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专题27.9 相似章末题型过关卷-九年级数学下册举一反三系列（人教版）
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第27章 相似章末题型过关卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022·湖北荆州·中考真题）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C．APAB=ABAC D．ABBP=ACCB
【答案】D
【详解】解：A．当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
C．当APAB=ABAC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
2．（3分）（2022·全国·九年级专题练习）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是（ ）
A．△ABC∼△A'B'C' B．点C，O，C'在同一直线上
C．AO:AA'=1:2 D．AB∥A'B'
【答案】C
【分析】根据位似图形的性质进行判断即可得．
【详解】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，
∴△ABC∼△A'B'C'、点C,O,C'在同一直线上、AB∥A'B'、AO:OA'=1:2，
∴AO:AA'=1:3，
即选项A、B、D说法正确，选项C说法错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
3．（3分）（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB,CD，则△ABE与△CDE的周长比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
【答案】D
【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM为平行四边形，接着证明△ABE∽△CDE，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．
【详解】如图：由题意可知，DM=3，BC=3，
∴DM=BC，
而DM∥BC，
∴四边形DCBM为平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠BAE=∠DCE，∠ABE=∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴C△ABEC△CDE=ABCD=22+4212+22=255=21．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．
4．（3分）（2022·全国·九年级专题练习）P是线段AB上一点（AP>BP），则满足APAB=BPAP，则称点P是线段AB的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉AB长度为10cm，P为AB的黄金分割点（AP>BP），求叶柄BP的长度．设BP=xcm，则符合题意的方程是（ ）
A．10-x2=10x B．x2=1010-x C．x10-x=102 D．101-x2=10-x
【答案】A
【分析】根据黄金分割的特点即可求解．
【详解】∵AB=10，BP=x，
∴AP=10-x，
∵P点是黄金分割点，
∴APAB=BPAP，
∴AP2=AB⋅BP，
∴(10-x)2=10x，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根据黄金分割点列一元二次方程的知识，依据APAB=BPAP得到AP2=AB⋅BP是解答本题关键．
5．（3分）（2022·全国·九年级课时练习）下列每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成，其中△ABC和△CDE的顶点都在小正方形的顶点上，则△ABC与△CDE一定相似的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知根据相似三角形的判定和性质对每个选项分析论证得出正确选项．
【详解】解：已知每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成．
A：∠ABC=90°+45°=135°，∠CDE=90°+45°=135°，
∴∠ABC=∠CDE，
BC=DC=2，
∴ABBC=12=22，BCDE=22，
∴△ABC∽△CDE；
B：△ABC为等腰三角形，则△CDE不是等腰三角形，所以不相似；
C：△ABC中∠ABC=90°+45°=135°，而△CDE中∠CDE=∠135°，对应角不相等，所以不相似；
D：CDCD=1，BDDE=23，
∴CDCD≠BDDE，所以不相似．
故选：A．
【点睛】此题考查的知识点是相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定和性质对每个选项分析论证得出正确选项．
6．（3分）（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（ ）
A．10+7或5+27 B．15 C．10+7 D．15+37
【答案】A
【分析】判断未知边m、n是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m、n的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断．
【详解】解：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则m=42-32=7，
若m是斜边，则m=42+32=5；
在第二个直接三角形中，若n是直角边，则n=82-62=28=27，
若n是斜边，则n=82+62=10；
又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10，m=7 和n=27不能同时取，
即当m=5，n=27，m+n=5+27，
当m=7，n=10，m+n=10+7，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边是直角边还是斜边进行不同情况的讨论是解题的关键．
7．（3分）（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD:DC=1:2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE=1，则EC=（ ）
A．32 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】过点D作DF∥AE交BC于F，根据平行线分线段成比例定理可得，BEEF=BOOD，EFFC=ADDC=12，再根据O是BD的中点，可得BE=EF，进而解答即可．
【详解】解：过点D作DF∥AE交BC于F，如图，
∵OE∥DF，
∴BEEF=BOOD，
∵O是BD的中点，
∴BO=OD，
∴BE=EF，
∵DF∥AE，
∴EFFC=ADDC=12，
∴CF=2EF，
∴BE:EC=BE:3BE=1:3，
∵BE=1，
∴EC=3，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键．
8．（3分）（2022·全国·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，中线AD，BE相交于点F．EG∥BC，交AD于点G．GF=1，则BC的长为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．12
【答案】D
【分析】首先根据GE∥CD得到△AGF∽△ADC、△FEG∽△FBD，求出AD=6，然后利用直角三角形斜边的中线性质得出结果．
【详解】解：∵GE∥CD，
∴△AGE∽△ADC，△FEG∽△FBD，
∴AGAD=GECD=AEAC=12 ，
∴GEBD=GFDF,
又∵BD=CD，
∴GFDF=12，
∴DF=2GF=2，
∴DG=DF+GF=3
∴AD=2DG=6，
在直角△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC=2AD=12，
故选D．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定以及直角三角形的性质，根据平行得到相似三角形是解决问题的关键．
9．（3分）（2022·广西·来宾城南初级中学九年级阶段练习）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC、BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG、AE．则下列结论：①OG=12AB； ②四边形ABDE是菱形；③S四边形ODGF=SΔABF；其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】证明四边形ABDE为平行四边形可得OB=OD，由菱形ABCD可得AG=DG，根据三角形中位线定理可判断①；根据等边三角形的性质和判定可得△ABD为等边三角形AB=BD，从而可判断平行四边形ABDE是菱形，由此判断②；借助相似三角形的性质和判定，三角形中线有关的面积问题可判断③．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=CD=AD，OA=OC，OB=OD，
∵CD=DE，
∴AB=DE．
又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴BG=EG，AB=DE，AG=DG，
又∵OD=OB，
∴OG是△BDA是中位线，
∴OG=12AB，
故①正确；
∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴△BAD是等边三角形，
∴BD=AB，
∴▱ABDE是菱形，
故②正确；
∵OB=OD，AG=DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG∥AB，OG=12AB，
∴△GOD∽△ABD（ASA），△ABF∽△OGF（ASA），
∴△GOD的面积=14△ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，
∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，
∴S四边形ODGF=S△ABF；
故③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识．判断①的关键是三角形中位线定理的运用，②的关键是利用等边三角形证明BD=AB；③的关键是通过相似得出面积之间的关系．
10．（3分）（2022·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AB//DC，AC⊥BC，CD=AD=5，AC=6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（ ）
A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
【答案】A
【分析】由题意可得，m的值就是线段OB的长度，过点D作DE⊥AC，过点C作CF⊥OB，根据勾股定理求得DE的长度，再根据三角形相似求得BF，矩形的性质得到OF，即可求解．
【详解】解：由题意可得，m的值就是线段OB的长度，
过点D作DE⊥AC，过点C作CF⊥OB，如下图：
∵CD=AD=5，DE⊥AC
∴CE=12AC=3，∠DEC=90°
由勾股定理得DE=CD2-CE2=4
∵AB//DC
∴∠DCE=∠BAC，∠ODC=∠BOD=90°
又∵AC⊥BC
∴∠ACB=∠CED=90°
∴△DEC∽△BCA
∴DEBC=CEAC=CDAB，即4BC=36=5AB
解得BC=8，AB=10
∵CF⊥OB
∴∠ACB=∠BFC=90°
∴△BCF∽△BAC
∴BCAB=BFBC，即810=BF8
解得BF=6.4
由题意可知四边形OFCD为矩形，∴OF=CD=5
OB=BF+OF=11.4
故选A
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB∥CD∥EF，若AC＝2，CE＝5，BD＝3则DF＝___．
【答案】7.5
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【详解】解：∵直线AB∥CD∥EF，AC＝2，CE＝5，BD＝3，
∴ACCE=BDDF，即25=3DF，解得DF＝7.5．
故答案为：7.5．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．
12．（3分）（2022·江苏镇江·中考真题）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若AMAN＝12，则S△ADES△ABC＝__．
【答案】14
【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出DEBC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴DEBC＝AMAN＝12，
∴SΔADESΔABC＝(DEBC)2＝14，
故答案为：14 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．
13．（3分）（2022·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）将图1中的矩形和正方形纸片沿图2中的虚线剪成5块，再用这5块拼接成如图3所示矩形，其中阴影部分为空余部分，若AB=2AD，则ba的值为________.
【答案】15-576
【分析】如图，设FH=EJ=AK=x，则PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，首先证明x=3b-2a，利用相似三角形的性质构建关系式，即可解决问题．
【详解】解：如图，设FH=EJ=AK=x，则PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，
∵JR=DQ=5a-x，AB=2CD，
∴CD=2a-b，
∵KQ=PF，
∴x+2a-b+5a-x=5a+2b-x，
∴x=3b-2a，
∵∠EHF=∠P=∠EFT=90°，
∴∠HFE+∠PFT=90°，∠PFT+∠FTP=90°，
∴∠EFH=∠FTP，
∴△EHF∽△FPT，
∴EHFP=HFPT，
∴4a5a+2b-(3b-2a)=3b-2a2b，
整理得，3b2-15ab+14a2=0，
∴b=15±576a，
∵4a-2b＞0，
∴ba＜2，
∴ba=15-576．
故答案为：15-576．
【点睛】本题考查图形拼剪，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
14．（3分）（2022·湖南·宁远县中和镇中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2．OC＝1，则矩形AOCB的对称中心的坐标是___；在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大32倍，得到矩形A2OC2B，…，按此规律，则矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是___．
【答案】 （﹣1，12）， （﹣8116，8132）．
【分析】先利用矩形的性质写出B点坐标，则根据线段中点坐标公式可写出矩形AOCB的对称中心的坐标；再利用以原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系分别写出B1、B2、B3、B4的坐标，然后矩形A4OC4B4的对称中心的坐标．
【详解】解：∵OA=2．OC=1，
∴B（-2，1），
∴矩形AOCB的对称中心的坐标为（-1，12），
∵将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形A1OC1B1，
∴B1（-3，32），
同理可得B2（-92，94），B3（-274，278），B4（-818，8116），
∴矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是（﹣8116，8132）．
故答案为（-1，12），（﹣8116，8132）．
【点睛】本题考查作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
15．（3分）（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=9、BC=6，∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB交于AB点D，点M是AC一动点（AM＜12AC），将△ADM沿DM折叠得到△EDM，点A的对应点为点E，ED与AC交于点F，则CD的长度是__________；若ME//CD，则AM的长度是___________；
【答案】 5 2.5
【分析】（1）根据已知条件可得∠ACD=∠A=∠BCD，所以AD=CD，然后证明△ABC∽△CBD，进而可以解决问题；
（2）由翻折可得AM=EM，∠CAD=∠E，，由ME∥CD，可得∠E=∠EDC，DF//BC，且DF=CF，进而得到ΔADF∽ΔABC，求出DF、CF的长，再由AF：CF=AD：BD求出AF及MF的长， 再证明ΔMEF∽ΔCDF，最后求得AM的长．
【详解】（1）∵∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD=∠CAD，
∵∠B=∠B，
∴ΔBCD∽ΔBAC，
∴BC：AB=BD：BC，
即6：9=BD：6，BD=4，
∴AD=CD=9-4=5；
（2）∵△ADM沿DM折叠得到ΔEDM，
∴AM=EM，∠CAD=∠E，
∵ME//CD，
∴∠E=∠CDE，
∵∠BCD=∠ACD=∠CAD，
∴∠CDE=∠BCD=∠ACD，
∴DF//BC，且DF=CF，
∴ΔADF∽ΔABC，
∴DF：BC=AD：AB，
即DF：6=5：9，
解得DF=103，
∴CF=103；
∵DF//BC，
∴AF：CF=AD：BD，
即AF：103=5：4，
解得：AF=256，
设AM=ME=x，则MF=256-x；
∵ME//CD，
∴ΔMEF∽ΔCDF，
∴ME：CD=MF：CF，
即x：5=（256-x）：103，
解得x=2.5；
故答案：5； 2.5；
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，解决本题的关键是得到CM=DE=5，然后由△ABC∽△CBD解决问题．
16．（3分）（2022·江西·九年级专题练习）如图，菱形ABCD的四个顶点位于坐标轴上，对角线AC，BD交于原点O，线段AD的中点E的坐标为-3,1，P是菱形ABCD边上的点，若△PDE是等腰三角形，则点P的坐标可能是________．
【答案】-3,-1或3,1或32,-32
【分析】根据线段AD的中点E的坐标为-3,1，易得OE=2，根据菱形的性质与直角三角形的性质，可得菱形的边长4，∠ADO=60°，然后分别从①当PE=DE时，②当DP=DE时，③当PE=PD时去分析求解即可求得答案．
【详解】解：①过点E作EM⊥AC于M，延长EM交AB于点P1，连接OE，
∵点E的坐标为-3,1，
∴在Rt△EMO中，EM=1，OM=3，
∴OE=EM2+MO2=12+32=2，
∴∠EOM=30°，
∵点E为菱形ABCD的边AD的中点，
∴AC⊥BD，AD=2OE=4，AE=DE=2，
∴EP1∥BD，CD=AD=4，
∴AP1BP1=AMOM=AEDE=1，
∴AM=OM，AP1=BP1，
∴点M是线段AO的中点，点P1是线段AB的中点，
∴BD=2DO=2×2EM=4，BO=DO=2，
AO=2MO=23，AO=CO=23，
∴EP1=12BD=2，MP1=12BO=1
∴EP1=ED，
∴P1-3,-1；
②过点E作EN⊥BD于N，延长EN交CD于点P3，
∵点E为菱形ABCD的边AD的中点，AC⊥BD
∴EP3∥AC，
∴DP3CP3=DNON=DEAE=1，
∴DN=ON，DP3=CP3，
∴点N是线段DO的中点，点P3是线段CD的中点，
由①知：CO=23，CD=4，
∴NP3=12CO=3，ON=12DO=1，DP3=12CD=2，
∴DE=DP3，
∴P33,1；
③过点O作OG⊥AD于G，延长GO交BC于点P2，连接EP2，DP2，
由①知：EO=EA=ED，∠EOA=30°，AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∴∠EAO=∠EOA=30°，∠ADO=90°-30°=60°，
∴△EDO是等边三角形，
∴点G是线段DE的中点，
∴OG是DE的垂直平分线，
∴P2E=P2D，
∵E-3,1，OD=2，
∴D0,2，
∴G-32,32，
根据题意，菱形ABCD关于坐标轴和原点对称，
∴P232,-32．
综上所述，点P的坐标是-3,-1或3,1或32,-32．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的中位线，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，中点坐标等知识点．掌握菱形的性质及分类讨论是解答本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022·福建·厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”．在△ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，AB＝BD，点A，D关于直线l对称，且直线l经过点F．
（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图2，△ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．
①求a，b之间的等量关系；
②若AE是△ABD的中线．求证：△ACE是“和谐三角形”．
【答案】（1）见解析（2）①a=b+1②见解析
【分析】（1）作AD的垂直平分线，交AC于F点即可；
（2）①根据题意得到a=2c，联立a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1即可求解；
②证明△ABE∽△CBA，得到AECA=12，故可求解．
【详解】（1）如图，点F为所求；
（2）①∵△ABC是“和谐三角形”
∴a=2c
又a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．
联立化简得到a=b+1；
②∵E点是BD中点
∴BE=12BD=12AB
由①得到AB=12BC
∴ABBC=BEAB=12
又∠ABE=∠CBA
∴△ABE∽△CBA
∴ABBC=BEAB=AECA=12
故△ACE是“和谐三角形”．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知垂直平分线的做法．
18．（6分）（2022·上海·九年级专题练习）已知：a:b:c=2:3:5.
（1）求代数式3a-b+c2a+3b-c的值；
（2）如果3a-b+c=24，求a,b,c的值.
【答案】（1）1；（2）a=6,b=9,c=15
【分析】（1）设a=2k，b=3k，c=5k(k≠0)，代入代数式3a-b+c2a+3b-c，即可求出答案；
（2）把a、b、c的值代入，求出即可．
【详解】∵a:b:c=2:3:5
∴设a=2k，b=3k，c=5k(k≠0)，
（1）3a-b+c2a+3b-c=6k-3k+5k4k+9k-5k=8k8k=1；
（2）∵3a-b+c=24
∴6k-3k+5k=24，
∴k=3，
∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15.
【点睛】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力．
19．（8分）（2022·浙江丽水·中考真题）如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．
(1)如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；
(2)如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；
(3)如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
【分析】（1）分别确定A，B平移后的对应点C，D，从而可得答案；
（2）确定线段AB，AC关于直线BC对称的线段即可；
（3）分别计算△ABC的三边长度，再利用相似三角形的对应边成比例确定△DEF的三边长度，再画出△DEF即可．
（1）
解：如图，线段CD即为所求作的线段，
（2）
如图，四边形ABDC是所求作的轴对称图形，
（3）
如图，如图，△DEF即为所求作的三角形，
由勾股定理可得：AB=12+32=10,AC=2, 而BC=2,
同理：DF=22+62=210,DE=22, 而EF=4,
∴ABDF=ACDE=BCEF=12,
∴△ABC∽△DFE.
【点睛】本题考查的是平移的作图，轴对称的作图，相似三角形的作图，掌握平移轴对称的性质，相似三角形的判定方法是解本题的关键．
20．（8分）（2022·安徽安庆·九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．
（1）如图①，当CEEB=13时，求S△CEFS△CDF的值；
（2）如图②，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=12BG．
【答案】（1）S△CEFS△CDF=14；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定定理，得△CEF∽△ADF，可得EFDF=14，进而即可得到结论；
（2）由AD∥CB，点E是BC的中点，得△EFC∽△DFA．CF：AF=EC：AD，由FG//AB，得CG：BG=CF：AF，进而即可得到结论．
【详解】（1）∵CEEB=13，
∴CEBC=14．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴EFDF=CEAD，
∴EFDF=CEBC=14，
∴S△CEFS△CDF=EFDF=14；
（2）∵AD∥CB，点E是BC的中点，
∴△EFC∽△DFA．
∴CF：AF=EC：AD=1：2，
∵FG⊥BC，
∴FG//AB，
∴CG：BG=CF：AF=1：2，
∴CG=12BG．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质定理以及平行线分线段成比例定理，掌握相似三角形的对应边成比例，是解题的关键．
21．（8分）（2022·山东·枣庄市台儿庄区教育局教研室九年级期中）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．
（1）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为2；
（2）△A1B1C1的面积是 平方单位．
（3）点P（a，b）为△ABC内一点，则在△A1B1C1内的对应点P’的坐标为 ．
【答案】（1）见解析；（2）28；（3）（2a，2b）．
【分析】（1）连接OB，延长OB到B1使得OB1=2OB，同法作出A1，C1，连接A1C1，B1C1，A1B1即可．
（2）两条分割法求出三角形的面积即可．
（3）利用相似三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：（1）△A1B1C1即为所求．
（2）△A1B1C1的面积＝4S△ABC＝4×（4×5﹣12×3×5﹣12×1×3﹣12×2×4）＝28，
故答案为：28．
（3）点P（a，b）为△ABC内一点，则在△A1B1C1内的对应点P’的坐标为（2a，2b），
故答案为：（2a，2b）．
【点睛】本题考查作图——位似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（8分）（2022·全国·九年级课时练习）如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为 ；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
【答案】（1）2；（2）相似，理由见解析
【分析】（1）根据边的关系得出比例等式解答即可；
（2）根据相似图形的判定解答即可．
【详解】
解：（1）如图1，设AB＝x，
由上面两个图，由翻折的性质我们知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°，
∴∠BCF＝∠BDF=90°，
又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF，
∴∠ACB=∠ECF=45°，
∴BC=2x，
∴BD＝BC＝2x，AD＝AB+BD＝（2+1）x，
∴EF＝CE＝AD＝（2+1）x，
∵DE＝AC＝AB＝x，
∴DF＝DE+EF＝（2+2）x，
∴DFAD=2+2x2+1x=2+22+1=2，
故答案为：2．
（2）由（1）知：A5纸长边为A4纸短边，长为（2+1）x，A5纸短边长为（2+22）x，
∴对A5纸，长边：短边=2+1x2+22x=2，
∴A4纸与A5纸相似．
【点睛】此题考查了相似图形，关键是根据相似图形判断和性质解答．
23．（8分）（2022·全国·九年级单元测试）如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．
【答案】4m
【分析】首先根据DO=OE=1m，可得∠DEB=45°，然后证明AB=BE，再证明△ABF∽△COF，可得ABBF=COOF，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案．
【详解】解：延长OD，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE=90°，
∵OD=1m，OE=1m，
∴∠DEB=45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE=45°，
∴AB=BE，
设AB=EB=x m，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，
∴ABBF=COOF，
∴xx+(5-1)=1.5+15，
解得：x=4．
经检验：x=4是原方程的解．
答：围墙AB的高度是4m．
第27章 相似章末题型过关卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022·湖北荆州·中考真题）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C．APAB=ABAC D．ABBP=ACCB
【答案】D
【详解】解：A．当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
C．当APAB=ABAC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
2．（3分）（2022·全国·九年级专题练习）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是（ ）
A．△ABC∼△A'B'C' B．点C，O，C'在同一直线上
C．AO:AA'=1:2 D．AB∥A'B'
【答案】C
【分析】根据位似图形的性质进行判断即可得．
【详解】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，
∴△ABC∼△A'B'C'、点C,O,C'在同一直线上、AB∥A'B'、AO:OA'=1:2，
∴AO:AA'=1:3，
即选项A、B、D说法正确，选项C说法错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
3．（3分）（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB,CD，则△ABE与△CDE的周长比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
【答案】D
【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM为平行四边形，接着证明△ABE∽△CDE，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．
【详解】如图：由题意可知，DM=3，BC=3，
∴DM=BC，
而DM∥BC，
∴四边形DCBM为平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠BAE=∠DCE，∠ABE=∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴C△ABEC△CDE=ABCD=22+4212+22=255=21．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．
4．（3分）（2022·全国·九年级专题练习）P是线段AB上一点（AP>BP），则满足APAB=BPAP，则称点P是线段AB的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉AB长度为10cm，P为AB的黄金分割点（AP>BP），求叶柄BP的长度．设BP=xcm，则符合题意的方程是（ ）
A．10-x2=10x B．x2=1010-x C．x10-x=102 D．101-x2=10-x
【答案】A
【分析】根据黄金分割的特点即可求解．
【详解】∵AB=10，BP=x，
∴AP=10-x，
∵P点是黄金分割点，
∴APAB=BPAP，
∴AP2=AB⋅BP，
∴(10-x)2=10x，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根据黄金分割点列一元二次方程的知识，依据APAB=BPAP得到AP2=AB⋅BP是解答本题关键．
5．（3分）（2022·全国·九年级课时练习）下列每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成，其中△ABC和△CDE的顶点都在小正方形的顶点上，则△ABC与△CDE一定相似的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知根据相似三角形的判定和性质对每个选项分析论证得出正确选项．
【详解】解：已知每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成．
A：∠ABC=90°+45°=135°，∠CDE=90°+45°=135°，
∴∠ABC=∠CDE，
BC=DC=2，
∴ABBC=12=22，BCDE=22，
∴△ABC∽△CDE；
B：△ABC为等腰三角形，则△CDE不是等腰三角形，所以不相似；
C：△ABC中∠ABC=90°+45°=135°，而△CDE中∠CDE=∠135°，对应角不相等，所以不相似；
D：CDCD=1，BDDE=23，
∴CDCD≠BDDE，所以不相似．
故选：A．
【点睛】此题考查的知识点是相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定和性质对每个选项分析论证得出正确选项．
6．（3分）（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（ ）
A．10+7或5+27 B．15 C．10+7 D．15+37
【答案】A
【分析】判断未知边m、n是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m、n的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断．
【详解】解：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则m=42-32=7，
若m是斜边，则m=42+32=5；
在第二个直接三角形中，若n是直角边，则n=82-62=28=27，
若n是斜边，则n=82+62=10；
又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10，m=7 和n=27不能同时取，
即当m=5，n=27，m+n=5+27，
当m=7，n=10，m+n=10+7，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边是直角边还是斜边进行不同情况的讨论是解题的关键．
7．（3分）（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD:DC=1:2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE=1，则EC=（ ）
A．32 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】过点D作DF∥AE交BC于F，根据平行线分线段成比例定理可得，BEEF=BOOD，EFFC=ADDC=12，再根据O是BD的中点，可得BE=EF，进而解答即可．
【详解】解：过点D作DF∥AE交BC于F，如图，
∵OE∥DF，
∴BEEF=BOOD，
∵O是BD的中点，
∴BO=OD，
∴BE=EF，
∵DF∥AE，
∴EFFC=ADDC=12，
∴CF=2EF，
∴BE:EC=BE:3BE=1:3，
∵BE=1，
∴EC=3，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键．
8．（3分）（2022·全国·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，中线AD，BE相交于点F．EG∥BC，交AD于点G．GF=1，则BC的长为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．12
【答案】D
【分析】首先根据GE∥CD得到△AGF∽△ADC、△FEG∽△FBD，求出AD=6，然后利用直角三角形斜边的中线性质得出结果．
【详解】解：∵GE∥CD，
∴△AGE∽△ADC，△FEG∽△FBD，
∴AGAD=GECD=AEAC=12 ，
∴GEBD=GFDF,
又∵BD=CD，
∴GFDF=12，
∴DF=2GF=2，
∴DG=DF+GF=3
∴AD=2DG=6，
在直角△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC=2AD=12，
故选D．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定以及直角三角形的性质，根据平行得到相似三角形是解决问题的关键．
9．（3分）（2022·广西·来宾城南初级中学九年级阶段练习）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC、BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG、AE．则下列结论：①OG=12AB； ②四边形ABDE是菱形；③S四边形ODGF=SΔABF；其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】证明四边形ABDE为平行四边形可得OB=OD，由菱形ABCD可得AG=DG，根据三角形中位线定理可判断①；根据等边三角形的性质和判定可得△ABD为等边三角形AB=BD，从而可判断平行四边形ABDE是菱形，由此判断②；借助相似三角形的性质和判定，三角形中线有关的面积问题可判断③．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=CD=AD，OA=OC，OB=OD，
∵CD=DE，
∴AB=DE．
又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴BG=EG，AB=DE，AG=DG，
又∵OD=OB，
∴OG是△BDA是中位线，
∴OG=12AB，
故①正确；
∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴△BAD是等边三角形，
∴BD=AB，
∴▱ABDE是菱形，
故②正确；
∵OB=OD，AG=DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG∥AB，OG=12AB，
∴△GOD∽△ABD（ASA），△ABF∽△OGF（ASA），
∴△GOD的面积=14△ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，
∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，
∴S四边形ODGF=S△ABF；
故③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识．判断①的关键是三角形中位线定理的运用，②的关键是利用等边三角形证明BD=AB；③的关键是通过相似得出面积之间的关系．
10．（3分）（2022·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AB//DC，AC⊥BC，CD=AD=5，AC=6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是（ ）
A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6
【答案】A
【分析】由题意可得，m的值就是线段OB的长度，过点D作DE⊥AC，过点C作CF⊥OB，根据勾股定理求得DE的长度，再根据三角形相似求得BF，矩形的性质得到OF，即可求解．
【详解】解：由题意可得，m的值就是线段OB的长度，
过点D作DE⊥AC，过点C作CF⊥OB，如下图：
∵CD=AD=5，DE⊥AC
∴CE=12AC=3，∠DEC=90°
由勾股定理得DE=CD2-CE2=4
∵AB//DC
∴∠DCE=∠BAC，∠ODC=∠BOD=90°
又∵AC⊥BC
∴∠ACB=∠CED=90°
∴△DEC∽△BCA
∴DEBC=CEAC=CDAB，即4BC=36=5AB
解得BC=8，AB=10
∵CF⊥OB
∴∠ACB=∠BFC=90°
∴△BCF∽△BAC
∴BCAB=BFBC，即810=BF8
解得BF=6.4
由题意可知四边形OFCD为矩形，∴OF=CD=5
OB=BF+OF=11.4
故选A
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AB∥CD∥EF，若AC＝2，CE＝5，BD＝3则DF＝___．
【答案】7.5
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【详解】解：∵直线AB∥CD∥EF，AC＝2，CE＝5，BD＝3，
∴ACCE=BDDF，即25=3DF，解得DF＝7.5．
故答案为：7.5．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．
12．（3分）（2022·江苏镇江·中考真题）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若AMAN＝12，则S△ADES△ABC＝__．
【答案】14
【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出DEBC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴DEBC＝AMAN＝12，
∴SΔADESΔABC＝(DEBC)2＝14，
故答案为：14 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．
13．（3分）（2022·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）将图1中的矩形和正方形纸片沿图2中的虚线剪成5块，再用这5块拼接成如图3所示矩形，其中阴影部分为空余部分，若AB=2AD，则ba的值为________.
【答案】15-576
【分析】如图，设FH=EJ=AK=x，则PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，首先证明x=3b-2a，利用相似三角形的性质构建关系式，即可解决问题．
【详解】解：如图，设FH=EJ=AK=x，则PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，
∵JR=DQ=5a-x，AB=2CD，
∴CD=2a-b，
∵KQ=PF，
∴x+2a-b+5a-x=5a+2b-x，
∴x=3b-2a，
∵∠EHF=∠P=∠EFT=90°，
∴∠HFE+∠PFT=90°，∠PFT+∠FTP=90°，
∴∠EFH=∠FTP，
∴△EHF∽△FPT，
∴EHFP=HFPT，
∴4a5a+2b-(3b-2a)=3b-2a2b，
整理得，3b2-15ab+14a2=0，
∴b=15±576a，
∵4a-2b＞0，
∴ba＜2，
∴ba=15-576．
故答案为：15-576．
【点睛】本题考查图形拼剪，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
14．（3分）（2022·湖南·宁远县中和镇中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2．OC＝1，则矩形AOCB的对称中心的坐标是___；在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大32倍，得到矩形A2OC2B，…，按此规律，则矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是___．
【答案】 （﹣1，12）， （﹣8116，8132）．
【分析】先利用矩形的性质写出B点坐标，则根据线段中点坐标公式可写出矩形AOCB的对称中心的坐标；再利用以原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系分别写出B1、B2、B3、B4的坐标，然后矩形A4OC4B4的对称中心的坐标．
【详解】解：∵OA=2．OC=1，
∴B（-2，1），
∴矩形AOCB的对称中心的坐标为（-1，12），
∵将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形A1OC1B1，
∴B1（-3，32），
同理可得B2（-92，94），B3（-274，278），B4（-818，8116），
∴矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是（﹣8116，8132）．
故答案为（-1，12），（﹣8116，8132）．
【点睛】本题考查作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
15．（3分）（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=9、BC=6，∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB交于AB点D，点M是AC一动点（AM＜12AC），将△ADM沿DM折叠得到△EDM，点A的对应点为点E，ED与AC交于点F，则CD的长度是__________；若ME//CD，则AM的长度是___________；
【答案】 5 2.5
【分析】（1）根据已知条件可得∠ACD=∠A=∠BCD，所以AD=CD，然后证明△ABC∽△CBD，进而可以解决问题；
（2）由翻折可得AM=EM，∠CAD=∠E，，由ME∥CD，可得∠E=∠EDC，DF//BC，且DF=CF，进而得到ΔADF∽ΔABC，求出DF、CF的长，再由AF：CF=AD：BD求出AF及MF的长， 再证明ΔMEF∽ΔCDF，最后求得AM的长．
【详解】（1）∵∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD=∠CAD，
∵∠B=∠B，
∴ΔBCD∽ΔBAC，
∴BC：AB=BD：BC，
即6：9=BD：6，BD=4，
∴AD=CD=9-4=5；
（2）∵△ADM沿DM折叠得到ΔEDM，
∴AM=EM，∠CAD=∠E，
∵ME//CD，
∴∠E=∠CDE，
∵∠BCD=∠ACD=∠CAD，
∴∠CDE=∠BCD=∠ACD，
∴DF//BC，且DF=CF，
∴ΔADF∽ΔABC，
∴DF：BC=AD：AB，
即DF：6=5：9，
解得DF=103，
∴CF=103；
∵DF//BC，
∴AF：CF=AD：BD，
即AF：103=5：4，
解得：AF=256，
设AM=ME=x，则MF=256-x；
∵ME//CD，
∴ΔMEF∽ΔCDF，
∴ME：CD=MF：CF，
即x：5=（256-x）：103，
解得x=2.5；
故答案：5； 2.5；
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，解决本题的关键是得到CM=DE=5，然后由△ABC∽△CBD解决问题．
16．（3分）（2022·江西·九年级专题练习）如图，菱形ABCD的四个顶点位于坐标轴上，对角线AC，BD交于原点O，线段AD的中点E的坐标为-3,1，P是菱形ABCD边上的点，若△PDE是等腰三角形，则点P的坐标可能是________．
【答案】-3,-1或3,1或32,-32
【分析】根据线段AD的中点E的坐标为-3,1，易得OE=2，根据菱形的性质与直角三角形的性质，可得菱形的边长4，∠ADO=60°，然后分别从①当PE=DE时，②当DP=DE时，③当PE=PD时去分析求解即可求得答案．
【详解】解：①过点E作EM⊥AC于M，延长EM交AB于点P1，连接OE，
∵点E的坐标为-3,1，
∴在Rt△EMO中，EM=1，OM=3，
∴OE=EM2+MO2=12+32=2，
∴∠EOM=30°，
∵点E为菱形ABCD的边AD的中点，
∴AC⊥BD，AD=2OE=4，AE=DE=2，
∴EP1∥BD，CD=AD=4，
∴AP1BP1=AMOM=AEDE=1，
∴AM=OM，AP1=BP1，
∴点M是线段AO的中点，点P1是线段AB的中点，
∴BD=2DO=2×2EM=4，BO=DO=2，
AO=2MO=23，AO=CO=23，
∴EP1=12BD=2，MP1=12BO=1
∴EP1=ED，
∴P1-3,-1；
②过点E作EN⊥BD于N，延长EN交CD于点P3，
∵点E为菱形ABCD的边AD的中点，AC⊥BD
∴EP3∥AC，
∴DP3CP3=DNON=DEAE=1，
∴DN=ON，DP3=CP3，
∴点N是线段DO的中点，点P3是线段CD的中点，
由①知：CO=23，CD=4，
∴NP3=12CO=3，ON=12DO=1，DP3=12CD=2，
∴DE=DP3，
∴P33,1；
③过点O作OG⊥AD于G，延长GO交BC于点P2，连接EP2，DP2，
由①知：EO=EA=ED，∠EOA=30°，AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∴∠EAO=∠EOA=30°，∠ADO=90°-30°=60°，
∴△EDO是等边三角形，
∴点G是线段DE的中点，
∴OG是DE的垂直平分线，
∴P2E=P2D，
∵E-3,1，OD=2，
∴D0,2，
∴G-32,32，
根据题意，菱形ABCD关于坐标轴和原点对称，
∴P232,-32．
综上所述，点P的坐标是-3,-1或3,1或32,-32．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的中位线，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，中点坐标等知识点．掌握菱形的性质及分类讨论是解答本题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022·福建·厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”．在△ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，AB＝BD，点A，D关于直线l对称，且直线l经过点F．
（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图2，△ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．
①求a，b之间的等量关系；
②若AE是△ABD的中线．求证：△ACE是“和谐三角形”．
【答案】（1）见解析（2）①a=b+1②见解析
【分析】（1）作AD的垂直平分线，交AC于F点即可；
（2）①根据题意得到a=2c，联立a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1即可求解；
②证明△ABE∽△CBA，得到AECA=12，故可求解．
【详解】（1）如图，点F为所求；
（2）①∵△ABC是“和谐三角形”
∴a=2c
又a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．
联立化简得到a=b+1；
②∵E点是BD中点
∴BE=12BD=12AB
由①得到AB=12BC
∴ABBC=BEAB=12
又∠ABE=∠CBA
∴△ABE∽△CBA
∴ABBC=BEAB=AECA=12
故△ACE是“和谐三角形”．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知垂直平分线的做法．
18．（6分）（2022·上海·九年级专题练习）已知：a:b:c=2:3:5.
（1）求代数式3a-b+c2a+3b-c的值；
（2）如果3a-b+c=24，求a,b,c的值.
【答案】（1）1；（2）a=6,b=9,c=15
【分析】（1）设a=2k，b=3k，c=5k(k≠0)，代入代数式3a-b+c2a+3b-c，即可求出答案；
（2）把a、b、c的值代入，求出即可．
【详解】∵a:b:c=2:3:5
∴设a=2k，b=3k，c=5k(k≠0)，
（1）3a-b+c2a+3b-c=6k-3k+5k4k+9k-5k=8k8k=1；
（2）∵3a-b+c=24
∴6k-3k+5k=24，
∴k=3，
∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15.
【点睛】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力．
19．（8分）（2022·浙江丽水·中考真题）如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．
(1)如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；
(2)如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；
(3)如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
【分析】（1）分别确定A，B平移后的对应点C，D，从而可得答案；
（2）确定线段AB，AC关于直线BC对称的线段即可；
（3）分别计算△ABC的三边长度，再利用相似三角形的对应边成比例确定△DEF的三边长度，再画出△DEF即可．
（1）
解：如图，线段CD即为所求作的线段，
（2）
如图，四边形ABDC是所求作的轴对称图形，
（3）
如图，如图，△DEF即为所求作的三角形，
由勾股定理可得：AB=12+32=10,AC=2, 而BC=2,
同理：DF=22+62=210,DE=22, 而EF=4,
∴ABDF=ACDE=BCEF=12,
∴△ABC∽△DFE.
【点睛】本题考查的是平移的作图，轴对称的作图，相似三角形的作图，掌握平移轴对称的性质，相似三角形的判定方法是解本题的关键．
20．（8分）（2022·安徽安庆·九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．
（1）如图①，当CEEB=13时，求S△CEFS△CDF的值；
（2）如图②，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=12BG．
【答案】（1）S△CEFS△CDF=14；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定定理，得△CEF∽△ADF，可得EFDF=14，进而即可得到结论；
（2）由AD∥CB，点E是BC的中点，得△EFC∽△DFA．CF：AF=EC：AD，由FG//AB，得CG：BG=CF：AF，进而即可得到结论．
【详解】（1）∵CEEB=13，
∴CEBC=14．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴EFDF=CEAD，
∴EFDF=CEBC=14，
∴S△CEFS△CDF=EFDF=14；
（2）∵AD∥CB，点E是BC的中点，
∴△EFC∽△DFA．
∴CF：AF=EC：AD=1：2，
∵FG⊥BC，
∴FG//AB，
∴CG：BG=CF：AF=1：2，
∴CG=12BG．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质定理以及平行线分线段成比例定理，掌握相似三角形的对应边成比例，是解题的关键．
21．（8分）（2022·山东·枣庄市台儿庄区教育局教研室九年级期中）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．
（1）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为2；
（2）△A1B1C1的面积是 平方单位．
（3）点P（a，b）为△ABC内一点，则在△A1B1C1内的对应点P’的坐标为 ．
【答案】（1）见解析；（2）28；（3）（2a，2b）．
【分析】（1）连接OB，延长OB到B1使得OB1=2OB，同法作出A1，C1，连接A1C1，B1C1，A1B1即可．
（2）两条分割法求出三角形的面积即可．
（3）利用相似三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：（1）△A1B1C1即为所求．
（2）△A1B1C1的面积＝4S△ABC＝4×（4×5﹣12×3×5﹣12×1×3﹣12×2×4）＝28，
故答案为：28．
（3）点P（a，b）为△ABC内一点，则在△A1B1C1内的对应点P’的坐标为（2a，2b），
故答案为：（2a，2b）．
【点睛】本题考查作图——位似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（8分）（2022·全国·九年级课时练习）如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为 ；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
【答案】（1）2；（2）相似，理由见解析
【分析】（1）根据边的关系得出比例等式解答即可；
（2）根据相似图形的判定解答即可．
【详解】
解：（1）如图1，设AB＝x，
由上面两个图，由翻折的性质我们知道，∠ACF＝∠HDF，∠ACB＝∠HDB，∠ECF=45°，
∴∠BCF＝∠BDF=90°，
又∵∠ACE＝∠ACB+∠ECB=∠BCF=∠BCE+∠ECF，
∴∠ACB=∠ECF=45°，
∴BC=2x，
∴BD＝BC＝2x，AD＝AB+BD＝（2+1）x，
∴EF＝CE＝AD＝（2+1）x，
∵DE＝AC＝AB＝x，
∴DF＝DE+EF＝（2+2）x，
∴DFAD=2+2x2+1x=2+22+1=2，
故答案为：2．
（2）由（1）知：A5纸长边为A4纸短边，长为（2+1）x，A5纸短边长为（2+22）x，
∴对A5纸，长边：短边=2+1x2+22x=2，
∴A4纸与A5纸相似．
【点睛】此题考查了相似图形，关键是根据相似图形判断和性质解答．
23．（8分）（2022·全国·九年级单元测试）如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．
【答案】4m
【分析】首先根据DO=OE=1m，可得∠DEB=45°，然后证明AB=BE，再证明△ABF∽△COF，可得ABBF=COOF，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案．
【详解】解：延长OD，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE=90°，
∵OD=1m，OE=1m，
∴∠DEB=45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE=45°，
∴AB=BE，
设AB=EB=x m，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，
∴ABBF=COOF，
∴xx+(5-1)=1.5+15，
解得：x=4．
经检验：x=4是原方程的解．
答：围墙AB的高度是4m．
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