第五章 5.5.1 第1课时 课后课时精练

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．cos20°＝(　　)

A．cos30°cos10°－sin30°sin10°

B．cos30°cos10°＋sin30°sin10°

C．sin30°cos10°－sin10°cos30°

D．cos30°cos10°－sin30°cos10°

答案　B

解析　cos20°＝cos(30°－10°)＝cos30°cos10°＋sin30°·sin10°.

2.的值是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　原式＝

＝

＝＝.

3．满足cosαcosβ＝－sinαsinβ的一组α，β的值是(　　)

A．α＝，β＝   B．α＝，β＝

C．α＝，β＝   D．α＝，β＝

答案　B

解析　∵cosαcosβ＝－sinαsinβ，∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝，即cos(α－β)＝，经验证可知选项B正确．

4．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos(A－B)的值是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴斜边AB＝5.所以sinA＝＝，cosA＝＝，sinB＝＝，cosB＝＝.∴cos(A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB＝×＋×＝.

5．已知x∈R，sinx－cosx＝m，则m的取值范围为(　　)

A．－1≤m≤1   B．－≤m≤

C．－1≤m≤    D．－≤m≤1

答案　B

解析　sinx－cosx＝

＝＝cos，

因为x∈R，所以x－∈R，

所以－1≤cos≤1.

所以－≤m≤ .故选B.

二、填空题

6．化简－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°＝________.

答案　cos1°

解析　－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°

＝－sin40°(－sin39°)＋cos40°cos39°＝cos(40°－39°)

＝cos1°.

7．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0和cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值是________．

答案　－

解析　由sinα＋sinβ＋sinγ＝0，得sinα＋sinβ＝－sinγ.①

同理由cosα＋cosβ＋cosγ＝0，得cosα＋cosβ＝－cosγ.②

①2＋②2得cos(α－β)＝－.

8．若cos(α－β)＝，cos2α＝，并且α，β均为锐角，且α＜β，则α＋β的值为________．

答案　

解析　∵0＜α＜β＜，∴－＜α－β＜0,0＜2α＜π.

由cos(α－β)＝，得sin(α－β)＝－.

由cos2α＝，得sin2α＝.

∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]

＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)

＝×＋×＝－.

又∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.

三、解答题

9．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．

解　由α－β∈，且cos(α－β)＝－，得

sin(α－β)＝.

由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，得

sin(α＋β)＝－，

cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]

＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)

＝×＋×＝－1.

又∵α－β∈，α＋β∈，

∴2β∈，∴2β＝π，则β＝.

10．已知A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，其中α，β为锐角，且|AB|＝.

(1)求cos(α－β)的值；

(2)若cosα＝，求cosβ的值．

解　(1)由|AB|＝，得

＝，

∴2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝，∴cos(α－β)＝.

(2)∵cosα＝，∴sinα＝，sin(α－β)＝±.

当sin(α－β)＝时，

cosβ＝cos[α－(α－β)]

＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝.

当sin(α－β)＝－时，

cosβ＝cos[α－(α－β)]

＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝0.

∵β为锐角，∴cosβ＝.

B级：“四能”提升训练

1．已知cos＝－，sin＝，且α∈，β∈，求cos的值．

解　∵<α<π，0<β<，

∴<<，0<<，<α＋β<.

∴<α－<π，－<－β<，<<.

又cos＝－，sin＝，

∴sin＝，cos＝.

∴cos＝cos

＝coscos＋sinsin

＝×＋×＝－＋＝.

2．已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.

(1)求ω的值；

(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α－β)的值．

解　(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π，

所以10π＝，所以ω＝.

(2)因为f＝－，

所以2cos＝2cos＝－.

所以sinα＝.

又因为f＝，

所以2cos＝2cosβ＝.

所以cosβ＝.

因为α，β∈，所以cosα＝，sinβ＝，

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

＝×＋×＝.