＝CE＝DE，
∵AB＝CD，
∴AM＝CE；
（2）解：∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF∽△ECF，
∴，
∵CE＝3，
∴BM＝，
∴AM＝，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∴∠AMN+∠BMC＝90°，
∵∠AMN+∠ANM＝90°，
∴∠ANM＝∠BMC，
∵∠A＝∠MBC，
∴△ANM∽△BMC，
∴，
∴，
∴，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，
∴；
（3）解：∵MN∥BE，
∴∠BFC＝∠CMN，
∴∠FBC+∠BCM＝90°，
∵∠BCM+∠BMC＝90°，
∴∠CBF＝∠CMB，
∴tan∠CBF＝tan∠CMB，
∴，
∴，
∴，
∴＝，
由（2）同理得，，
∴，
解得AN＝，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，
∴＝．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出BM的长是解决（2）和（3）的关键．
28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的值及此时点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，可用待定系数法求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的代数式表示出DG，然后利用cos∠EDG＝cos∠得到DE＝DG，可得出关于m的二次函数，运用二次函数的最值即可解决问题；
（3）根据S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，即可求解．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．
设直线AC的解析式为y＝kx+t，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+2．
设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，
∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2
∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，
∵DE⊥AC，DH⊥AB，
∴∠EDG+DGE＝AGH+∠＝90°，
∵∠DGE＝∠AGH，
∴∠EDG＝∠，
∴cos∠EDG＝cos∠＝＝，
∴，
∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，
∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得值．
此时yD＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，
即点D的坐标为（﹣2，2）；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，
则BE：AE＝1：5或5：1
则AE＝5或1，
即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝x+2，
联立方程组或，
解得：x＝6或﹣（没有合题意值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数、图象面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比．
2022-2023学年广东省广州市中考数学专项提升仿真模拟测试题
（二模）
一、选一选（共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列函数没有属于二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（ ）
A. （2，﹣1） B. （﹣2，1） C. （﹣2，﹣1） D. （2，1）
3. 二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此拋物线的对称轴是直线（ ）
A x=﹣1 B. x=1 C. x=2 D. x=3
4. 函数在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A B. C. D.
5. 若，则等于 （ ）
A. B. C. D.
6. △ABC中，BC=54 cm，CA=45 cm，AB=63 cm；另一个和它相似的三角形最短边长为15 cm，则最长边一定是（ ）
A. 18 cm B. 21 cm C. 24 cm D. 19.5 cm
7. 点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说确的有（ ）
①AC=AB，②AC=AB，③AB：AC=AC：BC，④AC≈0.618AB
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. a＞0 B. b＞0 C. c＜0 D. abc＞0
9. 如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( )
A B. C. D.
10. 如图△OAP，△ABQ均是等腰直角三角形，点P，Q在函数y=（x＞0）的图象上，直角顶点A，B均在x轴上，则点B的坐标为（ ）
A. （，0） B. （，0） C. （3，0） D. （，0）
二、填 空 题（共四题，每题5分，共20分）
11. 如图，在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则△AEF与△ABC的面积之比为__________．
12. 若，则＝______．
13. 如图，添加一个条件：_____，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）
14. 如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：
①ac＜0； ②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3
③a+b+c＞0 ④当x＞1时，y随x的增大而增大．
正确的说法有_____．
三、解 答 题.
15. 已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
16. 已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象点(－2，－5)，求此二次函数的解析式________．
17. 画图，将图中的△ABC作下列运动，画出相应的图形．
（1）在图（1）上，沿y轴正方向平移2个单位；
（2）在图（2）上，关于y轴对称；
（3）在图（3）上，以B点为位似，放大到2倍．
18. 如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若，AC=14，
（1）求AB长．
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．
19. 在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所的路线是某二次函数图象的一部分(如图)，若这个男生出手处A点的坐标为(0，2)，铅球路线的处B点的坐标为B(6，5).
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)该男生把铅球推出去多远?(到0.01米).
20. 如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
21. 某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加x元．求：
（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费p（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有值？值是多少？
22. 已知于，于，，，，则在上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似？如果存在，求的长；如果没有存在，说明理由．
23. 如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴与C（0，3），D为抛物线上的顶点，直线y=x﹣1与抛物线交于M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线与点Q．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）求线段PQ的值；
（3）设E为线段OC的三等分点，连接EP、EQ，若EP=EQ，直接写出P的坐标．
2022-2023学年广东省广州市中考数学专项提升仿真模拟测试题
（二模）
一、选一选（共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列函数没有属于二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】把函数整理成一般形式，根据定义，即可判定．
【详解】把每一个函数式整理为一般形式，
A、=x2+x-2，是二次函数，正确；
B、=x2+x+，是二次函数，正确；
C、，是二次函数，正确；
D、=2x2+12x+18-2x2=12x+18，这是一个函数，没有是二次函数，
故选D.
2. 函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（ ）
A. （2，﹣1） B. （﹣2，1） C. （﹣2，﹣1） D. （2，1）
【正确答案】B
【分析】将函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标.
【详解】解：∵y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4+3）＝﹣（x+2）2+1
∴顶点坐标为（﹣2，1）；
故选B．
本题考查了二次函数，解题关键是能将一般式化为顶点式.
3. 二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此拋物线的对称轴是直线（ ）
A. x=﹣1 B. x=1 C. x=2 D. x=3
【正确答案】A
【分析】根据两已知点的坐标特征得到它们是抛物线的对称点，从而可得抛物线的对称轴是直线x==-1.
【详解】∵点（3，4）和（-5，4）的纵坐标相同，
∴点（3，4）和（-5，4）是抛物线的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x==-1，
故选A．
本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是轴对称图形，若图象上两点坐标为（m1，n）、（m2，n），则对称轴为直线x=是解题的关键.
4. 函数在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．
【详解】当a＞0时，二次函数的图象开口向上，
函数的图象一、三或一、二、三或一、三、四象限，
故A、D没有正确；
由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=-＞0，且a＞0，则b＜0，
但B中，函数a＞0，b＞0，排除B．
故选C．
5. 若，则等于 （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】【分析】先根据比例的基本性质进行变形，得到2x=3y，再根据比例的基本性质转化成比例式即可得.
【详解】根据比例的基本性质得：
5x=3（x+y），即2x=3y，
即得，
故选A．
本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解本题的关键.
6. △ABC中，BC=54 cm，CA=45 cm，AB=63 cm；另一个和它相似的三角形最短边长为15 cm，则最长边一定是（ ）
A. 18 cm B. 21 cm C. 24 cm D. 19.5 cm
【正确答案】B
【详解】设另一个和它相似的三角形最长边长为xcm，由相似三角形的性质可得，这两个三角形最长边长之比等于最短边长之比，所以=，解得x=21.所以最短边长为21cm.
故选B.
点睛：掌握相似三角形的性质.
7. 点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说确的有（ ）
①AC=AB，②AC=AB，③AB：AC=AC：BC，④AC≈0.618AB
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可得．
【详解】解：∵点C数线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC=AB，故①正确；
由AC=AB，故②错误；
BC：AC=AC：AB，即：AB：AC=AC：BC，③正确；
AC≈0.618AB，故④正确，
故选C．
本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，熟记黄金分割的比为是解题的关键．
8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. a＞0 B. b＞0 C. c＜0 D. abc＞0
【正确答案】B
【详解】a的符号根据二次函数的开口方向判断，二次函数开口方向向上，a>0；
二次函数对称轴为，该图像的对称轴大于0，所以b<0；
c根据二次图像和y轴的交点，该图像交于y轴的下半部分，故c<0，所以abc>0．
故选：B
9. 如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得= ,=，从而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．
【详解】∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD，
∴= ,=，
∴+=+==1.
∵AB=1，CD=3，
∴+=1，
∴EF=.
故选C.
本题考查了相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.
10. 如图△OAP，△ABQ均是等腰直角三角形，点P，Q在函数y=（x＞0）的图象上，直角顶点A，B均在x轴上，则点B的坐标为（ ）
A. （，0） B. （，0） C. （3，0） D. （，0）
【正确答案】B
【分析】由△OAP是等腰直角三角形可以得到PA=OA，可以设P点的坐标是（a，a），把（a，a）代入反比例函数解析式即可求出a=2，然后求出P的坐标，从而求出OA，再根据△ABQ是等腰直角三角形用同样的方法即可求出点B的坐标．
【详解】解：∵△OAP是等腰直角三角形，
∴PA=OA ，
∴设P点的坐标是（a，a），
把（a，a）代入解析式得到a=2，
∴P的坐标是（2，2），
则OA=2，
∵△ABQ是等腰直角三角形，
∴BQ=AB，
∴设点Q的纵坐标是b，
∴点Q的横坐标是b+2，
把Q的坐标代入解析式y=，
∴，
∴b=﹣1，
∴b+2=﹣1+2=+1，
∴点B的坐标为（+1，0），
故选：B．
本题考查了反比例函数的图象的性质以及等腰直角三角形的性质，解决此类问题常用的方法就是利用形数进行解答．
二、填 空 题（共四题，每题5分，共20分）
11. 如图，在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则△AEF与△ABC的面积之比为__________．
【正确答案】1:4．
【详解】试题解析：∵E、F分别为AB、AC的中点，
∴EF=BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．．
12. 若，则＝______．
【正确答案】
【分析】根据可得，把a，c，e代入所求代数式中，约分后即可求得结果．
【详解】∵
∴
∴
故
本题考查了比例的性质，求代数式的值，根据比例的性质变形是关键．
13. 如图，添加一个条件：_____，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）
【正确答案】∠ADE=∠ACB（答案没有）
【分析】相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，由此可得出可添加的条件．
【详解】解：由题意得，（公共角），
则可添加：或∠AED=∠ABC，利用两角法可判定△ADE∽△ACB；
添加：，利用两边及其夹角法可判定△ADE∽△ACB．
故答案可为：（答案没有）．
本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案没有．
14. 如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：
①ac＜0； ②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3
③a+b+c＞0 ④当x＞1时，y随x的增大而增大．
正确说法有_____．
【正确答案】①②③．
【详解】∵抛物线的开口向下，
∵与轴的交点为在轴的正半轴上，
故①正确；
∵对称轴为 抛物线与轴的一个交点为
∴另一个交点为
∴方程 的根是
故②正确；
当时，
故③正确；
异号，即
当时，随的增大而减小，故④错误．
∴其中正确说法有①②③；
故答案为①②③．
三、解 答 题.
15. 已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m值应怎样？
【正确答案】(1)、m=0；(2)、m≠0且m≠1.
【分析】根据函数与二次函数的定义求解．
【详解】解：（1）根据函数的定义，得：m2﹣m=0
解得m=0或m=1
又∵m﹣1≠0即m≠1；
∴当m=0时，这个函数是函数；
（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0
解得m1≠0，m2≠1
∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．
考点：二次函数的定义；函数的定义
16. 已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象点(－2，－5)，求此二次函数的解析式________．
【正确答案】y=-（x-1）2+4
【分析】已知二次函数的顶点坐标为，可设抛物线的顶点式为,将图像上的点代入求出即可.
【详解】解：设二次函数的解析式为：,
因为图象点，代入可得：
，
解得：，
所以二次函数的解析式为：
本题考查了使用顶点式求抛物线解析式的方法.
17. 画图，将图中的△ABC作下列运动，画出相应的图形．
（1）在图（1）上，沿y轴正方向平移2个单位；
（2）在图（2）上，关于y轴对称；
（3）在图（3）上，以B点为位似，放大到2倍．
【正确答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析；
【详解】【分析】（1）把三角形的每个顶点向上移动两个单位长度，然后连接得到的三个点即可；
（2）作出三角形的每个顶点关于y轴的对称点，然后连接得到的三个点即可；
（3）把BC延长到C′，使CC′=BC，则C′就是C的对应点，然后得到B的对应点，即可得到所求的三角形．
【详解】（1）如图所示：△A′B′C′为所求的三角形；
（2）如图所示：△AB′C′为所求的三角形；
（3）如图所示：△A′BC′为所求的三角形．
本题考查了图形的平移、轴对称、位似，画位似图形的一般步骤为：①确似，②分别连接并延长位似和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
18. 如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若，AC=14，
（1）求AB的长．
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．
【正确答案】(1) 4 10 (2) 9
【详解】【详解】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，从而可得，再由AC=14即可求出AB的长；
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出BH及HE的长，然后即可得出BE的长．
【详解】（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∴，
∵AC=14，
∴AB=4，
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：
又∵AD∥BE∥CF，AD=7，
∴AD=HE=GF=7，
∵CF=14，
∴CG=14﹣7=7，
∵BE∥CF，
∴，
∴BH=2，
∴BE=2+7=9．
本题考查平行线分线段成比例的知识，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
19. 在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所的路线是某二次函数图象的一部分(如图)，若这个男生出手处A点的坐标为(0，2)，铅球路线的处B点的坐标为B(6，5).
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)该男生把铅球推出去多远?(到0.01米).
【正确答案】（1）y=(x-6)2+5；（2）该男生把铅球推出约13.75米
【详解】试题分析：（1）根据顶点坐标B(6,5)可设函数关系式为y=a(x-6)2+5，再把A(0,2)代入即可求得结果；
（2）把y=0代入求得图象与x轴的交点坐标，即可得到结果.
(1)设y=a(x-6)2+5,
则由A(0,2)得2=a(0-6)2+5，解得a=.
故y=(x-6)2+5；
(2)由(x-6)2+5=0,得x1=.
图像可知:C点坐标为(,0)
故OC=≈13.75(米)
即该男生把铅球推出约13.75米.
考点：二次函数的应用
点评：待定系数法求函数关系式是函数问题中极为重要的一种方法，在中考中极为常见，在各种题型中均有出现，尤其是综合题，一般难度较大，需多加注意.
20. 如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
【正确答案】这个正方形零件的边长是48mm．
【分析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
【详解】设正方形边长为x mm，
则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
即，
解得x＝48 mm，
∴这个正方形零件的边长是48mm．
本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出AI的长度，然后列出比例式是解题的关键．
21. 某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加x元．求：
（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费p（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有值？值是多少？
【正确答案】（1）y=60-；（2）z=-x2+40x+12000；（3）w=-x2+42x+10800，当每个房间的定价为每天410元时，w有值，且值是15210元．
【详解】试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；
（2）已知每天定价增加为x元，则每天要（200+x）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；
（3）支出费用为20×（60﹣），则利润w=（200+x）（60﹣）﹣20×（60﹣），利用配方法化简可求值．
试题解析：解：（1）由题意得：
y=60﹣
（2）p=（200+x）（60﹣）=﹣+40x+12000
（3）w=（200+x）（60﹣）﹣20×（60﹣）
=﹣+42x+10800
=﹣（x﹣210）2+15210
当x=210时，w有值．
此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w有值，且值是15210元．
点睛：求二次函数的（小）值有三种方法，种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．
22. 已知于，于，，，，则在上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似？如果存在，求的长；如果没有存在，说明理由．
【正确答案】存在，当DP=2或12或5.6时，△PCD与△PAB相似．
【详解】【分析】分△PCD∽△APB与△PCD∽△PAB两种情况进行分析求解，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【详解】存在，
①若△PCD∽△APB，则，即，解得DP=2或12；
②若△PCD∽△PAB，则，即，解得DP=5.6，
∴当DP=2或12或5.6时，△PCD与△PAB相似．
本题考查了相似三角形的性质，运用分类讨论思想是解答本题的关键.
23. 如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴与C（0，3），D为抛物线上的顶点，直线y=x﹣1与抛物线交于M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线与点Q．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）求线段PQ的值；
（3）设E为线段OC的三等分点，连接EP、EQ，若EP=EQ，直接写出P的坐标．
【正确答案】（1）y=﹣（x﹣1）2+4，抛物线的顶点D的坐标为（1，4）；（2）当x=时，线段PQ的长度有值；（3）综上所述，P点坐标为（1，0）或（2，1）或（0，﹣1）．
【分析】（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出即可得抛物线的解析式，通过配方成顶点式即可得到顶点D的坐标；
（2）设Q（x，﹣x2+2x+3），则P（x，x﹣1），则可得PQ=﹣x2+2x+3﹣（x﹣1），再根据二次函数的性质即可求得PQ长的最值；
（3）作EH⊥PQ于H，如图，设Q（x，﹣x2+2x+3），则P（x，x﹣1），根据等腰三角形的性质可得QH=PH，然后分点E坐标为（0，1）和点E坐标为（0，2）两种情况分别讨论即可得到对应的P点坐标.
【详解】（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得a•1•（﹣3）=3，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3，
∵y=﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（1，4）；
（2）设Q（x，﹣x2+2x+3），则P（x，x﹣1），
∴PQ=﹣x2+2x+3﹣（x﹣1）=﹣x2+3x+4=﹣（x﹣）2+，
当x=时，线段PQ的长度有值；
（3）作EH⊥PQ于H，如图，设Q（x，﹣x2+2x+3），则P（x，x﹣1），
∵EP=EQ，
∴QH=PH，
∵OC=3，E为线段OC的三等分点，
∴E（0，1）或（0，2），
当E点坐标为（0，1）时，则H（x，1），
∴﹣x2+2x+3﹣1=1﹣（x﹣1），
整理得x2﹣3x=0，解得x1=0，x2=3（舍去），此时P点坐标为（0，﹣1）；
当E点坐标为（0，2）时，则H（x，2），
∴﹣x2+2x+3﹣2=2﹣（x﹣1），
整理得x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，此时P点坐标为（1，0）或（2，1），
综上所述，P点坐标为（1，0）或（2，1）或（0，﹣1）．
本题考查二次函数综合题，涉及到二次函数的性质、等腰三角形的性质、待定系数法等知识，会用分类讨论的思想进行解答是关键.
2022-2023学年广东省广州市中考数学专项提升仿真模拟测试题（一模）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．﹣6的相反数是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．
2．某4S店今年1～5月新能源汽车的销量（辆数）分别如下：25，33，36，31，40，这组数据的平均数是（ ）
A．34 B．33 C．32.5 D．31
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（a3）2＝a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．x6÷x3＝x2
4．2022年2月第24届冬季在我国北京成功举办，以下是参选的会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列说法错误的是（ ）
A．打开电视机，台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机
B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用抽样
C．一组数据的方差越小，它的波动越小
D．样本中个体的数目称为样本容量
6．如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（ ）
A．跟 B．党 C．走 D．听
7．如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
9．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC某些变换得到的，则正确的变换是（ ）
A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位
D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位
10．如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（ ）
A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22
11．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④没有等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填 空 题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5分）函数的自变量x的取值范围是 ．
14．（5分）如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于 ．
15．（5分）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 ．
16．（5分）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝ ．
三、解 答 题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
17．（8分）（1）计算：+|（﹣）﹣1|﹣2cos45°；
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝﹣，b＝+4．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
19．（9分）为让同学们了解新冠的危害及预防措施，某中学举行了“新冠预防”知识竞赛．数学课外小组将八（1）班参加本校知识竞赛的40名同学的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，为75分）分成五组进行统计，并绘制了下列没有完整的统计图表：
分数段
频数
频率
74.5﹣79.5
2
0.05
79.5﹣84.5
8
n
84.5﹣89.5
12
0.3
89.5﹣94.5
m
0.35
94.5﹣99.5
4
0.1
（1）表中m＝ ，n＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）本次知识竞赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定2名学生参加颁奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
20．（9分）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．
（1）求河的宽度；
（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）
21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
四、填 空 题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）
22．（6分）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ ．
23．（6分）如图，已知函数y＝kx+b的图象点P（2，3），与反比例函数y＝的图象在象限交于点Q（m，n）．若函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是 ．
24．（6分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且+＝x12+2x2﹣1，则k的值为 ．
25．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 ．
五、解 答 题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．）
26．（12分）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践开展劳动实践．在此次中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次劳动实践的租金总费用没有超过3000元．
（1）参加此次劳动实践的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车？
（3）学校租车总费用至少是多少元？
27．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．
（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
（2）若＝2，求的值；
（3）若MN∥BE，求的值．
28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的值及此时点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．
2022-2023学年广东省广州市中考数学专项提升仿真模拟测试题
（一模）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．﹣6的相反数是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．
【分析】根据相反数的定义，即可解答．
解：﹣6的相反数是6，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．
2．某4S店今年1～5月新能源汽车的销量（辆数）分别如下：25，33，36，31，40，这组数据的平均数是（ ）
A．34 B．33 C．32.5 D．31
【分析】根据算术平均数的计算方法进行计算即可．
解：这组数据的平均数为：＝33（辆），
故选：B．
【点评】本题考查实数平均数，掌握算术平均数的计算方法是正确计算的关键．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．（a3）2＝a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．x6÷x3＝x2
【分析】根据合并同类项的法则，幂的乘方的运算法则以及同底数幂除法的运算法则计算并作出判断即可．
解：A．a2和a3没有是同类项，没有能合并，故没有符合题意；
B．（a3）2＝a6，故符合题意；
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故没有符合题意；
D．x6÷x3＝x6﹣3＝x3，故没有符合题意．
故选：B．
【点评】本题综合考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键，属于基础题型．
4．2022年2月第24届冬季在我国北京成功举办，以下是参选的会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义解答即可．
解：根据轴对称图形和对称图形的定义可知，C选项既是轴对称图形，又是对称图形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和对称图形，熟练掌握它们的定义是解答本题的关键．
5．下列说法错误的是（ ）
A．打开电视机，台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机
B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用抽样
C．一组数据的方差越小，它的波动越小
D．样本中个体的数目称为样本容量
【分析】根据随机的定义，抽样和全面的特点，方差的特点，样本容量的定义解答即可．
解：A．打开电视机，台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机，故A选项没有符合题意；
B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用全面，故B选项符合题意；
C．一组数据的方差越小，它的波动越小，故C选项没有符合题意；
D．样本中个体的数目称为样本容量，故D选项没有符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了随机，抽样和全面，方差的，样本容量，熟练掌握相关的定义和特点是解答本题的关键．
6．如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（ ）
A．跟 B．党 C．走 D．听
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“话”与“走”是对面，
故C．
【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．
7．如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】由平行四边形的得CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，再证∠CBM＝∠CMB，则MC＝BC＝8，即可得出结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，
∴∠ABM＝∠CMB，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠CBM＝∠CMB，
∴MC＝BC＝8，
∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明MC＝BC是解题的关键．
8．如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
【分析】依据点在数轴上的位置，没有等式的性质，值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
解：由题意得：a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴1﹣2a＞1﹣2b，
∴A选项的结论成立；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴B选项的结论没有成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴|a|＜|b|，
∴a+b＞0，
∴C选项的结论没有成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴|a|＜|b|，
∴|a|﹣|b|＜0，
∴D选项的结论没有成立．
故选：A．
【点评】本题主要考查了没有等式的性质，值的意义，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取值范围是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC某些变换得到的，则正确的变换是（ ）
A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位
D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位
【分析】观察图形可以看出，Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE，应先旋转然后平移即可．
解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．
故选：D．
【点评】本题考查的是坐标与图形变化，旋转和平移的知识，掌握旋转和平移的概念和性质是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（ ）
A．38 B．22 C．﹣7 D．﹣22
【分析】设点P（a，b），则Q（a，），依据已知条件利用待定系数法解答即可．
解：设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝﹣，
∴PQ＝PM+MQ＝b﹣．
∵点P在反比例函数y＝的图象上，
∴ab＝8．
∵S△POQ＝15，
∴PQ•OM＝15，
∴×a（b﹣）＝15．
∴ab﹣k＝30．
∴8﹣k＝30，
解得：k＝﹣22．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
11．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
【分析】连接OB、OC，根据正六边形的性质求出∠BOC，根据等边三角形的判定定理得到△BOC为等边三角形，根据垂径定理求出BM，根据勾股定理求出OM，根据弧长公式求出的长．
解：连接OB、OC，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠BOC＝＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴BC＝OB＝6，
∵OM⊥BC，
∴BM＝BC＝3，
∴OM＝＝＝3，
的长为：＝2π，
故选：D．
【点评】本题考查的是正多边形和圆、弧长的计算，正确求出正六边形的角是解题的关键．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④没有等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】利用二次函数的图象和性质依次判断即可．
解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正确．
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②错误．
∵抛物线对称轴x＝﹣＞1，a＞0，
∴b＜﹣2a，
∵a+b+c＜0，
∴a﹣2a+c＜0，
∴2a﹣c＞a＞0，
∴③正确．
如图：
设y1＝ax2+bx+c，y2＝﹣x+c，
由图值，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，
故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
二、填 空 题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5分）函数的自变量x的取值范围是 x≥3 ．
【分析】根据被开方数非负列式求解即可．
解：根据题意得，x﹣3≥0，
解得x≥3．
故x≥3．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母没有能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
14．（5分）如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于 100° ．
【分析】根据圆周角定理解答即可．
解：由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC＝50°，
∴∠AOC＝100°，
故100°．
【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
15．（5分）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 ．
【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．
解：由题意得：
＝1，
解得：x＝．
经检验，x＝是原方程的根，
∴x＝．
故．
【点评】本题主要考查了解分式方程，本题是新定义型题目，准确理解新规定并熟练应用是解题的关键．
16．（5分）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝ 48 ．
【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．
解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：
S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，
且：a2+b2＝EF2＝16，
∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16
＝2×16+16
＝48．
故48．
【点评】本题考查勾股定理的应用，应用勾股定理和乘法公式表示三个正方形的面积是求解本题的关键．
三、解 答 题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）
17．（8分）（1）计算：+|（﹣）﹣1|﹣2cos45°；
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝﹣，b＝+4．
【分析】（1）直接利用角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案；
（2）先根据分式的运算法则化简分式，再代入求值．
解：（1）原式＝×2+2﹣2×
＝+2﹣
＝2．
（2）原式＝[+]•
＝•
＝．
当a＝﹣，b＝+4时，原式＝．
【点评】本题考查了二次根式的运算，角的函数值，负指数次幂的运算，以及分式的化简求值，正确熟练的运算是解题的关键．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠CDB，利用SAS定理证明△ABE≌△CDF；
（2）根据全等三角形的性质得到AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，根据平行线的判定定理证明AE∥CF，再根据平行四边形的判定定理证明结论．
证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
19．（9分）为让同学们了解新冠的危害及预防措施，某中学举行了“新冠预防”知识竞赛．数学课外小组将八（1）班参加本校知识竞赛的40名同学的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，为75分）分成五组进行统计，并绘制了下列没有完整的统计图表：
分数段
频数
频率
74.5﹣79.5
2
0.05
79.5﹣84.5
8
n
84.5﹣89.5
12
0.3
89.5﹣94.5
m
0.35
94.5﹣99.5
4
0.1
（1）表中m＝ 14 ，n＝ 0.2 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）本次知识竞赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定2名学生参加颁奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）由样本容量乘以频率得出m的值，再由频率的定义求出n的值即可；
（2）由（1）的结果，补全频数分布直方图即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可．
解：（1）m＝40×35%＝14，n＝8÷40＝0.2，
故14，0.2；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）∵成绩在94.5分以上的选手有4人，男生和女生各占一半，
∴2名是男生，2名是女生，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
∴确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为＝．
【点评】此题考查了树状图法求概率、频数分布表和频数分布直方图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（9分）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．
（1）求河的宽度；
（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）
【分析】（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，则DE＝（x+60）米，先利用平角定义求出∠ACE＝45°，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答；
（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，先利用平角定义求出∠BCF＝60°，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，进行计算即可解答．
解：（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，
设CE＝x米，
∵CD＝60米，
∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，
∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，
在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x＝30+30，
经检验：x＝30+30是原方程的根，
∴AE＝（30+30）米，
∴河的宽度为（30+30）米；
（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，
则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，
在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米，
∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米），
∴古树A、B之间的距离为20米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，证明△AOF≌△COF（SAS），由全等三角形的判定与性质得出∠OAF＝∠OCF＝90°，由切线的判定可得出结论；
（2）由直角三角形的性质求出∠AOF＝30°，可得出AE＝OA＝3，则可求出答案；
（3）证明△AOC是等边三角形，求出∠AOC＝60°，OC＝6，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案．
解：（1）直线AF与⊙O相切．
理由如下：连接OC，
∵PC为圆O切线，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠AOF＝∠COF，
∵在△AOF和△COF中，
，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OAF＝∠OCF＝90°，
∴AF⊥OA，
又∵OA为圆O的半径，
∴AF为圆O的切线；
（2）∵△AOF≌△COF，
∴∠AOF＝∠COF，
∵OA＝OC，
∴E为AC中点，
即AE＝CE＝AC，OE⊥AC，
∵∠OAF＝90°，OA＝6，AF＝2，
∴tan∠AOF＝，
∴∠AOF＝30°，
∴AE＝OA＝3，
∴AC＝2AE＝6；
（3）∵AC＝OA＝6，OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，OC＝6，
∵∠OCP＝90°，
∴CP＝OC＝6，
∴S△OCP＝OC•CP＝＝18，S扇形AOC＝＝6π，
∴阴影部分的面积为S△OCP﹣S扇形AOC＝18﹣6π．
【点评】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积求法，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
四、填 空 题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）
22．（6分）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ （a2+1）（a+2）（a﹣2） ．
【分析】先利用十字相乘法因式分解，在利用平方差公式进行因式分解．
解：a4﹣3a2﹣4
＝（a2+1）（a2﹣4）
＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
故（a2+1）（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解题的关键．
23．（6分）如图，已知函数y＝kx+b的图象点P（2，3），与反比例函数y＝的图象在象限交于点Q（m，n）．若函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是 ＜m＜2 ．
【分析】过点P分别作x轴，y轴的平行线，与双曲线分别交于点A，B，利用解析式分别求得A，B坐标，依据题意确定点Q的移动范围，从而得出结论．
解：过点P作PA∥x轴，交双曲线与点A，过点P作PB∥y轴，交双曲线与点B，如图，
∵P（2，3），反比例函数y＝，
∴A（，3），B（2，1）．
∵函数y的值随x值的增大而增大，
∴点Q（m，n）在A，B之间，
∴＜m＜2．
故＜m＜2．
【点评】本题主要考查了反比例函数与函数图象的交点问题，待定系数法，反比例函数的性质，函数的性质，函数图象上点的坐标的特征，确定点Q的移动范围是解题的关键．
24．（6分）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且+＝x12+2x2﹣1，则k的值为 2 ．
【分析】根据x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，可得x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，把+＝x12+2x2﹣1变形再整体代入可得＝4﹣k，解出k的值，并检验即可得k＝2．
解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵+＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，没有符合题意；
∴k＝2，
故2．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，从而根据已知得到关于k的方程，注意要由求得的k值检验原方程是否有实数根．
25．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 10 ．
【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，则四边形EFGC是平行四边形，得CE＝FG，则AF+CE＝AF+FG，可知当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，利用勾股定理求出AG的长即可．
解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，
∵EF∥CG，EF＝CG，
∴四边形EFGC是平行四边形，
∴CE＝FG，
∴AF+CE＝AF+FG，
∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，
由勾股定理得，AG＝＝＝10，
∴AF+CE的最小值为10，
故10．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线将AF+CE的最小值转化为AG的长是解题的关键．
五、解 答 题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．）
26．（12分）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践开展劳动实践．在此次中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
学校计划此次劳动实践的租金总费用没有超过3000元．
（1）参加此次劳动实践的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车？
（3）学校租车总费用至少是多少元？
【分析】（1）设参加此次劳动实践的老师有x人，可得：30x+7＝31x﹣1，即可解得参加此次劳动实践的老师有8人，参加此次劳动实践的学生有247人；
（2）根据每位老师负责一辆车的组织工作，知一共租8辆车，设租甲型客车m辆，可得：，解得m的范围，解得一共有3种租车：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）设学校租车总费用是w元，w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，由函数性质得学校租车总费用至少是2800元．
解：（1）设参加此次劳动实践的老师有x人，参加此次劳动实践的学生有（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践的老师有8人，参加此次劳动实践的学生有247人；
（2）师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得：，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用至少是2800元．
【点评】本题考查一元方程，一元没有等式组及函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，没有等式和函数关系式．
27．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．
（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
（2）若＝2，求的值；
（3）若MN∥BE，求的值．
【分析】（1）根据矩形的性质，利用AAS证明△BMF≌△ECF，得BM＝CE，再利用点E为CD的中点，即可证明结论；
（2）利用△BMF∽△ECF，得，从而求出BM的长，再利用△ANM∽△BMC，得，求出AN的长，可得答案；
（3）首先利用同角的余角相等得∠CBF＝∠CMB，则tan∠CBF＝tan∠CMB，得，可得BM的长，由（2）同理可得答案．
（1）证明：∵F为BE的中点，
∴BF＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠BMF＝∠ECF，
∵∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF≌△ECF（AAS），
∴BM＝CE，
∵点E为CD的中点，
∴CE＝DE，
∴BM＝CE＝DE，
∵AB＝CD，
∴AM＝CE；
（2）解：∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF∽△ECF，
∴，
∵CE＝3，
∴BM＝，
∴AM＝，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∴∠AMN+∠BMC＝90°，
∵∠AMN+∠ANM＝90°，
∴∠ANM＝∠BMC，
∵∠A＝∠MBC，
∴△ANM∽△BMC，
∴，
∴，
∴，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，
∴；
（3）解：∵MN∥BE，
∴∠BFC＝∠CMN，
∴∠FBC+∠BCM＝90°，
∵∠BCM+∠BMC＝90°，
∴∠CBF＝∠CMB，
∴tan∠CBF＝tan∠CMB，
∴，
∴，
∴，
∴＝，
由（2）同理得，，
∴，
解得AN＝，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，
∴＝．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出BM的长是解决（2）和（3）的关键．
28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的值及此时点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，可用待定系数法求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的代数式表示出DG，然后利用cos∠EDG＝cos∠得到DE＝DG，可得出关于m的二次函数，运用二次函数的最值即可解决问题；
（3）根据S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，即可求解．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．
设直线AC的解析式为y＝kx+t，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+2．
设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，
∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2
∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，
∵DE⊥AC，DH⊥AB，
∴∠EDG+DGE＝AGH+∠＝90°，
∵∠DGE＝∠AGH，
∴∠EDG＝∠，
∴cos∠EDG＝cos∠＝＝，
∴，
∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，
∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得值．
此时yD＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，
即点D的坐标为（﹣2，2）；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，
则BE：AE＝1：5或5：1
则AE＝5或1，
即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝x+2，
联立方程组或，
解得：x＝6或﹣（没有合题意值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数、图象面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比．
2022-2023学年广东省广州市中考数学专项提升仿真模拟测试题
（二模）
一、选一选（共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列函数没有属于二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（ ）
A. （2，﹣1） B. （﹣2，1） C. （﹣2，﹣1） D. （2，1）
3. 二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此拋物线的对称轴是直线（ ）
A x=﹣1 B. x=1 C. x=2 D. x=3
4. 函数在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A B. C. D.
5. 若，则等于 （ ）
A. B. C. D.
6. △ABC中，BC=54 cm，CA=45 cm，AB=63 cm；另一个和它相似的三角形最短边长为15 cm，则最长边一定是（ ）
A. 18 cm B. 21 cm C. 24 cm D. 19.5 cm
7. 点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说确的有（ ）
①AC=AB，②AC=AB，③AB：AC=AC：BC，④AC≈0.618AB
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. a＞0 B. b＞0 C. c＜0 D. abc＞0
9. 如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( )
A B. C. D.
10. 如图△OAP，△ABQ均是等腰直角三角形，点P，Q在函数y=（x＞0）的图象上，直角顶点A，B均在x轴上，则点B的坐标为（ ）
A. （，0） B. （，0） C. （3，0） D. （，0）
二、填 空 题（共四题，每题5分，共20分）
11. 如图，在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则△AEF与△ABC的面积之比为__________．
12. 若，则＝______．
13. 如图，添加一个条件：_____，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）
14. 如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：
①ac＜0； ②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3
③a+b+c＞0 ④当x＞1时，y随x的增大而增大．
正确的说法有_____．
三、解 答 题.
15. 已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
16. 已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象点(－2，－5)，求此二次函数的解析式________．
17. 画图，将图中的△ABC作下列运动，画出相应的图形．
（1）在图（1）上，沿y轴正方向平移2个单位；
（2）在图（2）上，关于y轴对称；
（3）在图（3）上，以B点为位似，放大到2倍．
18. 如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若，AC=14，
（1）求AB长．
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．
19. 在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所的路线是某二次函数图象的一部分(如图)，若这个男生出手处A点的坐标为(0，2)，铅球路线的处B点的坐标为B(6，5).
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)该男生把铅球推出去多远?(到0.01米).
20. 如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
21. 某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加x元．求：
（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费p（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有值？值是多少？
22. 已知于，于，，，，则在上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似？如果存在，求的长；如果没有存在，说明理由．
23. 如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴与C（0，3），D为抛物线上的顶点，直线y=x﹣1与抛物线交于M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线与点Q．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）求线段PQ的值；
（3）设E为线段OC的三等分点，连接EP、EQ，若EP=EQ，直接写出P的坐标．
2022-2023学年广东省广州市中考数学专项提升仿真模拟测试题
（二模）
一、选一选（共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列函数没有属于二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】把函数整理成一般形式，根据定义，即可判定．
【详解】把每一个函数式整理为一般形式，
A、=x2+x-2，是二次函数，正确；
B、=x2+x+，是二次函数，正确；
C、，是二次函数，正确；
D、=2x2+12x+18-2x2=12x+18，这是一个函数，没有是二次函数，
故选D.
2. 函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（ ）
A. （2，﹣1） B. （﹣2，1） C. （﹣2，﹣1） D. （2，1）
【正确答案】B
【分析】将函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标.
【详解】解：∵y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4+3）＝﹣（x+2）2+1
∴顶点坐标为（﹣2，1）；
故选B．
本题考查了二次函数，解题关键是能将一般式化为顶点式.
3. 二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此拋物线的对称轴是直线（ ）
A. x=﹣1 B. x=1 C. x=2 D. x=3
【正确答案】A
【分析】根据两已知点的坐标特征得到它们是抛物线的对称点，从而可得抛物线的对称轴是直线x==-1.
【详解】∵点（3，4）和（-5，4）的纵坐标相同，
∴点（3，4）和（-5，4）是抛物线的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x==-1，
故选A．
本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是轴对称图形，若图象上两点坐标为（m1，n）、（m2，n），则对称轴为直线x=是解题的关键.
4. 函数在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．
【详解】当a＞0时，二次函数的图象开口向上，
函数的图象一、三或一、二、三或一、三、四象限，
故A、D没有正确；
由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=-＞0，且a＞0，则b＜0，
但B中，函数a＞0，b＞0，排除B．
故选C．
5. 若，则等于 （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】【分析】先根据比例的基本性质进行变形，得到2x=3y，再根据比例的基本性质转化成比例式即可得.
【详解】根据比例的基本性质得：
5x=3（x+y），即2x=3y，
即得，
故选A．
本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解本题的关键.
6. △ABC中，BC=54 cm，CA=45 cm，AB=63 cm；另一个和它相似的三角形最短边长为15 cm，则最长边一定是（ ）
A. 18 cm B. 21 cm C. 24 cm D. 19.5 cm
【正确答案】B
【详解】设另一个和它相似的三角形最长边长为xcm，由相似三角形的性质可得，这两个三角形最长边长之比等于最短边长之比，所以=，解得x=21.所以最短边长为21cm.
故选B.
点睛：掌握相似三角形的性质.
7. 点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说确的有（ ）
①AC=AB，②AC=AB，③AB：AC=AC：BC，④AC≈0.618AB
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可得．
【详解】解：∵点C数线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC=AB，故①正确；
由AC=AB，故②错误；
BC：AC=AC：AB，即：AB：AC=AC：BC，③正确；
AC≈0.618AB，故④正确，
故选C．
本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，熟记黄金分割的比为是解题的关键．
8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. a＞0 B. b＞0 C. c＜0 D. abc＞0
【正确答案】B
【详解】a的符号根据二次函数的开口方向判断，二次函数开口方向向上，a>0；
二次函数对称轴为，该图像的对称轴大于0，所以b<0；
c根据二次图像和y轴的交点，该图像交于y轴的下半部分，故c<0，所以abc>0．
故选：B
9. 如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得= ,=，从而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．
【详解】∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD，
∴= ,=，
∴+=+==1.
∵AB=1，CD=3，
∴+=1，
∴EF=.
故选C.
本题考查了相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.
10. 如图△OAP，△ABQ均是等腰直角三角形，点P，Q在函数y=（x＞0）的图象上，直角顶点A，B均在x轴上，则点B的坐标为（ ）
A. （，0） B. （，0） C. （3，0） D. （，0）
【正确答案】B
【分析】由△OAP是等腰直角三角形可以得到PA=OA，可以设P点的坐标是（a，a），把（a，a）代入反比例函数解析式即可求出a=2，然后求出P的坐标，从而求出OA，再根据△ABQ是等腰直角三角形用同样的方法即可求出点B的坐标．
【详解】解：∵△OAP是等腰直角三角形，
∴PA=OA ，
∴设P点的坐标是（a，a），
把（a，a）代入解析式得到a=2，
∴P的坐标是（2，2），
则OA=2，
∵△ABQ是等腰直角三角形，
∴BQ=AB，
∴设点Q的纵坐标是b，
∴点Q的横坐标是b+2，
把Q的坐标代入解析式y=，
∴，
∴b=﹣1，
∴b+2=﹣1+2=+1，
∴点B的坐标为（+1，0），
故选：B．
本题考查了反比例函数的图象的性质以及等腰直角三角形的性质，解决此类问题常用的方法就是利用形数进行解答．
二、填 空 题（共四题，每题5分，共20分）
11. 如图，在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则△AEF与△ABC的面积之比为__________．
【正确答案】1:4．
【详解】试题解析：∵E、F分别为AB、AC的中点，
∴EF=BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴．
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．．
12. 若，则＝______．
【正确答案】
【分析】根据可得，把a，c，e代入所求代数式中，约分后即可求得结果．
【详解】∵
∴
∴
故
本题考查了比例的性质，求代数式的值，根据比例的性质变形是关键．
13. 如图，添加一个条件：_____，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）
【正确答案】∠ADE=∠ACB（答案没有）
【分析】相似三角形的判定有三种方法：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，由此可得出可添加的条件．
【详解】解：由题意得，（公共角），
则可添加：或∠AED=∠ABC，利用两角法可判定△ADE∽△ACB；
添加：，利用两边及其夹角法可判定△ADE∽△ACB．
故答案可为：（答案没有）．
本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案没有．
14. 如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：
①ac＜0； ②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3
③a+b+c＞0 ④当x＞1时，y随x的增大而增大．
正确说法有_____．
【正确答案】①②③．
【详解】∵抛物线的开口向下，
∵与轴的交点为在轴的正半轴上，
故①正确；
∵对称轴为 抛物线与轴的一个交点为
∴另一个交点为
∴方程 的根是
故②正确；
当时，
故③正确；
异号，即
当时，随的增大而减小，故④错误．
∴其中正确说法有①②③；
故答案为①②③．
三、解 答 题.
15. 已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m值应怎样？
【正确答案】(1)、m=0；(2)、m≠0且m≠1.
【分析】根据函数与二次函数的定义求解．
【详解】解：（1）根据函数的定义，得：m2﹣m=0
解得m=0或m=1
又∵m﹣1≠0即m≠1；
∴当m=0时，这个函数是函数；
（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0
解得m1≠0，m2≠1
∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．
考点：二次函数的定义；函数的定义
16. 已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象点(－2，－5)，求此二次函数的解析式________．
【正确答案】y=-（x-1）2+4
【分析】已知二次函数的顶点坐标为，可设抛物线的顶点式为,将图像上的点代入求出即可.
【详解】解：设二次函数的解析式为：,
因为图象点，代入可得：
，
解得：，
所以二次函数的解析式为：
本题考查了使用顶点式求抛物线解析式的方法.
17. 画图，将图中的△ABC作下列运动，画出相应的图形．
（1）在图（1）上，沿y轴正方向平移2个单位；
（2）在图（2）上，关于y轴对称；
（3）在图（3）上，以B点为位似，放大到2倍．
【正确答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析；
【详解】【分析】（1）把三角形的每个顶点向上移动两个单位长度，然后连接得到的三个点即可；
（2）作出三角形的每个顶点关于y轴的对称点，然后连接得到的三个点即可；
（3）把BC延长到C′，使CC′=BC，则C′就是C的对应点，然后得到B的对应点，即可得到所求的三角形．
【详解】（1）如图所示：△A′B′C′为所求的三角形；
（2）如图所示：△AB′C′为所求的三角形；
（3）如图所示：△A′BC′为所求的三角形．
本题考查了图形的平移、轴对称、位似，画位似图形的一般步骤为：①确似，②分别连接并延长位似和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
18. 如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若，AC=14，
（1）求AB的长．
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．
【正确答案】(1) 4 10 (2) 9
【详解】【详解】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，从而可得，再由AC=14即可求出AB的长；
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出BH及HE的长，然后即可得出BE的长．
【详解】（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∴，
∵AC=14，
∴AB=4，
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：
又∵AD∥BE∥CF，AD=7，
∴AD=HE=GF=7，
∵CF=14，
∴CG=14﹣7=7，
∵BE∥CF，
∴，
∴BH=2，
∴BE=2+7=9．
本题考查平行线分线段成比例的知识，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
19. 在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所的路线是某二次函数图象的一部分(如图)，若这个男生出手处A点的坐标为(0，2)，铅球路线的处B点的坐标为B(6，5).
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)该男生把铅球推出去多远?(到0.01米).
【正确答案】（1）y=(x-6)2+5；（2）该男生把铅球推出约13.75米
【详解】试题分析：（1）根据顶点坐标B(6,5)可设函数关系式为y=a(x-6)2+5，再把A(0,2)代入即可求得结果；
（2）把y=0代入求得图象与x轴的交点坐标，即可得到结果.
(1)设y=a(x-6)2+5,
则由A(0,2)得2=a(0-6)2+5，解得a=.
故y=(x-6)2+5；
(2)由(x-6)2+5=0,得x1=.
图像可知:C点坐标为(,0)
故OC=≈13.75(米)
即该男生把铅球推出约13.75米.
考点：二次函数的应用
点评：待定系数法求函数关系式是函数问题中极为重要的一种方法，在中考中极为常见，在各种题型中均有出现，尤其是综合题，一般难度较大，需多加注意.
20. 如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
【正确答案】这个正方形零件的边长是48mm．
【分析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
【详解】设正方形边长为x mm，
则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
即，
解得x＝48 mm，
∴这个正方形零件的边长是48mm．
本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出AI的长度，然后列出比例式是解题的关键．
21. 某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加x元．求：
（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费p（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有值？值是多少？
【正确答案】（1）y=60-；（2）z=-x2+40x+12000；（3）w=-x2+42x+10800，当每个房间的定价为每天410元时，w有值，且值是15210元．
【详解】试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；
（2）已知每天定价增加为x元，则每天要（200+x）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；
（3）支出费用为20×（60﹣），则利润w=（200+x）（60﹣）﹣20×（60﹣），利用配方法化简可求值．
试题解析：解：（1）由题意得：
y=60﹣
（2）p=（200+x）（60﹣）=﹣+40x+12000
（3）w=（200+x）（60﹣）﹣20×（60﹣）
=﹣+42x+10800
=﹣（x﹣210）2+15210
当x=210时，w有值．
此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w有值，且值是15210元．
点睛：求二次函数的（小）值有三种方法，种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．
22. 已知于，于，，，，则在上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似？如果存在，求的长；如果没有存在，说明理由．
【正确答案】存在，当DP=2或12或5.6时，△PCD与△PAB相似．
【详解】【分析】分△PCD∽△APB与△PCD∽△PAB两种情况进行分析求解，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【详解】存在，
①若△PCD∽△APB，则，即，解得DP=2或12；
②若△PCD∽△PAB，则，即，解得DP=5.6，
∴当DP=2或12或5.6时，△PCD与△PAB相似．
本题考查了相似三角形的性质，运用分类讨论思想是解答本题的关键.
23. 如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴与C（0，3），D为抛物线上的顶点，直线y=x﹣1与抛物线交于M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线与点Q．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）求线段PQ的值；
（3）设E为线段OC的三等分点，连接EP、EQ，若EP=EQ，直接写出P的坐标．
【正确答案】（1）y=﹣（x﹣1）2+4，抛物线的顶点D的坐标为（1，4）；（2）当x=时，线段PQ的长度有值；（3）综上所述，P点坐标为（1，0）或（2，1）或（0，﹣1）．
【分析】（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出即可得抛物线的解析式，通过配方成顶点式即可得到顶点D的坐标；
（2）设Q（x，﹣x2+2x+3），则P（x，x﹣1），则可得PQ=﹣x2+2x+3﹣（x﹣1），再根据二次函数的性质即可求得PQ长的最值；
（3）作EH⊥PQ于H，如图，设Q（x，﹣x2+2x+3），则P（x，x﹣1），根据等腰三角形的性质可得QH=PH，然后分点E坐标为（0，1）和点E坐标为（0，2）两种情况分别讨论即可得到对应的P点坐标.
【详解】（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把C（0，3）代入得a•1•（﹣3）=3，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3，
∵y=﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（1，4）；
（2）设Q（x，﹣x2+2x+3），则P（x，x﹣1），
∴PQ=﹣x2+2x+3﹣（x﹣1）=﹣x2+3x+4=﹣（x﹣）2+，
当x=时，线段PQ的长度有值；
（3）作EH⊥PQ于H，如图，设Q（x，﹣x2+2x+3），则P（x，x﹣1），
∵EP=EQ，
∴QH=PH，
∵OC=3，E为线段OC的三等分点，
∴E（0，1）或（0，2），
当E点坐标为（0，1）时，则H（x，1），
∴﹣x2+2x+3﹣1=1﹣（x﹣1），
整理得x2﹣3x=0，解得x1=0，x2=3（舍去），此时P点坐标为（0，﹣1）；
当E点坐标为（0，2）时，则H（x，2），
∴﹣x2+2x+3﹣2=2﹣（x﹣1），
整理得x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，此时P点坐标为（1，0）或（2，1），
综上所述，P点坐标为（1，0）或（2，1）或（0，﹣1）．
本题考查二次函数综合题，涉及到二次函数的性质、等腰三角形的性质、待定系数法等知识，会用分类讨论的思想进行解答是关键.
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