初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数当堂达标检测题

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专题28.1图形的相似测试卷注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022·山东泰安·九年级期中）（    ）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可．【详解】，故答案为：B．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键．2．（2022·浙江·宁波市镇海区仁爱中学九年级期中）如图，在中，，则（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据锐角三角函数正弦的定义即可得到答案．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题考查正弦，解题的关键是熟知：在直角三角形中，任意一锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作．3．（2022·山东烟台·九年级期中）将 的各边长都缩小为原来的，则锐角的正弦值（    ）A．缩小为原来的 B．不变C．扩大为原来的倍 D．缩小为原来的【答案】B【分析】根据正弦的定义：角所在的直角三角形的对边与斜边的比值，计算比较即可．【详解】如图所示：设 当各边长都缩小为原来的时，，，∴锐角的正弦值不变，故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题关键是熟练掌握正弦的定义．4．（2022·上海市省吾中学九年级期中）在中，，，，则的长可以表示为（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知的直角边和与斜边的夹角，根据余弦定义的公式即可求解．【详解】解：在中，，，，，，故选：A．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数中的余弦，熟练掌握余弦定义是解题的关键．5．（2022·云南昆明·一模）如图，小明在数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，他和同学在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点P和点B，使．利用工具测得米，，根据测量数据可计算得到小河宽度为（    ）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】根据正切定义，把公式变形得到结果．【详解】解：∵，∴．故选C．【点睛】本题考查了正切的定义，熟练掌握正切定义是解决本题的关键．6．（2022·山东·淄博市张店区第九中学九年级期中）已知在中，，，则的值等于（    ）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由三角函数的定义可知，可设，由勾股定理求出，然后根据正切的定义代入求值即可．【详解】解：∵，∴可设，则，∴，故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握正弦定义：对边与斜边的比值；正切的定义：对边与邻边的比值；是解本题的关键．7．（2022·安徽安庆·九年级期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，设，且，若，则菱形的面积为 （       ） A．90 B． C． D．【答案】C【分析】根据菱形的性质和解直角三角形即可得到结论．【详解】解：∵在菱形中，，，∵，∴，∴，∴，∴菱形的面积，故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握菱形的面积公式是本题的关键．8．（2022·山东烟台·九年级期中）已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含45°的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图：过点A作于D，过点B作于E，根据同角的余角相等求出，然后证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，最后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可解答．【详解】解：如图：过点A作于D，过点B作于E设 间的距离为，∵，∴，∵，，∴，在等腰直角中，，在和中∴，∴，在中，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识点，正确作出辅助线、构造出全等三角形是解题的关键．9．（2022·山东·临清市京华中学模拟预测）一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2021B2021C2021D2021的边长是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正方形的性质结合锐角三角形函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【详解】解：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴D1E1＝B2E2，D2E3＝B3E4，∠B1C1O=∠B2C2E2=∠B3C3E4=60°，∴∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E4＝30°，∴D1E1＝C1D1sin30°＝，则B2C2＝＝＝ ，同理可得：B3C3＝＝，故正方形AnBnCnDn的边长是：，则正方形A2021B2021C2021D2021的边长为：，故选：C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数，根据已知条件推导出正方形的边长与序号的变化规律是解题的关键．10．（2022·山西·太原市晋源区金胜镇金胜学校一模）如图，在中，，，以AC为直径作交斜边AB于点D，过点D作的切线交边BC于点E，延长ED与直径CA的延长线交于点F，，连接OE交于点G．则图中阴影部分的面积是（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】连接OD，求出，可得∠DOF＝60°，证明△ODE≌△OCE，可得∠DOE＝∠COE＝60°，则S阴影＝S△DOF，问题得解．【详解】解：连接OD，∵FE是切于D，∴∠ODF＝∠ODE＝90°，∵AC为的直径且，∴OD＝OA＝OC＝2，∴，∴∠DOF＝60°，∴∠DOC＝120°，在Rt△ODE和Rt△OCE中，，∴△ODE≌△OCE（HL），∴∠DOE＝∠COE＝60°，∴S阴影＝S△DOF＝，故选：A．【点睛】本题考查了切线的性质，三角函数，全等三角形的判定和性质等知识，将求阴影部分的面积转化为求△DOF的面积是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022·上海市建平实验中学九年级期中）已知，则锐角________．【答案】【分析】先由变形为，即可求解．【详解】解：，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，灵活变形，熟记公式是解题的关键．12．（2022·上海市民立中学九年级期中）已知点P在第二象限，且，与x轴的负半轴的夹角的余弦值是，则点P的坐标是___________．【答案】【分析】根据题意，画出图形，过点P作轴于A，根据余弦值可知，根据求出，再根据勾股定理求出，即可得到P点坐标．【详解】解：如下图所示，过点P作轴于A由题意可知：，∴，∵，∴，，∴在中，∴，∵点P在第二象限，∴点P的坐标为故答案为：．【点睛】此题考查的是勾股定理的应用和求点的坐标，灵活运用所学知识求解是解题关键．13．（2022·辽宁沈阳·九年级期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为__．【答案】【分析】由已知的，根据垂直的性质得到，即三角形ADE为直角三角形，在此直角三角形中，根据正弦函数得到，将AD的值代入，利用特殊角的三角函数值，化简即可求出DE．【详解】解：∵，∴，在中，，，∴，则．故答案为：．【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形及特殊角的三角函数值，菱形的性质等，深刻理解锐角三角函数的性质是解题关键．14．（2022·安徽安庆·九年级期末）中，，，，则____．【答案】6.5【分析】直接利用锐角三角函数关系进而得出AB的值．【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，BC=2.5，=，∴， ∴AB=6.5．故答案为6.5．【点睛】锐角三角形正弦（sin）等于对边比斜边；=，正确掌握边角关系是解题关键．15．（2022·山东济南·模拟预测）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如果中，，那么顶角A的正对记作，这时=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果的正弦函数值为，那么的值为___________．【答案】【分析】过点作于，利用的正弦函数值，设出的长，根据勾股定理求出，最后根据的规定求值即可．【详解】解：过点作于，如图所示，，设，，，，，；故答案为：．【点睛】此题是新定义运算题，主要考查了等腰三角形的定义、勾股定理和三角函数等知识，熟练掌握勾股定理、三角函数的定义以及新定义运算的规定是解答此题的关键．16．（2022·广东深圳·九年级期中）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，点P是上一动点，点E是的中点，则的最小值为________．【答案】【分析】由三角形的三边关系可得当点P在上时，的最小值为的长，由菱形的性质可得，，，，由锐角三角函数可求，可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得，即可求解．【详解】解：如图，连接，在中，，∴当点P在上时，的最小值为的长，∵四边形是菱形，，，∴，，，，∴,∴，∴是等边三角形，∵点E是的中点，∴，∵∴．故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用锐角三角函数求出的度数是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022·山东威海·九年级期中）计算【答案】0【分析】结合特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值的计算，及实数的混合计算，二次根式的性质，能够熟练的写出特殊角的三角函数值是解题关键．18．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，在中，，点在边上，，，求的值．【答案】【分析】过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，继而可得和，根据勾股定理可得，最后根据正弦定义即可求解．【详解】解：如图，过点作于点，，，,，，，，，，．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，正切和正弦以及勾股定理应用，解题的关键是熟练掌握正切和正弦定义．19．（2022·宁夏·银川北塔中学一模）如图，在四边形ABCD中，，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若tan∠OAB=，BD=2，求CE的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行线的性质得出，进而利用平行四边形的判定和菱形的判定解答即可；（2）根据菱形的性质解答即可．【详解】（1），，平分，，，，，，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形；（2）四边形是菱形，，，，，，，，，．．【点睛】此题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．20．（2022·江苏苏州·九年级期中）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点C，推杆与铅垂线的夹角为，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆与铁环相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．(1)求证：．(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动，图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离最小，测得的长为50cm，铁环的半径为25cm，推杆的长为75cm，求．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）如图，过点B作，分别交于点E，交于点F．首先证明，；再根据B是切点得出．然后证明出结论；（2）设，则，证明，可得两三角形相似比为，用含x的式子表示出，再在中根据勾股定理计算出x值，从而计算的值，即可解答问题．【详解】（1）如图，过点B作，分别交于点E，交于点F．∵与相切于点C，∴，∵∴∵，∴∴∵为的切线，∴∴∴∴（2）∵∴四边形为矩形，设，则，∵由（1）得∴∴，即∴在中，∵∴整理，得：解得：（不符合题意，舍去），∴∴．【点睛】本题重点考查切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题关键是根据已知和所求问题，合理作出辅助线．21．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校九年级期中）在菱形中，P、Q分别是边的中点，连接．(1)如图（1），求证：；(2)如图（2），连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有余弦值为的角．【答案】(1)见解析；(2)． 【分析】（1）根据菱形的性质可得，从而得到，可证得，即可求证；（2）连接，根据菱形的性质可得均是等边三角形，，从而得到，再证得是等边三角形，从而得到，即可．【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，∴，∵P、Q分别是边的中点，∴，∴，∴；（2）解：如图，连接，∵四边形是菱形，∴，∴均是等边三角形，，∵P、Q分别是边的中点，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴所有余弦值为的角有．故答案为：【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质是解题的关键．22．（2022·四川·绵阳中学英才学校二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点，轴于点，点是线段的中点，，，点的坐标为．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式．(2)点是直线下方反比例函数图象上一点，且，求点的坐标．【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为(2)点的坐标为或【分析】（1）先根据余弦求，进而求出，再根据勾股定理求出，得出点A的坐标，运用待定系数法求反比例函数解析式，然后求B的坐标，最后运用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）过作的平行线，设直线的解析式为，根据待定系数法求直线的解析式，然后联立方程组求解即可．【详解】（1）解：∵轴于点，，∴，解得：，∵点是线段的中点，∴∴，∴，∵反比例函数的图象过点，∴，∴反比例函数解析式为：，将的坐标代入得：解得：，∴，将代入，得：，解得：．∴一次函数解析式为：；（2）解：如图，过作的平行线，交双曲线于点．此时，设直线的解析式为，把代入，得：，解得：，∴直线的解析式为．解方程组，得：，或，∴点的坐标为或．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了利用待定系数法求函数的解析式，锐角三角函数定义，三角形的面积，正确得出A点坐标是解题关键．利用了数形结合思想．23．（2022·上海市省吾中学九年级期中）已知在中，，点D在的平分线上，联结并延长，交边于点E．(1)点F在延长线上，，①如图1，若平分，，求的值；②如图2，若E是的中点，，求的值；(2)如图3，若，，，求的长．【答案】(1)①②(2)【分析】（1）①延长，交于点G，根据，点D在的平分线上，得到，结合，平分，得到，，得到，判定，从而得到．②如图时间到了,申请延时,无人回复,请老师审核时,单独联系吧谢谢（2）延长，交于点G，过点E作，垂足为F，证明，由此得到，，根据已知，求得，再利用勾股定理计算即可．【详解】（1）①延长，交于点G，因为，点D在的平分线上，所以，因为，平分，所以，，所以，所以，所以．②如图（2）延长，交于点G，过点E作，垂足为F，因为，点D在的平分线上，所以，所以，所以，，因为，，所以．设，则，所以，因为， 所以，所以，所以，所以，解得（舍去），所以，根据勾股定理，得，所以，解得（舍去），所以．【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，三角函数，熟练掌握等腰三角形的性质，三角函数，勾股定理，三角形相似和平行线分线段成比例定理是解题的关键．