2022-2023学年贵州省铜仁市中考数学专项提升仿真模拟试卷（一模二模）含解析

这是一份2022-2023学年贵州省铜仁市中考数学专项提升仿真模拟试卷（一模二模）含解析，共66页。试卷主要包含了单 选 题，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年贵州省铜仁市中考数学专项提升仿真模拟试卷
（一模）
一、单 选 题
1．计算的结果是（ ）
A． B．3 C． D．9
2．如图所示的圆锥的主视图是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转90°后得到，则下列四个图形中正确的是（ ）


A． B． C． D．
4．已知两个不等于0的实数、满足，则等于（ ）
A． B． C．1 D．2
5．为加强先生的环保认识，共建绿色文明校园．某学校组织“废纸宝宝旅行记”．经统计，七年级5个班级一周回收废纸情况如下表；
班级
一班
二班
三班
四班
五班
废纸分量（）
4.5
4.4
5.1
3.3
5.7
则每个班级回收废纸的平均分量为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点，在函数的图像上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．某公司上半年生产甲，乙两种型号的无人机若干架．已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机架，乙种型号无人机架．根据题意可列出的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好坐标原点，则的值是（ ）
A．或2 B． C．2 D．
9．如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（ ）

A．1 B． C． D．
10．如图，线段，点、在上，．已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点挪动，到达点后中止挪动，在点挪动过程中作如下操作：先以点为圆心，、的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点的挪动工夫为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为．则关于的函数图像大致是（ ）

A．B．C．D．

二、填 空 题
11．全球平均每年发生雷电次数约为16000000次，将16000000用科学记数法表示是_____．
12．因式分解______．
13．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相反，那么该小球停留在黑域的概率是______．

14．如图．在中，，．若，则______．

15．若，则的值为______．
16．若，且，则的取值范围为______．
17．如图，四边形为菱形，，延伸到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则对角线的长为______．（结果保留根号）

18．如图，射线、互相垂直，，点位于射线的上方，且在线段的垂直平分线上，连接，．将线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离______．


三、解 答 题
19．计算：．
20．解方程组.
21．先化简再求值：，其中．
22．某学校计划在八年级开设“折扇”、“刺绣”、“剪纸”、“陶艺”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程．为了解先生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体先生中随机抽取部分先生进行问卷调查．并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．

请你根据以上信息处理下列成绩：
（1）参加问卷调查的先生人数为______名．补全条形统计图（画图并标注相应数据）；
（2）在扇形统计图中，选择“陶艺”课程的先生占______%；
（3）若该校八年级一共有1000名先生，试估计选择“刺绣”课程的先生有多少名？
23．4张相反的卡片上分别写有数字0、1、、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张．将卡片上的数字记录上去；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，异样将卡片上的数字记录上去．
（1）次抽取的卡片上数字是负数的概率为______；
（2）小敏设计了如下游戏规则：当次记录上去的数字减去第二次记录上去的数字所得结果为非负数时，甲获胜：否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表等方法阐明理由）．
24．如图，在平面直角坐标系中．四边形为矩形，点、分别在轴和轴的正半轴上，点为的中点已知实数，函数的图像点、，反比例函数的图像点，求的值．

25．如图，四边形内接于，，延伸到点，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，，，求的值．

26．如图，二次函数（是实数，且）的图像与轴交于、两点（点在点的左侧），其对称轴与轴交于点，已知点位于象限，且在对称轴上，，点在轴的正半轴上，．连接并延伸交轴于点，连接．
（1）求、、三点的坐标（用数字或含的式子表示）；
（2）已知点在抛物线的对称轴上，当的周长的最小值等于，求的值．

27．如图①，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面是正方形，容器乙的底面是矩形．如图②，已知正方形与矩形满足如下条件：正方形外切于一个半径为5米的圆，矩形内接于这个圆，．
（1）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？
（2）如今我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水均为25立方米/小时，4小时后．把容器甲的注水添加立方米/小时，同时保持容器乙的注水不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水再添加50立方米/小时，同时容器乙的注水仍旧保持不变．直到两个容器的水位高度相反，中止注水．在整个注水过程中，当注水工夫为时，我们把容器甲的水位高度记为，容器乙的水位高度记为，设，已知（米）关于注水工夫（小时）的函数图像如图③所示，其中平行于横轴．根据图中所给信息，处理下列成绩：
①求的值；
②求图③中线段所在直线的解析式．


28．如图，在矩形中，线段、分别平行于、，它们相交于点，点、分别在线段、上，，，连接、，与交于点．已知．设，．
（1）四边形的面积______四边形的面积（填“”、“”或“”）；
（2）求证：；
（3）设四边形的面积为，四边形的面积为，求的值．













答案
1．B
【分析】
直接根据二次根式的性质求解即可．
【详解】
解：，
故选B．

此题次要考查了二次根式的性质，纯熟掌握是解答此题的关键．
2．A
【详解】
试题分析：主视图是从正面看所得到的图形,圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：,故选A.
考点：三视图.
3．B
【分析】
根据绕点按顺时针方向旋转90°逐项分析即可．
【详解】
A、是由关于过B点与OB垂直的直线对称得到，故A选项不符合题意；
B、是由绕点按顺时针方向旋转90°后得到，故B选项符合题意；
C、与对应点发生了变化，故C选项不符合题意；
D、是由绕点按逆时针方向旋转90°后得到，故D选项不符合题意．
故选：B．

本题考查旋转变换．解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数．
4．A
【分析】
先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果．
【详解】
解：∵，
∴，
∵两个不等于0的实数、满足，
∴，
故选：A．

本题考查分式的化简、配完全平方、灵活运用配方法是解题的关键．
5．C
【分析】
根据平均数的定义求解即可．
【详解】
每个班级回收废纸的平均分量=．
故选：C．

本题考查了平均数，理解平均数的定义是解题的关键．
6．C
【分析】
根据函数的增减性加以判断即可．
【详解】
解：在函数y=2x+1中，
∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大．
∵2<，
∴．
∴m 故选：C

本题考查了函数的性质、实数的大小比较等知识点，熟知函数的性质是解题的关键．
7．D
【分析】
分析题意，找到两个等量关系，分别列出方程，联立即可．
【详解】
设甲种型号无人机架，乙种型号无人机架
∵甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，
∴
∵乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架
∴
联立可得：
故选：D．

本题考查实践成绩与二元方程组．关键在于找到题中所对应的等量关系式．
8．B
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【详解】
解：函数向右平移3个单位，得：；
再向上平移1个单位，得：+1，
∵得到的抛物线正好坐标原点
∴+1即
解得：或
∵抛物线的对称轴在轴右侧
∴＞0
∴＜0
∴
故选：B．

此题次要考查了函数图象的平移，要求纯熟掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
9．B
【分析】
利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出；
【详解】
解：∵四边形是平行四边形
∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD
由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°，
∴△AEC为等腰直角三角形
∴AE=CE
∴Rt△AE B′≌Rt△CDE
∴EB′=DE
∵在等腰Rt△AEC中，
∴
∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60°
∴∠DCE=30°
∴DE=1
在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1
∴=
故选：B

本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是纯熟掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．D
【分析】
由题意，先求出，，然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可求出函数表达式，然后进行判断即可．
【详解】
解：根据题意，
∵，，且已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点挪动，到达点后中止挪动，则，
∴，
∴，
由的长为半径的扇形的弧长为：
∴用的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为
∴其底面的面积为
由的长为半径的扇形的弧长为：
∴用的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为
∴其底面的面积为
∴两者的面积和
∴图像为开后向上的抛物线，且当时有最小值；
故选：D．

本题考查了扇形的面积公式，二次函数的最值，二次函数的性质，线段的动点成绩，解题的关键是纯熟掌握扇所学的知识，正确的求出函数的表达式．
11．
【详解】
科学记数法的表示方式为a×10n的方式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的值与小数点挪动的位数相反．当原数值大于10时，n是负数；当原数的值小于1时，n是负数．
16000000 =.
12．
【分析】
直接利用乘法公式分解因式得出答案．
【详解】
解：（x﹣1）2．
故（x﹣1）2．

此题次要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
13．
【分析】
先判断黑域的面积，再利用概率公式计算即可
【详解】
解：由于正方形的两条对角线将正方形分成面积相等的四个三角形，即四个黑色三角形的面积等于一个小正方形的面积，所以黑域的面积为2个小正方形的面积，而共有9个小正方形则有小球停留在黑域的概率是
故

本题考查概率的计算，正方形的性质、纯熟掌握概率公式是关键
14．54°
【分析】
首先根据等腰三角形的性质得出∠A=∠AEF，再根据三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度数，根据三角形的内角和定理求出∠B的度数即可．
【详解】
∵ AF=EF，
∴ ∠A=∠AEF，
∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，
∴ ∠A=36°，
∵ ∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴ ∠B=180°-∠A-∠C=54°．
故54°．

本题考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键．
15．3
【分析】
根据，将式子进行变形，然后代入求出值即可．
【详解】
∵ ，
∴=3m(m+2n)+6n=3m+6n=3(m+2n)=3．
故3．

本题考查了代数式的求值，解题的关键是利用已知代数式求值．
16．
【分析】
根据可得y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0进而得出，当y＝0时，x取得值，当y＝1时，x取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．
【详解】
解：根据可得y＝﹣2x+1，
∴k＝﹣2＜0
∵，
∴当y＝0时，x取得值，且值为，
当y＝1时，x取得最小值，且最小值为0，
∴
故．

此题考查了函数的性质，纯熟掌握函数的性质是解题的关键．
17．
【分析】
先由菱形的性质得出，求得，再根据直角三角形两锐角互余得 ,连接AC交BD于点O，根据菱形的性质得，，根据AAS证明可得，从而可求出．
【详解】
解：连接AC，如图，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，，BD=2DO
∴
∵
∴
∵
∴
∵四边形ABCD是菱形，
∴
∴
在和中，

∴≌
∴
∴
故．

此题次要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，连接AC并证明≌是解答此题的关键．
18．
【分析】
添加辅助线，连接，过点作交ON与点P．根据旋转的性质，得到，在和中，，根据三角函数和已知线段的长度求出点到射线的距离．
【详解】
如图所示，连接，过点作交ON与点P．

∵线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段
∴，
∴
即
∵点在线段的垂直平分线上
∴，

∵
∴
∴
∴

本题次要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转的距离相等，对应点与旋转所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
19．-5
【分析】
分别化简算术平方根、值和有理数的乘方，然后再进行加减运算即可得到答案．
【详解】
解：

．

此题次要考查了实数的混合运算，纯熟掌握运算法则是解答此题的关键．
20． .
【详解】
分析: （1）根据代入消元法，可得答案.
详解:
由②得：x=-3+2y  ③，
把③代入①得，3（-3+2y）-y=-4，
解得y=1，
把y=1代入③得：x=-1，
则原方程组的解为.
点睛: 此题考查了解二元方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.
21．，
【分析】
先算分式的加法，再算乘法运算，代入求值，即可求解．
【详解】
解：原式．
当时，原式．

本题次要考查分式的化简求值，纯熟掌握分式的通分和约分，是解题的关键．
22．（1）50，见解析；（2）10；（3）200名
【分析】
（1）根据参加“折扇”的人数除以所占的百分比即可求出参加问卷的先生人数，再用总人数减去参加“折扇”、“刺绣”和“陶艺”的人数即可得到参加“剪纸”的人数，从而可补全条形统计图；
（2）用选择“陶艺”课程的先生人数除以总人数即可得到结果；
（3）先求出样本中参加“刺绣”课程的百分比，再用八年级人数乘以这个百分比即可得到结论．
【详解】
解：（1）15÷30%=50（人），
所以，参加问卷调查的先生人数为50名，
参加“剪纸”课程的人数为：50-15-10-5=20（名）
画图并标注相应数据，如下图所示．

故50；
（2）5÷50=0.1=10%
故答案为10；
（3）由题意得：（名）．
答：选择“刺绣”课程有200名先生．

本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求成绩需求的条件，利用数形的思想解答．
23．（1）；（2）公平，见解析
【分析】
（1）列举出一切可能，进而求出概率；
（2）利用树状图法列举出一切可能，再利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案．
【详解】
解：（1）共有4种等可能的结果，其中数字是负数情况占1种
P（数字是负数）=；
（2）用树状图或表格列出一切等可能的结果：

∵共有12种等可能的结果，两个数的差为非负数的情况有6种，
∴（结果为非负数），
（结果为负数）．
∴游戏规则公平．

本题考查的是概率以及游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．
【分析】
先根据函数求出点C的坐标，进而可表示出点B的横坐标，再代入反比例函数即可求得点B的坐标，再点D为AB的中点可得点D的坐标，将点D坐标代入函数即可求得答案．
【详解】
解：把代入，得．
∴．
∵轴，
∴点横坐标为．
把代入，得．
∴．
∵点为的中点，
∴．
∴．
∵点在直线上，
∴．
∴．

本题考查了函数与反比例函数的交点成绩，涉及的知识有：待定系数法确定函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，矩形的性质，纯熟掌握待定系数法是解本题的关键．
25．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由圆内接四边形的性质可知，再由，即可得出．根据圆周角定理题意可知，即得出．由此易证，即得出．
（2）过点作，垂足为．根据题意可求出，（1）可知，即可求出．根据题意又可求出，利用三角函数即可求出，再利用三角函数即可求出结果．
【详解】
（1）证明：∵四边形是圆的内接四边形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
（2）解：如图，过点作，垂足为．

∵，，
∴．
由（1）知．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．

本题为圆的综合题．考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形．利用数形的思想并正确作出辅助线是解答本题的关键．
26．（1），，；（2）
【分析】
（1）把代入函数解析式，可得，再利用因式分解法解方程可得的坐标，再求解函数的对称轴，可得的坐标；
（2）先证明，利用类似三角形的性质求解，利用三角形的中位线定理再求解．再利用勾股定理求解，如图，当点、、三点共线时，的长最小，此时的周长最小．可得．再利用勾股定理列方程，解方程可得答案．
【详解】
解：（1）令 则，


∴，，
∴对称轴为直线，
∴．
（2）在中，，


，


，．
．
∵轴，轴，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，，
∴，即．（负根舍去）
∵点与点关于对称轴对称，
∴．
∴如图，当点、、三点共线时，的长最小，此时的周长最小．
∴的周长的最小值为，

∴的长最小值为，即．
∵，∴．
∴．
∵，
∴．

本题考查的求解二次函数与坐标轴的交点坐标以及对称轴方程，图形与坐标，二次函数的对称性，勾股定理的运用，类似三角形的判定与性质，灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
27．（1）甲600立方米，乙240立方米；（2）①；②．
【分析】
（1）根据题意画出图形即可直接得出正方形的边长，即可求出容器甲的容积；连接，由圆周角定理的推论可知为直径，即，再在中，根据勾股定理即可求出EF和EH的长，即可求出容器乙的容积．
（2）根据题意可求出容器甲的底面积为平方米，容器乙的底面积为平方米．
①当时，根据题意即可求出此时的值，即得出M点坐标．由平行于横轴，即得出N点坐标，即6小时后高度差仍为米，由此即可列出关于a的等式，解出a即可．
②设注水b小时后，，根据题意可列出关于b的等式，解出b即得到P点坐标．设线段所在直线的解析式为，利用待定系数法即可求出其解析式．
【详解】
（1）由图知，正方形的边长，
∴容器甲的容积为立方米．
如图，连接，
∵，
∴为直径．
在中，，，
根据勾股定理，得，，
∴容器乙的容积为立方米．

（2）根据题意可求出容器甲的底面积为平方米，容器乙的底面积为平方米．
①当时，．
∵平行于横轴，
∴，．
由上述结果，知6小时后高度差仍为1.5米，
∴．
解得．
②设注水b小时后，，则有．
解得，即．
设线段所在直线的解析式为，
∵、在直线上，
∴，
解得：．
∴线段所在直线的解析式为．

本题考查圆的内接和外切四边形的性质，圆周角定理，勾股定理以及函数的实践运用．根据题意画出图形求出两个容器的各边长和理解题意找出等量关系是解答本题的关键．
28．（1）=；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）由四边形为矩形及，，证明四边形为矩形，四边形、、均为矩形．再利用矩形的面积公式求解四边形的面积与四边形的面积，从而可得答案；
（2）由，，，，，证明．可得．从而可得结论；
（3）解法一：连接，，证明．可得．再证明．可得，从而可得答案；
解法二：连接、．证明四边形的四边形．从而可得答案．
【详解】
解：（1）∵四边形为矩形，
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴四边形为矩形．
同理可得：四边形、、均为矩形．
∵，，，
∴，，，．
∴四边形的面积，四边形的面积．
．四边形的面积四边形的面积．
（2）∵，，由（1）中，，
∴，即，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）解法一：连接，，

∵，，
∴．
∵，
∴．
∴，．
由（2），得，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
解法二：连接、．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴，，．
由（2）中，得，
∴．
∵，
∴．
∴，，．
∴，，．
又，，
∴四边形的四边形．
∴．

本题考查的是矩形的性质，矩形的判定，类似三角形的判定与性质，类似四边形的判定与性质，构建类似三角形的模型是解题的关键．













2022-2023学年贵州省铜仁市中考数学专项提升仿真模拟试卷
（二模）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只要一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）
1．﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
2．函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≠2
3．已知一组数据：58，53，55，52，54，51，55，这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．54，55 B．54，54 C．55，54 D．52，55
4．方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a＝a3 B．（a2）3＝a5 C．a8÷a2＝a4 D．a2•a3＝a5
6．下列图形中，既是对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（　　）

A．△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
8．函数y＝x+n的图象与x轴交于点B，与反比例函数y＝（m＞0）的图象交于点A（1，m），且△AOB的面积为1，则m的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（　　）
A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点
B．点P是△ABC三条内角平分线的交点
C．点P是△ABC三条高的交点
D．点P是△ABC三条中线的交点
10．设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（　　）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡上相应的地位．）
11．（2分）分解因式：2x3﹣8x＝　 　．
12．（2分）2021年5月15日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上留下中国印迹，迈出我国星际探测征程的重要一步．目前探测器距离地球约320000000千米，320000000这个数据用科学记数法可表示为 　 　．
13．（2分）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 　 　．
14．（2分）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：　 　．
15．（2分）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 　 　米．
16．（2分）下列命题中，正确命题的个数为 　 　．
①一切的正方形都类似
②一切的菱形都类似
③边长相等的两个菱形都类似
④对角线相等的两个矩形都类似
17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝　 　．

18．（2分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为：　 　．

三、解 答 题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字阐明、证明过程或演算步骤等．）
19．（8分）计算：
（1）|﹣|﹣（﹣2）3+sin30°；
（2）﹣．
20．（8分）（1）解方程：（x+1）2﹣4＝0；
（2）解不等式组：．
21．（8分）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
求证：（1）△ABO≌△DCO；
（2）∠OBC＝∠OCB．

22．（8分）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的外形、大小、质地都相反）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列发生的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（1）取出的2张卡片数字相反；
（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”．
23．（8分）某企业为推进全民健身，提升员工身体素质，号召员工开展健身锻炼，两个月的宣传发动，员工健身锻炼的认识有了明显进步．为了调查本企业员工上月参加健身锻炼的情况，现从1500名员工中随机抽取200人调查每人上月健身锻炼的次数，并将调查所得的数据整理如下：
某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表
锻炼次数x（代号）
0＜x≤5
（A）
5＜x≤10
（B）
10＜x≤15
（C）
15＜x≤20
（D）
20＜x≤25
（E）
25＜x≤30
（F）
频数
10
a
68
c
24
6
频率
0.05
b
0.34
d
0.12
0.03

（1）表格中a＝　 　；
（2）请把扇形统计图补充残缺；（只需标注相应的数据）
（3）请估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有多少人？
24．（8分）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝，⊙O的半径为5，则si＝　 　．（如需画草图，请运用图2）
25．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．

26．（8分）为了进步广大职工对消防知识的学习热情，加强职工的消防认识，某单位工会决定组织消防知识竞赛，本次拟设一、二等奖若干名，并购买相应．现有1275元用于购买，且全部用完，已知一等奖单价与二等奖单价之比为4：3．当用600元购买一等奖时，共可购买一、二等奖25件．
（1）求一、二等奖的单价；
（2）若购买一等奖的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？
27．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC类似时，求线段EF的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．

28．（10分）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．

（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，
①当m＝时，求线段CF的长；
②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的值；
（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．
【专项打破】2021-2022学年江苏徐州市中考数学模仿试卷（二模）

一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只要一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）
1．﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．3 D．﹣3
【分析】求一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
解：﹣的相反数是．
故选：B．
2．函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≠2
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得：x﹣2＞0，
解得：x＞2，
故选：A．
3．已知一组数据：58，53，55，52，54，51，55，这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．54，55 B．54，54 C．55，54 D．52，55
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
解：∵55出现的次数最多，
∴众数为55，
将这组数据按照从小到大的顺序陈列：51、52、53、54、55、55、58，
中位数为54，
故选：C．
4．方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】将两个方程相加，可消去y，得到x的一元方程，从而解得x＝4，再将x＝4代入①解出y的值，即得答案．
解：，
①+②得：2x＝8，
∴x＝4，
把x＝4代入①得：4+y＝5，
∴y＝1，
∴方程组的解为．
故选：C．
5．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a＝a3 B．（a2）3＝a5 C．a8÷a2＝a4 D．a2•a3＝a5
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、除法运算法则计算得出答案．
解：A．a2+a，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；
B．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；
C．a8÷a2＝a6，故此选项不合题意；
D．a2•a3＝a5，故此选项符合题意．
故选：D．
6．下列图形中，既是对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
解：A．既是轴对称图形，又是对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
7．如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（　　）

A．△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
【分析】根据矩形的判定定理，菱形的判定定理，三角形中位线定理判断即可．
解：A．连接EF，
∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴EF∥BC，BD＝CD，
设EF和BC间的距离为h，
∴S△BDE＝BD•h，S△DCE＝CD•h，
∴S△BDE＝S△DCE，
故本选项不符合题意；
B．∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF是平行四边形，
故本选项不符合题意；
C．∵D、E、F分别是△ABC各边中点，
∴DE＝AC，DF＝AB，
若AB＝BC，则DE＝DF，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，
故本选项符合题意；
D．∵四边形AEDF是平行四边形，
∴若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，
故本选项不符合题意；
故选：C．

8．函数y＝x+n的图象与x轴交于点B，与反比例函数y＝（m＞0）的图象交于点A（1，m），且△AOB的面积为1，则m的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由已知得B（﹣n，0），而A（1，m）在函数y＝x+n的图象上，可得n＝m﹣1，即B（1﹣m，0），根据△AOB的面积为1，可列方程|1﹣m|•m＝1，即可解得m＝2．
解：在y＝x+n中，令y＝0，得x＝﹣n，
∴B（﹣n，0），
∵A（1，m）在函数y＝x+n的图象上，
∴m＝1+n，即n＝m﹣1，
∴B（1﹣m，0），
∵△AOB的面积为1，m＞0，
∴OB•|yA|＝1，即|1﹣m|•m＝1，
解得m＝2或m＝﹣1（舍去），
∴m＝2，
故选：B．
9．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（　　）
A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点
B．点P是△ABC三条内角平分线的交点
C．点P是△ABC三条高的交点
D．点P是△ABC三条中线的交点
【分析】过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延伸CP交AB于M，延伸BP交AC于N，设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，则AP2+CP2+BP2＝3（x﹣2）2+3（y﹣）2+，当x＝2，y＝时，AP2+CP2+BP2的值，此时AD＝PE＝2，AE＝PD＝，由＝，得AM＝4，M是AB的中点，同理可得AN＝AC，N为AC中点，即P是△ABC三条中线的交点．
解：过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延伸CP交AB于M，延伸BP交AC于N，如图：

∵∠A＝90°，PD⊥AC，PE⊥AB，
∴四边形AEPD是矩形，
设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，
Rt△AEP中，AP2＝x2+y2，
Rt△CDP中，CP2＝（6﹣x）2+y2，
Rt△BEP中，BP2＝x2+（8﹣y）2，
∴AP2+CP2+BP2＝x2+y2+（6﹣x）2+y2+x2+（8﹣y）2
＝3x2﹣12x+3y2﹣16y+100
＝3（x﹣2）2+3（y﹣）2+，
∴x＝2，y＝时，AP2+CP2+BP2的值，
此时AD＝PE＝2，AE＝PD＝，
∵∠A＝90°，PD⊥AC，
∴PD∥AB，
∴＝，即＝，
∴AM＝4，
∴AM＝AB，即M是AB的中点，
同理可得AN＝AC，N为AC中点，
∴P是△ABC三条中线的交点，
故选：D．
10．设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（　　）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
【分析】根据当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”，逐项进行判断即可．
解：①y1﹣y2＝﹣2x﹣7，在1≤x≤2上，当x＝1时，y1﹣y2值为﹣9，当x＝2时，y1﹣y2最小值为﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣9，故函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”不正确；
②y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在3≤x≤4上，当x＝3时，y1﹣y2值为1，当x＝4时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤1，故函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”正确；
③y1﹣y2＝﹣x2+x﹣1，在0≤x≤1上，当x＝时，y1﹣y2值为﹣，当x＝0或x＝1时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤﹣，当然﹣1≤y1﹣y2≤1也成立，故0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”正确；
④y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在2≤x≤3上，当x＝时，y1﹣y2值为，当x＝2或x＝3时，y1﹣y2最小值为1，即1≤y1﹣y2≤，故2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”不正确；
∴正确的有②③，
故选：A．
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡上相应的地位．）
11．（2分）分解因式：2x3﹣8x＝　2x（x﹣2）（x+2）　．
【分析】先提取公因式2x，再对余下的项利用平方差公式分解因式．
解：2x3﹣8x，
＝2x（x2﹣4），
＝2x（x+2）（x﹣2）．
12．（2分）2021年5月15日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上留下中国印迹，迈出我国星际探测征程的重要一步．目前探测器距离地球约320000000千米，320000000这个数据用科学记数法可表示为 　3.2×108　．
【分析】科学记数法的表示方式为a×10n的方式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的值与小数点挪动的位数相反．
解：320000000＝3.2×108，
故选：3.2×108．
13．（2分）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 　　．
【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．
解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr＝，
解得r＝．
故．
14．（2分）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：　y＝﹣答案不　．
【分析】根据反比例函数的性质得到k＜0，然后取k＝﹣1即可得到满足条件的函数解析式．
解：若反比例函数y＝（k是常数，且k≠0）的图象在第二、四象限，则k＜0，
故k可取﹣1，此时反比例函数解析式为y＝﹣．
故y＝﹣答案不．
15．（2分）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为 　10　米．
【分析】设上升的高度为x米，根据坡度的概念得到程度距离为7x米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
解：设上升的高度为x米，
∵上山直道的坡度为1：7，
∴程度距离为7x米，
由勾股定理得：x2+（7x）2＝1002，
解得：x1＝10，x2＝﹣10（舍去），
故10．
16．（2分）下列命题中，正确命题的个数为 　1　．
①一切的正方形都类似
②一切的菱形都类似
③边长相等的两个菱形都类似
④对角线相等的两个矩形都类似
【分析】利用类似形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
解：①一切的正方形都类似，正确，符合题意；
②一切的菱形都类似，错误，不符合题意；
③边长相等的两个菱形都类似，错误，不符合题意；
④对角线相等的两个矩形都类似，错误，不符合题意，
正确的有1个，
故1．
17．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝　　．

【分析】由折叠的性质可得AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，在Rt△EFG中，由勾股定理可求EG＝3，由锐角三角函数可求EH，HF的长，在Rt△AHF中，由勾股定理可求AF．
解：如图，过点F作FH⊥AC于H，

∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，
∴AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，
∴EG＝＝＝3，
∵sin∠FEG＝，
∴，
∴HF＝，
∵cos∠FEG＝，
∴，
∴EH＝，
∴AH＝AE+EH＝，
∴AF＝＝＝，
故．
18．（2分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为：　y＝x2　．

【分析】过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，又CB＝3AC，得CE＝3CD，BE＝3AD，设AD＝m，则BE＝3m，A（﹣m，m2），B（3m，9m2），可得C（0，3m2），而P为CB的中点，故P（m，6m2），即可得y＝x2．
解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，如图：

∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，
∴AD∥BE，
∴＝＝，
∵CB＝3AC，
∴CE＝3CD，BE＝3AD，
设AD＝m，则BE＝3m，
∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上，
∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2），
∴OD＝m2，OE＝9m2，
∴ED＝8m2，
而CE＝3CD，
∴CD＝2m2，OC＝3m2，
∴C（0，3m2），
∵P为CB的中点，
∴P（m，6m2），
又已知P（x，y），
∴，
∴y＝x2；
故y＝x2．
三、解 答 题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字阐明、证明过程或演算步骤等．）
19．（8分）计算：
（1）|﹣|﹣（﹣2）3+sin30°；
（2）﹣．
【分析】（1）根据值的意义，乘方的意义以及角的锐角三角函数的值即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算法则即可求出答案．
解：（1）原式＝+8+
＝1+8
＝9．
（2）原式＝﹣
＝
＝．
20．（8分）（1）解方程：（x+1）2﹣4＝0；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）利用直接开平方求解即可．
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解：（1）∵（x+1）2﹣4＝0，
∴（x+1）2＝4，
∴x+1＝±2，
解得：x1＝1，x2＝﹣3．
（2），
由①得，x≥1，
由②得，x＜3，
故不等式组的解集为：1≤x＜3．
21．（8分）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
求证：（1）△ABO≌△DCO；
（2）∠OBC＝∠OCB．

【分析】（1）由已知条件，对顶角相的可以利用AAS判定△ABO≌△DCO；
（2）由等边对等角得结论．
证明：（1）∵∠AOB＝∠COD，
∠ABO＝∠DCO，
AB＝DC，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（AAS）；
（2）由（1）知，△ABO≌△DCO，
∴OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB．
22．（8分）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的外形、大小、质地都相反）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列发生的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（1）取出的2张卡片数字相反；
（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”．
【分析】（1）画树状图，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相反的结果有4种，再由概率公式求解即可；
（2）由（1）可知，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的结果有7种，再由概率公式求解即可．
解：（1）画树状图如图：

共有16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相反的结果有4种，
∴取出的2张卡片数字相反的概率为＝；
（2）由（1）可知，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的结果有7种，
∴取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的概率为．
23．（8分）某企业为推进全民健身，提升员工身体素质，号召员工开展健身锻炼，两个月的宣传发动，员工健身锻炼的认识有了明显进步．为了调查本企业员工上月参加健身锻炼的情况，现从1500名员工中随机抽取200人调查每人上月健身锻炼的次数，并将调查所得的数据整理如下：
某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表
锻炼次数x（代号）
0＜x≤5
（A）
5＜x≤10
（B）
10＜x≤15
（C）
15＜x≤20
（D）
20＜x≤25
（E）
25＜x≤30
（F）
频数
10
a
68
c
24
6
频率
0.05
b
0.34
d
0.12
0.03

（1）表格中a＝　42　；
（2）请把扇形统计图补充残缺；（只需标注相应的数据）
（3）请估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有多少人？
【分析】（1）根据B组所占的百分比是21%，即可求得a的值；
（2）根据其他各组的频率求出D组的频率得出C组、D组所占的百分比，补全扇形统计图即可．
（3）利用总人数1500乘以对应的频率即可求得．
解：（1）a＝200×21%＝42（人），
故42；
（2）b＝21%＝0.21，
C组所占的百分比c＝0.34＝34%，
D组所占的百分比是：d＝1﹣0.05﹣0.21﹣0.34﹣0.12﹣0.03＝0.25＝25%，
扇形统计图补充残缺如图：
；
（3）估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有1500×（0.34+0.25+0.12+0.03）＝1110（人）．
答：估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有1110人．
24．（8分）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝，⊙O的半径为5，则si＝　　．（如需画草图，请运用图2）
【分析】（1）利用尺规作出∠ACB的角平分线CD，作线段AC的垂直平分线交CD于点O，以O为圆心，OC为半径作⊙O即可．
（2）连接OA，设射线CD交AB于E．利用勾股定理求出OE，EC，再利用勾股定理求出BC，可得结论．
解：（1）如图，射线CD，⊙O即为所求．

（2）连接OA，设射线CD交AB于E．
∵CA＝CB，CD平分∠ACB，
∴CD⊥AB，AE＝EB＝，
∴OE＝＝＝，
∴CE＝OC+OE＝5+＝，
∴AC＝BC＝＝＝8，
∴si＝＝＝．
故．
25．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．

【分析】（1）根据圆周角定理和切线的性质证得∠ACB+∠BAC＝∠PBC+∠ABO＝90°，等腰三角形的性质即可证得结论；
（2）由三角形外角的性质求出∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝40°，得到AOB＝∠ACD，由圆周角的性质得到∠CDE＝∠BAO，根据类似三角形的判定即可证得△OAB∽△CDE．
证明：（1）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBA+∠ABO＝90°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠ACB，
∴∠OBC+∠ABO＝∠PBC+∠ABO＝90°，
∴∠PBA＝∠OBC；
（2）由（1）知，∠PBA＝∠OBC＝∠ACB，
∵∠PBA＝20°，
∴∠OBC＝∠ACB＝20°，
∴∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝20°+20°＝40°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠AOB＝∠ACD，
∵＝，
∴∠CDE＝∠CDB＝∠BAC＝∠BAO，
∴△OAB∽△CDE．

26．（8分）为了进步广大职工对消防知识的学习热情，加强职工的消防认识，某单位工会决定组织消防知识竞赛，本次拟设一、二等奖若干名，并购买相应．现有1275元用于购买，且全部用完，已知一等奖单价与二等奖单价之比为4：3．当用600元购买一等奖时，共可购买一、二等奖25件．
（1）求一、二等奖的单价；
（2）若购买一等奖的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？
【分析】（1）设一等奖单价为4x元，则二等奖单价为3x元，根据数量＝总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入4x，3x中即可求出结论；
（2）设购买一等奖m件，二等奖n件，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元方程，m，n均为正整数且4≤m≤10，即可得出各购买．
解：（1）设一等奖单价为4x元，则二等奖单价为3x元，
依题意得：+＝25，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴4x＝60，3x＝45．
答：一等奖单价为60元，二等奖单价为45元．
（2）设购买一等奖m件，二等奖n件，
依题意得：60m+45n＝1275，
∴n＝．
∵m，n均为正整数，且4≤m≤10，
∴或或，
∴共有3种购买，
1：购买4件一等奖，23件二等奖；
2：购买7件一等奖，19件二等奖；
3：购买10件一等奖，15件二等奖．
27．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC类似时，求线段EF的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．

【分析】（1）由y＝﹣x+3得B（3，0），C（0，3），代入y＝ax2+2x+c即得二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由y＝﹣x2+2x+3得A（﹣1，0），OB＝OC，AB＝4，BC＝3，故∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，以C、E、F为顶点的三角形与△ABC类似，B和F为对应点，设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），EF＝﹣m2+3m，CF＝m，①△ABC∽△CFE时，＝，可得EF＝，②△ABC∽△EFC时，＝，可得EF＝；
（3）连接NE，由点N、F关于直线EC对称，可得CF＝EF＝CN，故﹣m2+3m＝m，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣，即得CN＝CF＝m＝3﹣2，N（0，3+1）．
解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
把B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：
，解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图：

在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，AB＝4，BC＝3，
∴∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，
∴以C、E、F为顶点的三角形与△ABC类似，B和F为对应点，
设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），
∴EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，
①△ABC∽△CFE时，＝，
∴＝，
解得m＝或m＝0（舍去），
∴EF＝，
②△ABC∽△EFC时，＝，
∴＝，
解得m＝0（舍去）或m＝，
∴EF＝，
综上所述，EF＝或．
（3）连接NE，如图：

∵点N、F关于直线EC对称，
∴∠NCE＝∠FCE，CF＝CN，
∵EF∥y轴，
∴∠NCE＝∠CEF，
∴∠FCE＝∠CEF，
∴CF＝EF＝CN，
由（2）知：
设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，
∴﹣m2+3m＝m，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣，
∴CN＝CF＝m＝3﹣2，
∴N（0，3+1）．
28．（10分）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．

（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，
①当m＝时，求线段CF的长；
②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的值；
（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．
【分析】（1）①过F作FG⊥BC于G，连接CF，先证明△ABE≌△EGF，可得FG＝BE＝，EG＝AB＝BC，则EG﹣EC＝BC﹣EC，即CG＝BE＝，再在Rt△CGF中，即可求CF＝；
②△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，过P作PH⊥EQ于H，由△ABE≌△ADE'，∠B＝∠ADE'＝90°，∠BAE＝∠DAE'，∠AEB＝∠E'，AE＝AE'，BE＝DE'，可得C、D、E'共线，由△EAQ≌△E'AQ，可得∠E'＝∠AEQ，故∠AEB＝∠AEQ，从而∠QEP＝90°﹣∠AEQ＝90°﹣∠AEB＝∠CEP，即EF是∠QEC的平分线，有PH＝PC，用△ABE∽△ECP，可求CP＝m（1﹣m），即可得h＝﹣m2+m；
（2）分两种情况：①当m＜时，由△ABE∽△ECP，可求HG＝﹣m2+m，根据MG∥CD，G为BC中点，可得MN＝DQ，设DQ＝x，则EQ＝x+m，CQ＝1﹣x，Rt△EQC中，EC2+CQ2＝EQ2，可得MN＝，故y＝NH＝MG﹣HG﹣MN＝1﹣m﹣+m2，
②当m＞时，由MG∥AB，可得HG＝，同①可得MN＝DQ＝，即可得y＝，
解：（1）①过F作FG⊥BC于G，连接CF，如图：

∵四边形ABCD是正方形，∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠AEB＝∠EFG，∠B＝∠G＝90°，
∵等腰直角三角形AEF，
∴AE＝EF，
在△ABE和△EGF中，
，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴FG＝BE＝，EG＝AB＝BC，
∴EG﹣EC＝BC﹣EC，即CG＝BE＝，
在Rt△CGF中，CF＝＝；
②△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，过P作PH⊥EQ于H，如图：

∵△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，
∴△ABE≌△ADE'，∠B＝∠ADE'＝90°，∠BAE＝∠DAE'，∠AEB＝∠E'，AE＝AE'，BE＝DE'，
∴∠ADC+∠ADE'＝180°，
∴C、D、E'共线，
∵∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠DAE'+∠EAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠E'AF＝45，
在△EAQ和△E'AQ中，
，
∴△EAQ≌△E'AQ（SAS），
∴∠E'＝∠AEQ，EQ＝E'Q，
∴∠AEB＝∠AEQ，EQ＝DQ+DE'＝DQ+BE，
∴∠QEP＝90°﹣∠AEQ＝90°﹣∠AEB＝∠CEP，即EF是∠QEC的平分线，
又∠C＝90°，PH⊥EQ，
∴PH＝PC，
∵∠BAE＝∠CEP，∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECP，
∴＝，即＝，
∴CP＝m（1﹣m），
∴PH＝h＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
∴m＝时，h值是；
（2）①当m＜时，如图：

∵∠BAE＝90°﹣∠AEB＝∠HEG，∠B＝∠HGE＝90°，
∴△ABE∽△ECP，
∴＝，即＝，
∴HG＝﹣m2+m，
∵MG∥CD，G为BC中点，
∴MN为△ADQ的中位线，
∴MN＝DQ，
由（1）知：EQ＝DQ+BE，
设DQ＝x，则EQ＝x+m，CQ＝1﹣x，
Rt△EQC中，EC2+CQ2＝EQ2，
∴（1﹣m）2+（1﹣x）2＝（x+m）2，
解得x＝，
∴MN＝，
∴y＝NH＝MG﹣HG﹣MN
＝1﹣（﹣m2+m）﹣
＝1﹣m﹣+m2，
②当m＞时，如图：

∵MG∥AB，
∴＝，即＝，
∴HG＝，
同①可得MN＝DQ＝，
∴HN＝MG﹣HG﹣MN
＝1﹣﹣
＝，
∴y＝，
综上所述，y＝1﹣m﹣+m2或y＝．